高二数学第一次月考卷01（人教A版2019选择性必修第一册第1.1～2.3章空间向量与立体几何+直线）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第一次月考

试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ __ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 01 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第1.1~2.3章（空间向量与立体几何+直线）。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知点 (1, 1, 2)A  关于 z 轴的对称点为 B，则 AB 等于（ ） A．2 2 B．2 6 C．2 D．3 2 2．直线 :l 2 3 1 0x y   的一个方向向量为（ ） A．  2, 3 B． C． D．  3,2 3．在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 的中点，则 1 ( ) 2 AF AB AC      （ ） A． EF  B．BD  C．EF  D． BD  4．已知点  , 3,5A a  ，  0, ,2B b ，  2,7, 1C  ，若 A，B，C 三点共线，则 a，b 的值分别是（ ） A． 2 ，3 B． 1 ，2 C．1，3 D． 2 ，2 5．“ 1a  ”是“直线 2 6 0ax y   与直线   21 1 0x a y a     平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在所有棱长均为 2 的平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1 60A AB A AD BAD      ，则 1AC 的长为（ ） A．2 3 B． 2 5 C．2 6 D．6 7．数学家欧拉于 1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依 次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧 拉线.已知 ABC 的顶点为  0,0A ，  5,0B ，  2,4C ，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A． 1 5 2 2 y x   B． 1 1 2 6 y x  C． 2 10y x   D． 2 10y x  8．在棱长为a 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，M ，N 分别为 1BD ， 1 1B C 的中点，点 P 在正方体表面上运动， 且满足MP CN ，则点 P 轨迹的长度是（ ） A．  2 5 a B．   3 3 a C．  3 5 a D．4a 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知直线 l： 1 0mx y  ＝ ，  1,0A ，  3,1B ，则下列结论正确的是（ ） A．直线 l 恒过定点  0,1 B．当 m＝1 时，直线 l 的倾斜角为 3π 4 C．当 m＝0 时，直线 l 的斜率不存在 D．当 m＝2 时，直线 l 与直线 AB 垂直 10．已知向量    1, 2 , 2 , 2 5, ,1a m m b m m     ，则下列结论正确的是（ ） A．若 a  ∥ b  ，则 3m  B．若a b  ，则 2 5 m   C． a  的最小值为 2 30 5 D． a  的最大值为 4 11．已知四面体 ABCD满足 1AB CD  ， 2BC AD BD AC    ，则（ ） A．直线 AC 与BD所成的角为30 B．直线 AB 与CD所成的角为90 C．点M 为直线 AD 上的动点，M 到 BC 距离的最小值为 2 2 D．二面角C AB D  平面角的余弦值为 5 7 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知 (4,0)A 到直线4 3 0x y a   的距离等于 3，则 a 的值为 . 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 13．在正方体 ABCD A B C D    中，点 E 是上底面 A B C D   的中心，若 AE x AD y AB z AA       ，则实数 x y z   ． 14．已知 ,P Q 分别在直线 1 : 1 0l x y   与直线 2 : 1 0l x y   上，且 1PQ l ，点  4,6A  ，  5, 1B  ，则 AP PQ QB  的最小值为 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分） 已知直线 1l ：2 3 2 0x y   ， 2l ：  2 1 1 0mx m y    ，其中m 为实数. （1）当 1 2l l∥ 时，求直线 1l ， 2l 之间的距离； （2）当 1m  时，求过直线 1l ， 2l 的交点，且垂直于直线 2 4 0x y   的直线方程. 16．（15 分） 如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2 4AA AB  ， E ， F 分别为 1BB ， 1CC 的中点. （1）证明： 1 / /A F 平面CDE . （2）求 1A E 与平面CDE 所成角的正弦值. 17．（15 分） 已知直线 : 1 2 0( R)l kx y k k     ． （1）求证：直线 l经过一个定点； （2）若直线 l交 x 轴的正半轴于点A ，交 y 轴的正半轴于点 B ，O为坐标原点，设 AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线 l的方程． 18．（17 分） 如图，已知四棱锥P ABCD 的底面 ABCD是平行四边形， 4BC  ， 60ABC  ， PAB 是边长为 2 的等 边三角形，PB AC ，E 是线段PD的中点. （1）求证：平面PAB 平面 ABCD； （2）若 (0 1)PF PC      ，是否存在，使得平面BEF 和平面PAD 夹角的余弦值为 3 5 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 19．（17 分） 如图，在三棱台 ABC DEF 中， 2AB BC AC   ， 1AD DF FC   ，N 为DF 的中点，二面角D AC B  的大小为 ． （1）求证： AC BN ； （2）若 π 2   ，求三棱台 ABC DEF 的体积； （3）若A 到平面BCFE 的距离为 6 2 ，求 cos 的值． 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第1.1~2.3章（空间向量与立体几何+直线）。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】点关于z轴的对称点为B，所以.故选A. 2．直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，，所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量.故选B. 3．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以.故选C 4．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【解析】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得.故选D. 5．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若直线与直线互相平行且不重合， 则，解得，故. 所以“”是“直线与直线互相平行且不重合”的充要条件． 故选C． 6．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解析】因为，所以 ， 从而，即的长为．故选C. 7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由重心坐标公式可得：重心，即. 由，，可知外心在的垂直平分线上， 所以设外心，因为， 所以，解得，即：， 则， 故欧拉线方程为：，即：，故选A. 8．在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，则点轨迹的长度是（ ） A． B． C． D．4a 【答案】A 【解析】在正方体中，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，∴，，，，∴， 设，则，    ∵，∴，可得； 当时，，当时，， 取，，，，连接，，，， 则，， ∴四边形为矩形，则，， 即，，又和为平面中的两条相交直线， ∴平面， 又，， ∴为的中点，则平面， 为使，必有点平面， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形， 又，，∴，则点的轨迹不是正方形， 则矩形的周长为．故选A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当m＝1时，直线l的倾斜角为 C．当m＝0时，直线l的斜率不存在 D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直 【答案】BD 【解析】对于选项A，直线，令，解得直线l恒过定点，选项A错误； 对于选项B，当m＝1时，直线l的方程为，斜率为，倾斜角为，选项B正确； 对于选项C，当m＝0时，直线l的方程化为，斜率为，斜率存在，选项C错误； 对于选项D，当m＝2时，直线，所以． 由，，可得，得， 所以直线l与直线AB垂直，选项D正确． 故选BD． 10．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】AC 【解析】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选AC. 11．已知四面体满足，，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．点为直线上的动点，到距离的最小值为 D．二面角平面角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】将四面体放入长方体中，（如图），设长方体的长宽高分别为， 则， 所以解得， 建立如图所示的空间直角坐标系，则, 故故， 所以直线与所成的角为，A错误， 由于，故， 直线与所成的角为，B正确， 对于C，点为直线上的动点，当位于的中点时，此时到的距离最小， 且最小值为长方体的高，即为，C正确， 对于D，取中点，连接,由于，， 所以,故为所求角， , 故，故D正确. 故选BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 【答案】或 【解析】由距离公式可得，，即，解得或. 故答案为：或. 13．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数 ． 【答案】2 【解析】因为， 又， 所以，，，．    故答案为：. 14．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 【答案】/ 【解析】因为，，所以直线与间的距离为， 又，故，过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则，所以直线的方程为， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【解析】（1）由得，解得，（2分） 此时直线：，：，不重合，（3分） 则直线，之间的距离为；（6分） （2）当时，：， 联立，解得，（8分） 又直线斜率为，（9分） 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，（12分，表达出斜率为-2得1分） 即.（13分，化成斜截式一样给分） 16．（15分） 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.    （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.（2分） 因为，分别为的中点，所以，，（3分） 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，（5分） 令，则有，，即，（6分） 因为，所以，（8分） 又平面，所以平面；（9分） （2）由（1）可知，，（10分） ，（14分） 所以与平面所成角的正弦值为.（15分） 17．（15分） 已知直线． （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【解析】（1）直线， 化为，（2分） 当时，对任意实数，恒有，（3分） 所以直线过定点.（4分） （2）依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点， （6分） 而点分别在轴的正半轴上，即，于是，（8分） 则的面积为，（12分） 当且仅当，即时取等号，（13分） 所以当时，，（14分） 此时直线的方程为.（15分） 18．（17分） 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：在中，由余弦定理知，，（2分） 所以，即，（3分） 因为，（4分） 且，、平面， 所以平面，（5分） 又平面，所以平面平面．（6分） （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，， （8分） 所以，0，，，，，，，， ，0，，，，， 所以，0，，，，，， 设平面的法向量为，，，则， 即，（9分） 取，则，，所以，，，（10分） 设平面的法向量为，，，则，即，（11分） 取，则，，所以，，，（12分） 因为平面和平面夹角的余弦值为， 所以，（14分） 整理得，，即，（15分） 解得或， 因为，所以，（16分） 故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时．（17分） 19．（17分） 如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为． （1）求证：； （2）若，求三棱台的体积； （3）若到平面的距离为，求的值． 【解析】（1）取的中点为，连接；如下图所示： 易知平面平面，（1分） 且平面平面，平面平面； 所以，（2分） 又因为， 可得四边形为等腰梯形，且分别为的中点，所以，（3分） 因为，所以，（4分） 易知，且平面， 所以平面， 又平面，所以；（5分） （2）由二面角定义可得，二面角的平面角即为， 当时，即，因此可得平面，（6分） 可知即为三棱台的高，由可得；（7分） 易知三棱台的上、下底面面积分别为，（8分） 因此三棱台的体积为（9分） （3）由（1）知，，，二面角的平面角即为； 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 可得， 易知，可得； 则（11分） 设平面的一个法向量为，所以，（12分） 令，则，可得；（13分） 显然， 由到平面的距离为，可得，（14分） 即，可得；（15分） 整理得，解得或cos θ=1；（16分） 又，可得.（17分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷01 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D C C A A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．或 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）由得，解得，（2分） 此时直线：，：，不重合，（3分） 则直线，之间的距离为；（6分） （2）当时，：， 联立，解得，（8分） 又直线斜率为，（9分） 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，（12分，表达出斜率为-2得1分） 即.（13分，化成斜截式一样给分） 16．（15分） 【解析】（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.（2分） 因为，分别为的中点，所以，，（3分） 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，（5分） 令，则有，，即，（6分） 因为，所以，（8分） 又平面，所以平面；（9分） （2）由（1）可知，，（10分） ，（14分） 所以与平面所成角的正弦值为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）直线， 化为，（2分） 当时，对任意实数，恒有，（3分） 所以直线过定点.（4分） （2）依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点， （6分） 而点分别在轴的正半轴上，即，于是，（8分） 则的面积为，（12分） 当且仅当，即时取等号，（13分） 所以当时，，（14分） 此时直线的方程为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）证明：在中，由余弦定理知，，（2分） 所以，即，（3分） 因为，（4分） 且，、平面， 所以平面，（5分） 又平面，所以平面平面．（6分） （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，， （8分） 所以，0，，，，，，，， ，0，，，，， 所以，0，，，，，， 设平面的法向量为，，，则， 即，（9分） 取，则，，所以，，，（10分） 设平面的法向量为，，，则，即，（11分） 取，则，，所以，，，（12分） 因为平面和平面夹角的余弦值为， 所以，（14分） 整理得，，即，（15分） 解得或， 因为，所以，（16分） 故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）取的中点为，连接；如下图所示： 易知平面平面，（1分） 且平面平面，平面平面； 所以，（2分） 又因为， 可得四边形为等腰梯形，且分别为的中点，所以，（3分） 因为，所以，（4分） 易知，且平面， 所以平面， 又平面，所以；（5分） （2）由二面角定义可得，二面角的平面角即为， 当时，即，因此可得平面，（6分） 可知即为三棱台的高，由可得；（7分） 易知三棱台的上、下底面面积分别为，（8分） 因此三棱台的体积为（9分） （3）由（1）知，，，二面角的平面角即为； 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 可得， 易知，可得； 则（11分） 设平面的一个法向量为，所以，（12分） 令，则，可得；（13分） 显然， 由到平面的距离为，可得，（14分） 即，可得；（15分） 整理得，解得或cos θ=1；（16分） 又，可得.（17分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 01 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第1.1~2.3章（空间向量与立体几何+直线）。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（    ） A． B． C．2 D． 2．直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 3．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 5．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，则点轨迹的长度是（ ） A． B． C． D．4a 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当m＝1时，直线l的倾斜角为 C．当m＝0时，直线l的斜率不存在 D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直 10．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 11．已知四面体满足，，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．点为直线上的动点，到距离的最小值为 D．二面角平面角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 13．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数 ． 14．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16．（15分） 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.    （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 17．（15分） 已知直线． （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 18．（17分） 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为． （1）求证：； （2）若，求三棱台的体积； （3）若到平面的距离为，求的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第1.1~2.3章（空间向量与立体几何+直线）。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（    ） A． B． C．2 D． 2．直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 3．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 5．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 7．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，则点轨迹的长度是（ ） A． B． C． D．4a 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当m＝1时，直线l的倾斜角为 C．当m＝0时，直线l的斜率不存在 D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直 10．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 11．已知四面体满足，，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．点为直线上的动点，到距离的最小值为 D．二面角平面角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 13．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数 ． 14．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16．（15分） 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.    （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 17．（15分） 已知直线． （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 18．（17分） 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为． （1）求证：； （2）若，求三棱台的体积； （3）若到平面的距离为，求的值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$