高二数学第一次月考卷01（新高考地区专用，空间向量与立体几何+直线与圆）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第一次月考

2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 3．若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 7．在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 8．已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 10．以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 11．在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 第Ⅱ卷 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线的倾斜角的取值范围是 ． 13．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 . 14．过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 16．（15分）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．    (1)证明：； (2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论； 17．（15分）已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 18．（17分）如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点． (1)证明：MN∥平面A'BE； (2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值． 19．（17分） 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计） (1)如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？ (2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 01 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．直线 1 : 1 0l x   与直线 2 : 3 2 0l x y   的夹角为（ ） A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 2．棱长为 2 的正四面体 ABCD中，点 E是 AD的中点，则 BA CE    （ ） A．1 B．－1 C． 3 D． 3 3．若点  2,1A 在圆 2 2 2 2 5 0x y mx y     （m为常数）外，则实数m的取值范围为（ ） A．  , 2 B．  2, C．  , 2  D．  2,  4．已知两点    1,5 , 0,0A B ，若直线    : 1 2 2 2 6 0l k x k y k      与线段 AB有公共点，则直线 l斜率的 取值范围为（ ） A．   1,0 1,    B．   , 1 1,    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 C．   1 1, 1 0, ,1 2 2              D． 1 1 1, ,1 2 2           5．已知向量 p  以 , ,a b c  为基底时的坐标为  2, 3,3 ，则 p 以 2 , , 2    a b a b c 为基底时的坐标为（ ） A． 5 1 3 , , 2 2 2      B． 5 1 3 , , 3 3 2       C．  1,3,2 D．  1, 3, 2 6．直线 1 x y m n   与  1x y m n n m    在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．在三棱锥P ABC 中，PA，PB，PC两两垂直，且 2PA PB PC   .若M 为该三棱锥外接球上的一点， 则MB MC   的最大值为（ ） A．2 B．4 C．2 2 3 D．4 2 3 8．已知圆 C：   2 25 12 4x y    和两点  0,A b ，   0, 0B b b  ，若圆 C上存在点 P，使得 90APB  ， 则 b的取值范围为（ ） A． 11,15 B． 10,16 C． 8,12 D． 9,13 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．在四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1CM MD   ， 14CQ QA   ，则（ ） A． 1 2 3 3 1 AM AB AD AA       B． 1 1 1 2 2 AM AB AD AA       C． 1 1 1 3 4 4 4 AQ AB AD AA       D． 1 1 1 4 5 5 5 AQ AB AD AA       10．以下四个命题叙述正确的是（ ） A．直线2 1 0x y   在 x轴上的截距是 1 B．直线 0x ky  和2 3 8 0x y   的交点为 P，且 P在直线 1 0x y   上，则 k的值是 1 2  C．设点 ( , )M x y 是直线 2 0x y   上的动点，O为原点，则 OM 的最小值是√2 D．直线  1 2: 3 1 0 : 2 1 1 0L ax y L x a y      ， ，若 1 2/ /L L ，则 3a   或 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 11．在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 2 21 : ( 1) 2C x y   的动弦 AB，圆 2 2 2 : ( ) ( 2) 8C x a y    ，则下 列选项正确的是（ ） A．当圆 1C 和圆 2C 存在公共点时，则实数a的取值范围为[ 3,5] B． 1ABC 的面积最大值为 1 C．若原点O始终在动弦 AB上，则OA OB   不是定值 D．若动点 P满足四边形OAPB为矩形，则点 P的轨迹长度为2 3π 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．直线  3 sin 2 0x y    的倾斜角 的取值范围是 ． 13．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ABCD，ABEF的边长都是 1，且它们所在的平面互相垂直. 活动弹子M，N分别在正方形对角线 AC和 BF 上移动，且 CM和 BN 的长度保持相等，记 (0 2)CM BN a a    ，当 MN的长最小时，平面 MNA与平面MNB夹角的正弦值为 . 14．过直线 2y  上任意一点 P作圆O： 2 2 1x y  的两条切线，则切点分别是 ,A B，则 OAB 面积的最大值 为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知平面内两点  6, 6A  ，  2,2B ． (1)求过点  1,3P 且与直线 AB垂直的直线 l的方程． (2)若 ABC 是以C为顶点的等腰直角三角形，求直线 AC的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 16．（15 分）如图，正四棱锥P ABCD 的底面边长和高均为 2，E，F分别为PD， PB的中点． (1)证明：EF PC ； (2)若点M是线段PC上的点，且 1 3 PM PC ，判断点M是否在平面 AEF内，并证明你的结论； 17．（15 分）已知直线 l过点  2,0A ，圆 C：    2 24 3 4   x y （C为圆心）． (1)若直线 l与圆 C相切，求直线 l的方程． (2)若直线 l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线 l与直线2 3 2 0x y   的交点为Q，判断 AP AQ 是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 18．（17 分）如图，直角梯形 ACDE 中， 1 45 , 2, 2 A ED CD AC B     、M 分别为 AC、ED 边的中点， 将△ ABE 沿 BE 边折起到△ A'BE 的位置，N 为边 A'C 的中点． (1)证明：MN∥ 平面 A'BE； (2)当三棱锥 A BEN  的体积为 3 3 ，且二面角 A BE C   为锐二面角时，求平面 NBM 与平面 BEDC 夹角 的正切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 19．（17 分） 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏 东为 的笔直公路，其中 2 cos 7   .摩天轮近似为一个圆，其半径为35m，圆心O到地面的距离为 40m ，其 最高点为 A A， 点正下方的地面 B点与公路的距离为70m .甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲 乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计） (1)如图所示，甲位于摩天轮的A 点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？ (2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 2．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【详解】，所以． 故选：A． 3．若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知， 故， 又由圆的一般方程， 可得，即， 即或， 所以实数的范围为. 故选：C. 4．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线， 变形可得，由，解得， 可得直线恒过定点， 则， 又直线的斜率为， 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为.故选：D. 5．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 6．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意． 故选：B. 7．在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体体对角线的交点，   ，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为，，则， ， ， ，，， ，， ， 所以， 当时，取得最大值. 故选：C 8．已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆C上存在点P，使得， 所以，以为直径的圆与圆有交点， 又以为直径的圆，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为2， 所以，即，即. 故选：A    2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】 ，故A错误、B正确； ，故C错误、D正确． 故选：BD． 10．以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 【答案】BC 【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D错误. 故选：BC 11．在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当圆和圆存在公共点时，， 所以，解得，所以实数的取值范围为，正确； 对于B，的面积为， 当时，的面积有最大值为1，正确； 对于C，当弦垂直x轴时，，所以， 当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为， 与圆联立得，， 设， 则，， 综上，恒为定值，错误； 对于D，设，OP中点，该点也是AB中点，且， 又，所以， 化简得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 其周长为，正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，故. 故答案为：. 13．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 . 【答案】 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 所以， 当时，最小，此时，为中点，则， 取的中点，连接，则， 因为，，所以，， 所以是平面与平面的夹角或其补角， 因为，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值是， 所以平面与平面夹角的正弦值是． 14．过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为 . 【答案】/ 【详解】 如图，设点，因,故点在以为直径的圆上， 因圆心，半径为，故圆的方程为：， 又圆：，将两式左右分别相减，整理得直线的方程为：， 于是，点到直线的距离为：，， 故的面积为：， 不妨设则，且，故， 因在上单调递增，故，此时， 即时，点时，面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即．····································5分 （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或，·······························10分 所以点坐标为或， 则直线的方程为或．····································13分 16．（15分）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．    (1)证明：； (2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论； 【详解】（1）连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则， 所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，    则，，， 则，，则， 所以.····································7分 （2）由（1）知，， ，， 又，得， ，所以， 所以、、、四点共面，即点在平面内．····································15分 17．（15分）已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）若直线l的斜率不存在，即直线l的方程为，符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以，解得． 故直线l的方程为或．····································6分 （2）因为直线l与圆C相交，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为． 联立，解得，即．················9分 因为P为线段MN的中点，所以直线CP与直线l垂直， 故直线CP方程为， 联立，解得，即．··············12分 则 ． 故为定值2． ····································15分 18．（17分）如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点． (1)证明：MN∥平面A'BE； (2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值． 【详解】（1）取的中点，的中点，由题意知，， 直角梯形中，四边形为正方形， 为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 平面，不在面内， 平面.····································6分 （2）连接，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，面， 平面， ，··············8分 ，， ，∵二面角为锐二面角，为等边三角形， 则， 设为平面的法向量，易知为平面的法向量， ，令··································12分 设平面与平面的夹角为， ， 平面与平面的夹角的正切值为.····································17分 19．（17分） 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计） (1)如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？ (2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？ 【详解】（1）如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为，m. 因为圆的半径为35m，圆心到地面的距离为40m，所以m. 从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得，则. ····································7分 （2）如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到. 过点正下方的地面点向作垂线，垂足为. 当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角. 题意得：, 其中，表示点和点构成的直线的斜率， 当直线的斜率取得最小值时，取最大值.································11分 因为点在单位圆上， 所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值. 设过点的直线方程为：， 由相切可得，解得，····································15分 则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是.····································17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 01 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．直线 1 : 1 0l x   与直线 2 : 3 2 0l x y   的夹角为（ ） A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 【答案】B 【详解】设两直线的倾斜角分别为 ,  ，由 1 : 1 0l x   ，则 π 2   ， 由 2 : 3 2 0l x y   ，则 3 tan 3   ，即 π 6   ， 则两直线夹角为 π π π 2 6 3      . 故选：B. 2．棱长为 2 的正四面体 ABCD中，点 E是 AD的中点，则 BA CE    （ ） A．1 B．－1 C． 3 D． 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【答案】A 【详解】CE CA AE     ，所以   2 2 cos60 2 1 cos120 1BA CE BA CA AE BA CA BA AE                        ． 故选：A． 3．若点  2,1A 在圆 2 2 2 2 5 0x y mx y     （m为常数）外，则实数m的取值范围为（ ） A．  , 2 B．  2, C．  , 2  D．  2,  【答案】C 【详解】由题意知 2 22 1 4 2 5 0m     ， 故 2m  ， 又由圆的一般方程 2 2 0x y Dx Ey F     ， 可得 2 2 4 0D E F   ，即 2 2( 2 ) ( 2) 4 5 0m      ， 即 2m   或 2m  ， 所以实数m的范围为 2m   . 故选：C. 4．已知两点    1,5 , 0,0A B ，若直线    : 1 2 2 2 6 0l k x k y k      与线段 AB有公共点，则直线 l斜率的 取值范围为（ ） A．   1,0 1,    B．   , 1 1,    C．   1 1, 1 0, ,1 2 2              D． 1 1 1, ,1 2 2           【答案】D 【解析】由直线    : 1 2 2 2 6 0l k x k y k      ， 变形可得  2 2 2 6 0x y k x y      ，由 2 2 0 2 6 0 x y x y        ，解得 2 2 x y    ， 可得直线 l恒过定点  2, 2P ， 则 5 2 2 0 1, 1 1 2 2 0PA PB k k           ， 又直线 l的斜率为 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 k k k       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 若直线 l与线段 AB有公共点，则直线 l斜率的取值范围为 1 1 1, ,1 2 2           .故选：D. 5．已知向量 p  以 , ,a b c  为基底时的坐标为  2, 3,3 ，则 p 以 2 , , 2    a b a b c 为基底时的坐标为（ ） A． 5 1 3 , , 2 2 2      B． 5 1 3 , , 3 3 2       C．  1,3,2 D．  1, 3, 2 【答案】B 【详解】因为向量 p  以 , ,a b c  为基底时的坐标为 2, 3,3 ， 所以 2 3 3p a b c      ， 设 ( 2 ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) 2p x a b y a b zc x y a y x b zc                    ， 由空间向量基本定理得 2 2 3 2 3 x y y x z         ，解得 5 3 1 3 3 2 x y z         ， 所以 p  以 2 , , 2    a b a b c 为基底时的坐标为 5 1 3, , 3 3 2       . 故选：B 6．直线 1 x y m n   与  1x y m n n m    在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知直线 1 x y m n   的斜率为 n m ，直线 1 x y n m   的斜率为 m n ， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于 1，一个小于 1， 检验 4 个选项，知只有 B 选项满足题意． 故选：B. 7．在三棱锥P ABC 中，PA，PB，PC两两垂直，且 2PA PB PC   .若M 为该三棱锥外接球上的一点， 则MB MC   的最大值为（ ） A．2 B．4 C．2 2 3 D．4 2 3 【答案】C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体体对角线 的交点，  0,0,0P ，𝐴(2,0,0)，  0,2,0B ，  0,0,2C ，  1,1,1O ，  , ,M x y z ， 设三棱锥外接球的半径为 R， 2 2 22 2 2 2 2 3R     ，则 3R  ，    MB MC MO OB MO OC          ，  2MO OB OC MO OB OC          ， 2 2 3MO R   ，  1,1, 1OB     ，  1, 1,1OC     ，  2,0,0OB OC     ， 1 1 1 1OB OC        ，   cos , 2 3 cos ,OB OC MO OB OC MO OB OC MO OB OC MO                  ， 所以 3 2 3 cos , 1 2 2 3 cos ,MB MC OB OC MO OB OC MO                ， 当cos , 1OB OC MO     时，MB MC   取得最大值2 2 3 . 故选：C 8．已知圆 C：   2 25 12 4x y    和两点  0,A b ，   0, 0B b b  ，若圆 C上存在点 P，使得 90APB  ， 则 b的取值范围为（ ） A． 11,15 B． 10,16 C． 8,12 D． 9,13 【答案】A 【详解】因为圆 C上存在点 P，使得 90APB  ， 所以，以 AB为直径的圆与圆C有交点， 又以 AB为直径的圆，圆心为𝑂(0,0)，半径为b，圆C的圆心为  5,12C  ，半径为 2， 所以 2 2OC b OC    ，即13 2 13 2b    ，即11 15b  . 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．在四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1CM MD   ， 14CQ QA   ，则（ ） A． 1 2 3 3 1 AM AB AD AA       B． 1 1 1 2 2 AM AB AD AA       C． 1 1 1 3 4 4 4 AQ AB AD AA       D． 1 1 1 4 5 5 5 AQ AB AD AA       【答案】BD 【详解】  112AM AB CM AB CBC AD CCD               1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 AD AA AD AB AB AB AA              ，故 A 错误、B 正确；  11 1 1 1 11 1 1 11 15 5A AQ AC AD CQ AA AA A C CA D                   1 1 11 1 1 45 5 5 5AA AA AAD AB A AB AD              ，故 C 错误、D 正确． 故选：BD． 10．以下四个命题叙述正确的是（ ） A．直线2 1 0x y   在 x轴上的截距是 1 B．直线 0x ky  和2 3 8 0x y   的交点为 P，且 P在直线 1 0x y   上，则 k的值是 1 2  C．设点 ( , )M x y 是直线 2 0x y   上的动点，O为原点，则 OM 的最小值是√2 D．直线  1 2: 3 1 0 : 2 1 1 0L ax y L x a y      ， ，若 1 2/ /L L ，则 3a   或 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【答案】BC 【详解】对于 A，直线2 1 0x y   在 x轴上的截距是 1 2  ，A 错误； 对于 B，由 2 3 8 0 1 0 x y x y        解得 1 2 x y      ，即 ( 1, 2)P   ，则 1 2 0k   ，解得 1 2 k   ，B 正确； 对于 C，依题意， min 2 2 2 2 1 1 OM     ，C 正确； 对于 D，当 2a  时，直线 1 2: 2 3 1 0, : 2 3 1 0L x y L x y      重合，D 错误. 故选：BC 11．在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 2 21 : ( 1) 2C x y   的动弦 AB，圆 2 2 2 : ( ) ( 2) 8C x a y    ，则下 列选项正确的是（ ） A．当圆 1C 和圆 2C 存在公共点时，则实数a的取值范围为[ 3,5] B． 1ABC 的面积最大值为 1 C．若原点O始终在动弦 AB上，则OA OB   不是定值 D．若动点 P满足四边形OAPB为矩形，则点 P的轨迹长度为2 3π 【答案】ABD 【详解】对于 A，圆 2 21 : ( 1) 2C x y   的圆心为(1,0)，半径为 2 ， 圆 2 22 : ( ) ( 2) 8C x a y    的圆心为  , 2a ，半径为2 2 ， 当圆 1C 和圆 2C 存在公共点时， 1 22 2 2 2 2 2C C    ， 所以  222 ( 1) 2 18a    ，解得 3 5a   ，所以实数a的取值范围为[ 3,5] ，正确； 对于 B， 1ABC 的面积为 1 1 1 1 2 2 sin sin 1 2ABC S AC B AC B        ， 当 1 π 2 AC B  时， 1ABC 的面积有最大值为 1，正确； 对于 C，当弦 AB垂直 x轴时，    0, 1 , 0,1A B ，所以  0 1 1 1OA OB         ， 当弦 AB不垂直 x轴时，设弦 AB所在直线为 y kx ， 与圆 2 2 1 : ( 1) 2C x y   联立得，  2 21 2 1 0k x x    ， 设 1 1 2 2( )A x y B x y, , ( , )， 则 1 2 2 1 1 x x k    ，    2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 211 1 11OA OB x x y y x x k x x k x x k k                 ， 综上 1OA OB     ，恒为定值，错误； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 对于 D，设𝑃(𝑥 , 𝑦 )，OP中点 0 0, 2 2 x y      ，该点也是 AB中点，且 2 20 0AB OP x y   ， 又 2 2 0 02 2 1 2 4 x y AB             ，所以 2 2 2 20 0 0 02 2 12 4 x y x y              ， 化简得  2 20 01 3x y   ，所以点 P的轨迹为以(1,0)为圆心，半径为 3的圆， 其周长为2 3π，正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．直线  3 sin 2 0x y    的倾斜角 的取值范围是 ． 【答案】 π 2π 0, , π 3 3            【详解】 tan 3 sin 3, 3       ，故 π 2π 0, , π 3 3             . 故答案为： π 2π 0, , π 3 3            . 13．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ABCD，ABEF的边长都是 1，且它们所在的平面互相垂直. 活动弹子M，N分别在正方形对角线 AC和 BF 上移动，且 CM和 BN 的长度保持相等，记 (0 2)CM BN a a    ，当 MN的长最小时，平面 MNA与平面MNB夹角的正弦值为 . 【答案】 2 2 2 ## 2 3 3 【详解】以 B为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 则 (1,0,0), (0,0,1), (1,1,0), (0,1,0)A C F E ， 因为CM BN a  ，所以 ( ,0,1 ), ( , ,0) 2 2 2 2 a a a a M N ， 所以 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 MN a a a      ， 当 2 2 a  时，MN最小，此时， ,M N 为中点，则 1 1 1 1 ( ,0, ), ( , ,0) 2 2 2 2 M N ， 取MN的中点G，连接 ,AG BG，则 1 1 1 ( , , ) 2 4 4 G ， 因为 AM AN ，BM BN ，所以 AG MN ， BG MN ， 所以 AGB 是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角， 因为 1 1 1 ( , , ) 2 4 4 GA     ， 1 1 1 ( , , ) 2 4 4 GB      ， 所以 1 1 1 · 14 16 16cos , 31 1 1 1 1 1· 4 16 16 4 16 16 GAGB GA GB GA GB                  ， 所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是 1 3 ， 所以平面MNA与平面MNB夹角的正弦值是 2 1 2 2 1 ( ) 3 3   ． 14．过直线 2y  上任意一点 P作圆O： 2 2 1x y  的两条切线，则切点分别是 ,A B，则 OAB 面积的最大值 为 . 【答案】 3 4 / 1 3 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【详解】 如图，设点 , 2P t（ ），因 ,OA PA OB PB  ,故点 ,A B在以OP为直径的圆C上， 因圆心 ( ,1) 2 t C ，半径为 2 4 2 t  ，故圆C的方程为： 2 2 2 4: ( ) ( 1) 2 4 t t C x y      ， 又圆O： 2 2 1x y  ，将两式左右分别相减，整理得直线 AB的方程为： : 2 1 0ABl tx y   ， 于是，点 (0,0)O 到直线 : 2 1 0ABl tx y   的距离为： 2 1 4 d t   ， 2 2 22 1 3 | | 2 1 ( ) 2 44 t AB tt      ， 故 OAB 的面积为： 2 2 2 22 1 1 3 1 3 = | | 2 2 2 4 44 AOB t t S AB d t tt           ， 不妨设 2 3,m t  则 3m  ，且 2 2 3t m  ，故 2 1 11AOB m S m m m     △ ， 因 1 y m m   在[ 3, ) 上单调递增，故 4 3 3 y  ，此时 3 4AOB S △ ， 即 0t  时，点 (0, 2)P 时， OAB 面积的最大值为 3 4 . 故答案为： 3 4 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知平面内两点  6, 6A  ，  2,2B ． (1)求过点  1,3P 且与直线 AB垂直的直线 l的方程． (2)若 ABC 是以C为顶点的等腰直角三角形，求直线 AC的方程． 【详解】（1）由题意得 6 2 2 6 2AB k       ，则直线 l的斜率为 1 2 ， 所以过点  1,3P 且与直线 AB垂直的直线 l的方程为：  13 1 2 y x   ， 即 2 5 0x y   ．····································5 分 （2） AB的中点坐标为  4, 2 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 由（1）可知线段 AB垂线的斜率为 1 2 ，所以线段 AB垂直平分线的方程为  12 4 2 y x   ， 即 2 8 0x y   ． 因为 ABC 是以C为顶点的等腰直角三角形， 所以点C在直线 2 8 0x y   上， 故设点C为  2 8,a a ， 由 CB CA可得： 6 2 1 2 8 6 2 8 2 a a a a          ， 解得 0a  或 4a   ，·······························10 分 所以点C坐标为  8,0 或  0, 4 ， 则直线 AC的方程为3 24 0x y   或 3 12 0x y   ．····································13 分 16．（15 分）如图，正四棱锥P ABCD 的底面边长和高均为 2，E，F分别为PD， PB的中点． (1)证明：EF PC ； (2)若点M是线段PC上的点，且 1 3 PM PC ，判断点M是否在平面 AEF 内，并证明你的结论； 【详解】（1）连接 AC、BD交于O，连接OP，由正四棱锥的性质可得 PO 平面 ABCD，底面 ABCD为正 方形，则 AC BD ， 所以以O为坐标原点，OA、OB、OP为 x、 y 、 z轴建立空间直角坐标系， 则 ( 2,0,0), (0, 2,0), (0,0, 2), ( 2,0,0), (0, 2,0)A B P C D  ， 2(0, ,1) 2 E  ， 2 (0, ,1) 2 F ， 则 (0, 2,0)EF   ， ( 2,0, 2)PC     ，则 0EF PC    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 所以EF PC .····································7 分 （2）由（1）知 2( 2, ,1) 2 AE     ， 2 ( 2, ,1) 2 AF    ， ( 2,0,2)AP    ， 1 1 4 4 ( 2,0, 2) ( 2,0, 2) ( 2,0, ) 3 3 3 3 AP PC          ， 又 1 3 PM PC    ，得 1 4 4 ( 2,0, ) 3 3 3 AM AP PM AP PC           ， ( 2 2,0, 2)AE AF     ，所以 2 2 3 3 AM AE AF     ， 所以A 、M 、E、F 四点共面，即点M 在平面 AEF 内．····································15 分 17．（15 分）已知直线 l过点  2,0A ，圆 C：    2 24 3 4   x y （C为圆心）． (1)若直线 l与圆 C相切，求直线 l的方程． (2)若直线 l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线 l与直线2 3 2 0x y   的交点为Q，判断 AP AQ 是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）若直线 l的斜率不存在，即直线 l的方程为 2x  ，符合题意； 若直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为  2y k x  ，即 2 0kx y k   ． 因为直线 l与圆 C相切，所以 2 4 3 2 2 1 k k k     ，解得 5 12 k   ． 故直线 l的方程为 2x  或5 12 10 0x y   ．····································6 分 （2）因为直线 l与圆 C相交，所以直线 l的斜率存在， 设直线 l的方程为 2 0kx y k   ． 联立 2 0 2 3 2 0 kx y k x y        ，解得 6 2 2 3 2 2 3 k x k k y k          ，即 6 2 2 , 2 3 2 3 k k Q k k         ．················9 分 因为 P为线段MN的中点，所以直线 CP与直线 l垂直， 故直线 CP方程为  13 4y x k     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 联立   2 0 1 3 4 kx y k y x k          ，解得 2 2 2 2 2 3 4 1 3 2 1 k k x k k k y k           ，即 2 2 2 2 2 3 4 3 2 , 1 1 k k k k P k k          ．··············12 分 则 2 2 2 22 2 2 2 2 3 4 3 2 6 2 2 2 2 1 1 2 3 2 3 k k k k k k AP AQ k k k k                                   2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 3 2 k k k k k           ． 故 AP AQ 为定值 2． ····································15 分 18．（17 分）如图，直角梯形 ACDE 中， 1 45 , 2, 2 A ED CD AC B     、M 分别为 AC、ED 边的中点， 将△ ABE 沿 BE 边折起到△ A'BE 的位置，N 为边 A'C 的中点． (1)证明：MN∥ 平面 A'BE； (2)当三棱锥 A BEN  的体积为 3 3 ，且二面角 A BE C   为锐二面角时，求平面 NBM 与平面 BEDC 夹角 的正切值． 【详解】（1）取 A B 的中点H ，BC的中点O，由题意知， 2CD ED BC   ， 直角梯形 ACDE中 / / ,BC ED BC CD ，四边形BEDC为正方形，  N 为 A C 的中点， / / / / ,NH BO EM NH BO EM   ， 四边形 EMNH 为平行四边形， / /EH NM ， EH  平面 A BE ，NM 不在面 A BE 内， / /MN 平面 A BE .····································6 分 （2）连接 A O ，则 AO BC  ，以OC为 x轴，OM 为 y 轴，OA为 z轴建立空间直角坐标系， ,BE A B BE BC  ， ,A B BC 面 A BN ， BE 平面 A BN ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 3 1 3 3A BEN E A BN A BN V V BE S         ， 3 2A BN S   ··············8 分 BA BC  ， 1 sin 2 3 2A BC A BN S BC A B A BC S           ， 3 sin 2 A BC   ，∵二面角 A BE C   为锐二面角， A BC 为等边三角形， 则 1 3 ( 1,0,0), (1,0,0), (0,0, 3), ( ,0, ), (0,2,0), (1, 2,0) 2 2 B C A N M D ， 设 1 1 1 1( , , )n x y z  为平面NBM 的法向量，易知 2 (0 0 1)，，n   为平面BCD的法向量， 1 1 1 1 1 1 3 30 0 2 2 0 2 0 n BN x z n BM x y                 ，令 1 12 (2, 1, 2 3)x n      ··································12 分 设平面NBM 与平面BEDC的夹角为 ， 1 2 1 2 2 3 2 51 cos 174 1 12 n n n n            ， 15tan 6   平面NBM 与平面BEDC的夹角的正切值为 15 6 .····································17 分 19．（17 分） 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏 东为 的笔直公路，其中 2 cos 7   .摩天轮近似为一个圆，其半径为35m，圆心O到地面的距离为 40m ，其 最高点为 A A， 点正下方的地面 B点与公路的距离为70m .甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲 乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 (1)如图所示，甲位于摩天轮的A 点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？ (2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？ 【详解】（1）如图所示，设公路所在直线为 l，过 B点作 l的垂线，垂直为D， 70BD  m. 因为圆的半径为 35m，圆心O到地面的距离为 40m，所以 75AB  m. 从甲看乙的最大俯角与 ADB 相等，由题意得 AB BD ，则 75 15 tan 70 14 AB ADB BD     . ····································7 分 （2）如图所示，设甲位于圆O上的 R点处，直线OF 垂直于OA且交圆O于F 点，射线OR可以看成是射线 OF 绕着O点按逆时针方向旋转 角度得到. 过 R点正下方的地面T 点向 l作垂线，垂足为S . 当 tan RST 取得最大值时， RST 即为从乙看甲的最大仰角. 题意得： 35sin 40 tan 2 70 35cos 7 RST        8 8 sin sin7 77 7 2 7 cos 2 7 cos               , 其中， 8 sin 7 7 cos      表示点  cos ,sin  和点 87, 7      构成的直线a的斜率， 当直线a的斜率取得最小值时， tan RST 取最大值.································11 分 因为点  cos ,sin  在单位圆 2 2 1x y  上， 所以当直线a与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值. 设过点 8 7, 7      的直线方程为：  8 7 7 y k x   ， 由相切可得 2 49 8 1 7 1 k k    ，解得 14 151 84 k    ，····································15 分 则直线a的斜率最小值为 14 151 84   ，代入可得 tan RST 取最大值是 14 151 24  .····································17 分 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷01 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C D B B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即．····································5分 （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或，·······························10分 所以点坐标为或， 则直线的方程为或．····································13分 16．（15分） 【详解】（1）连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则， 所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，    则，，， 则，，则， 所以.····································7分 （2）由（1）知，， ，， 又，得， ，所以， 所以、、、四点共面，即点在平面内．····································15分 17．（15分） 【详解】（1）若直线l的斜率不存在，即直线l的方程为，符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以，解得． 故直线l的方程为或．····································6分 （2）因为直线l与圆C相交，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为． 联立，解得，即．················9分 因为P为线段MN的中点，所以直线CP与直线l垂直， 故直线CP方程为， 联立，解得，即．··············12分 则 ． 故为定值2． ····································15分 18．（17分） 【详解】（1）取的中点，的中点，由题意知，， 直角梯形中，四边形为正方形， 为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 平面，不在面内， 平面.····································6分 （2）连接，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，面， 平面， ，··············8分 ，， ，∵二面角为锐二面角，为等边三角形， 则， 设为平面的法向量，易知为平面的法向量， ，令··································12分 设平面与平面的夹角为， ， 平面与平面的夹角的正切值为.····································17分 19．（17分） 【详解】（1）如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为，m. 因为圆的半径为35m，圆心到地面的距离为40m，所以m. 从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得，则. ····································7分 （2）如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到. 过点正下方的地面点向作垂线，垂足为. 当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角. 题意得：, 其中，表示点和点构成的直线的斜率， 当直线的斜率取得最小值时，取最大值.································11分 因为点在单位圆上， 所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值. 设过点的直线方程为：， 由相切可得，解得，····································15分 则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是.····································17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 01 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2023-2024学年高二数学上学期第一次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 3．若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 7．在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 8．已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 10．以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 11．在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线的倾斜角的取值范围是 ． 13．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 . 14．过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 16．（15分）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．    (1)证明：； (2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论； 17．（15分）已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 18．（17分）如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点． (1)证明：MN∥平面A'BE； (2)当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值． 19．（17分） 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计） (1)如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？ (2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？ 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2023-2024 学年高二数学上学期第一次月考卷 01 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．直线 1 : 1 0l x   与直线 2 : 3 2 0l x y   的夹角为（ ） A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 2．棱长为 2 的正四面体 ABCD中，点 E是 AD的中点，则 BA CE    （ ） A．1 B．－1 C． 3 D． 3 3．若点  2,1A 在圆 2 2 2 2 5 0x y mx y     （m为常数）外，则实数m的取值范围为（ ） A．  , 2 B．  2, C．  , 2  D．  2,  4．已知两点    1,5 , 0,0A B ，若直线    : 1 2 2 2 6 0l k x k y k      与线段 AB有公共点，则直线 l斜率 的取值范围为（ ） A．   1,0 1,    B．   , 1 1,    C．   1 1, 1 0, ,1 2 2              D． 1 1 1, ,1 2 2           5．已知向量 p  以 , ,a b c  为基底时的坐标为  2, 3,3 ，则 p 以 2 , ,2    a b a b c 为基底时的坐标为（ ） A． 5 1 3 , , 2 2 2      B． 5 1 3 , , 3 3 2       C．  1,3,2 D．  1, 3,2 6．直线 1 x y m n   与  1x y m n n m    在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．在三棱锥P ABC 中，PA，PB，PC两两垂直，且 2PA PB PC   .若M 为该三棱锥外接球上的一点， 则MB MC   的最大值为（ ） A．2 B．4 C．2 2 3 D．4 2 3 8．已知圆 C：   2 25 12 4x y    和两点  0,A b ，   0, 0B b b  ，若圆 C上存在点 P，使得 90APB  ， 则 b的取值范围为（ ） A． 11,15 B． 10,16 C． 8,12 D． 9,13 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．在四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1CM MD   ， 14CQ QA   ，则（ ） A． 1 2 3 3 1 AM AB AD AA       B． 1 1 1 2 2 AM AB AD AA       C． 1 1 1 3 4 4 4 AQ AB AD AA       D． 1 1 1 4 5 5 5 AQ AB AD AA       10．以下四个命题叙述正确的是（ ） A．直线2 1 0x y   在 x轴上的截距是 1 B．直线 0x ky  和2 3 8 0x y   的交点为 P，且 P在直线 1 0x y   上，则 k的值是 1 2  C．设点 ( , )M x y 是直线 2 0x y   上的动点，O为原点，则 OM 的最小值是√2 D．直线  1 2: 3 1 0 : 2 1 1 0L ax y L x a y      ， ，若 1 2/ /L L ，则 3a   或 2 11．在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 2 21 : ( 1) 2C x y   的动弦 AB，圆 2 2 2 : ( ) ( 2) 8C x a y    ，则下 列选项正确的是（ ） A．当圆 1C 和圆 2C 存在公共点时，则实数 a的取值范围为[ 3,5] 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … B． 1ABC 的面积最大值为 1 C．若原点O始终在动弦 AB上，则OA OB   不是定值 D．若动点 P满足四边形OAPB为矩形，则点 P的轨迹长度为2 3π 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．直线  3 sin 2 0x y    的倾斜角 的取值范围是 ． 13．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ABCD，ABEF的边长都是 1，且它们所在的平面互相垂直. 活动弹子M，N分别在正方形对角线 AC和 BF 上移动，且 CM和 BN 的长度保持相等，记 (0 2)CM BN a a    ，当 MN的长最小时，平面 MNA与平面MNB夹角的正弦值为 . 14．过直线 2y  上任意一点 P作圆O： 2 2 1x y  的两条切线，则切点分别是 ,A B，则 OAB 面积的最大 值为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）已知平面内两点  6, 6A  ，  2,2B ． (1)求过点  1,3P 且与直线 AB垂直的直线 l的方程． (2)若 ABC 是以C为顶点的等腰直角三角形，求直线 AC 的方程． 16．（15 分）如图，正四棱锥P ABCD 的底面边长和高均为 2，E，F分别为PD， PB的中点． (1)证明：EF PC ； (2)若点M是线段PC上的点，且 1 3 PM PC ，判断点M是否在平面 AEF 内，并证明你的结论； 17．（15 分）已知直线 l过点  2,0A ，圆 C：    2 24 3 4   x y （C为圆心）． (1)若直线 l与圆 C相切，求直线 l的方程． (2)若直线 l与圆 C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线 l与直线2 3 2 0x y   的交点为 Q，判断 AP AQ 是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 18．（17 分）如图，直角梯形 ACDE 中， 1 45 , 2, 2 A ED CD AC B     、M 分别为 AC、ED 边的中 点，将△ ABE 沿 BE 边折起到△ A'BE 的位置，N 为边 A'C 的中点． (1)证明：MN∥ 平面 A'BE； (2)当三棱锥 A BEN  的体积为 3 3 ，且二面角 A BE C   为锐二面角时，求平面 NBM 与平面 BEDC 夹角 的正切值． 19．（17 分） 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北 偏东为 的笔直公路，其中 2 cos 7   .摩天轮近似为一个圆，其半径为 35m，圆心O到地面的距离为 40m ， 其最高点为 A A， 点正下方的地面 B点与公路的距离为70m .甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便， 甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计） (1)如图所示，甲位于摩天轮的A 点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？ (2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？