拓展2-3 一元二次函数、方程和不等式的五个易错点-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

拓展2-3 一元二次函数、方程和不等式的五个易错点 一、混淆等式与不等式的性质 四、二次含参不等式讨论不当 二、忽略基本不等式的使用条件 五、混淆恒成立和能成立题目 三、忽视最高项系数为0 一、混淆等式与不等式的性质 易错分析：不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：；；②可乘方性：；③可开方性：；④同号可倒性：；； 例1．已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（多选）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、忽略基本不等式的使用条件 易错分析：利用基本不等式求函数最值时，注意其前提:“一正、二定、三相等” 例2．求函数的最小值． 变式2-1．（多选）下列不等式恒成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2-2．（多选）下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 变式2-3．当时，函数的值域为 . 三、忽视最高项系数为0 易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论 例3．已知不等式的解集是，则 ． 变式3-1．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 变式3-2．（多选）不等式的解集非空的一个必要而不充分条件是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 四、二次含参不等式讨论不当 易错分析：解二次含参不等式的具体步骤 第一步：二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； 第二步：判断方程的根的个数,讨论判别式与0的关系； 第三步：确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式 例4．解关于的不等式：． 变式4-1．已知函数． (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)解关于x的不等式． 变式4-2．解关于的不等式：. 变式4-3．解关于x的不等式. 五、混淆恒成立和能成立题目 易错分析：不等式成立问题常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法，而转化为最值问题易混淆最大值和最小值 （1）恒成立问题 若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上； 若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上 （2）能成立问题 若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上； 若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上 例5．若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 变式5-1．若命题“”是假命题，则实数的最大值 . 变式5-2．已知函数. (1)若，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 变式5-3．已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 一、单选题 1．已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．16 D．64 4．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 8．已知正数，满足且，则（    ） A．的最小值为16 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．， 三、填空题 9．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 10．若关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是 （填写正确命题的序号）． ①；②不等式的解集为；③；④不等式的解集为． 四、解答题 11．已知函数，． (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，，求的最小值． 12．已知命题p：，；命题q：， (1)若p是真命题，求实数a的取值范围； (2)若p与q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展2-3 一元二次函数、方程和不等式的五个易错点 一、混淆等式与不等式的性质 四、二次含参不等式讨论不当 二、忽略基本不等式的使用条件 五、混淆恒成立和能成立题目 三、忽视最高项系数为0 一、混淆等式与不等式的性质 易错分析：不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：；；②可乘方性：；③可开方性：；④同号可倒性：；； 例1．已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 变式1-1．若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，，不成立，故B错误； C：， 因为，所以，得，即，故C正确； D：当时，满足，，不成立，故D错误. 故选：C 变式1-2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，, 所以. 故选：D. 变式1-3．（多选）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由，得，所以，所以，则A正确； 对于B，当时，，则B错误； 对于C，由，得，所以，则C正确； 对于D，当时，，此时，则D错误. 故选：AC 二、忽略基本不等式的使用条件 易错分析：利用基本不等式求函数最值时，注意其前提:“一正、二定、三相等” 例2．求函数的最小值． 【答案】． 【详解】[错解]函数， 所以函数的最小值为2． [错因]使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件才能取等号． 上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的． [正解] ， 令，在时是单调递增的， ．故函数的最小值是． 【点睛】本题考查函数的最值，掌握基本不等式使用注意的条件：一正、二定、三相等，仔细审题，属基础题. 变式2-1．（多选）下列不等式恒成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确. 对于B，若，则，所以B错误. 对于C，因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号，所以C正确. 对于D，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以D正确. 故选：ACD 变式2-2．（多选）下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选:CD. 变式2-3．当时，函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为，则， 则，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 三、忽视最高项系数为0 易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论 例3．已知不等式的解集是，则 ． 【答案】 【详解】因为不等式的解集是， 可知，是方程的两个实根，且， 由韦达定理得，解得，， 所以． 故答案为：. 变式3-1．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 【答案】BCD 【详解】对A，若不等式的解集是，则且，得， 而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误； 对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确； 对C，取，，则由，得或3，故C正确； 对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得， 若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，， 且，关于x的方程有一个正根和一个负根. 因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确. 故选：BCD. 变式3-2．（多选）不等式的解集非空的一个必要而不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为的解集非空， 所以或，所以或， 综上， 对于A，是的解集非空的充要条件，所以A错误， 对于B，是的解集非空的一个必要而不充分条件，所以B正确， 对于C，是的解集非空的一个必要而不充分条件，所以C正确， 对于D，是的解集非空的一个充分而不必要条件，所以D错误. 故选：BC 变式3-3．若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】①当时，不等式恒成立，所以符合要求； ②当时，题意等价于，即，解得， 综上可知. 故答案为：. 四、二次含参不等式讨论不当 易错分析：解二次含参不等式的具体步骤 第一步：二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； 第二步：判断方程的根的个数,讨论判别式与0的关系； 第三步：确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式 例4．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 变式4-1．已知函数． (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）∵的解集为， ∴1，2是方程的根且， ∴， ∴， ∴． （2）当时，，∵，∴，∴； 当时，，即，即， 当时，，∴或； 当时，， （ⅰ）当时，无解； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，； 综上所述：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． 变式4-2．解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【详解】原不等式可化为，即， 也即. 当时，不等式可化为，解得. 若，则， 当时，且，解得或. 当时，且，解得. 当时，且，解得. 当时，原不等式可化为，解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 变式4-3．解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【详解】（1）当时，由，不等式的解集是. （2）当时，因为， 方程的两根为和，不等式的解集是. （3）当时，因为， 方程的两根为和，不等式的解集是. （4）当时，因为， 方程的两相等根为，不等式的解集是. （5）当时，因为， 方程无实根，所以不等式的解集是. 综上所述： 当时， 不等式的解集是. 当时， 不等式的解集是. 当时，不等式的解集是. 当时，不等式的解集是；. 当时， 不等式的解集是. 五、混淆恒成立和能成立题目 易错分析：不等式成立问题常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法，而转化为最值问题易混淆最大值和最小值 （1）恒成立问题 若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上； 若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上 （2）能成立问题 若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上； 若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上 例5．若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 变式5-1．若命题“”是假命题，则实数的最大值 . 【答案】 【详解】由题知命题的否定“”是真命题． 即，即，其中， 因为，当且仅当时等号成立，则 故实数的最大值为 故答案为：. 变式5-2．已知函数. (1)若，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意可得：， 解得， 所以实数的取值范围为. （2）恒成立，又， 所以在恒成立； 由于，当时等号成立. 所以， 即实数的取值范围为. 变式5-3．已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）命题，不等式恒成立，为真命题， 则，解得，即实数的取值范围为. （2）命题，使成立， 当为真命题时， 即，解得或， . 当命题中恰有一个为真命题时， ①为真命题，为假命题，即，所以； ②为假命题，为真命题，即，所以； 综上可得：. 一、单选题 1．已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，A不是； 对于B，当时，由，得，B不是； 对于C，，可能有，如，C不是； 对于D，由，得，则；若，则，D是. 故选：D 2．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于 A：利用数轴可得，则，根据不等式的性质，，则，故A正确； B：由于，根据不等式的性质：，则，可得，故B错误； C：由于，两边同乘，可得，对，对其左右两边同乘，得，故，即，故C正确； D：，故，故D正确； 故选：B 3．若，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．16 D．64 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，当且仅当时，的最小值为16. 故选：C. 4．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 5．“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式对恒成立， 所以，则. 则不等式恒成立的一个必要不充分条件是. 故选：B 6．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由使得不等式成立是真命题， 即不等式在有解， 因为，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 7．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于一元二次不等式，则 当时，函数开口向上，与轴的交点为， 故不等式的解集为； 当时，函数开口向下， 若，不等式解集为； 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 故选：ACD 8．已知正数，满足且，则（    ） A．的最小值为16 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．， 【答案】CD 【详解】由题意可得，，， （当且仅当时取等号）， 经检验后无法取得等号，故A、B错误； 由得，由得：， ，又（当且仅当时取等号）， ，故C正确； ，，，，故D正确， 故选：CD. 三、填空题 9．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意可得“”是真命题， 当，即时，命题成立； 当时，得，解得， 综上，符合题意的实数的取值范围是. 故答案为：. 10．若关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是 （填写正确命题的序号）． ①；②不等式的解集为；③；④不等式的解集为． 【答案】①②④ 【详解】由题意知，，，所以①②正确，③错误， 因为，代入，， 得，又因， 所以解得或，所以④正确. 故选：①②④ 四、解答题 11．已知函数，． (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【详解】（1）不等式即为， ∴， 方程的两根分别为2和， 当时，解不等式可得， 当时，不等式无解， 当时，解不等式可得， 综上可知：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． （2）方程有两个正实数根，， 即方程有两个正实数根，， 则，解得， 由韦达定理得，，， 故， 当时，，达到最小值，故的最小值为． 12．已知命题p：，；命题q：， (1)若p是真命题，求实数a的取值范围； (2)若p与q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）命题p：，为真， 则恒成立，等价于， 令，由基本不等式可得，， 当且仅当时，等号成立，即，所以 故实数a的取值范围为. （2）命题q为真命题：，， 故，解得或 由于p与q有且只有一个为假命题， ①p真q假：，故； ②p假q真：，故； 故实数a的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$