高二数学第一次月考卷（湘教版2019选择性必修第一册，数列+直线）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第一次月考

2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+直线方程。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【详解】由题知，所以， 故选：B. 2．经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 3．已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（   ） A．1012 B．1011 C．2023 D． 【答案】D 【详解】设数列的公差为d，则解得 所以，设， 所以，，…， 所以数列的前2023项和为. 故选：D 4．已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为q， 若成等差数列，可得：， 当时，此时恒成立， 即为，得，即，显然不成立； 当时，即为：，其中， 得，得或（舍去）， ， 故选：A. 5．过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，，到它的距离分别为1，3，不合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，到它的距离相等得，解得或，即直线方程为或. 故选：C. 6．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，    故选：C. 7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【详解】解：由题意，动直线过定点， 直线可化为，令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D. 8．已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则（    ） A．37 B．38 C．39 D．40 【答案】B 【详解】因为， 当时，，，. 当时，由及，即，所以， 所以数列是以为首项､1为公差的等差数列，因此，则， ， 又当时，， ， 对于， ， 即， . 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C．对任意的， D．对任意的， 【答案】ACD 【详解】数列中，由，得，则是公差为1的等差数列， 由，得，解得， 因此， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，显然数列单调递增，由，得，因此，C正确； 对于D，由等差数列的性质得成等差数列，则，D正确. 故选：ACD 10．设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】A中：直线：，令，则，则定点， ：，化简得，令，则，则， 当时，直线：，直线：，此时两直线垂直， 当，，显然，两直线垂直， 综上两直线互相垂直，则； B中：， 当且仅当时等号成立，B对； C中：由，知：知：，当且仅当时等号成立，C对. 对于D，在中，， 设，，， 所以，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BCD． 11．已知数列，，满足，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，， 所以，又，显然，所以， 所以单调递增，则单调递减， 即，所以①， 由，设， 即、为关于的方程的两根，所以， 即，则，代入①得，故B正确； 当时，所以， 所以， 所以，，，， 所以，则， 所以，所以，故A正确； 因为单调递增，所以，又因为函数在上单调递增， 所以， 所以， 所以，故C错误； 因为 ， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 【答案】/ 【详解】由于与平行，则，即，解得或， 当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意； 当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意； 综上所述：，两直线方程分别为， 所以直线与的距离为. 故答案为：. 13．已知函数，数列满足，，，则 ． 【答案】2 【详解】由题意可知：的定义域为， 且，即， 可知为定义在上的奇函数； 且， 因为在上单调递增，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增，且为奇函数. 因为，则， 可得，即， 由可知：3为数列的周期，则， 且，所以. 故答案为：2. 14．已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为 . 【答案】9 【详解】因为由得：， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 所以， 所以等价， 由知，满足正整数n的最小值为9. 故答案为：9. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 【详解】（1）在等差数列中，由，得，解得， ………….(3分) 而，因此数列的公差， ………….(4分) 所以. ………….(6分) （2）由（1）知，数列是递减数列，由，得， ………….(8分) 因此数列的前8项都为正，从第9项起为负，则数列的前8项和最大， ………….(10分) 而，所以. ………….(13分) 16．（15分）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【解析】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和，............................................................3分 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为.............................................................7分 （2）由（1）知，，， 所以的面积，.....................10分 当且仅当即时，等号成立，............................................................12分 的点斜式方程为，即， 所以的斜截式方程为.............................................................15分 17．（15分）已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)在数列中，，，求的通项公式； (3)记数列满足，求数列的前项和. 【详解】（1）， 变形得：， ………….(2分) 又，故，所以是首项为3，公比为3的等比数列. ………….(3分) 从而，即. ………….(4分) （2）由题意可得， ………….(5分) 所以当时，，，，， 上式累加可得， ， ………….(8分) 又，所以， 当时，满足上式， 所以 ………….(9分) （3）由（1）、（2）知， ………….(10分) 则在前项中， , ………….(11分) , 作差得 . . ………….(14分) 从而. ………….(15分) 18．（17分）如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【详解】（1）显然直线斜率存在，设直线方程为， ………….(1分) 则直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点， ………….(2分) 于是得，解得， 所以直线斜率为； ………….(4分) （2）由（1）知直线的方程为：，即，， 因，则， ………….(7分) 又，则与相似， 于是有，即，得，此时点为线段中点， 所以时，点为线段中点，且； ………….(9分) （3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，由(1)知直线的方程为：，如图， 当时，而点在轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合， 设，因，则， 于是有，解得，此时， ………….(11分) 当时，由，知四边形为正方形， 设，则， 于是有，解得，此时， ………….(13分) 当时，由，得，即， 设，则，直线上点， 显然直线斜率为-1，则斜率必为1， 即，解得，此时， ………….(16分) 综上，轴上存在点或或使为等腰直角三角形. ………….(17分) 19．（17分）已知和是无穷的非常数数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意一项，在中都存在两项，使得． (1)若，证明：数列满足性质①②； (2)若是单调数列，且满足性质①②，判断是否为等差数列，并说明理由； (3)若数列和满足（2）的条件，记（表示x，y，z，…中的最大者），证明：下列两个结论必有一个成立． （ⅰ）对任意的正数M，存在正整数m，当时，； （ⅱ）存在正整数m，使得，，，…是等差数列． 【详解】（1）因为，，， 所以，所以具有性质①． ………….(1分) 因为，，，，， 所以具有性质②． ………….(3分) （2）假设是单调递增数列． 首先利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， 所以，故， ………….(4分) 此时必有，，即， 即，，成等差数列，不妨设，． 然后利用性质①：取，，则， 即数列中必然存在一项的值为． ………….(6分) 下面证明， 若，则由数列的单调性可知． 在性质②中，取，则，从而， 则． ………….(7分) 若，，则，与假设矛盾； 若，，则，与假设矛盾； 若，，则，与数列的单调性矛盾． 故不存在满足题意的正整数k，l，可见不成立，从而． 同理可得，，…，从而为等差数列． 是单调递减数列时同理可证，故为等差数列． ………….(9分) （3）设和的公差分别为，， 则． 所以当时，；当时，. ………….(11分) ①当时，取正整数，则当时，，因此， 此时，，，…是等差数列． ………….(13分) ②当，且时，有． 所以 ． 对任意的正数M，取正整数，当时，有． ………….(16分) 所以题中的两个结论必有一个成立． ………….(17分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+直线方程。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知数列√2，2，√6，2√2，√10，2√3，…，则这个数列的第 25 项为（ ） A．2√13 B．5√2 C．7 D．4√3 【答案】B 【详解】由题知𝑎 = √2𝑛, 𝑛 ∈ N∗，所以𝑎 = √2 × 25 = 5√2， 故选：B. 2．经过两点𝐴(2, 𝑚), 𝐵(−𝑚, 4)的直线𝑙的倾斜角为135∘，则𝑚的值为（ ） A．-2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【详解】经过两点𝐴(2, 𝑚), 𝐵(−𝑚, 4)的直线𝑙的斜率为𝑘 = ， 又直线𝑙的倾斜角为135∘，所以 = tan135∘ = −1，解得𝑚 = 1. 故选：B. 3．已知等差数列{𝑎 }中，𝑎 + 𝑎 = 𝑎 + 7，𝑎 = 19，则数列{𝑎 cos𝑛π}的前 2023 项和为（ ） A．1012 B．1011 C．2023 D．−2023 【答案】D 【详解】设数列{𝑎 }的公差为 d，则 2𝑎 + 6𝑑 = 𝑎 + 3𝑑 + 7, 𝑎 + 9𝑑 = 19, 解得 𝑎 = 1, 𝑑 = 2, 所以𝑎 = 2𝑛 − 1，设𝑏 = 𝑎 cos𝑛π， 所以𝑏 + 𝑏 = 𝑎 cosπ + 𝑎 cos2π = 2，𝑏 + 𝑏 = 𝑎 cos3π + 𝑎 cos4π = 2，…， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 所以数列{𝑎 cos𝑛π}的前 2023 项和为(𝑏 + 𝑏 ) + (𝑏 + 𝑏 ) + ⋯ + (𝑏 + 𝑏 ) + 𝑏 = 2 × + (2 × 2023 − 1)cos2023π = −2023. 故选：D 4．已知数列{𝑎 }为等比数列，𝑆 为数列{𝑎 }的前 n项和.若3𝑎 ,𝑎 ,5𝑎 成等差数列，则 =（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列{𝑎 }的公比为 q， 若3𝑎 ,𝑎 ,5𝑎 成等差数列，可得：2𝑎 = 3𝑎 + 5𝑎 ， 当𝑞 = 1时，此时𝑎 = 𝑎 ≠ 0(𝑛 ∈ 𝐍∗)恒成立， 2𝑎 = 3𝑎 + 5𝑎 即为2𝑎 = 3𝑎 + 5𝑎 ，得6𝑎 = 0，即𝑎 = 0，显然不成立； 当𝑞 ≠ 1时，2𝑎 = 3𝑎 + 5𝑎 即为：2𝑎 𝑞 = 3𝑎 𝑞 + 5𝑎 𝑞 ，其中𝑎 ≠ 0,𝑞 ≠ 0， 得2𝑞 − 5𝑞 − 3 = 0，得𝑞 = 3或− （舍去）， = = ( ) ( ) = ( ) = ， 故选：A. 5．过点𝑃(1,1)引直线，使𝐴(2,3)，𝐵(4, −5)到它的距离相等，则该直线的方程是（ ） A．4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 B．𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 C．𝑥 + 𝑦 − 2 = 0或4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 D．𝑥 + 𝑦 − 2 = 0或𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 【答案】C 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为𝑥 = 1，𝐴(2,3)，𝐵(4, −5)到它的距离分别为 1，3，不合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为𝑦 − 1 = 𝑘(𝑥 − 1)，即𝑘𝑥 − 𝑦 − 𝑘 + 1 = 0，由𝐴(2,3)，𝐵(4, −5)到它的距 离相等得 | | √ = | | √ ，解得𝑘 = −1或−4，即直线方程为𝑥 + 𝑦 − 2 = 0或4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0. 故选：C. 6．已知    2,3 , 1, 2A B  ，若点  ,P x y 在线段 AB上，则 3 y x  的最小值为（ ） A．1 B． 3 5 C． 3- D． 1 2  【答案】C 【详解】如图，因为 3 y x  表示点𝑃(𝑥, 𝑦)和点 (3,0)E 连线的斜率， 又    2,3 , 1,2A B  ，所以 3 0 3 2 3AE k      ， 2 0 1 1 3 2BE k       ， 由图知， 3 y x  的最小值为 3 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 故选：C. 7．设𝑚 ∈ 𝑅，过定点𝐴的动直线𝑥 + 𝑚𝑦 + 1 = 0和过定点𝐵的动直线𝑚𝑥 − 𝑦 − 2𝑚 + 3 = 0交于点𝑃(𝑥, 𝑦)，则 |𝑃𝐴| + |𝑃𝐵|的最大值（ ） A．2√5 B．3√2 C．3 D．6 【答案】D 【详解】解：由题意，动直线𝑥 + 𝑚𝑦 + 1 = 0过定点𝐴(−1,0)， 直线𝑚𝑥 − 𝑦 − 2𝑚 + 3 = 0可化为(𝑥 − 2)𝑚 + 3 − 𝑦 = 0，令 𝑥 − 2 = 0 3 − 𝑦 = 0 ，可得𝐵(2,3)， 又1 × 𝑚 + 𝑚 × (−1) = 0，所以两动直线互相垂直，且交点为𝑃， 所以|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵| = |𝐴𝐵| = (−1 − 2) + (0 − 3) = 18， 因为 | | | | ≥ | | | | ， 所以|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵| ≤ 2(|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵| ) = √2 × 18 = 6，当且仅当|𝑃𝐴| = |𝑃𝐵| = 3时取等号. 故选：D. 8．已知正项数列{𝑎 }的前𝑛项和𝑆 满足2𝑆 = 𝑎 + 𝑛 ∈ 𝑁* ，若𝑓(𝑛) = + + + ⋯ + ，记[𝑚]表示 不超过𝑚的最大整数，则[𝑓(400)] =（ ） A．37 B．38 C．39 D．40 【答案】B 【详解】因为2𝑆 = 𝑎 + 𝑛 ∈ 𝑁* ， 当𝑛 = 1时，2𝑎 = 𝑎 + ，∵ 𝑎 > 0，∴ 𝑎 = 1. 当𝑛 ≥ 2时，由2𝑆 = 𝑎 + 及𝑎 = 𝑆 − 𝑆 ，即2𝑆 = 𝑆 − 𝑆 + ，所以𝑆 − 𝑆 = 1， 所以数列{𝑆 }是以𝑆 = 𝑎 = 1为首项､1 为公差的等差数列，因此𝑆 = 1 + (𝑛 − 1) × 1 = 𝑛，则𝑆 = √𝑛， ∴ 𝑓(𝑛) = + + + ⋯ + = 1 + √ + √ + ⋯ + √ ， 又当𝑛 ≥ 2时， √ = √ < √ √ = 2 √𝑛 − √𝑛 − 1 ， ∴ 𝑓(400) < 1 + 2 × √2 − 1 + 2 × √3 − √2 + ⋯ + 2 × √400 − √399 = 1 + 2 × √400 − 1 = 39， 对于𝑛 ∈ 𝑁*, √ = √ > √ √ = 2 √𝑛 + 1 − √𝑛 ， ∴ 𝑓(400) > 2 × √2 − 1 + √3 − √2 + ⋯ + √401 − √400 = 2 √401 − 1 > 38， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 即38 < 𝑓(400) < 39， ∴ [𝑓(400)] = 38. 故选：B. 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．设数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，𝑎 = 𝑎 + 1，𝑆 = −35，则（ ） A．𝑎 = −3 B．𝑆 = 𝑆 C．对任意的𝑛 ∈ 𝑁 ，𝑆 ≥ 𝑆 D．对任意的𝑚 ∈ 𝑁 ，3𝑆 + 𝑆 = 3𝑆 【答案】ACD 【详解】数列{𝑎 }中，由𝑎 = 𝑎 + 1，得𝑎 − 𝑎 = 1，则{𝑎 }是公差为 1 的等差数列， 由𝑆 = −35，得5𝑎 + × 𝑑 = −35，解得𝑎 = −9， 因此𝑎 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 = 𝑛 − 10, 𝑆 = ( ) = ， 对于 A，𝑎 = −3，A 正确； 对于 B，𝑆 = −44, 𝑆 = −42，B 错误； 对于 C，显然数列{𝑎 }单调递增，由𝑎 ≥ 0，得𝑛 ≥ 10，因此𝑆 ≥ 𝑆 = 𝑆 ，C 正确； 对于 D，由等差数列的性质得𝑆 , 𝑆 − 𝑆 , 𝑆 − 𝑆 (𝑚 ∈ 𝑁 )成等差数列，则3𝑆 + 𝑆 = 3𝑆 ，D 正确. 故选：ACD 10．设𝑘 ∈ 𝑅，过定点 A 的动直线𝑙 ：𝑥 + 𝑘𝑦 = 0与过定点 B的动直线𝑙 ：𝑘𝑥 − 𝑦 + 3 − 𝑘 = 0交于点 P，则下 列说法正确的有（ ） A．|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵| = 16 B．△ 𝑃𝐴𝐵面积的最大值为 C． | | + | | ≥ √ D．|𝑃𝐴| + √3|𝑃𝐵|的最大值为2√10 【答案】BCD 【详解】A 中：直线𝑙 ：𝑥 + 𝑘𝑦 = 0，令𝑦 = 0，则𝑥 = 0，则定点𝐴(0,0)， 𝑙 ：𝑘𝑥 − 𝑦 + 3 − 𝑘 = 0，化简得𝑘(𝑥 − 1) − 𝑦 + 3 = 0，令𝑥 = 1，则𝑦 = 3，则𝐵(1,3)， 当𝑘 = 0时，直线𝑙 ：𝑥 = 0，直线𝑙 ：𝑦 = 3，此时两直线垂直， 当𝑘 ≠ 0，𝑘 = − , 𝑘 = 𝑘，显然𝑘 ⋅ 𝑘 = −1，两直线垂直， 综上两直线互相垂直，则|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵| = |𝐴𝐵| = 10； B 中：𝑆△ = |𝑃𝐴| ⋅ |𝑃𝐵| ≤ × | | | | = × = ， 当且仅当|𝑃𝐴| = |𝑃𝐵| = √5时等号成立，B 对； C 中：由𝑎 > 0，𝑏 > 0知： ≤ 知： | | + | | ≥ | | | | = √5，当且仅当|𝑃𝐴| = |𝑃𝐵| = √5时等 号成立，C 对. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 对于 D，在Rt △ 𝐴𝐵𝑃中，|𝐴𝑃| + |𝐵𝑃| = |𝐴𝐵| = (1 − 0) + (3 − 0) = 10， 设|𝐴𝑃| = √10cos𝜃，|𝐵𝑃| = √10sin𝜃，𝜃 ∈ 0, π ， 所以|𝐴𝑃| + √3|𝐵𝑃| = 2√10sin 𝜃 + π ≤ 2√10，当且仅当𝜃 = π 时等号成立，故 D 正确． 故选：BCD． 11．已知数列{𝑎 }，{𝑏 }，满足𝑎 = 𝑎 + = 𝑏 + 𝑛 ∈ 𝑁* ，𝑎 = 𝑏 = 1，当𝑛 ≥ 2时，𝑎 ≠ 𝑏 ，则 （ ） A．𝑎 > 8 B．𝑎 + > 𝑎 + C．𝑎 + 𝑏 < 𝑏 + 𝑎 D．(𝑎 + 𝑎 )(𝑏 + 𝑏 ) ≥ 4 【答案】ABD 【详解】由𝑎 = 𝑎 + = 𝑏 + 𝑛 ∈ 𝑁* ，𝑎 = 𝑏 = 1， 所以𝑎 = 𝑎 + = 2，又𝑎 = 𝑎 + ，显然𝑎 > 0，所以𝑎 − 𝑎 = > 0， 所以{𝑎 }单调递增，则 单调递减， 即𝑎 − 𝑎 > 𝑎 − 𝑎 ，所以2𝑎 > 𝑎 + 𝑎 ①， 由𝑎 + = 𝑏 + ，设𝑎 + = 𝑏 + = 𝑘(𝑘 > 0)， 即𝑎 、𝑏 为关于𝑥的方程𝑥 − 𝑘𝑥 + 1 = 0的两根，所以𝑎 𝑏 = 1， 即𝑎 = ，则𝑎 = ，代入①得𝑎 + > 𝑎 + ，故 B 正确； 当𝑛 ≥ 2时𝑎 = 𝑎 + ，所以𝑎 = 𝑎 + 2 + ， 所以𝑎 − 𝑎 = 2 + > 2， 所以𝑎 − 𝑎 > 2，𝑎 − 𝑎 > 2，⋯ ⋯，𝑎 − 𝑎 = 3， 所以𝑎 − 𝑎 > 2𝑛 − 1，则𝑎 > 2𝑛， 所以𝑎 > 2 × 32 = 64，所以𝑎 > 8，故 A 正确； 因为{𝑎 }单调递增，所以𝑎 > 𝑎 ，又因为函数𝑓(𝑥) = 𝑥 − 在(0, +∞)上单调递增， 所以𝑎 − > 𝑎 − ， 所以𝑎 − 𝑏 > 𝑎 − 𝑏 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 所以𝑎 + 𝑏 > 𝑎 + 𝑏 ，故 C 错误； 因为(𝑎 + 𝑎 )(𝑏 + 𝑏 ) = 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 = 2 + 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 ≥ 2 + 2 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 = 4， 当且仅当𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 时取等号，故 D 正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．若直线𝑙 : 𝑎𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0与直线𝑙 : 𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 − 𝑎 − 1 = 0平行，则直线𝑙 与𝑙 的距离为 . 【答案】 √ / √5 【详解】由于𝑙 与𝑙 平行，则𝑎(𝑎 − 1) = 2，即𝑎 − 𝑎 − 2 = 0，解得𝑎 = −1或𝑎 = 2， 当𝑎 = 2时，两直线方程分别为2𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0, 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0，此时两直线重合，不符合题意； 当𝑎 = −1时，两直线方程分别为𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0, 𝑥 − 2𝑦 = 0，此时两直线平行，符合题意； 综上所述：𝑎 = −1，两直线方程分别为𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0, 𝑥 − 2𝑦 = 0， 所以直线𝑙 与𝑙 的距离为𝑑 = | | ( ) = √ . 故答案为： √ . 13．已知函数𝑓(𝑥) = ，数列{𝑎 }满足𝑎 = 𝑎 = 1，𝑎 = 𝑎 (𝑛 ∈ 𝑁∗)，𝑓(𝑎 ) + 𝑓(𝑎 + 𝑎 ) = 0，则 ∑ 𝑎 = ． 【答案】2 【详解】由题意可知：𝑓(𝑥)的定义域为𝑅， 且𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥) = + = + = 0，即𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥)， 可知𝑓(𝑥)为定义在𝑅上的奇函数； 且𝑓(𝑥) = = 1 − ， 因为𝑦 = 3 在𝑅上单调递增，可知𝑓(𝑥)在𝑅上单调递增； 综上所述：𝑓(𝑥)在𝑅上单调递增，且为奇函数. 因为𝑓(𝑎 ) + 𝑓(𝑎 + 𝑎 ) = 0，则𝑓(𝑎 + 𝑎 ) = −𝑓(𝑎 ) = 𝑓(−𝑎 )， 可得𝑎 + 𝑎 = −𝑎 ，即𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 0， 由𝑎 = 𝑎 (𝑛 ∈ 𝑁∗)可知：3 为数列{𝑎 }的周期，则𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 0， 且2024 = 3 × 674 + 2，所以∑ 𝑎 = 𝑎 + 𝑎 = 2. 故答案为：2. 14．已知数列{𝑎 }，其中𝑎 = 1，满足𝑎 = 2𝑎 + 2𝑛 − 1(𝑛 ∈ N∗)，设𝑆 为数列{𝑎 }的前 n项和，当不等 式𝑆 + 4 + 𝑛 + 2𝑛 > 2025成立时，正整数 n的最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【答案】9 【详解】因为由𝑎 = 2𝑎 + 2𝑛 − 1得：𝑎 + 2(𝑛 + 1) + 1 = 2(𝑎 + 2𝑛 + 1)， 又𝑎 + 3 = 4，所以数列{𝑎 + 2𝑛 + 1}是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以𝑎 + 2𝑛 + 1 = 4 ⋅ 2 = 2 ，所以𝑎 = 2 − 2𝑛 − 1. 所以𝑆 = ( ) − 2 × ( ) − 𝑛 = 2 − 𝑛 − 2𝑛 − 4， 所以𝑆 + 4 + 𝑛 + 2𝑛 > 2025等价2 > 2025， 由2 = 2048知，满足2 > 2025正整数 n的最小值为 9. 故答案为：9. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知𝑆 为等差数列{𝑎 }的前𝑛项和，且𝑎 = 11, 𝑆 = 98. (1)求{𝑎 }的通项公式; (2)求𝑆 的最大值. 【详解】（1）在等差数列{𝑎 }中，由𝑆 = 98，得 ( ) = 7𝑎 = 98，解得𝑎 = 14， ………….(3 分) 而𝑎 = 11，因此数列{𝑎 }的公差𝑑 = 𝑎 − 𝑎 = −3， ………….(4 分) 所以𝑎 = 𝑎 + (𝑛 − 4)(−3) = 14 − 3(𝑛 − 4) = −3𝑛 + 26. ………….(6 分) （2）由（1）知，数列{𝑎 }是递减数列，由𝑎 ≥ 0，得𝑛 ≤ ， ………….(8 分) 因此数列{𝑎 }的前 8 项都为正，从第 9 项起为负，则数列{𝑎 }的前 8 项和最大， ………….(10 分) 而𝑎 = 23, 𝑎 = 2，所以(𝑆 ) = 𝑆 = ( ) = 100. ………….(13 分) 16．（15 分）已知直线 l经过点  1,2P  . (1)若 l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求 l的点斜式方程； (2)设 l的斜率 0,k l 与两坐标轴的交点分别为A 、B，当 AOB 的面积最小时，求 l的斜截式方程. 【解析】（1）由题意知， l的斜率存在且不为 0， 设斜率为 k，则 l的点斜式方程为  2 1y k x   ， 则它在两坐标轴上截距分别为 2 1 k   和 2k  ，............................................................3 分 所以 2 1 2 0k k      ，解得 2k   （此时直线过原点，舍去）或 1k  ， 所以 l的点斜式方程为 2 1y x   .............................................................7 分 （2）由（1）知，  2 1,0 , 0, 2A B k k        ，  0k  ， 所以 AOB 的面积 21 2 ( 2) 2 2 1 2 2 2 2 4 2 2 2 2 k k k S k k k k k               ，.....................10 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 当且仅当 2 2 k k  即 2k  时，等号成立，............................................................12 分 l的点斜式方程为  2 2 1y x   ，即 2 4y x  ， 所以 l的斜截式方程为 2 4y x  .............................................................15 分 17．（15 分）已知数列{𝑎 }满足𝑎 = 4，且𝑎 = 3𝑎 − 2𝑛 + 1. (1)证明：{𝑎 − 𝑛}是等比数列，并求{𝑎 }的通项公式； (2)在数列{𝑏 }中，𝑏 = 1，𝑏 = 𝑏 + ( ) ，求{𝑏 }的通项公式； (3)记数列{𝑐 }满足𝑐 = 𝑛𝑏 , 𝑛为奇数 𝑛(𝑎 − 𝑛), 𝑛为偶数 ，求数列{𝑐 }的前2𝑛项和𝑇 . 【详解】（1）𝑎 = 3𝑎 − 2𝑛 + 1， 变形得：𝑎 − (𝑛 + 1) = 3𝑎 − 3𝑛 = 3(𝑎 − 𝑛)， ………….(2 分) 又𝑎 − 1 = 3 ≠ 0，故 ( ) = 3，所以{𝑎 − 𝑛}是首项为 3，公比为 3 的等比数列. ………….(3 分) 从而𝑎 − 𝑛 = 3 ，即𝑎 = 3 + 𝑛. ………….(4 分) （2）由题意可得𝑏 − 𝑏 = ( ) = − ， ………….(5 分) 所以当𝑛 ≥ 2时，𝑏 − 𝑏 = 1 − ，𝑏 − 𝑏 = − ，⋯，𝑏 − 𝑏 = − ， 上式累加可得，𝑏 − 𝑏 = (𝑏 − 𝑏 ) + (𝑏 − 𝑏 ) + ⋯ + (𝑏 − 𝑏 ) = 1 − + − + ⋯ + − = 1 − ， ………….(8 分) 又𝑏 = 1，所以𝑏 = 2 − = ， 当𝑛 = 1时，𝑏 = 1满足上式， 所以𝑏 = ………….(9 分) （3）由（1）、（2）知𝑐 = 2𝑛 − 1, 𝑛为奇数 𝑛3 , 𝑛为偶数 ， ………….(10 分) 则在前2𝑛项中， 𝑇奇 = 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 + ⋯ + 𝑐 = 𝑛 + ( ) × 4 = 2𝑛 − 𝑛, ………….(11 分) 𝑇偶 = 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 + ⋯ + 𝑐 = 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 + 6 ⋅ 3 + ⋯ + 2𝑛 ⋅ 3 = 2 ⋅ 9 + 4 ⋅ 9 + 6 ⋅ 9 + ⋯ + 2𝑛 ⋅ 9 9𝑇偶 = 2 ⋅ 9 + 4 ⋅ 9 + 6 ⋅ 9 + ⋯ + 2𝑛 ⋅ 9 , 作差得 −8𝑇偶 = 2 ⋅ 9 + 2 ⋅ 9 + 2 ⋅ 9 + 2 ⋅ 9 + ⋯ + 2 ⋅ 9 − 2𝑛 ⋅ 9 = ( ) − 2𝑛 ⋅ 9 . 𝑇偶 = ( ) . ………….(14 分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 从而𝑇 = 2𝑛 − 𝑛 + ( ) . ………….(15 分) 18．（17 分）如图直线𝑙过点(3，4)，与𝑥轴、𝑦轴的正半轴分别交于𝐴、𝐵两点，△ 𝐴𝑂𝐵的面积为 24.点𝑃为线 段𝐴𝐵上一动点，且𝑃𝑄//𝑂𝐵交𝑂𝐴于点𝑄. （1）求直线𝐴𝐵斜率的大小； （2）若△ 𝐴𝑃𝑄的面积𝑆△ 与四边形𝑂𝑄𝑃𝐵的面积𝑆 满足：𝑆△ = 𝑆 时，请你确定𝑃点在𝐴𝐵上的 位置，并求出线段𝑃𝑄的长； （3）在𝑦轴上是否存在点𝑀，使△ 𝑀𝑃𝑄为等腰直角三角形，若存在，求出点𝑀的坐标；若不存在，说明理 由. 【详解】（1）显然直线𝑙斜率存在，设直线𝑙方程为𝑦 − 4 = 𝑘(𝑥 − 3)， ………….(1 分) 则直线𝑙交𝑥轴的正半轴于点𝐴 3 − , 0 ，交𝑦轴的正半轴于点𝐵(0,4 − 3𝑘)， ………….(2 分) 于是得𝑆△ = 3 − (4 − 3𝑘) = 24，解得𝑘 = − ， 所以直线𝐴𝐵斜率为− ； ………….(4 分) （2）由（1）知直线𝑙的方程为：𝑦 − 4 = − (𝑥 − 3)，即4𝑥 + 3𝑦 − 24 = 0，𝐵(0,8)， 因𝑆△ = 𝑆 ，则𝑆△ = 𝑆△ ， ………….(7 分) 又𝑃𝑄//𝑂𝐵，则△ 𝐴𝑃𝑄与△ 𝐴𝐵𝑂相似， 于是有 = △ △ = ，即 = ，得𝑃𝑄 = 4，此时点𝑃为线段𝐴𝐵中点， 所以𝑆△ = 𝑆 时，点𝑃为线段𝐴𝐵中点，且𝑃𝑄 = 4； ………….(9 分) （3）假定在𝑦轴上存在点𝑀，使△ 𝑀𝑃𝑄为等腰直角三角形，由(1)知直线𝑙的方程为：4𝑥 + 3𝑦 − 24 = 0，如 图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 当∠𝑃𝑄𝑀 = 90∘时，而点𝑀在𝑦轴上，点 Q在 x 轴的正半轴上，则M必与原点 O重合， 设𝑄(𝑡, 0)，因|𝑀𝑄| = |𝑃𝑄|，则𝑃(𝑡, 𝑡)， 于是有4𝑡 + 3𝑡 − 24 = 0，解得𝑡 = < 6，此时𝑀(0,0)， ………….(11 分) 当∠𝑀𝑃𝑄 = 90∘时，由𝑃𝑄//𝑂𝐵，|𝑀𝑃| = |𝑃𝑄|知四边形𝑂𝑀𝑃𝑄为正方形， 设𝑄(𝑡 , 0)，则𝑃(𝑡 , 𝑡 ), 𝑀(0, 𝑡 )， 于是有4𝑡 + 3𝑡 − 24 = 0，解得𝑡 = < 6，此时𝑀(0, )， ………….(13 分) 当∠𝑃𝑀𝑄 = 90∘时，由𝑃𝑄//𝑂𝐵，|𝑀𝑄| = |𝑀𝑃|得∠𝑂𝑄𝑀 = ∠𝑃𝑄𝑀 = 45∘，即|𝑂𝑀| = |𝑂𝑄|， 设𝑄(𝑡 , 0)，则𝑀(0, 𝑡 )，直线𝑙上点𝑃(𝑡 , 8 − 𝑡 )， 显然直线𝑄𝑀斜率为-1，则𝑃𝑀斜率必为 1， 即 = 1，解得𝑡 = < 6，此时𝑀(0, )， ………….(16 分) 综上，𝑦轴上存在点𝑀(0,0)或𝑀(0, )或𝑀(0, )使△ 𝑀𝑃𝑄为等腰直角三角形. ………….(17 分) 19．（17 分）已知{𝑎 }和{𝑏 }是无穷的非常数数列．给出两个性质：①对于{𝑎 }中任意两项𝑎 , 𝑎 (𝑖 > 𝑗)，在 {𝑎 }中都存在一项𝑎 ，使得2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 ；②对于{𝑎 }中任意一项𝑎 (𝑛 ≥ 3)，在{𝑎 }中都存在两项 𝑎 , 𝑎 (𝑘 > 𝑙)，使得𝑎 = 2𝑎 − 𝑎 ． (1)若𝑎 = 2𝑛，证明：数列{𝑎 }满足性质①②； (2)若{𝑎 }是单调数列，且满足性质①②，判断{𝑎 }是否为等差数列，并说明理由； (3)若数列{𝑎 }和{𝑏 }满足（2）的条件，记𝑐 = max{𝑏 − 𝑛𝑎 , 𝑏 − 𝑛𝑎 ,⋅⋅⋅, 𝑏 − 𝑛𝑎 }（𝑛 = 1,2,3,⋅⋅⋅, max{𝑥, 𝑦, 𝑧,⋅⋅⋅ }表示 x，y，z，…中的最大者），证明：下列两个结论必有一个成立． （ⅰ）对任意的正数M，存在正整数 m，当𝑛 ≥ 𝑚时， > 𝑀； （ⅱ）存在正整数m，使得𝑐 ，𝑐 ，𝑐 ，…是等差数列． 【详解】（1）因为∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁∗，𝑖 > 𝑗，2𝑎 − 𝑎 = 2 × 2𝑖 − 2𝑗 = 2(2𝑖 − 𝑗)， 所以2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 ，所以{𝑎 }具有性质①． ………….(1 分) 因为∀𝑛 ∈ 𝑁∗，𝑛 ≥ 3，∃𝑘 = 𝑛 − 1，𝑙 = 𝑛 − 2，2𝑎 − 𝑎 = 4(𝑛 − 1) − 2(𝑛 − 2) = 2𝑛 = 𝑎 ， 所以{𝑎 }具有性质②． ………….(3 分) （2）假设{𝑎 }是单调递增数列． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 首先利用性质②：取𝑛 = 3，此时𝑎 = 2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 + (𝑎 − 𝑎 )(𝑘 > 𝑙)， 由数列的单调性可知𝑎 > 𝑎 ， 所以𝑎 = 𝑎 + (𝑎 − 𝑎 ) > 𝑎 ，故𝑘 < 3， ………….(4 分) 此时必有𝑘 = 2，𝑙 = 1，即𝑎 = 2𝑎 − 𝑎 ， 即𝑎 ，𝑎 ，𝑎 成等差数列，不妨设𝑎 = 𝑎 + 𝑑，𝑎 = 𝑎 + 2𝑑(𝑑 > 0)． 然后利用性质①：取𝑖 = 3，𝑗 = 2，则𝑎 = 2𝑎 − 𝑎 = 2𝑎 + 4𝑑 − 𝑎 − 𝑑 = 𝑎 + 3𝑑， 即数列中必然存在一项的值为𝑎 + 3𝑑． ………….(6 分) 下面证明𝑎 = 𝑎 + 3𝑑， 若𝑎 ≠ 𝑎 + 3𝑑，则由数列的单调性可知𝑎 < 𝑎 + 3𝑑． 在性质②中，取𝑛 = 4，则𝑎 = 2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 + (𝑎 − 𝑎 ) > 𝑎 ，从而𝑘 < 4， 则{𝑘, 𝑙} ⊆ {1,2,3}(𝑘 > 𝑙)． ………….(7 分) 若𝑘 = 3，𝑙 = 2，则𝑎 = 2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 + 3𝑑，与假设矛盾； 若𝑘 = 3，𝑙 = 1，则𝑎 = 2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 + 4𝑑，与假设矛盾； 若𝑘 = 2，𝑙 = 1，则𝑎 = 2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 + 2𝑑 = 𝑎 ，与数列的单调性矛盾． 故不存在满足题意的正整数 k，l，可见𝑎 < 𝑎 + 3𝑑不成立，从而𝑎 = 𝑎 + 3𝑑． 同理可得𝑎 = 𝑎 + 4𝑑，𝑎 = 𝑎 + 5𝑑，…，从而{𝑎 }为等差数列． {𝑎 }是单调递减数列时同理可证，故{𝑎 }为等差数列． ………….(9 分) （3）设{𝑎 }和{𝑏 }的公差分别为𝑑 ，𝑑 ， 则𝑏 − 𝑛𝑎 = 𝑏 + (𝑘 − 1)𝑑 − 𝑛[𝑎 + (𝑘 − 1)𝑑 ] = 𝑏 − 𝑛𝑎 + (𝑑 − 𝑛𝑑 )(𝑘 − 1)． 所以当𝑑 > 𝑛𝑑 时，𝑐 = 𝑏 − 𝑛𝑎 + (𝑛 − 1)(𝑑 − 𝑛𝑑 )；当𝑑 ≤ 𝑛𝑑 时，𝑐 = 𝑏 − 𝑛𝑎 . ………….(11 分) ①当𝑑 > 0时，取正整数𝑚 > ，则当𝑛 ≥ 𝑚时，𝑛𝑑 > 𝑑 ，因此𝑐 = 𝑏 − 𝑛𝑎 ， 此时𝑐 ，𝑐 ，𝑐 ，…是等差数列． ………….(13 分) ②当𝑑 < 0，且𝑛 > 时，有𝑛𝑑 < 𝑑 ． 所以 = ( )( ) = 𝑛(−𝑑 ) + 𝑑 − 𝑎 + 𝑑 + 𝑏 − 𝑑 𝑛 ≥ 𝑛(−𝑑 ) + 𝑑 − 𝑎 + 𝑑 − |𝑏 − 𝑑 |． 对任意的正数M，取正整数𝑚 > max | | , ，当𝑛 ≥ 𝑚时，有 > 𝑀． ………….(16 分) 所以题中的两个结论必有一个成立． ………….(17 分) 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D A C C D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．/ 13．2 14．9 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）在等差数列中，由，得，解得， ………….(3分) 而，因此数列的公差， ………….(4分) 所以. ………….(6分) （2）由（1）知，数列是递减数列，由，得， ………….(8分) 因此数列的前8项都为正，从第9项起为负，则数列的前8项和最大， ………….(10分) 而，所以. ………….(13分) 16．（15分） 【解析】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和，............................................................3分 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为.............................................................7分 （2）由（1）知，，， 所以的面积，.....................10分 当且仅当即时，等号成立，............................................................12分 的点斜式方程为，即， 所以的斜截式方程为.............................................................15分 17．（15分） 【详解】（1）， 变形得：， ………….(2分) 又，故，所以是首项为3，公比为3的等比数列. ………….(3分) 从而，即. ………….(4分) （2）由题意可得， ………….(5分) 所以当时，，，，， 上式累加可得， ， ………….(8分) 又，所以， 当时，满足上式， 所以 ………….(9分) （3）由（1）、（2）知， ………….(10分) 则在前项中， , ………….(11分) , 作差得 . . ………….(14分) 从而. ………….(15分) 18．（17分） 【详解】（1）显然直线斜率存在，设直线方程为， ………….(1分) 则直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点， ………….(2分) 于是得，解得， 所以直线斜率为； ………….(4分) （2）由（1）知直线的方程为：，即，， 因，则， ………….(7分) 又，则与相似， 于是有，即，得，此时点为线段中点， 所以时，点为线段中点，且； ………….(9分) （3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，由(1)知直线的方程为：，如图， 当时，而点在轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合， 设，因，则， 于是有，解得，此时， ………….(11分) 当时，由，知四边形为正方形， 设，则， 于是有，解得，此时， ………….(13分) 当时，由，得，即， 设，则，直线上点， 显然直线斜率为-1，则斜率必为1， 即，解得，此时， ………….(16分) 综上，轴上存在点或或使为等腰直角三角形. ………….(17分) 19．（17分） 【详解】（1）因为，，， 所以，所以具有性质①． ………….(1分) 因为，，，，， 所以具有性质②． ………….(3分) （2）假设是单调递增数列． 首先利用性质②：取，此时， 由数列的单调性可知， 所以，故， ………….(4分) 此时必有，，即， 即，，成等差数列，不妨设，． 然后利用性质①：取，，则， 即数列中必然存在一项的值为． ………….(6分) 下面证明， 若，则由数列的单调性可知． 在性质②中，取，则，从而， 则． ………….(7分) 若，，则，与假设矛盾； 若，，则，与假设矛盾； 若，，则，与数列的单调性矛盾． 故不存在满足题意的正整数k，l，可见不成立，从而． 同理可得，，…，从而为等差数列． 是单调递减数列时同理可证，故为等差数列． ………….(9分) （3）设和的公差分别为，， 则． 所以当时，；当时，. ………….(11分) ①当时，取正整数，则当时，，因此， 此时，，，…是等差数列． ………….(13分) ②当，且时，有． 所以 ． 对任意的正数M，取正整数，当时，有． ………….(16分) 所以题中的两个结论必有一个成立． ………….(17分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+直线方程。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（    ） A． B． C．7 D． 2．经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 3．已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（   ） A．1012 B．1011 C．2023 D． 4．已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 5．过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（    ） A． B． C．3 D．6 8．已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则（    ） A．37 B．38 C．39 D．40 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C．对任意的， D．对任意的， 10．设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．的最大值为 11．已知数列，，满足，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 13．已知函数，数列满足，，，则 ． 14．已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 16．（15分）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 17．（15分）已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)在数列中，，，求的通项公式； (3)记数列满足，求数列的前项和. 18．（17分）如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 19．（17分）已知和是无穷的非常数数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意一项，在中都存在两项，使得． (1)若，证明：数列满足性质①②； (2)若是单调数列，且满足性质①②，判断是否为等差数列，并说明理由； (3)若数列和满足（2）的条件，记（表示x，y，z，…中的最大者），证明：下列两个结论必有一个成立． （ⅰ）对任意的正数M，存在正整数m，当时，； （ⅱ）存在正整数m，使得，，，…是等差数列． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+直线方程。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知数列√2，2，√6，2√2，√10，2√3，…，则这个数列的第 25 项为（ ） A．2√13 B．5√2 C．7 D．4√3 2．经过两点𝐴(2, 𝑚), 𝐵(−𝑚, 4)的直线𝑙的倾斜角为135∘，则𝑚的值为（ ） A．-2 B．1 C．3 D．4 3．已知等差数列{𝑎 }中，𝑎 + 𝑎 = 𝑎 + 7，𝑎 = 19，则数列{𝑎 cos𝑛π}的前 2023 项和为（ ） A．1012 B．1011 C．2023 D．−2023 4．已知数列{𝑎 }为等比数列，𝑆 为数列{𝑎 }的前 n项和.若3𝑎 ,𝑎 ,5𝑎 成等差数列，则 =（ ） A． B． C． D． 5．过点𝑃(1,1)引直线，使𝐴(2,3)，𝐵(4, −5)到它的距离相等，则该直线的方程是（ ） A．4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 B．𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 C．𝑥 + 𝑦 − 2 = 0或4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 D．𝑥 + 𝑦 − 2 = 0或𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 6．已知    2,3 , 1,2A B  ，若点  ,P x y 在线段 AB上，则 3 y x  的最小值为（ ） A．1 B． 3 5 C． 3- D． 1 2  7．设𝑚 ∈ 𝑅，过定点𝐴的动直线𝑥 + 𝑚𝑦 + 1 = 0和过定点𝐵的动直线𝑚𝑥 − 𝑦 − 2𝑚 + 3 = 0交于点𝑃(𝑥, 𝑦)， 则|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵|的最大值（ ） A．2√5 B．3√2 C．3 D．6 8．已知正项数列{𝑎 }的前𝑛项和𝑆 满足2𝑆 = 𝑎 + 𝑛 ∈ 𝑁* ，若𝑓(𝑛) = + + + ⋯ + ，记[𝑚]表示 不超过𝑚的最大整数，则[𝑓(400)] =（ ） A．37 B．38 C．39 D．40 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．设数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，𝑎 = 𝑎 + 1，𝑆 = −35，则（ ） A．𝑎 = −3 B．𝑆 = 𝑆 C．对任意的𝑛 ∈ 𝑁 ，𝑆 ≥ 𝑆 D．对任意的𝑚 ∈ 𝑁 ，3𝑆 + 𝑆 = 3𝑆 10．设𝑘 ∈ 𝑅，过定点 A的动直线𝑙 ：𝑥 + 𝑘𝑦 = 0与过定点 B的动直线𝑙 ：𝑘𝑥 − 𝑦 + 3 − 𝑘 = 0交于点 P，则 下列说法正确的有（ ） A．|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵| = 16 B．△ 𝑃𝐴𝐵面积的最大值为 C． | | + | | ≥ √ D．|𝑃𝐴| + √3|𝑃𝐵|的最大值为2√10 11．已知数列{𝑎 }，{𝑏 }，满足𝑎 = 𝑎 + = 𝑏 + 𝑛 ∈ 𝑁* ，𝑎 = 𝑏 = 1，当𝑛 ≥ 2时，𝑎 ≠ 𝑏 ，则 （ ） A．𝑎 > 8 B．𝑎 + > 𝑎 + C．𝑎 + 𝑏 < 𝑏 + 𝑎 D．(𝑎 + 𝑎 )(𝑏 + 𝑏 ) ≥ 4 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．若直线𝑙 : 𝑎𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0与直线𝑙 : 𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 − 𝑎 − 1 = 0平行，则直线𝑙 与𝑙 的距离为 . 13．已知函数𝑓(𝑥) = ，数列{𝑎 }满足𝑎 = 𝑎 = 1，𝑎 = 𝑎 (𝑛 ∈ 𝑁∗)，𝑓(𝑎 ) + 𝑓(𝑎 + 𝑎 ) = 0，则 ∑ 𝑎 = ． 14．已知数列{𝑎 }，其中𝑎 = 1，满足𝑎 = 2𝑎 + 2𝑛 − 1(𝑛 ∈ N∗)，设𝑆 为数列{𝑎 }的前 n项和，当不等 式𝑆 + 4 + 𝑛 + 2𝑛 > 2025成立时，正整数 n的最小值为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）已知𝑆 为等差数列{𝑎 }的前𝑛项和，且𝑎 = 11, 𝑆 = 98. (1)求{𝑎 }的通项公式; (2)求𝑆 的最大值. 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 16．（15 分）已知直线 l经过点  1, 2P  . (1)若 l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求 l的点斜式方程； (2)设 l的斜率 0,k l 与两坐标轴的交点分别为A 、B，当 AOB 的面积最小时，求 l的斜截式方程. 17．（15 分）已知数列{𝑎 }满足𝑎 = 4，且𝑎 = 3𝑎 − 2𝑛 + 1. (1)证明：{𝑎 − 𝑛}是等比数列，并求{𝑎 }的通项公式； (2)在数列{𝑏 }中，𝑏 = 1，𝑏 = 𝑏 + ( ) ，求{𝑏 }的通项公式； (3)记数列{𝑐 }满足𝑐 = 𝑛𝑏 , 𝑛为奇数 𝑛(𝑎 − 𝑛), 𝑛为偶数 ，求数列{𝑐 }的前2𝑛项和𝑇 . 18．（17 分）如图直线𝑙过点(3，4)，与𝑥轴、𝑦轴的正半轴分别交于𝐴、𝐵两点，△ 𝐴𝑂𝐵的面积为 24.点𝑃为线 段𝐴𝐵上一动点，且𝑃𝑄//𝑂𝐵交𝑂𝐴于点𝑄. （1）求直线𝐴𝐵斜率的大小； （2）若△ 𝐴𝑃𝑄的面积𝑆△ 与四边形𝑂𝑄𝑃𝐵的面积𝑆 满足：𝑆△ = 𝑆 时，请你确定𝑃点在𝐴𝐵上的 位置，并求出线段𝑃𝑄的长； （3）在𝑦轴上是否存在点𝑀，使△ 𝑀𝑃𝑄为等腰直角三角形，若存在，求出点𝑀的坐标；若不存在，说明理 由. 19．（17 分）已知{𝑎 }和{𝑏 }是无穷的非常数数列．给出两个性质：①对于{𝑎 }中任意两项𝑎 , 𝑎 (𝑖 > 𝑗)， 在{𝑎 }中都存在一项𝑎 ，使得2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 ；②对于{𝑎 }中任意一项𝑎 (𝑛 ≥ 3)，在{𝑎 }中都存在两项 𝑎 , 𝑎 (𝑘 > 𝑙)，使得𝑎 = 2𝑎 − 𝑎 ． (1)若𝑎 = 2𝑛，证明：数列{𝑎 }满足性质①②； (2)若{𝑎 }是单调数列，且满足性质①②，判断{𝑎 }是否为等差数列，并说明理由； (3)若数列{𝑎 }和{𝑏 }满足（2）的条件，记𝑐 = max{𝑏 − 𝑛𝑎 , 𝑏 − 𝑛𝑎 ,⋅⋅⋅, 𝑏 − 𝑛𝑎 }（𝑛 = 1,2,3,⋅⋅⋅, max{𝑥, 𝑦, 𝑧,⋅⋅ ⋅}表示 x，y，z，…中的最大者），证明：下列两个结论必有一个成立． （ⅰ）对任意的正数M，存在正整数 m，当𝑛 ≥ 𝑚时， > 𝑀； （ⅱ）存在正整数m，使得𝑐 ，𝑐 ，𝑐 ，…是等差数列． 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+直线方程。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（    ） A． B． C．7 D． 2．经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 3．已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（   ） A．1012 B．1011 C．2023 D． 4．已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 5．过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（    ） A． B． C．3 D．6 8．已知正项数列的前项和满足，若，记表示不超过的最大整数，则（    ） A．37 B．38 C．39 D．40 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C．对任意的， D．对任意的， 10．设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（    ） A． B．面积的最大值为 C． D．的最大值为 11．已知数列，，满足，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 13．已知函数，数列满足，，，则 ． 14．已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 16．（15分）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 17．（15分）已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)在数列中，，，求的通项公式； (3)记数列满足，求数列的前项和. 18．（17分）如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 19．（17分）已知和是无穷的非常数数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意一项，在中都存在两项，使得． (1)若，证明：数列满足性质①②； (2)若是单调数列，且满足性质①②，判断是否为等差数列，并说明理由； (3)若数列和满足（2）的条件，记（表示x，y，z，…中的最大者），证明：下列两个结论必有一个成立． （ⅰ）对任意的正数M，存在正整数m，当时，； （ⅱ）存在正整数m，使得，，，…是等差数列． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：数列+直线方程。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知数列√2，2，√6，2√2，√10，2√3，…，则这个数列的第 25 项为（ ） A．2√13 B．5√2 C．7 D．4√3 2．经过两点𝐴(2, 𝑚), 𝐵(−𝑚, 4)的直线𝑙的倾斜角为135∘，则𝑚的值为（ ） A．-2 B．1 C．3 D．4 3．已知等差数列{𝑎 }中，𝑎 + 𝑎 = 𝑎 + 7，𝑎 = 19，则数列{𝑎 cos𝑛π}的前 2023 项和为（ ） A．1012 B．1011 C．2023 D．−2023 4．已知数列{𝑎 }为等比数列，𝑆 为数列{𝑎 }的前 n项和.若3𝑎 ,𝑎 ,5𝑎 成等差数列，则 =（ ） A． B． C． D． 5．过点𝑃(1,1)引直线，使𝐴(2,3)，𝐵(4, −5)到它的距离相等，则该直线的方程是（ ） A．4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 B．𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 C．𝑥 + 𝑦 − 2 = 0或4𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 D．𝑥 + 𝑦 − 2 = 0或𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 6．已知    2,3 , 1, 2A B  ，若点  ,P x y 在线段 AB上，则 3 y x  的最小值为（ ） A．1 B． 3 5 C． 3- D． 1 2  7．设𝑚 ∈ 𝑅，过定点𝐴的动直线𝑥 + 𝑚𝑦 + 1 = 0和过定点𝐵的动直线𝑚𝑥 − 𝑦 − 2𝑚 + 3 = 0交于点𝑃(𝑥, 𝑦)，则 |𝑃𝐴| + |𝑃𝐵|的最大值（ ） A．2√5 B．3√2 C．3 D．6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 8．已知正项数列{𝑎 }的前𝑛项和𝑆 满足2𝑆 = 𝑎 + 𝑛 ∈ 𝑁* ，若𝑓(𝑛) = + + + ⋯ + ，记[𝑚]表示 不超过𝑚的最大整数，则[𝑓(400)] =（ ） A．37 B．38 C．39 D．40 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．设数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，𝑎 = 𝑎 + 1，𝑆 = −35，则（ ） A．𝑎 = −3 B．𝑆 = 𝑆 C．对任意的𝑛 ∈ 𝑁 ，𝑆 ≥ 𝑆 D．对任意的𝑚 ∈ 𝑁 ，3𝑆 + 𝑆 = 3𝑆 10．设𝑘 ∈ 𝑅，过定点 A的动直线𝑙 ：𝑥 + 𝑘𝑦 = 0与过定点 B的动直线𝑙 ：𝑘𝑥 − 𝑦 + 3 − 𝑘 = 0交于点 P，则下 列说法正确的有（ ） A．|𝑃𝐴| + |𝑃𝐵| = 16 B．△ 𝑃𝐴𝐵面积的最大值为 C． | | + | | ≥ √ D．|𝑃𝐴| + √3|𝑃𝐵|的最大值为2√10 11．已知数列{𝑎 }，{𝑏 }，满足𝑎 = 𝑎 + = 𝑏 + 𝑛 ∈ 𝑁* ，𝑎 = 𝑏 = 1，当𝑛 ≥ 2时，𝑎 ≠ 𝑏 ，则 （ ） A．𝑎 > 8 B．𝑎 + > 𝑎 + C．𝑎 + 𝑏 < 𝑏 + 𝑎 D．(𝑎 + 𝑎 )(𝑏 + 𝑏 ) ≥ 4 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．若直线𝑙 : 𝑎𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0与直线𝑙 : 𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 − 𝑎 − 1 = 0平行，则直线𝑙 与𝑙 的距离为 . 13．已知函数𝑓(𝑥) = ，数列{𝑎 }满足𝑎 = 𝑎 = 1，𝑎 = 𝑎 (𝑛 ∈ 𝑁∗)，𝑓(𝑎 ) + 𝑓(𝑎 + 𝑎 ) = 0，则 ∑ 𝑎 = ． 14．已知数列{𝑎 }，其中𝑎 = 1，满足𝑎 = 2𝑎 + 2𝑛 − 1(𝑛 ∈ N∗)，设𝑆 为数列{𝑎 }的前 n项和，当不等 式𝑆 + 4 + 𝑛 + 2𝑛 > 2025成立时，正整数 n的最小值为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知𝑆 为等差数列{𝑎 }的前𝑛项和，且𝑎 = 11, 𝑆 = 98. (1)求{𝑎 }的通项公式; (2)求𝑆 的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 16．（15 分）已知直线 l经过点  1,2P  . (1)若 l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求 l的点斜式方程； (2)设 l的斜率 0,k l 与两坐标轴的交点分别为A 、B，当 AOB 的面积最小时，求 l的斜截式方程. 17．（15 分）已知数列{𝑎 }满足𝑎 = 4，且𝑎 = 3𝑎 − 2𝑛 + 1. (1)证明：{𝑎 − 𝑛}是等比数列，并求{𝑎 }的通项公式； (2)在数列{𝑏 }中，𝑏 = 1，𝑏 = 𝑏 + ( ) ，求{𝑏 }的通项公式； (3)记数列{𝑐 }满足𝑐 = 𝑛𝑏 , 𝑛为奇数 𝑛(𝑎 − 𝑛), 𝑛为偶数 ，求数列{𝑐 }的前2𝑛项和𝑇 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 18．（17 分）如图直线𝑙过点(3，4)，与𝑥轴、𝑦轴的正半轴分别交于𝐴、𝐵两点，△ 𝐴𝑂𝐵的面积为 24.点𝑃为线 段𝐴𝐵上一动点，且𝑃𝑄//𝑂𝐵交𝑂𝐴于点𝑄. （1）求直线𝐴𝐵斜率的大小； （2）若△ 𝐴𝑃𝑄的面积𝑆△ 与四边形𝑂𝑄𝑃𝐵的面积𝑆 满足：𝑆△ = 𝑆 时，请你确定𝑃点在𝐴𝐵上的 位置，并求出线段𝑃𝑄的长； （3）在𝑦轴上是否存在点𝑀，使△ 𝑀𝑃𝑄为等腰直角三角形，若存在，求出点𝑀的坐标；若不存在，说明理 由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 19．（17 分）已知{𝑎 }和{𝑏 }是无穷的非常数数列．给出两个性质：①对于{𝑎 }中任意两项𝑎 , 𝑎 (𝑖 > 𝑗)，在 {𝑎 }中都存在一项𝑎 ，使得2𝑎 − 𝑎 = 𝑎 ；②对于{𝑎 }中任意一项𝑎 (𝑛 ≥ 3)，在{𝑎 }中都存在两项 𝑎 , 𝑎 (𝑘 > 𝑙)，使得𝑎 = 2𝑎 − 𝑎 ． (1)若𝑎 = 2𝑛，证明：数列{𝑎 }满足性质①②； (2)若{𝑎 }是单调数列，且满足性质①②，判断{𝑎 }是否为等差数列，并说明理由； (3)若数列{𝑎 }和{𝑏 }满足（2）的条件，记𝑐 = max{𝑏 − 𝑛𝑎 , 𝑏 − 𝑛𝑎 ,⋅⋅⋅, 𝑏 − 𝑛𝑎 }（𝑛 = 1,2,3,⋅⋅⋅, max{𝑥, 𝑦, 𝑧,⋅⋅⋅ }表示 x，y，z，…中的最大者），证明：下列两个结论必有一个成立． （ⅰ）对任意的正数M，存在正整数 m，当𝑛 ≥ 𝑚时， > 𝑀； （ⅱ）存在正整数m，使得𝑐 ，𝑐 ，𝑐 ，…是等差数列．