2.3有理数的乘方-2024-2025学年《七年级上册数学题型大全精讲》（2024人教新版）

人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第二章 有理数的运算 2.3有理数的乘方 学习目标 1.理解乘方的意义，会进行有理数的乘方的运算； 2.掌握有理数的混合运算顺序，能熟练进行简单的混合运算； 3.会用科学记数法表示绝对值大于10的数，会将用科学记数法表示的数还原； 4.知道近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算； 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——利用乘方意义计算 题型2——有理数的混合运算 题型3——科学记数法问题 题型4——近似数问题 题型5——利用乘方解决实际问题 题型6——乘方规律探究问题 题型7——新定义问题 题型8——程序图问题 知识详解 知识点1：有理数的乘方的意义 乘方定义： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 名师点拨： （1）乘方与幂是不同的，乘方是运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数有几种情况要用括号括起来： · 当底数是负数时：例如： · 当底数是分数时：例如： · 当底数中含有别的运算时：例如： （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 知识点2：有理数乘方的符号法则 乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 名师点拨： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 知识点3：有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序： (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，一般先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 名师点拨： (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是一级运算，乘除法是二级运算，乘方是三级运算； (2)含有括号的混合运算一般做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行；如遇到特殊情况，也可以从大到小进行运算。 (3)在运算过程中注意合理运用运算律简化运算． 知识点4：科学记数法与近似数 1.科学记数法： 把一个大于10的数表示成的形式（其中，l≤＜10，是正整数），这种记数法 叫做科学记数法. 名师点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则比这个数的整数位数少1. 2.近似数： （1）准确数：与实际完全符合的数称为准确数. （2）近似数：接近准确数但不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. （3）精确度：是指近似数与准确数的接近程度. 精确度的表述方法: · 用数位表示:如精确到千位或精确到百分位等; · 用小数点表示:如精确到0.1或精确到0.0001等. （4）取近似数的方法：四舍五入法；进一法；去尾法等。至于选择什么方法要根据具体情况选择。 典例大全 题型1 利用乘方意义计算 例题1．计算： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【变式训练】1．计算： (1)； (2)． 【变式训练】2．计算下列各题，并说说它们的区别． (1)； (2)； (3)． 【变式训练】3．计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式训练】4．计算： (1) (2)； (3)； (4). 题型2 有理数的混合运算 例题2．计算． (1)； (2)． 【变式训练】1．计算： (1)； (2)． 【变式训练】2．计算： (1)； (2)． 【变式训练】3．(1)； (2) ． 【变式训练】4．计算： (1)； (2)． 题型3 科学记数法问题 例题3．赤道半径为6378200米，用科学记数法表示为 米． 【变式训练】1．“神威·太湖之光”超级计算机运算速度达每秒次，它工作可进行 次运算．（结果用科学记数法表示） 【变式训练】2．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算按某国人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米 千克？（用科学记数法表示） 【变式训练】3．中国第三艘航空母舰“福建舰”排水量约为吨，将用科学记数法表示为 ． 【变式训练】4．我国南海探明可燃冰储量约19400000000立方米，19400000000用科学记数法表示为 ． 【变式训练】5．用科学记数法表示一个数为，则这个数原来是 ． 【变式训练】6．2023年我国国内生产总值约亿元，用科学记数法表示的数亿元的原数约为 亿元． 【变式训练】7．《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书约有个字，用科学记数法表示的数的原数是 ． 【变式训练】8．2023年国庆期间，郑州新彩虹桥顺利通车．通车当天搜索“郑州新彩虹桥”，找到相关结果用科学记数法表示为个，则原数是 个． 【变式训练】9．“有钱没钱，回家过年．”春节是中国的传统习俗，家人团聚，走亲访友，铁路运输的压力倍增．2019年铁路春运从1月21日起至3月1日止，共40天，约发送旅客人次，这个用科学记数法表示的数据的原数为 亿人次． 题型4 近似数问题 例题4．近似数精确到 位． 【变式训练】1．把202300精确到万位是 ． 【变式训练】2．“四舍五入”法取近似值是6.0的最大两位小数是( )，最小两位小数( )． 【变式训练】3．用四舍五入法取近似值： （精确到百分位） 【变式训练】4．用四舍五入法，精确到，对取近似值的结果是 ． 题型5 利用乘方解决实际问题 例题5．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【变式训练】1．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【变式训练】2．如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【变式训练】3．拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【变式训练】4．有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为毫米．请在下面括号内填上适当的数： (1)对折2次后，厚度为 毫米；对折3次后，厚度为 毫米； (2)对折20次后，厚度为多少毫米？大约有多少层楼高？（友情提示：，，．设每层楼高度为3米） 题型6 乘方规律探究问题 例题6．观察下列各式，完成下列问题。 已知1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52，…… （1）仿照上例，计算：1+3+5+7+……+99=_______ （2）根据上述规律，请你用自然数n（n≥1）表示一般规律：_______ （3）根据你所总结的规律计算121+123+……+179的值 【变式训练】1．问题：你能比较两个数 20182019与20192018的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n是非零自然数）．然后，我们分析n=1，n=2，n=3…这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，猜想出结论． （1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小 ①12 ____ 21 ② 23 ___ 32 ③ 34 ____ 43 ④ 45 ____ 54 ⑤56 ____ 65 ⑥ 67 ____ 76 （2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想nn+1和（n+1）n的大小关系； （3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20182019 ______ 20192018． 【变式训练】2．探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【变式训练】3．阅读下面材料并完成填空，你能比较两个数20072008和20082007的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n≥1的整数），然后，从分析这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． （1）通过计算，比较下列各组两个数的大小（在横线上填＞、=、＜号） ①12 21； ②23 32； ③34 43； ④45 54； ⑤56 65；… （2）从第（1）小题的结果经过归纳，可以猜想，nn+1和（n+1）n的大小关系是什么？ （3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以猜想得到20072008 20082007（填＞、=、＜）． 【变式训练】4．观察下面三行数: 1，-2，  4，  -8，  16，  -32,    64，  …；① 3， 0，  6，  -6，  18，  -30，   66，  …；② 0， 3，  -3，  9，  -15，  33，   -63， …. ③ (1)第①行数的第n（n≥2）个数是 ；    (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n（n≥2）个数是 ；同理直接写出第③行数的第n（n≥2）个数是 ； (3)取每行的第k个数,这三个数的和能否等于 -509？如果能，请求出k的值；如果不能，请说明理由. 题型7 新定义问题 例题7．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；           ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 【变式训练】1．阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：；；观察上述算式，；可以得到：；类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”； (3)知识运用： ， ； (4)已知，则的值是 ． 【变式训练】2．将一个正整数x的首位数字与末位数字先立方再求和得到一个新数（若x＜10，则直接将x立方得到新数），定义为M（x）运算．例如：M（2）=23=8，M（31）=33+13=28，M（102）=13+23=9，规定对某个正整数x进行第一次M（x）运算记作M1（x），第二次M（x）运算记作M2（x），……，第n次M（x）运算记作Mn（x），例如：M1（2）=23=8，M2（2）=83=512，M3（2）=53+23=133． （1）求M2（3）和M2017（3）； （2）若M5n（3）=520，求正整数n的最小值． 【变式训练】3．在上个月，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作． 运算法则如下： 当时， 当时， 当时， 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：______，______； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【变式训练】4．任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例：，则． (1)填空： ， ． (2)若，求n的值． 题型8 程序图问题 例题8．【知识背景】在学习计算框图时，可以用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条） 【尝试解决】 （1）如图1，当输入数时，输出数______； 如图2，第①个“”内，应填______；第②个“”内，应填______； （2）如图3，当输入数时，请计算出数y的值； 【实际应用】 （3）为鼓励节约用水，某市决定对家庭用水实行“阶梯价”，当每月用水量不超过10吨时（含10吨），以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．如图4是小聪设计的一个家庭水费“计算框图”，请把计算框图中①②③方框补充完整． 第①个“”内，应填____________；第②个“”内，应填____________；第③个“”内，应填____________． 【变式训练】1．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质： ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 【变式训练】2．下面是一组数值转换机的示意图． (1)写出图（b）中的转化步骤：①_____，②_____，③_____； (2)图（b）中，若，求输出的值； (3)图（a）中，若，求x的值． 【变式训练】3．如图，有一个数值转换器，输入x后按照箭头的指示进行计算，输出的结果则作为新的输入数值重新计算． (1)若最初输入的是，可发现第一次输出的结果是______； 第二次输出的结果是______； 第2023次输出的结果为______． (2)若第三次输出的结果是0，则最初输入的数值可能是______． 【变式训练】4．已知图所示的计算程序. 根据计算程序回答下列问题： （1）填写表内空格： 输入x 3 2 -2 … 输出答案 0 … （2）你发现的规律是 ． （3）用简要过程说明你发现的规律的正确性. 题型检测 一、选择题（本大题共10小题） 1．表示（        ） A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．个6相乘的积 D．6与相乘的积 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各组数中，最后运算结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 6．小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 7．下列式子计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为的木棍，第天截取后木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 9．如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式再加上（    ）后，结果就是1． A． B． C． D． 10．小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题） 11．把写成乘方形式 ． 12．计算： ， ， ． 13．若，为有理数，且，则的值为 ． 14．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 15．规定：若，则，则根据此规定， ． 16．已知，则的值是 ． 17．对有理数a，b，定义运算★如下：，则 ． 18．数学家发明了一个魔术盒，当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数：．例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中得到有理数m，再将有理数对放入其中后，得到的有理数是 ． 19．阅读材料： 若，则，称b为以a为底N的对数． 例如，则． 根据材料填空： ． 20．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图②的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图④的图案，其中完整的圆一共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆一共有 个． 三．解答题（本大题共4小题） 21．计算 (1) (2) 22．计算 (1) (2) (3) (4) 23．当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去． (1)当对折3次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是0.1mm，求对折8次时，总厚度是多少mm？ 24．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第二章 有理数的运算 2.3有理数的乘方 学习目标 1.理解乘方的意义，会进行有理数的乘方的运算； 2.掌握有理数的混合运算顺序，能熟练进行简单的混合运算； 3.会用科学记数法表示绝对值大于10的数，会将用科学记数法表示的数还原； 4.知道近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算； 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——利用乘方意义计算 题型2——有理数的混合运算 题型3——科学记数法问题 题型4——近似数问题 题型5——利用乘方解决实际问题 题型6——乘方规律探究问题 题型7——新定义问题 题型8——程序图问题 知识详解 知识点1：有理数的乘方的意义 乘方定义： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 名师点拨： （1）乘方与幂是不同的，乘方是运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数有几种情况要用括号括起来： · 当底数是负数时：例如： · 当底数是分数时：例如： · 当底数中含有别的运算时：例如： （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 知识点2：有理数乘方的符号法则 乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 名师点拨： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 知识点3：有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序： (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，一般先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 名师点拨： (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是一级运算，乘除法是二级运算，乘方是三级运算； (2)含有括号的混合运算一般做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行；如遇到特殊情况，也可以从大到小进行运算。 (3)在运算过程中注意合理运用运算律简化运算． 知识点4：科学记数法与近似数 1.科学记数法： 把一个大于10的数表示成的形式（其中，l≤＜10，是正整数），这种记数法 叫做科学记数法. 名师点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则比这个数的整数位数少1. 2.近似数： （1）准确数：与实际完全符合的数称为准确数. （2）近似数：接近准确数但不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. （3）精确度：是指近似数与准确数的接近程度. 精确度的表述方法: · 用数位表示:如精确到千位或精确到百分位等; · 用小数点表示:如精确到0.1或精确到0.0001等. （4）取近似数的方法：四舍五入法；进一法；去尾法等。至于选择什么方法要根据具体情况选择。 典例大全 题型1 利用乘方意义计算 例题1．计算： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)(2)1(3)(4)(5)(6)(7)1000(8)0 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，熟练掌握乘方定义是解题的关键．分别根据有理数的乘方的定义进行计算即可． （1）根据有理数乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数乘方运算法则计算即可； （5）根据有理数乘方运算法则计算即可； （6）根据有理数乘方运算法则计算即可； （7）根据有理数乘方运算法则计算即可； （8）根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 【变式训练】1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）根据乘方的意义，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行即可； （）根据乘方的意义，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行即可； 本题考查了乘方的运算，解题的关键是熟记负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，的任何正整数次幂都是． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式训练】2．计算下列各题，并说说它们的区别． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查乘方运算． （1）根据有理数的乘方运算法则进行计算； （2）根据有理数的乘方运算法则进行计算； （3）根据有理数的乘方运算法则进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 区别：有理数的乘方运算，底数不同，第（1）题进行有理数的乘方运算，其底数是，第（2）题分子部分进行有理数的乘方运算，其底数是3，第（3）题分母部分进行有理数的乘方运算，其底数是5． 【变式训练】3．计算： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】根据有理数的乘方运算计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：； 故答案为：； （4）解：． 故答案为：． 【变式训练】4．计算： (1) (2)； (3)； (4). 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值． 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型2 有理数的混合运算 例题2．计算． (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算： （1）先根据乘法分配律去括号，然后计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答； （2）利用运算律先算乘法，后算加减，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）利用加法交换律和结合律进行计算再相加即可求解； （）利用乘方运算和乘法分配律进行即可，再相加减即可求解； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ， ， ． 【变式训练】3．(1)； (2) ． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意计算的准确性即可． （1）利用有理数的混合运算法则即可求解； （2）利用有理数的混合运算法则即可求解； 【详解】解：（1）原式 （2）原式 【变式训练】4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的乘除混合计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型3 科学记数法问题 例题3．赤道半径为6378200米，用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 【变式训练】1．“神威·太湖之光”超级计算机运算速度达每秒次，它工作可进行 次运算．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．先将化为，再进行计算，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：， （次）， 答：它工作可进行次运算． 故答案为： 【变式训练】2．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算按某国人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米 千克？（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，科学记数法的应用，先计算一粒大米重约克，再计算一年的总量结合科学记数法表示即可． 【详解】解：（克）． 故一粒大米重约克． （千克）． 答：一年大约能节约大米千克． 【变式训练】3．中国第三艘航空母舰“福建舰”排水量约为吨，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 【变式训练】4．我国南海探明可燃冰储量约19400000000立方米，19400000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：19400000000用科学记数法表示为：． 故答案为：． 【变式训练】5．用科学记数法表示一个数为，则这个数原来是 ． 【答案】1500 【分析】本题考查科学记数法表示的数变回原数．科学记数法指把一个数写成（其中，为整数）的形式． 【详解】解：． 故答案为：1500． 【变式训练】6．2023年我国国内生产总值约亿元，用科学记数法表示的数亿元的原数约为 亿元． 【答案】1260000 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数恢复为原数，根据科学记数法中n值的确定方法，将恢复原数后应该是一个七位数的整数，即可得出答案． 【详解】解：亿元的原数约为1260000亿元． 故答案为：1260000． 【变式训练】7．《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书约有个字，用科学记数法表示的数的原数是 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法数字还原，根据指数是几，小数点向右移即为求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 【变式训练】8．2023年国庆期间，郑州新彩虹桥顺利通车．通车当天搜索“郑州新彩虹桥”，找到相关结果用科学记数法表示为个，则原数是 个． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示的数还原成原数．科学记数法的表示形式为的形式中，原数的整数位数等于．原数等于把a的小数点向右移动n位所得的数，若向右移动，位数不够则用0补上．据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】9．“有钱没钱，回家过年．”春节是中国的传统习俗，家人团聚，走亲访友，铁路运输的压力倍增．2019年铁路春运从1月21日起至3月1日止，共40天，约发送旅客人次，这个用科学记数法表示的数据的原数为 亿人次． 【答案】4.1 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数． 【详解】解：=410000000=4.1亿， 故答案为：4.1 题型4 近似数问题 例题4．近似数精确到 位． 【答案】百分 【分析】此题考查了近似数，根据精确到的数位进行回答即可． 【详解】解：近似数精确到百分位， 故答案为：百分 【变式训练】1．把202300精确到万位是 ． 【答案】200000 【分析】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式． 把千位上的数字2进行四舍五入即可． 【详解】把202300精确到万位是200000． 故答案为：200000． 【变式训练】2．“四舍五入”法取近似值是6.0的最大两位小数是( )，最小两位小数( )． 【答案】 【分析】本题主要考查近似数的知识，熟练掌握近似数的求法是解题关键．最大是百分位上的数舍去，最小是百分位上的数进一，据此即可获得答案． 【详解】解：“四舍五入”法取近似值是6.0的最大两位小数是，最小两位小数． 故答案为：，． 【变式训练】3．用四舍五入法取近似值： （精确到百分位） 【答案】6.32 【分析】根据四舍五入法（千分位大于5或者等于5进一否则直接去掉）以及近似数的定义填空即可．本题考查了四舍五入法以及近似数的定义 【详解】解：∵千分位 ∴ 故答案为：6.32 【变式训练】4．用四舍五入法，精确到，对取近似值的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．根据近似数的精确度求解． 【详解】解：精确到，对取近似值的结果是：； 故答案为：． 题型5 利用乘方解决实际问题 例题5．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】(1)(2)32000(3)32倍 【分析】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． （1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得； （2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得； （3）先算出两个小时后的数量是，计算可得答案． 【详解】（1）解：根据题意：一个细菌在分裂n次后，数量变为个； （2）解：， 1小时后，盘子里有个细菌； （3）解：， 两个小时后的数量是， ∴两个小时后的数量是1小时后的（倍）． 【变式训练】1．水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析；(2)35天 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 【变式训练】2．如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【答案】(1)层数 (2)6.4毫米 【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键． （1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系； （2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解． 【详解】（1）解：∵对折1次，层数， 对折2次，层数， 对折3次，层数， ∴对折n次，层数； （2）解： （毫米）， 答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米． 【变式训练】3．拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【答案】(1)128(2) 【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（根） ∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根． （2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是． ∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀， ∴8次后，平均每一根面条横截面积． 【变式训练】4．有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为毫米．请在下面括号内填上适当的数： (1)对折2次后，厚度为 毫米；对折3次后，厚度为 毫米； (2)对折20次后，厚度为多少毫米？大约有多少层楼高？（友情提示：，，．设每层楼高度为3米） 【答案】(1)4；8(2)毫米；35层 【分析】（1）根据有理数的乘方的定义解答； （2）根据对折后2的次数与对折次数相同，表示出对折20次后的高度，再转化为单位米即可． 【详解】（1）解：对折2次后，厚度为毫米； 对折3次后，厚度为毫米； （2）解：对折20次后，厚度为：毫米， 104857.6毫米米， ． 答：厚度为104857.6毫米，大约有35层楼高． 题型6 乘方规律探究问题 例题6．观察下列各式，完成下列问题。 已知1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52，…… （1）仿照上例，计算：1+3+5+7+……+99=_______ （2）根据上述规律，请你用自然数n（n≥1）表示一般规律：_______ （3）根据你所总结的规律计算121+123+……+179的值 【答案】（1）2500；（2）；（3）4500． 【分析】（1）仿照例子即可得； （2）根据例子归纳类推出一般规律即可得； （3）先根据规律分别求出和的值，再作差即可得． 【详解】（1）， 故答案为：2500； （2）归纳类推得：， 故答案为：； （3）， ， 则， ， ， ． 【变式训练】1．问题：你能比较两个数 20182019与20192018的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n是非零自然数）．然后，我们分析n=1，n=2，n=3…这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，猜想出结论． （1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小 ①12 ____ 21 ② 23 ___ 32 ③ 34 ____ 43 ④ 45 ____ 54 ⑤56 ____ 65 ⑥ 67 ____ 76 （2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想nn+1和（n+1）n的大小关系； （3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20182019 ______ 20192018． 【答案】（1）①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞；⑥＞；（2）当非零自然数n＜3时，nn+1＜（n+1）n；当非零自然数n≥3时，nn+1＞（n+1）n；（3）＞ 【分析】（1）①根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ②根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ③根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ④根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ⑤根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ⑥根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； （2）根据（1）归纳总结即可得出结论； （3）根据（2）所得结论即可比较大小． 【详解】解：（1）①∵12=1，21=2，1＜2 ∴12＜21 故答案为：＜； ②∵23=8，32=9，8＜9 ∴23＜32 故答案为：＜； ③∵34=81，43=64，81＞64 ∴34＞43 故答案为：＞； ④∵45=1024，54=625，1024＞625 ∴45＞54 故答案为：＞； ⑤∵56=15625，65=7776，15625＞7776 ∴56＞65 故答案为：＞； ⑥∵67=279936，76=117649，279936＞117649 ∴67＞76 故答案为：＞； （2）由（1）可知：当非零自然数n＜3时，nn+1＜（n+1）n； 当非零自然数n≥3时，nn+1＞（n+1）n； （3）∵2018＞3 ∴20182019＞20192018 故答案为：＞． 【变式训练】2．探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【答案】（1）①1； ②1；③1；④1 （2）①1；②1；③64 【分析】（1）①简单计算即可得到结果； ②，代入计算即可； ③，代入计算即可； ④，代入计算即可． （2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ③对比规律可发现，需要将式子变形为： 计算即可． 【详解】解：（1）计算：① ②； ③ ； ④； （2）①； ②； ③ = = = 【变式训练】3．阅读下面材料并完成填空，你能比较两个数20072008和20082007的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n≥1的整数），然后，从分析这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． （1）通过计算，比较下列各组两个数的大小（在横线上填＞、=、＜号） ①12 21； ②23 32； ③34 43； ④45 54； ⑤56 65；… （2）从第（1）小题的结果经过归纳，可以猜想，nn+1和（n+1）n的大小关系是什么？ （3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以猜想得到20072008 20082007（填＞、=、＜）． 【答案】（1）＜，＜，＞，＞，＞；（2）当n=1或2时，nn+1＜（n+1）n，当n≥3时，nn+1＞（n+1）n；（3）＞． 【详解】试题分析：（1）根据乘方的意义求出每个式子的结果，再比较即可． （2）根据（1）的结果即可得出结论． （3）根据（2）中结论比较即可 试题解析：（1）①12＜21，②23＜32，③34＞43，④45＞54，⑤56＞65； （2）由（1）可知，当n=1或2时，nn+1＜（n+1）n， 当n≥3时，nn+1＞（n+1）n； （3）∵2007＞3，2008＞3， ∴20072008＞20082007． 【变式训练】4．观察下面三行数: 1，-2，  4，  -8，  16，  -32,    64，  …；① 3， 0，  6，  -6，  18，  -30，   66，  …；② 0， 3，  -3，  9，  -15，  33，   -63， …. ③ (1)第①行数的第n（n≥2）个数是 ；    (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n（n≥2）个数是 ；同理直接写出第③行数的第n（n≥2）个数是 ； (3)取每行的第k个数,这三个数的和能否等于 -509？如果能，请求出k的值；如果不能，请说明理由. 【答案】（1）（-1）n×2n；（2）（-1）n×2n+2，1-（-1）n×2n；（3）取每行的第k个数，这三个数的和能等于-509． 【分析】（1）观察不难发现，后一个数是前一个数字的（-2）倍解答即可； （2）观察不难发现，第②行为第①行的2倍，第③行为第②行相应的数字加2； （3）根据各行的第n个数的表达式列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：（1）第①行数的第n（n≥2）个数是：（-1）n+1×2n-1， 故答案为（-1）n+1×2n-1； （2）由图中的数据可得， 第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是2，则第②行数的第n（n≥2）个数是（-1）n+1×2n-1+2， 第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是1，则第③行数的第n（n≥2）个数是1-（-1）n+1×2n-1， 故答案为（-1）n+1×2n-1+2，1-（-1）n+1×2n-1； （3）取每行的第k个数，这三个数的和能等于-509， 令（-1）k+1×2k-1+2+（-1）k+1×2k-1+1-（-1）k+1×2k-1=-509， 解得，k=10， 即取每行的第10个数，这三个数的和能等于-509． 题型7 新定义问题 例题7．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；           ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)正，负，平方相加；平方 (3)存在，当，时，；当，时， 【分析】本题考查了新定义的运算及规律探究，根据已知等式正确归纳出运算法则是解题关键． （1）根据已知新定义运算法则计算即可； （2）根据题干已知运算等式，归纳运算法则即可； （3）由判断得到或，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ① ； ② ； （2）解：由题意得 归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的平方． 故答案：正，负，平方相加；平方． （3）解：存在，理由如下 ， 或； ， ， 是整数， ①当，时， 此时，，符合题意； ； ②当，时， ， 此时，，不符合题意； ③当，时， ， 此时，，符合题意； ； ④当，时， ， 此时，，不符合题意； 综上所述：当，时，；当，时，． 【变式训练】1．阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：；；观察上述算式，；可以得到：；类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”； (3)知识运用： ， ； (4)已知，则的值是 ． 【答案】(1)，(2)(3)，(4)18 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行运算即可； （2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则； （3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可； （4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可． 【详解】（1），， 故答案为，； （2）（m、n都是正整数）， 故答案为； （3），， 故答案为，； （4）∵， ∴， 故答案为18． 【变式训练】2．将一个正整数x的首位数字与末位数字先立方再求和得到一个新数（若x＜10，则直接将x立方得到新数），定义为M（x）运算．例如：M（2）=23=8，M（31）=33+13=28，M（102）=13+23=9，规定对某个正整数x进行第一次M（x）运算记作M1（x），第二次M（x）运算记作M2（x），……，第n次M（x）运算记作Mn（x），例如：M1（2）=23=8，M2（2）=83=512，M3（2）=53+23=133． （1）求M2（3）和M2017（3）； （2）若M5n（3）=520，求正整数n的最小值． 【答案】（1）M2（3）=351，M2017（3）=217；（2）正整数n的最小值是2． 【分析】（1）分别求出M1（3）=27，M2（3）=23+73=351，M3（3）=33+13=28，M4（3）=23+83=520，M5（3）=53+03=125，M6（3）=13+53=126，M7（3）=13+63=217，…由此发现M1（3）与M7（3）的首位与末尾数字一样，所以M2017（3）=M7（3）=13+63=217； （2）当n=2时，M10（3）=M4（3）=520，可求正整数n的最小值是2． 【详解】解：（1）M1（3）=27，M2（3）=23+73=351， ∵M3（3）=33+13=28，M4（3）=23+83=520，M5（3）=53+03=125，M6（3）=13+53=126，M7（3）=13+63=217，…… 由此发现M1（3）与M7（3）的首位与末尾数字一样， ∵2017÷6=336…1， ∴M2017（3）=M7（3）=13+63=217； （2）当n=2时，M10（3）=M4（3）=520， ∴正整数n的最小值是2． 【变式训练】3．在上个月，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作． 运算法则如下： 当时， 当时， 当时， 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：______，______； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【答案】(1)， (2) (3)或2或3 【分析】（1）根据指数的大小，直接利用新定义运算的法则计算即可； （2）根据新定义运算法则的含义建立方程，再解方程即可； （3）根据新定义的运算法则结合乘方运算的含义建立方程，再分情况解方程即可． 【详解】（1）解：； ； （2）∵ ∴ ∴； （3）∵， ∴， ∴， 或或、 ∴或2或3，经检验符合题意； 【变式训练】4．任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例：，则． (1)填空： ， ． (2)若，求n的值． 【答案】(1)1，3 (2)16或25或36或49 【分析】本题考查新定义运算，绝对值，平方数等： （1）根据最优分解及的定义即可求解； （2）根据可得为10到50之间的平方数，由此可解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：1，3； （2）解：， 为10到50之间的平方数， n的值为16或25或36或49． 题型8 程序图问题 例题8．【知识背景】在学习计算框图时，可以用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条） 【尝试解决】 （1）如图1，当输入数时，输出数______； 如图2，第①个“”内，应填______；第②个“”内，应填______； （2）如图3，当输入数时，请计算出数y的值； 【实际应用】 （3）为鼓励节约用水，某市决定对家庭用水实行“阶梯价”，当每月用水量不超过10吨时（含10吨），以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．如图4是小聪设计的一个家庭水费“计算框图”，请把计算框图中①②③方框补充完整． 第①个“”内，应填____________；第②个“”内，应填____________；第③个“”内，应填____________． 【答案】（1）-7；×5，-3；（2）-51；（3）×3，×4，+30． 【分析】（1）把代入图1中的程序中计算确定出输出数y即可； 根据输出的代数式确定出程序中应填的运算即可； （2）把代入图3中的程序中计算确定出输出数y即可； （3）根据题意确定出所求计算框图即可． 【详解】解：（1）把代入图1中的程序中，得：(-1)×2-5=-7； 根据题意，得：第①个“”内，应填×5，第②个“”内，应填-3； （2）把代入图3中的程序中，得：(-2)×2-5=-9， ∵-9>-30， ∴把代入图3中的程序中，得：(-9) ×2-5=-23， ∵-23>-30， ∴把代入图3中的程序中，得：(-23) ×2-5=-51， ∵-51<-30， ∴y=-51； （3）由题意，得第①个“”内，应填×3，第②个“”内，应填×4，第③个“”内，应填+30． 【变式训练】1．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质： ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的混合运算，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据程序的运算法则计算解题即可； （2）根据题意，分两种情况列方程解应用题即可； （3）根据题目中给的三个性质依次运算解题即可． 【详解】（1）解：输入的值为，输出结果为：， 故答案为：； （2）当时，，解得； 当时，，解得，不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）当输入自然数，输入自然数，则， 根据性质③： ， 根据性质②： ， 根据性质①；， 综上，的值为． 【变式训练】2．下面是一组数值转换机的示意图． (1)写出图（b）中的转化步骤：①_____，②_____，③_____； (2)图（b）中，若，求输出的值； (3)图（a）中，若，求x的值． 【答案】(1)，，(2)(3)3或 【分析】（1）根据图形和算式得出答案即可； （2）把代入，再求出答案即可； （3）把代入，再求出答案即可． 本题考查了求代数式的值，能根据图形得出算式是解此题的关键． 【详解】（1）解：由图形和算式为得到图（b）中的转化步骤是： ①，②，③． 故答案为：，，； （2）当时， ； （3）由题意可得，图（a）中的算式为， 当时， ， 解得：或， 答：x的值为3或． 【变式训练】3．如图，有一个数值转换器，输入x后按照箭头的指示进行计算，输出的结果则作为新的输入数值重新计算． (1)若最初输入的是，可发现第一次输出的结果是______； 第二次输出的结果是______； 第2023次输出的结果为______． (2)若第三次输出的结果是0，则最初输入的数值可能是______． 【答案】(1)4，2，4；(2)或或或． 【分析】（1）根据题意，可以写出前几个输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以求得第次输出的结果． （2）根据输入的数据的奇偶性分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 由题意可得， 第一次输出的结果是， 第二次输出的结果是， 第三次输出的结果是， 第四次输出的结果是， 第五次输出的结果是， 由上可得，输出结果依次以，，循环出现，每个一次循环， ∵． ∴第次输出的结果是， 故答案为：，，； （2）解：∵第三次输出的结果是，为奇数，用计算，为偶数，用计算， ∴当第二次输出为偶数时，第二次输出结果为，当第二次输出结果为奇数时，第二次输出结果为； ∴当第二次输出为时，第一次输出结果为或，当第一次输出结果为时，最初输入的数值为或，当第一次输出结果为时，最初输入的数值为， 同理可得：第二次输出结果为时，最初输入的数值为， ∴最初输入的数值为或或或， 故答案为或或或 【变式训练】4．已知图所示的计算程序. 根据计算程序回答下列问题： （1）填写表内空格： 输入x 3 2 -2 … 输出答案 0 … （2）你发现的规律是 ． （3）用简要过程说明你发现的规律的正确性. 【答案】（1）从左到右依次填0，0，0；（2）输入任何数的结果都为0；（3）详见解析. 【分析】（1）根据题目提供的运算程序，把已知数据代入进行运算，进而将所得的结果填入表格即可； （2）接下来观察表格中数据特征总结出规律； （3）根据程序可写出关于x的方程式,此方程式的值为0,所以无论x取任何值,结果都为0. 【详解】（1）从左到右依次填0，0，0. （2）输入任何数的结果都为0 （3）-x2-x=x2+x-x2-x=0.     所以无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 题型检测 一、选择题（本大题共10小题） 1．表示（        ） A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．个6相乘的积 D．6与相乘的积 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法的意义，了解乘方的意义是解答本题的关键，难度不大． 根据乘方的意义直接回答即可． 【详解】根据乘方的意义知：表示6个相乘的积， 故选A． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，求一个数的绝对值运算，根据乘方法则，绝对值的意义，进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，选项运算错误，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 3．下列各组数中，最后运算结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算，根据乘方运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，，故不相等； B．，，故不相等； C．，，故相等； D． ，，故不相等； 故选C． 4．在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 5．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图所示，这样捏合到第8次后，就可以拉出（    ）根细面条． A．16 B．32 C．64 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，能够根据题意列出式子是解题的关键．由图可知，第一次捏合是，即，第二次是，即，第三次是，即，即可得到答案． 【详解】解：第一次捏合后面条根，即根， 第二次捏合后面条根，即根， 第三次捏合后面条根，即根， 故第8次捏合后面条为根， 故选D． 6．小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．根据复制粘贴呈2倍的速度增加，所以求2的幂运算． 【详解】解：，， 故选：B 7．下列式子计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则逐项判断即可得出答案，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 8．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为的木棍，第天截取后木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘方，分别求出第一天、第二天、第三天木棍剩余的长度，即可找到规律求解，掌握有理数乘方的意义找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意，第一天截取后木棍剩余的长度为； 第二天截取后木棍剩余的长度为； 第三天截取后木棍剩余的长度为； ∴第天截取后木棍剩余的长度是， 故选：． 9．如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式再加上（    ）后，结果就是1． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算、规律性，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知 【详解】解：由图可知， 在加上后，结果就是1 故选：D 10．小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解题关键． 仿照题干中的推理过程，令，则，再利用，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 因此， 所以． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题） 11．把写成乘方形式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方的定义：求个相同因数的积的运算叫乘方，掌握乘方的定义是解题的关键． 由乘方的定义即可得出结果． 【详解】解：根据乘方的定义可得：． 故答案为：． 12．计算： ， ， ． 【答案】 4 【分析】本题考查了去括号法则、有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则、去括号法则计算即可，熟记相关法则，正确计算出结果是解题的关键． 【详解】解：；；； 故答案为：，4，． 13．若，为有理数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】直接利用绝对值和偶次方的非负数的性质得出，的值，即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 14．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键． 根据题意依次算出每一天剩余木棍的长度，观察规律即可求得第5天截取后木棍剩余的长度． 【详解】解：第一天截取后剩：米 第二天截取后剩：米 …… ∴第五天截取后剩：米． 故答案为：2． 15．规定：若，则，则根据此规定， ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，根据题意直接计算即可求解．理解新定义结合有理数乘方运算法则计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ； 故答案为：． 16．已知，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】根据非负数的性质列出方程求出，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ， 故答案为： 17．对有理数a，b，定义运算★如下：，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确理解题目所给的新定义的运算顺序和运算法则． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：9． 18．数学家发明了一个魔术盒，当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数：．例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中得到有理数m，再将有理数对放入其中后，得到的有理数是 ． 【答案】21 【分析】本题考查有理数的混合运算和新定义问题，解答本题的关键是明确新的有理数与a、b的关系．根据当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数：，可以解答本题． 【详解】解：∵当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数：， ∴将有理数对放入其中，得到的数为：， 将有理数对放入其中后，得到有理数是：． 故答案为：21． 19．阅读材料： 若，则，称b为以a为底N的对数． 例如，则． 根据材料填空： ． 【答案】 【分析】先根据乘方确定，，根据新定义求出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：． 20．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图②的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图④的图案，其中完整的圆一共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆一共有 个． 【答案】181 【分析】将图①看作是铺成的一个1×1的正方形，图②看作是铺成的一个2×2的正方形，图③看作是铺成的一个3×3的正方形，图④看作是铺成的一个4×4的正方形，那么根据给出的四个图形的规律可以知道，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，此圆的数目是大正方形边长的平方；又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，从而可得第10个图中完整的圆的个数． 【详解】解：由分析可知：第10个图中，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为102； 又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为（10-1）2， 所以完整的圆一共有：102+（10-1）2=181个． 故答案为181 三．解答题（本大题共4小题） 21．计算 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）先算乘方和除法，再厅绝对值，然后算乘法，最后算加减； （2）先算乘方和乘法，再算除法，后算加减． 【详解】（1）解： （2）解： 22．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)13(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法分配律求解即可； （3）根据有理数乘除混合计算法则求解即可； （4）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 23．当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去． (1)当对折3次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是0.1mm，求对折8次时，总厚度是多少mm？ 【答案】(1)8(2) 【分析】（1）根据题意可知对折3次，层数就是层； （2）先算出层数，再乘0.1即可得出结果． 【详解】（1）解：∵23＝8， ∴对折3次时，层数是8； （2）解：28×0.1 ＝256×0.1 ＝25.6（mm）， ∴总厚度是25.6mm． 24．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 【答案】探究三：图见见解析； 解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3） 【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可； 解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式 (2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解； (3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解． 【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分， 其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， 阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， …， 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分， 所有阴影部分的面积之和为：， 最后的空白部分的面积是， 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以3，得； 解决问题： （1） 故答案为： （2）， 故答案为：； （3）拓广应用： ． 故答案为：． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$