高一数学第一次月考卷（湘教版2019必修第一册第1～2章，集合与逻辑+不等式）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第一次月考

2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修一第一章和第二章。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以与集合的关系为. 故选：B. 2．集合，，的关系是（    ） A．SPM B．M C．SP D．S 【答案】C 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以SP， 故选：C. 3．命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“，不等式”为假命题， 则命题“，不等式”为真命题， 所以，解得， 所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为， 则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是， 故选：A 4．已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 5．已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，，则，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 6．已知集合，，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【详解】 ， ，所以， 故的子集个数为． 故选：D． 7．关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】关于的不等式的解集是， ∴是方程的两个根， ∴即， ∴或， ∴，， ∵， ∴， 即， 即， 解得， 综上所述，或， 故选：D. 8．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】当，，，时，满足， 此时，不是的子集，所以A、B不一定成立； ，，所以C不一定成立； 对于D，若，则，但，因为， 所以，于是，所以， 同理若，则，， 因此，成立，所以D成立. 故选：ABC. 10．已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【详解】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，， 当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确. 故选：BD. 11．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 因为，且，所以， 故成立，故C正确； 又，所以， 由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确． 故选：BCD． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，若，则实数 ． 【答案】 【详解】因为，所以或，或， 又由集合中元素的互异性可知且且，且， 综上. 故答案为：. 13．已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，得或， 所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解. 当时，的解集为，此时，即，满足要求； 当时，的解集为，此时不满足题设； 当时，的解集为，此时，即，满足要求. 综上，的取值范围为. 故答案为： 14．设为实数中最大的数．若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设， 则，，， 因为 ，当时，只需考虑，， 又因为，， 两式相乘得，可得，当且仅当时取等号， 当时，，只需考虑，， 两式相乘得， 则，当且仅当时取等号， 因为，故，综上所述，的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 【详解】①充分性：∵a＋b＝1， ∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0， 即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. ………………………(5分) ②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ………………………(9分) ∵ab≠0， ∴a≠0且b≠0， ∴a2－ab＋b2≠0. ………………………(11分) ∴a＋b－1＝0， ∴a＋b＝1. ………………………(12分) 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． ………………………(13分) 16．（15分）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【详解】（1）由， 又，则， ………………………(2分) 所以，解得或， ………………………(3分) 当时，得，，符合题意； 当时，，，不符合题意． ………………………(5分) 故实数a的值为． ………………………(6分) （2）由，则， 所以结合（1）可知，可能为，，，， ………………………(8分) 当时，，解得或； ………………………(9分) 当时，则方程有两个相等的根， 则，无解； ………………………(11分) 当时，则方程有两个相等的根， 则，无解； ………………………(13分) 当时，结合（1）可知， ………………………(14分) 所以综上所述，所求实数的取值范围是． ………………………(15分) 17．（15分）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时. （i）对任意的恒成立，求实数的取值范围； （ii）求不等式的解集. 【详解】（1）由题意可知的两根为和，且， ………………………(1分) ∴由根与系数的关系得，解得. ………………………(4分) （2）. （i）∵对恒成立 对恒成立 对恒成立， ∴由一次函数性质得，解得， ………………………(6分) 故的取值范围为. ………………………(7分) （ii） ， ………………………(8分) 当，则，解得； ………………………(9分) 当，则，解得或； ………………………(10分) 当，则， 当时，，解，得； 当时，，解，得； 当时，，解，得. ………………………(13分) 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. ………………………(15分) 18．（17分）如图，矩形是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路（宽度不计）经过该矩形区域，其中都在矩形的边界上.已知，（单位：百米），小路将矩形分成面积分别为，（单位：平方百米）的两部分，其中，且点在面积为的区域内，记小路的长为百米. （1）若，求的最大值； （2）若，求的最小值. 【详解】（1）如图所示：折痕有如下三种情况，易知图2图3不满足， ………………………(1分) 如图1：，故， ………………………(3分) 当时等号成立， 故，即的最大值为； ………………………(5分) （2），，故. ………………………(6分) 如图1：，故，， 则，即，当且仅当时取等号，故的最小值为8；………………………(10分) 如图2：，故， ，，故当时，取最小值为6；……………(13分) 如图3：，故， ，，故当时，取最小值为8.……………(16分) 综上所述：的最小值为6. ………………………(17分) 19．（17分）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质． (1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由． (2)若．证明：A不可能具有性质． (3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值． 【详解】（1）因为，又， 但，所以集合不具有性质， ………………………(1分) 因为，又， 但， 所以集合具有性质. ………………………(3分) （2）将集合中的元素分为如下个集合， ， ………………………(5分) 所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选10个元素， 所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为， 所以A不可能具有性质. ………………………(7分) （3）先说明连续11项中集合中最多选取5项， 以为例. 构造抽屉，，，，，，. ………………………(8分) ①同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选；选6则不选；选7则不选； 则只剩，又4,8不能同时选，故中属于集合的元素个数不超过4个. ………………………(9分) ②选2个， 若只选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则只能从中选，但不能同时选， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. ………………………(12分) ③中只选1个， 又四个集合，，，每个集合至多选1个元素， 故中属于集合的元素个数不超过5个. ………………………(14分) 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个， 如取. 因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项； 从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合的元素最多有个. 给出如下选取方法：从中选取； 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次. 此时集合的元素为：；；；； ，共个元素. 经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个. ………………………(17分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修一第一章和第二章。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知集合𝐴 = {𝑥|𝑥 − 𝑥 = 0}，则−1与集合𝐴的关系为（ ） A．−1 ∈ 𝐴 B．−1 ∉ 𝐴 C．−1 ⊆ 𝐴 D．−1 ⊈ 𝐴 【答案】B 【详解】𝐴 = {𝑥|𝑥 − 𝑥 = 0} = {0,1}，所以−1与集合𝐴的关系为−1 ∉ 𝐴. 故选：B. 2．集合𝑀 = {𝑥|𝑥 = 5𝑘 − 2,𝑘 ∈ Z}，𝑃 = {𝑥|𝑥 = 5𝑛 + 3,𝑛 ∈ Z}，𝑆 = {𝑥|𝑥 = 10𝑚 + 3,𝑚 ∈ Z}的关系是（ ） A．SPM B．𝑆 = 𝑃M C．SP= 𝑀 D．𝑃 = 𝑀S 【答案】C 【详解】任取𝑎 ∈ 𝑀，则𝑎 = 5𝑘 − 2 = 5(𝑘 − 1) + 3，𝑘 ∈ Z， 所以𝑎 ∈ 𝑃，所以𝑀 ⊆ 𝑃， 任取𝑏 ∈ 𝑃，则𝑏 = 5𝑛 + 3 = 5(𝑛 + 1) − 2，𝑛 ∈ Z， 所以𝑏 ∈ 𝑀，所以𝑃 ⊆ 𝑀， 所以𝑀 = 𝑃， 任取𝑐 ∈ 𝑆，则𝑐 = 10𝑚 + 3 = 5 ⋅ (2𝑚 ) + 3，𝑚 ∈ Z， 所以𝑐 ∈ 𝑃，所以𝑆 ⊆ 𝑃， 又8 ∈ 𝑃，8 ∉ 𝑆， 所以𝑆 ≠ 𝑃， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 所以 SP= 𝑀， 故选：C. 3．命题“∃𝑥 ∈ R，不等式𝑎𝑥 − 2𝑥 + 1 ≤ 0”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A．𝑎 > 0 B．𝑎 > 1 C．0 < 𝑎 < D．𝑎 > 2 【答案】A 【详解】命题“∃𝑥 ∈ R，不等式𝑎𝑥 − 2𝑥 + 1 ≤ 0”为假命题， 则命题“∀𝑥 ∈ R，不等式𝑎𝑥 − 2𝑥 + 1 > 0”为真命题， 所以 𝑎 > 0 Δ = 4 − 4𝑎 < 0 ，解得𝑎 > 1， 所以使得命题“∃𝑥 ∈ R，不等式𝑎𝑥 − 2𝑥 + 1 ≤ 0”为假命题，则实数𝑎的取值范围为𝑎 > 1， 则命题“∃𝑥 ∈ R，不等式𝑎𝑥 − 2𝑥 + 1 ≤ 0”为假命题的一个必要不充分条件是𝑎 > 0， 故选：A 4．已知全集是实数集𝑅，集合𝐴 = {𝑥|𝑥 > 2 }，𝐵 = {𝑥|𝑥 − 𝑥 − 6 > 0 }，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A．{𝑥|𝑥 > 2 } B．{𝑥|−2 ≤ 𝑥 ≤ 2 } C．{𝑥|𝑥 ≤ 2 } D．{𝑥|𝑥 < −2或𝑥 > 2} 【答案】B 【详解】由不等式𝑥 − 𝑥 − 6 > 0，解得𝑥 < −2或𝑥 > 3，所以𝐵 = {𝑥|𝑥 < −2或𝑥 > 3}， 又由𝐴 = {𝑥|𝑥 > 2 }，可得∁R𝐴 = {𝑥|𝑥 ≤ 2 }且∁R𝐵 = {𝑥|−2 ≤ 𝑥 ≤ 3 }， 又因为∁R(𝐴 ∪ 𝐵) = ∁R𝐴 ∩ ∁R𝐵 = {𝑥|𝑥 ≤ 2 } ∩ {𝑥|−2 ≤ 𝑥 ≤ 3 } = {𝑥|−2 ≤ 𝑥 ≤ 2 }. 故选：B. 5．已知实数𝑎 > 𝑏 > 1，𝑐 ∈ R，下列关系正确的是（ ） A．𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 B． > C． < D．√𝑎 + 1 − √𝑎 < √𝑏 − √𝑏 − 1 【答案】D 【详解】对于 A，取𝑐 = 0，得𝑎𝑐 = 0 = 𝑏𝑐 ，A 错误； 对于 B， − = ( ) ( ) < 0，则 < ，B 错误； 对于 C， − = ( ) ( ) > 0，则 > ，C 错误； 对于 D，√𝑎 + 1 − √𝑎 = √ √ < √ √ = √𝑏 − √𝑏 − 1，D 正确. 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 6．已知集合𝐴 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 + 𝑦 ≤ 2, 𝑥 ∈ Z, 𝑦 ∈ Z}，𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 ≥ 𝑥}，则𝐴 ∩ 𝐵的子集个数为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【详解】𝐴 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 + 𝑦 ≤ 2, 𝑥 ∈ Z, 𝑦 ∈ Z} = {(−1, −1), (−1,0), (−1,1), (0, −1), (0,0), (0,1), (1, −1), (1,0), (1,1)}， 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 ≥ 𝑥}，所以𝐴 ∩ 𝐵 = {(−1, −1), (−1,0), (−1,1), (0,0), (0,1), (1,1)}， 故𝐴 ∩ 𝐵的子集个数为2 = 64． 故选：D． 7．关于𝑥的不等式𝑥 − 𝑎𝑥 − 6𝑎 < 0的解集是{𝑥|𝑚 < 𝑥 < 𝑛}，且𝑛 − 𝑚 ≤ 5，则实数𝑎的取值范围 （ ） A．[−25, −24) B． 0，1 C．(−25, −24) ∪ 0，1 D．[−25, −24) ∪ 0，1 【答案】D 【详解】关于𝑥的不等式𝑥 − 𝑎𝑥 − 6𝑎 < 0的解集是{𝑥|𝑚 < 𝑥 < 𝑛}， ∴ 𝑚, 𝑛是方程𝑥 − 𝑎𝑥 − 6𝑎 = 0的两个根， ∴ Δ = 𝑎 + 24𝑎 > 0即𝑎(𝑎 + 24) > 0， ∴ 𝑎 < −24或𝑎 > 0， ∴ 𝑚 = √ ，𝑛 = √ ， ∵ 𝑛 − 𝑚 ≤ 5， ∴ √ − √ ≤ 5， 即𝑎 + 24𝑎 − 25 ≤ 0， 即(𝑎 − 1)(𝑎 + 25) ≤ 0， 解得−25 ≤ 𝑎 ≤ 1， 综上所述−25 ≤ 𝑎 < −24，或0 < 𝑎 ≤ 1， 故选：D. 8．已知𝑥 > 0，𝑦 > 0，且𝑥 + 3𝑦 − 𝑥𝑦 = 0，若𝑥 + 3𝑦 > 𝑚 + 𝑚恒成立，则实数𝑚的取值范围为（ ） A．(−∞, −3]∪[4, +∞) B．(−4,3) C．(−3,4) D．(−∞, −4]∪[3, +∞) 【答案】B 【详解】因为不等式𝑥 + 3𝑦 > 𝑚 + 𝑚恒成立， 则(𝑥 + 3𝑦)min > 𝑚 + 𝑚， 因为𝑥 > 0，𝑦 > 0，由𝑥 + 3𝑦 − 𝑥𝑦 = 0可得 + = 1， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 所以𝑥 + 3𝑦 = (𝑥 + 3𝑦)( + ) = + + 6 ≥ 2 ⋅ + 6 = 12， 当且仅当 = ，即𝑥 = 6，𝑦 = 2时取等号， 故(𝑥 + 3𝑦)min = 12， 所以𝑚 + 𝑚 < 12，即𝑚 + 𝑚 − 12 < 0，解得−4 < 𝑚 < 3， 则实数𝑚的取值范围是(−4,3)． 故选：B． 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．设𝑈为全集，集合𝐴, 𝐵, 𝐶满足条件𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐶，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A．𝐵 ⊆ 𝐴 B．𝐶 ⊆ 𝐴 C．𝐴 ∩ (∁ 𝐵) = 𝐴 ∩ (∁ 𝐶) D．(∁ 𝐴) ∩ 𝐵 = (∁ 𝐴) ∩ 𝐶 【答案】ABC 【详解】当𝑈 = {1,2,3}，𝐴 = {1}，𝐵 = {2,3}，𝐶 = {1,2,3}时，满足𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐶， 此时，𝐵, 𝐶不是𝐴的子集，所以 A、B 不一定成立； ∁ 𝐵 = {1}, ∁ 𝐶 = ∅，𝐴 ∩ (∁ 𝐵) = {1}, 𝐴 ∩ (∁ 𝐶) = ∅，所以 C 不一定成立； 对于 D，若∀𝑥 ∈ (∁ 𝐴) ∩ 𝐵，则𝑥 ∉ 𝐴，但𝑥 ∈ 𝐵，因为𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐶， 所以𝑥 ∈ 𝐶，于是𝑥 ∈ (∁ 𝐴) ∩ 𝐶，所以(∁ 𝐴) ∩ 𝐵 ⊆ (∁ 𝐴) ∩ 𝐶， 同理若∀𝑥 ∈ (∁ 𝐴) ∩ 𝐶，则𝑥 ∈ (∁ 𝐴) ∩ 𝐵，(∁ 𝐴) ∩ 𝐶 ⊆ (∁ 𝐴) ∩ 𝐵， 因此，(∁ 𝐴) ∩ 𝐵 = (∁ 𝐴) ∩ 𝐶成立，所以 D 成立. 故选：ABC. 10．已知 a，b为正实数，且 1a  ， 1b  ， 0ab a b   ，则（ ） A．ab的最大值为 4 B．2a b 的最小值为3 2 2 C．a b 的最小值为3 2 2 D． 1 1 1 1a b    的最小值为 2 【答案】BD 【详解】对于 A，因为 2ab a b ab   ，则 2ab  ， 4ab  ， 当且仅当 2a b  时取“＝”，所以 ab的最小值为 4，A 错误； 对于 B，由ab a b  ，得 1 1 1 a b   ，   1 1 22 3 3 2 2a ba b a b b a            ， 当且仅当 2 1 2 a   ， 1 2b   时取“＝”，B 正确； 对于 C，   1 1 2 4b aa b a b a b           ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 当且仅当 2a b  时，取“＝”，C 错误； 对于 D，因为ab a b  ，所以    1 1 1a b   ， 则    1 1 1 2 2 1 1 1 1a b a b        ，当且仅当 2a b  时，取“＝”，D 正确. 故选：BD. 11．已知集合𝑀 = {𝑥|𝑥 = 𝑚 − 𝑛 , 𝑚, 𝑛 ∈ Ζ}，则（ ） A．22 ∈ 𝑀 B．24 ∈ 𝑀 C．∀𝑥 = 2𝑘 − 1, 𝑘 ∈ Ζ, 𝑥 ∈ 𝑀 D．∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀, 𝑥𝑦 ∈ 𝑀 【答案】BCD 【详解】由𝑥 = 𝑚 − 𝑛 = (𝑚 + 𝑛)(𝑚 − 𝑛)， 则𝑚 + 𝑛，𝑚 − 𝑛同为奇数或同为偶数，所以𝑥为奇数或 4 的倍数，故 A 错误；B 正确； 因为2𝑘 − 1 = 𝑘 − (𝑘 − 1) ，且𝑘 − 1, 𝑘 ∈ Ζ，所以𝑥 = 2𝑘 − 1 ∈ 𝑀， 故∀𝑥 = 2𝑘 − 1, 𝑘 ∈ Ζ, 𝑥 ∈ 𝑀成立，故 C 正确； 又2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1) − 𝑘 ，所以∀𝑥 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ Ζ, 𝑥 ∈ 𝑀， 由𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀，则𝑥, 𝑦为奇数或 4 的倍数， 当𝑥, 𝑦中至少有一个为 4 的倍数时，则𝑥𝑦为 4 的倍数，所以𝑥𝑦 ∈ 𝑀， 当𝑥, 𝑦都为奇数时，则可令𝑥 = 2𝑘 + 1, 𝑦 = 2𝑘 + 1, 𝑘 , 𝑘 ∈ Ζ， 所以𝑥𝑦 = (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 1) = 2(2𝑘 𝑘 + 𝑘 + 𝑘 ) + 1, 𝑘 , 𝑘 ∈ Ζ，所以𝑥𝑦 ∈ 𝑀， 故∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀, 𝑥𝑦 ∈ 𝑀，故 D 正确． 故选：BCD． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知集合𝐴 = {𝑚 + 2,1,4}，𝐵 = {𝑚 , 1}，若𝐵 ⊆ 𝐴，则实数𝑚 = ． 【答案】−2 【详解】因为𝐵 ⊆ 𝐴，所以𝑚 = 𝑚 + 2或𝑚 = 4，⇒ 𝑚 = −1或𝑚 = ±2， 又由集合中元素的互异性可知𝑚 + 2 ≠ 1且𝑚 + 2 ≠ 4且𝑚 ≠ 1，⇒ 𝑚 ≠ ±1且𝑚 ≠ 2， 综上𝑚 = −2. 故答案为：−2. 13．已知关于 x的不等式组   2 2 4 5 0 2 5 2 5 x x x x x k          的解集中存在整数解且只有一个整数解，则 k的取值范围 为 . 【答案】   6, 2 3,4  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【详解】由   2 4 5 5 1 0x x x x      ，得 1x   或 5x  ， 所以     22 2 5 5 2 5 0x k x k x x k       的解集与{ 1x x  ∣ 或 5}x  的交集中存在整数解，且只有一个整 数解. 当 5 2 k  时，  22 2 5 5 0x k x k    的解集为 5| 2 x x k        ，此时 2 6k    ，即 6 2k   ，满足要求； 当 5 2 k  时，  22 2 5 5 0x k x k    的解集为，此时不满足题设； 当 5 2 k  时，  22 2 5 5 0x k x k    的解集为 5 2 x k x          ，此时 4 3k     ，即3 4k  ，满足要求. 综上， k的取值范围为   6, 2 3,4  . 故答案为：   6, 2 3,4  14．设max{𝑎, 𝑏, 𝑐}为实数𝑎, 𝑏, 𝑐中最大的数．若𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0，则max 𝑥𝑧 + , 𝑥 + , + 的最小值 为 ． 【答案】2 【详解】设𝐴 = max 𝑥𝑧 + , 𝑥 + , + ， 则𝐴 ≥ 𝑥𝑧 + > 0，𝐴 ≥ 𝑥 + > 0，𝐴 ≥ + > 0， 因为𝐴 ≥ 𝑥𝑧 + = 𝑧(𝑥 + ) ，当0 < 𝑧 ≤ 1时，只需考虑𝐴 ≥ 𝑥 + > 0，𝐴 ≥ + > 0， 又因为𝐴 ≥ 𝑥 + ≥ 𝑥 + ≥ 2 ，𝐴 ≥ + ≥ + 1 ≥ 2 ， 两式相乘得𝐴 ≥ 2 ⋅ 2 = 4，可得𝐴 ≥ 2，当且仅当𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 1时取等号， 当𝑧 > 1时，0 < 𝑥 + < 𝑥𝑧 + ，只需考虑𝐴 ≥ 𝑥𝑧 + ，𝐴 ≥ + ， 两式相乘得𝐴 ≥ 𝑥𝑧 + + = 𝑥 + + 𝑦𝑧 + ≥ 2 𝑥 × + 2 × 𝑦𝑧 = 4， 则𝐴 ≥ 2，当且仅当𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 1时取等号， 因为𝑧 > 1，故𝐴 > 2，综上所述，𝐴的最小值为2． 故答案为：2. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知 ab≠0，求证：a＋b＝1 是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0 的充要条件． 【详解】①充分性：∵ a＋b＝1， ∴ b＝1－a， ∴ a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝ 0， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 即 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. ………………………(5 分) ②必要性：∵ a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴ (a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴ (a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ………………………(9 分) ∵ ab≠0， ∴ a≠0 且 b≠0， ∴ a2－ab＋b2≠0. ………………………(11 分) ∴ a＋b－1＝0， ∴ a＋b＝1. ………………………(12 分) 综上可知，当 ab≠0 时，a＋b＝1 是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0 的充要条件． ………………………(13 分) 16．（15 分）已知集合𝐴 = {𝑥∣𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑎 − 21 = 0}，𝐵 = {𝑥∣𝑥 − 4𝑥 − 5 = 0}． (1)若𝐴 ∩ 𝐵 = {−1}，求实数 a的值； (2)若𝐴 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)，求实数 a的取值范围． 【详解】（1）由𝐵 = {𝑥∣𝑥 − 4𝑥 − 5 = 0} = {−1,5}， 又𝐴 ∩ 𝐵 = {−1}，则−1 ∈ 𝐴， ………………………(2 分) 所以1 + 𝑎 + 𝑎 − 21 = 0，解得𝑎 = −5或𝑎 = 4， ………………………(3 分) 当𝑎 = −5时，得𝐴 = {−1, −4}，𝐴 ∩ 𝐵 = {−1}，符合题意； 当𝑎 = 4时，𝐴 = {−1,5}，𝐴 ∩ 𝐵 = {−1,5}，不符合题意． ………………………(5 分) 故实数 a的值为−5． ………………………(6 分) （2）由𝐴 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)，则𝐴 ⊆ 𝐵， 所以结合（1）可知，𝐴可能为∅，{−1}，{5}，{−1,5}， ………………………(8 分) 当𝐴 = ∅时，Δ = 𝑎 − 4(𝑎 − 21) < 0，解得𝑎 > 2√7或𝑎 < −2√7； ………………………(9 分) 当𝐴 = {−1}时，则方程𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑎 − 21 = 0有两个相等的根𝑥 = 𝑥 = −1， 则 𝑥 + 𝑥 = 𝑎 = −2 𝑥 ⋅ 𝑥 = 𝑎 − 21 = 1 ，无解； ………………………(11 分) 当𝐴 = {5}时，则方程𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑎 − 21 = 0有两个相等的根𝑥 = 𝑥 = 5， 则 𝑥 + 𝑥 = 𝑎 = 10 𝑥 ⋅ 𝑥 = 𝑎 − 21 = 25 ，无解； ………………………(13 分) 当𝐴 = {−1,5}时，结合（1）可知𝑎 = 4， ………………………(14 分) 所以综上所述，所求实数𝑎的取值范围是 −∞, −2√7 ∪ 2√7, +∞ ∪ {4}． ………………………(15 分) 17．（15 分）已知函数𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 − 12(𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅). (1)若不等式𝑦 > 0的解集为(−3, −1)，求实数𝑎, 𝑏的值； (2)当𝑏 = 3𝑎 − 4时. （i）对任意的𝑥 ∈ [−1,2], 𝑦 < 0恒成立，求实数𝑎的取值范围； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 （ii）求不等式𝑦 ≥ 0的解集. 【详解】（1）由题意可知𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 − 12 = 0的两根为−3和−1，且𝑎<0， ………………………(1 分) ∴ 由根与系数的关系得 − = −3 + (−1) = −4 = (−3) × (−1) = 3 ，解得 𝑎 = −4 𝑏 = −16 . ………………………(4 分) （2）𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 − 12 = 𝑎𝑥 + (3𝑎 − 4)𝑥 − 12 = (𝑥 + 3)(𝑎𝑥 − 4). （i）∵ 𝑦 < 0对∀𝑥 ∈ [−1,2]恒成立⇔ (𝑥 + 3)(𝑎𝑥 − 4) < 0对∀𝑥 ∈ [−1,2]恒成立 ⇔ 𝑎𝑥 − 4 < 0对∀𝑥 ∈ [−1,2]恒成立， ∴ 由一次函数性质得 −𝑎 − 4 < 0 2𝑎 − 4 < 0 ，解得−4 < 𝑎 < 2， ………………………(6 分) 故𝑎的取值范围为(−4,2). ………………………(7 分) （ii）𝑦 ≥ 0 ⇔ (𝑥 + 3)(𝑎𝑥 − 4) ≥ 0， ………………………(8 分) 当𝑎 = 0，则𝑥 + 3 ≤ 0，解得𝑥 ≤ −3； ………………………(9 分) 当𝑎 > 0，则(𝑥 + 3) 𝑥 − ≥ 0，解得𝑥 ≤ −3或𝑥 ≥ ； ………………………(10 分) 当𝑎<0，则(𝑥 + 3) 𝑥 − ≤ 0， 当𝑎 < − 时， > −3，解(𝑥 + 3) 𝑥 − ≤ 0，得−3 ≤ 𝑥 ≤ ； 当𝑎 = − 时， = −3，解(𝑥 + 3) 𝑥 − ≤ 0，得𝑥 = −3； 当− < 𝑎 < 0时， < −3，解(𝑥 + 3) 𝑥 − ≤ 0，得 ≤ 𝑥 ≤ −3. ………………………(13 分) 综上所述，当𝑎 < − 时，不等式𝑦 ≥ 0的解集为 −3, ； 当𝑎 = − 时，不等式𝑦 ≥ 0的解集为{−3}； 当− < 𝑎 < 0时，不等式𝑦 ≥ 0的解集为 , −3 ； 当𝑎 = 0时，不等式𝑦 ≥ 0的解集为(−∞, −3]； 当𝑎 > 0时，不等式𝑦 ≥ 0的解集为(−∞, −3] ∪ , +∞ . ………………………(15 分) 18．（17分）如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路𝑀𝑁（宽 度不计）经过该矩形区域，其中𝑀𝑁都在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边界上.已知𝐴𝐵 = 8，𝐴𝐷 = 6（单位：百米），小路𝑀𝑁将矩 形𝐴𝐵𝐶𝐷分成面积分别为𝑆 ，𝑆 （单位：平方百米）的两部分，其中𝑆 ≤ 𝑆 ，且点𝐴在面积为𝑆 的区域内， 记小路𝑀𝑁的长为𝑙百米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 （1）若𝑙 = 4，求𝑆 的最大值； （2）若𝑆 = 2𝑆 ，求𝑙的最小值. 【详解】（1）如图所示：折痕𝑀𝑁有如下三种情况，易知图 2 图 3 不满足𝑙 = 4， ………………………(1 分) 如图 1：𝐴𝑀 + 𝐴𝑁 = 16 ≥ 2𝐴𝑀 ⋅ 𝐴𝑁，故𝐴𝑀 ⋅ 𝐴𝑁 ≤ 8， ………………………(3 分) 当𝐴𝑀 = 𝐴𝑁 = 2√2时等号成立， 故𝑆 = 𝐴𝑀 ⋅ 𝐴𝑁 ≤ 4，即𝑆 的最大值为4； ………………………(5 分) （2）𝑆 = 2𝑆 ，𝑆 + 𝑆 = 48，故𝑆 = 16. ………………………(6 分) 如图 1： 𝐴𝑀 ⋅ 𝐴𝑁 = 16，故𝐴𝑀 ⋅ 𝐴𝑁 = 32，𝑙 = 𝐴𝑀 + 𝐴𝑁 = 𝐴𝑁 + , 𝐴𝑁 ∈ [ , 8]， 则𝑙 ≥ 2 𝐴𝑁 ∙ = 64，即𝑙 ≥ 8，当且仅当𝐴𝑁 = 4√2时取等号，故𝑙的最小值为 8；………………………(10 分) 如图 2：𝑆 = × 6 × (𝐷𝑀 + 𝐴𝑁) = 16，故𝐷𝑀 + 𝐴𝑁 = ， 𝑙 = 6 + (𝐴𝑁 − 𝐷𝑀) = 36 + 2𝐴𝑁 − ，𝐴𝑁 ∈ 0, ，故当𝐴𝑁 = 时， 𝑙取最小值为 6；……………(13 分) 如图 3：𝑆 = × 8 × (𝐴𝑀 + 𝐵𝑁) = 16，故𝐴𝑀 + 𝐵𝑁 = 4， 𝑙 = 8 + (𝐴𝑀 − 𝐵𝑀) = 64 + (2𝐴𝑀 − 4) ，𝐴𝑀 ∈ (0,4)，故当𝐴𝑀 = 2时， 𝑙取最小值为 8.……………(16 分) 综上所述： 𝑙的最小值为 6. ………………………(17 分) 19．（17 分）设 k是正整数，A是N∗的非空子集（至少有两个元素），如果对于 A中的任意两个元素 x，y， 都有|𝑥 − 𝑦| ≠ 𝑘，则称 A具有性质𝑃(𝑘)． (1)试判断集合𝐵 = {1,2,3,4}和𝐶 = {1,4,7,10}是否具有性质𝑃(2)？并说明理由． (2)若𝐴 = {𝑎 , 𝑎 , … , 𝑎 } ⊆ {1,2, … ,20}．证明：A不可能具有性质𝑃(3)． (3)若𝐴 ⊆ {1,2, … ,2023}且 A具有性质𝑃(4)和𝑃(7)．求 A中元素个数的最大值． 【详解】（1）因为𝐵 = {1,2,3,4}，又1 ∈ N∗, 2 ∈ N∗, 3 ∈ N∗, 4 ∈ N∗， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 但|4 − 2| = 2，所以集合𝐵不具有性质𝑃(2)， ………………………(1 分) 因为𝐶 = {1,4,7,10}，又1 ∈ N∗, 4 ∈ N∗, 7 ∈ N∗, 10 ∈ N∗， 但|4 − 1| = 3, |7 − 1| = 6, |10 − 1| = 9, |7 − 4| = 3, |10 − 4| = 6, |10 − 7| = 3， 所以集合𝐶具有性质𝑃(2). ………………………(3 分) （2）将集合{1,2, ⋯ ,20}中的元素分为如下11个集合， {1,4}, {2,5}, {3,6}, {7,10}, {8,11}, {9,12}, {13,16}, {14,17}, {15,18}, {19}, {20}， ………………………(5 分) 所以从集合{1,2, ⋯ ,20}中取12个元素，则前9个集合至少要选 10 个元素， 所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3， 所以 A不可能具有性质𝑃(3). ………………………(7 分) （3）先说明连续 11 项中集合𝐴中最多选取 5 项， 以1,2,3 ⋅⋅⋅ ,11为例. 构造抽屉{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}，{5}，{6}，{7}. ………………………(8 分) ①5,6,7同时选，因为具有性质𝑃(4)和𝑃(7)， 所以选 5 则不选1,9；选 6 则不选2,10；选 7 则不选3,11； 则只剩4,8，又 4,8 不能同时选，故1,2,3 ⋅⋅⋅ ,11中属于集合𝐴的元素个数不超过 4 个. ………………………(9 分) ②5,6,7选 2 个， 若只选5,6，则1,2,9,10,7不可选，又{4,11}只能选一个元素， 3,8可以选，故1,2,3 ⋅⋅⋅ ,11中属于集合𝐴的元素个数不超过 5 个. 若选5,7，则只能从2,4,8,10中选，但4,8不能同时选， 故1,2,3 ⋅⋅⋅ ,11中属于集合𝐴的元素个数不超过 5 个. 若选6,7，则2,3,10,11,5不可选，又{1,8}只能选一个元素， 4,9可以选，故1,2,3 ⋅⋅⋅ ,11中属于集合𝐴的元素个数不超过 5 个. ………………………(12 分) ③5,6,7中只选 1 个， 又四个集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}每个集合至多选 1 个元素， 故1,2,3 ⋅⋅⋅ ,11中属于集合𝐴的元素个数不超过 5 个. ………………………(14 分) 由上述①②③可知，连续 11 项自然数中属于集合𝐴的元素至多只有 5 个， 如取1,4,6,7,9. 因为 2023=183×11+10，则把每 11 个连续自然数分组，前 183 组每组至多选取 5 项； 从 2014 开始，最后 10 个数至多选取 5 项，故集合𝐴的元素最多有184 × 5 = 920个. 给出如下选取方法：从1,2,3 ⋅⋅⋅ ,11中选取1,4,6,7,9； 然后在这 5 个数的基础上每次累加 11，构造 183 次. 此时集合𝐴的元素为：1,4,6,7,9；12,15,17,18,20；23,26,28,29,31；⋅⋅⋅⋅⋅⋅； 2014,2017,2019,2020,2022，共920个元素. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 经检验可得该集合符合要求，故集合𝐴的元素最多有920个. ………………………(17 分) 2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A B D D D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC BD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．. 13． 14．. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】①充分性：∵a＋b＝1， ∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0， 即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. ………………………(5分) ②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ………………………(9分) ∵ab≠0， ∴a≠0且b≠0， ∴a2－ab＋b2≠0. ………………………(11分) ∴a＋b－1＝0， ∴a＋b＝1. ………………………(12分) 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． ………………………(13分) 16．（15分） 【详解】（1）由， 又，则， ………………………(2分) 所以，解得或， ………………………(3分) 当时，得，，符合题意； 当时，，，不符合题意． ………………………(5分) 故实数a的值为． ………………………(6分) （2）由，则， 所以结合（1）可知，可能为，，，， ………………………(8分) 当时，，解得或； ………………………(9分) 当时，则方程有两个相等的根， 则，无解； ………………………(11分) 当时，则方程有两个相等的根， 则，无解； ………………………(13分) 当时，结合（1）可知， ………………………(14分) 所以综上所述，所求实数的取值范围是． ………………………(15分) 17．（15分） 【详解】（1）由题意可知的两根为和，且， ………………………(1分) ∴由根与系数的关系得，解得. ………………………(4分) （2）. （i）∵对恒成立 对恒成立 对恒成立， ∴由一次函数性质得，解得， ………………………(6分) 故的取值范围为. ………………………(7分) （ii） ， ………………………(8分) 当，则，解得； ………………………(9分) 当，则，解得或； ………………………(10分) 当，则， 当时，，解，得； 当时，，解，得； 当时，，解，得. ………………………(13分) 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. ………………………(15分) 18．（17分） 【详解】（1）如图所示：折痕有如下三种情况，易知图2图3不满足， ………………………(1分) 如图1：，故， ………………………(3分) 当时等号成立， 故，即的最大值为； ………………………(5分) （2），，故. ………………………(6分) 如图1：，故，， 则，即，当且仅当时取等号，故的最小值为8；………………………(10分) 如图2：，故， ，，故当时，取最小值为6；……………(13分) 如图3：，故， ，，故当时，取最小值为8.……………(16分) 综上所述：的最小值为6. ………………………(17分) 19．（17分） 【详解】（1）因为，又， 但，所以集合不具有性质， ………………………(1分) 因为，又， 但， 所以集合具有性质. ………………………(3分) （2）将集合中的元素分为如下个集合， ， ………………………(5分) 所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选10个元素， 所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为， 所以A不可能具有性质. ………………………(7分) （3）先说明连续11项中集合中最多选取5项， 以为例. 构造抽屉，，，，，，. ………………………(8分) ①同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选；选6则不选；选7则不选； 则只剩，又4,8不能同时选，故中属于集合的元素个数不超过4个. ………………………(9分) ②选2个， 若只选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则只能从中选，但不能同时选， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. ………………………(12分) ③中只选1个， 又四个集合，，，每个集合至多选1个元素， 故中属于集合的元素个数不超过5个. ………………………(14分) 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个， 如取. 因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项； 从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合的元素最多有个. 给出如下选取方法：从中选取； 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次. 此时集合的元素为：；；；； ，共个元素. 经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个. ………………………(17分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修一第一章和第二章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 2．集合，，的关系是（    ） A．SPM B．M C．SP D．S 3．命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 5．已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 7．关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 11．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若，则实数 ． 13．已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 14．设为实数中最大的数．若，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 16．（15分）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 17．（15分）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时. （i）对任意的恒成立，求实数的取值范围； （ii）求不等式的解集. 18．（17分）如图，矩形是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路（宽度不计）经过该矩形区域，其中都在矩形的边界上.已知，（单位：百米），小路将矩形分成面积分别为，（单位：平方百米）的两部分，其中，且点在面积为的区域内，记小路的长为百米. （1）若，求的最大值； （2）若，求的最小值. 19．（17分）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质． (1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由． (2)若．证明：A不可能具有性质． (3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修一第一章和第二章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知集合𝐴 = {𝑥|𝑥 − 𝑥 = 0}，则−1与集合𝐴的关系为（ ） A．−1 ∈ 𝐴 B．−1 ∉ 𝐴 C．−1 ⊆ 𝐴 D．−1 ⊈ 𝐴 2．集合𝑀 = {𝑥|𝑥 = 5𝑘 − 2,𝑘 ∈ Z}，𝑃 = {𝑥|𝑥 = 5𝑛 + 3,𝑛 ∈ Z}，𝑆 = {𝑥|𝑥 = 10𝑚 + 3,𝑚 ∈ Z}的关系是（ ） A．SPM B．𝑆 = 𝑃M C．SP= 𝑀 D．𝑃 = 𝑀S 3．命题“∃𝑥 ∈ R，不等式𝑎𝑥 − 2𝑥 + 1 ≤ 0”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A．𝑎 > 0 B．𝑎 > 1 C．0 < 𝑎 < D．𝑎 > 2 4．已知全集是实数集𝑅，集合𝐴 = {𝑥|𝑥 > 2 }，𝐵 = {𝑥|𝑥 − 𝑥 − 6 > 0 }，则图中阴影部分所表示的集合为 （ ） A．{𝑥|𝑥 > 2 } B．{𝑥|−2 ≤ 𝑥 ≤ 2 } C．{𝑥|𝑥 ≤ 2 } D．{𝑥|𝑥 < −2或𝑥 > 2} 5．已知实数𝑎 > 𝑏 > 1，𝑐 ∈ R，下列关系正确的是（ ） A．𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 B． > C． < D．√𝑎 + 1 − √𝑎 < √𝑏 − √𝑏 − 1 6．已知集合𝐴 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 + 𝑦 ≤ 2, 𝑥 ∈ Z, 𝑦 ∈ Z}，𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 ≥ 𝑥}，则𝐴 ∩ 𝐵的子集个数为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 7．关于𝑥的不等式𝑥 − 𝑎𝑥 − 6𝑎 < 0的解集是{𝑥|𝑚 < 𝑥 < 𝑛}，且𝑛 − 𝑚 ≤ 5，则实数𝑎的取值范围 （ ） A．[−25, −24) B． 0，1 C．(−25, −24) ∪ 0，1 D．[−25, −24) ∪ 0，1 8．已知𝑥 > 0，𝑦 > 0，且𝑥 + 3𝑦 − 𝑥𝑦 = 0，若𝑥 + 3𝑦 > 𝑚 + 𝑚恒成立，则实数𝑚的取值范围为（ ） A．(−∞, −3]∪[4, +∞) B．(−4,3) C．(−3,4) D．(−∞, −4]∪[3, +∞) 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．设𝑈为全集，集合𝐴, 𝐵, 𝐶满足条件𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐶，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A．𝐵 ⊆ 𝐴 B．𝐶 ⊆ 𝐴 C．𝐴 ∩ (∁ 𝐵) = 𝐴 ∩ (∁ 𝐶) D．(∁ 𝐴) ∩ 𝐵 = (∁ 𝐴) ∩ 𝐶 10．已知 a，b为正实数，且 1a  ， 1b  ， 0ab a b   ，则（ ） A．ab的最大值为 4 B．2a b 的最小值为3 2 2 C．a b 的最小值为3 2 2 D． 1 1 1 1a b    的最小值为 2 11．已知集合𝑀 = {𝑥|𝑥 = 𝑚 − 𝑛 , 𝑚, 𝑛 ∈ Ζ}，则（ ） A．22 ∈ 𝑀 B．24 ∈ 𝑀 C．∀𝑥 = 2𝑘 − 1, 𝑘 ∈ Ζ, 𝑥 ∈ 𝑀 D．∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀, 𝑥𝑦 ∈ 𝑀 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知集合𝐴 = {𝑚 + 2,1,4}，𝐵 = {𝑚 , 1}，若𝐵 ⊆ 𝐴，则实数𝑚 = ． 13．已知关于 x的不等式组   2 2 4 5 0 2 5 2 5 x x x x x k          的解集中存在整数解且只有一个整数解，则 k的取值范围 为 . 14．设max{𝑎, 𝑏, 𝑐}为实数𝑎, 𝑏, 𝑐中最大的数．若𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0，则max 𝑥𝑧 + , 𝑥 + , + 的最小值 为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）已知 ab≠0，求证：a＋b＝1 是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0 的充要条件． 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 16．（15 分）已知集合𝐴 = {𝑥∣𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑎 − 21 = 0}，𝐵 = {𝑥∣𝑥 − 4𝑥 − 5 = 0}． (1)若𝐴 ∩ 𝐵 = {−1}，求实数 a的值； (2)若𝐴 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)，求实数 a的取值范围． 17．（15 分）已知函数𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 − 12(𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅). (1)若不等式𝑦 > 0的解集为(−3, −1)，求实数𝑎, 𝑏的值； (2)当𝑏 = 3𝑎 − 4时. （i）对任意的𝑥 ∈ [−1,2], 𝑦 < 0恒成立，求实数𝑎的取值范围； （ii）求不等式𝑦 ≥ 0的解集. 18．（17 分）如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路𝑀𝑁（宽 度不计）经过该矩形区域，其中𝑀𝑁都在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边界上.已知𝐴𝐵 = 8，𝐴𝐷 = 6（单位：百米），小路𝑀𝑁将矩 形𝐴𝐵𝐶𝐷分成面积分别为𝑆 ，𝑆 （单位：平方百米）的两部分，其中𝑆 ≤ 𝑆 ，且点𝐴在面积为𝑆 的区域内， 记小路𝑀𝑁的长为𝑙百米. （1）若𝑙 = 4，求𝑆 的最大值； （2）若𝑆 = 2𝑆 ，求𝑙的最小值. 19．（17 分）设 k是正整数，A是N∗的非空子集（至少有两个元素），如果对于 A中的任意两个元素 x，y， 都有|𝑥 − 𝑦| ≠ 𝑘，则称 A具有性质𝑃(𝑘)． (1)试判断集合𝐵 = {1,2,3,4}和𝐶 = {1,4,7,10}是否具有性质𝑃(2)？并说明理由． (2)若𝐴 = {𝑎 , 𝑎 , … , 𝑎 } ⊆ {1,2, … ,20}．证明：A不可能具有性质𝑃(3)． (3)若𝐴 ⊆ {1,2, … ,2023}且 A具有性质𝑃(4)和𝑃(7)．求 A中元素个数的最大值． 2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修一第一章和第二章。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 2．集合，，的关系是（    ） A．SPM B．M C．SP D．S 3．命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 5．已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 7．关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 11．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，，若，则实数 ． 13．已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为 . 14．设为实数中最大的数．若，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 16．（15分）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 17．（15分）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时. （i）对任意的恒成立，求实数的取值范围； （ii）求不等式的解集. 18．（17分）如图，矩形是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路（宽度不计）经过该矩形区域，其中都在矩形的边界上.已知，（单位：百米），小路将矩形分成面积分别为，（单位：平方百米）的两部分，其中，且点在面积为的区域内，记小路的长为百米. （1）若，求的最大值； （2）若，求的最小值. 19．（17分）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质． (1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由． (2)若．证明：A不可能具有性质． (3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修一第一章和第二章。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知集合𝐴 = {𝑥|𝑥 − 𝑥 = 0}，则−1与集合𝐴的关系为（ ） A．−1 ∈ 𝐴 B．−1 ∉ 𝐴 C．−1 ⊆ 𝐴 D．−1 ⊈ 𝐴 2．集合𝑀 = {𝑥|𝑥 = 5𝑘 − 2,𝑘 ∈ Z}，𝑃 = {𝑥|𝑥 = 5𝑛 + 3,𝑛 ∈ Z}，𝑆 = {𝑥|𝑥 = 10𝑚 + 3,𝑚 ∈ Z}的关系是（ ） A．SPM B．𝑆 = 𝑃M C．SP= 𝑀 D．𝑃 = 𝑀S 3．命题“∃𝑥 ∈ R，不等式𝑎𝑥 − 2𝑥 + 1 ≤ 0”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A．𝑎 > 0 B．𝑎 > 1 C．0 < 𝑎 < D．𝑎 > 2 4．已知全集是实数集𝑅，集合𝐴 = {𝑥|𝑥 > 2 }，𝐵 = {𝑥|𝑥 − 𝑥 − 6 > 0 }，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A．{𝑥|𝑥 > 2 } B．{𝑥|−2 ≤ 𝑥 ≤ 2 } C．{𝑥|𝑥 ≤ 2 } D．{𝑥|𝑥 < −2或𝑥 > 2} 5．已知实数𝑎 > 𝑏 > 1，𝑐 ∈ R，下列关系正确的是（ ） A．𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 B． > C． < D．√𝑎 + 1 − √𝑎 < √𝑏 − √𝑏 − 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6．已知集合𝐴 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 + 𝑦 ≤ 2, 𝑥 ∈ Z, 𝑦 ∈ Z}，𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 ≥ 𝑥}，则𝐴 ∩ 𝐵的子集个数为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 7．关于𝑥的不等式𝑥 − 𝑎𝑥 − 6𝑎 < 0的解集是{𝑥|𝑚 < 𝑥 < 𝑛}，且𝑛 − 𝑚 ≤ 5，则实数𝑎的取值范围 （ ） A．[−25, −24) B． 0，1 C．(−25, −24) ∪ 0，1 D．[−25, −24) ∪ 0，1 8．已知𝑥 > 0，𝑦 > 0，且𝑥 + 3𝑦 − 𝑥𝑦 = 0，若𝑥 + 3𝑦 > 𝑚 + 𝑚恒成立，则实数𝑚的取值范围为（ ） A．(−∞, −3]∪[4, +∞) B．(−4,3) C．(−3,4) D．(−∞, −4]∪[3, +∞) 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．设𝑈为全集，集合𝐴, 𝐵, 𝐶满足条件𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐶，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A．𝐵 ⊆ 𝐴 B．𝐶 ⊆ 𝐴 C．𝐴 ∩ (∁ 𝐵) = 𝐴 ∩ (∁ 𝐶) D．(∁ 𝐴) ∩ 𝐵 = (∁ 𝐴) ∩ 𝐶 10．已知 a，b为正实数，且 1a  ， 1b  ， 0ab a b   ，则（ ） A．ab的最大值为 4 B．2a b 的最小值为3 2 2 C．a b 的最小值为3 2 2 D． 1 1 1 1a b    的最小值为 2 11．已知集合𝑀 = {𝑥|𝑥 = 𝑚 − 𝑛 , 𝑚, 𝑛 ∈ Ζ}，则（ ） A．22 ∈ 𝑀 B．24 ∈ 𝑀 C．∀𝑥 = 2𝑘 − 1, 𝑘 ∈ Ζ, 𝑥 ∈ 𝑀 D．∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀, 𝑥𝑦 ∈ 𝑀 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知集合𝐴 = {𝑚 + 2,1,4}，𝐵 = {𝑚 , 1}，若𝐵 ⊆ 𝐴，则实数𝑚 = ． 13．已知关于 x的不等式组   2 2 4 5 0 2 5 2 5 x x x x x k          的解集中存在整数解且只有一个整数解，则 k的取值范围 为 . 14．设max{𝑎, 𝑏, 𝑐}为实数𝑎, 𝑏, 𝑐中最大的数．若𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0，则max 𝑥𝑧 + , 𝑥 + , + 的最小值 为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知 ab≠0，求证：a＋b＝1 是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0 的充要条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 16．（15 分）已知集合𝐴 = {𝑥∣𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑎 − 21 = 0}，𝐵 = {𝑥∣𝑥 − 4𝑥 − 5 = 0}． (1)若𝐴 ∩ 𝐵 = {−1}，求实数 a的值； (2)若𝐴 ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵)，求实数 a的取值范围． 17．（15 分）已知函数𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 − 12(𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅). (1)若不等式𝑦 > 0的解集为(−3, −1)，求实数𝑎, 𝑏的值； (2)当𝑏 = 3𝑎 − 4时. （i）对任意的𝑥 ∈ [−1,2], 𝑦 < 0恒成立，求实数𝑎的取值范围； （ii）求不等式𝑦 ≥ 0的解集. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 18．（17分）如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路𝑀𝑁（宽 度不计）经过该矩形区域，其中𝑀𝑁都在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边界上.已知𝐴𝐵 = 8，𝐴𝐷 = 6（单位：百米），小路𝑀𝑁将矩 形𝐴𝐵𝐶𝐷分成面积分别为𝑆 ，𝑆 （单位：平方百米）的两部分，其中𝑆 ≤ 𝑆 ，且点𝐴在面积为𝑆 的区域内， 记小路𝑀𝑁的长为𝑙百米. （1）若𝑙 = 4，求𝑆 的最大值； （2）若𝑆 = 2𝑆 ，求𝑙的最小值. 19．（17 分）设 k是正整数，A是N∗的非空子集（至少有两个元素），如果对于 A中的任意两个元素 x，y， 都有|𝑥 − 𝑦| ≠ 𝑘，则称 A具有性质𝑃(𝑘)． (1)试判断集合𝐵 = {1,2,3,4}和𝐶 = {1,4,7,10}是否具有性质𝑃(2)？并说明理由． (2)若𝐴 = {𝑎 , 𝑎 , … , 𝑎 } ⊆ {1,2, … ,20}．证明：A不可能具有性质𝑃(3)． (3)若𝐴 ⊆ {1,2, … ,2023}且 A具有性质𝑃(4)和𝑃(7)．求 A中元素个数的最大值．