2024-2025学年人教版八年级数学上册点拨训练第12章 第20讲 角平分线的性质一

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12章 第20讲 角平分线的性质一 学习目标 1.通过全等三角形的知识理解角平分线的定理。 2.会利用尺规作一个角的角平分线。 3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。 4.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。 【学习重难点】 角的平分线的性质的证明及运用。 老师告诉你 运用角的平分线的性质解决与面积有关问题的方法： 首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形的边长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可解决问题。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 作已知角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 【新知导学】 例1-1．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质（　　） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【对应导练】 1．下列语句是有关几何作图的叙述． ①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB=∠1；④作直线AB，使AB=a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有_____．（填序号即可） 2．已知：． （1）尺规作图保留作图痕迹，不写作法：作的垂直平分线，使交于； （2）连，若，，则的周长为______． 知识点2 角的平分线的性质 1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). 3、定理的作用：证明线段相等. 4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 【新知导学】 例2-1．如图,点D在的边上,且. (1)作的平分线,交于点E(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法); (2)在(1)的条件下,判断直线与直线的位置关系,并说明理由. 【对应导练】 1．如图，，平分，交于C. （1）尺规作图：过点B作的垂线，交于O，交于D，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：. 2．如图，中，点D在BC边上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交BA的延长线于F，且，连接DE. （1）求的度数； （2）求证：DE平分； （3）若，，，且，求的面积. 3．如图1，在中，，，AD,CE分别是，的平分线，AD,CE相交于点F. （1）判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，如果不是直角，其他条件不变，（1）中所得结论是否仍然成立？请说明理由. 4．如图，已知BD是的平分线，，点P在BD上，，，垂足分别为M，N.试说明. 5．如图，中，平分，且，于E，于F， （1）求证：与互补； （2）如果，求的长． 2、 题型训练 1. 利用角平分线的作图在证明线段相等的应用 1．如图，四边形ABCD中，，，M为BC边上一点，且AM平分，DM平分. 求证：（1）； （2）M为BC的中点. 2．如图，已知BD是的平分线，，点P在BD上，，，垂足分别为M，N.试说明. 2. 利用角平分线的性质求面积 3．如图，在中，的平分线相交于点O，连接OA，.求. 4．如图，在中，. (1)过点B作的平分线交AC于点D(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明)； (2)若，，求的面积. 3. 利用角平分线的性质探究角的数量关系 5．如图13-1，已知BD是的角平分线，，交BD的延长线于点E. （1）若. ①求和的度数 ②求证：； （2）如图13-2，AO平分，请直接写出与之间的数量关系. 6．如图，已知，AC平分，点B、D分别在AN、AM上. （1）如图①，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并给出证明； （2）如图②，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. 7．如图，，BD平分.求证：. 8．如图，在中，，为延长线上一点，，的平分线与交于点，连接. （1）求证：点到的距离相等； （2）求的度数. 3、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．下列尺规作图的语句错误的是（　　） A. 作∠AOB，使∠AOB=∠α B. 以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 C. 作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β D. 在∠AOC的边OC上用刻度尺截取5cm 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB=12，CG=3，则△ABG的面积是（　　） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 3．如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路CD和EF的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　） A. ∠AOB、∠COF两角的角平分线的交点 B. ∠COF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 C. ∠DOF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 D. ∠DOF、∠COF两角的角平分线分别与线段AB的垂线平分线的交点 4．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，∠AOB=30°，如果PE=4，则OD的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 5．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（　　）​ A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定 6．如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF//BC分别交AB、AC于点E、F，若EF=2，则△ABC的周长是（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 7．如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 8．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（　　） A. OM+ON的值不变 B. ∠PNM=∠POB C. MN的长不变 D. 四边形PMON的面积不变 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=20，则CD=_____． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD的长为 _____． 11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是______． ①线段AD是△ABC的角平分线； ②∠ADC=60°； ③点D在AB的中垂线上； ④． 12．如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为4，的面积为8，，则的长为 _____． 13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB=6cm,则△DEB的周长为 _____． 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF． （Ⅰ）求证：CF=AE； （Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长． 15．（8分）如图，△ABC 中，点D在边AC上，且AD=AB． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE=BE． ​ 16．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积． ​ 17．（8分）如图，在中，为其角平分线，于点，于点，的面积是，，，求的长． 18.（8分）如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F． （1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等； （2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想． 19 .（8分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 ； （2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12章 第20讲 角平分线的性质一（解析版） 学习目标 1.通过全等三角形的知识理解角平分线的定理。 2.会利用尺规作一个角的角平分线。 3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。 4.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。 【学习重难点】 角的平分线的性质的证明及运用。 老师告诉你 运用角的平分线的性质解决与面积有关问题的方法： 首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形的边长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可解决问题。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 作已知角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 【新知导学】 例1-1．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质（　　） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】利用作图的基本原理，得到线段的关系证明即可． 解：如图，由作图可知，BA=CF． 在△AOB和△CEF中，， ∴△AOB≌△CEF（SSS）， 故选：D． 【对应导练】 1．下列语句是有关几何作图的叙述． ①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB=∠1；④作直线AB，使AB=a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有_____．（填序号即可） 【答案】③⑤ 【解析】①根据确定圆的两个条件：圆心和半径判断即可； ②根据射线的性质判断即可； ③根据基本作图：作一个角等于已知角判断即可； ④根据直线的性质判断即可； ⑤根据平行公理判断即可． 解：①以O为圆心作弧可以画出无数条弧，因为半径不固定，所以叙述错误； ②射线AB是由A向B向无限延伸，所以叙述错误； ③根据作一个角等于已知角的作法，可以作一个角∠AOB，使∠AOB等于已知∠1，所以叙述正确； ④直线可以向两方无限延伸，所以叙述错误； ⑤根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线，所以叙述正确． 所以正确的有③⑤． 故答案为：③⑤． 2．已知：． （1）尺规作图保留作图痕迹，不写作法：作的垂直平分线，使交于； （2）连，若，，则的周长为______． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】对于（1），分别以A、B两点为圆心，以大于长度为半径画弧，在两边分别相交于两点，然后过这两点作直线，即为的垂直平分线； 对于（2），根据线段垂直平分线的性质得出，再根据周长公式即可得出答案． 【小问1详解】 作图如图所示： 【小问2详解】 的垂直平分线， . ，， 的周长是：（cm）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作图和线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握“垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”． 知识点2 角的平分线的性质 1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). 3、定理的作用：证明线段相等. 4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 【新知导学】 例2-1．如图,点D在的边上,且. (1)作的平分线,交于点E(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法); (2)在(1)的条件下,判断直线与直线的位置关系,并说明理由. 答案： 解：（1）如图. （2）理由如下： 平分 . ， . . 【对应导练】 1．如图，，平分，交于C. （1）尺规作图：过点B作的垂线，交于O，交于D，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：. 答案：（1）解：如图为所作 （2）证明：, 平分， , ,平分, . 2．如图，中，点D在BC边上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交BA的延长线于F，且，连接DE. （1）求的度数； （2）求证：DE平分； （3）若，，，且，求的面积. 答案：（1）解：，， . ，. （2）证明：过点E作于G，于H，如图. ，，， . BE平分，，， ，. ，，DE平分. （3）解：， ，即，解得， ， 的面积为. 3．如图1，在中，，，AD,CE分别是，的平分线，AD,CE相交于点F. （1）判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，如果不是直角，其他条件不变，（1）中所得结论是否仍然成立？请说明理由. 答案：（1）.理由如下： 过点F作于点M, 于点N，则， ，， ，的平分线AD,CE交于点F， 点F在的平分线上， 又， （2）成立.理由如下： 过点F作于点M, 于点N， 则，， ，, 4．如图，已知BD是的平分线，，点P在BD上，，，垂足分别为M，N.试说明. 答案：BD平分，， 又，， ，. 又，， . 5．如图，中，平分，且，于E，于F， （1）求证：与互补； （2）如果，求的长． 答案：（1）略 （2） 2、 题型训练 1. 利用角平分线的作图在证明线段相等的应用 1．如图，四边形ABCD中，，，M为BC边上一点，且AM平分，DM平分. 求证：（1）； （2）M为BC的中点. 答案：证明：（1），， AM平分，DM平分， ， ， ，即. （2）如图，过M作，垂足为点N， ，， ，， AM平分，DM平分， ，， ，即M为BC的中点. 2．如图，已知BD是的平分线，，点P在BD上，，，垂足分别为M，N.试说明. 答案：BD平分，， 又，， ，. 又，， . 2. 利用角平分线的性质求面积 3．如图，在中，的平分线相交于点O，连接OA，.求. 答案：解：如图，过点O作，垂足分别为点D，E，F. 由三角形三条角平分线的性质定理，可知. ， . 4．如图，在中，. (1)过点B作的平分线交AC于点D(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明)； (2)若，，求的面积. 答案：(1)图见解析 (2)的面积24 解析：(1)的平分线如图中BD所示. (2)如图，过点D作于H. 平分，，， ， 的面积 . 3. 利用角平分线的性质探究角的数量关系 5．如图13-1，已知BD是的角平分线，，交BD的延长线于点E. （1）若. ①求和的度数 ②求证：； （2）如图13-2，AO平分，请直接写出与之间的数量关系. 答案：（1）①的度数为72°，的度数为18°； ② 由①可知 （2） 6．如图，已知，AC平分，点B、D分别在AN、AM上. （1）如图①，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并给出证明； （2）如图②，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. 答案：（1）. 证明：AC平分，， ， 又， ， 则. . （2）仍然成立. 证明：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F， AC平分， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， ，， ， 又， ， ，， 由（1）可知， . 7．如图，，BD平分.求证：. 答案：证明：过点D作BA、BC的垂线，垂足分别为E、F，则（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 在和中，， ， ， . 8．如图，在中，，为延长线上一点，，的平分线与交于点，连接. （1）求证：点到的距离相等； （2）求的度数. 答案：（1）如图，过点作于点于点，交的延长线于点， 平分，. ，， ，， ，点到的距离相等. （2）由（1）知，平分. 平分. . 3、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．下列尺规作图的语句错误的是（　　） A. 作∠AOB，使∠AOB=∠α B. 以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 C. 作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β D. 在∠AOC的边OC上用刻度尺截取5cm 【答案】C 【解析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出结论． 解：A、作一个角等于已知角是常见的尺规作图，故不符合题意； B、画弧既需要圆心，还需要半径，故不符合题意． C、作一个角等于已知角，但不能等于两角的和，故符合题意； D、在∠AOC的边OC上用刻度尺截取5cm,故不符合题意； 故选：C． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB=12，CG=3，则△ABG的面积是（　　） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，得CG=GH，根据三角形面积公式，即可求出△ABG的面积． 解：过点G作GH⊥AB于点H， 根据题意得，AF是∠CAB的角平分线， ∵∠C=90°， ∴AC⊥CG， ∵GH⊥AB， ∴CG=GH， ∵CG=3， ∴， 故选：B． 3．如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路CD和EF的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　） A. ∠AOB、∠COF两角的角平分线的交点 B. ∠COF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 C. ∠DOF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点 D. ∠DOF、∠COF两角的角平分线分别与线段AB的垂线平分线的交点 【答案】B 【解析】由线段垂直平分线的性质可知：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，再根据角平分线的性质可知要到两条高速公路CD和EF的距离相等需要建在∠COF的平分线上，即可知发射塔要在两线的交点位置． 解：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，要到两条高速公路EF和CD的距离相等需要建在∠COF的平分线上， ∴发射塔应该修建在∠COF的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处． 故选：B． 4．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，∠AOB=30°，如果PE=4，则OD的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】过P作PH⊥OB于H，由角平分线的性质得到PH=PE=4，由含30°角的直角三角形的性质得到PD=2PH=8，由平行线的性质，角平分线的定义推出∠DPO=∠DOP，因此OD=PD=8． 解：过P作PH⊥OB于H， ∵OC平分∠AOB，PE⊥AO， ∴PH=PE=4， ∵PD∥OA， ∴∠PDH=∠AOB=30°， ∴PD=2PH=8， ∵PD∥OA， ∴∠DPO=∠POE， ∵OC平分∠AOB， ∴∠DOP=∠POE， ∴∠DPO=∠DOP， ∴OD=PD=8． 故选：D． 5．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（　　）​ A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定 【答案】A 【解析】先延长AP交BC于点D，根据已知条件证明△BAP≌△BDP，从而证出AP=PD，根据等底同高面积相等，得到△APC的面积=△DPC的面积，最后根据△BPC的面积是12cm2，求出答案即可． 解：如图所示：延长AP交BC于点D， ∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠ABP=∠DBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB=∠DPB=90°， ∵BP=BP， ∴△BAP≌△BDP（ASA）， ∴AP=DP， ∴△APC的面积=△DPC的面积， ∵△BPC的面积=10（cm2）， ∴△BPD的面积+△CPD的面积=10（cm2）， ∴△ABP的面积+△APC的面积=10（cm2）， ∴△ABC的面积=△BPD的面积+△CPD的面积+△ABP的面积+△APC的面积=20（cm2）， 故选：A． 6．如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF//BC分别交AB、AC于点E、F，若EF=2，则△ABC的周长是（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出∠OBE=∠EOB，∠OCF=∠COF，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可求得EF=BE+CF． 解：∵BD、CD是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠DBE=∠DBC，∠DCF=∠BCD， 又∵EF∥BC， ∴∠DBC=∠BDE，∠BCD=∠CDF， ∴∠OBE=∠BOE，∠COF=∠OCF， ∴BE=DE，CF=DF， ∴EF=DE+DF=BE+CF=2， ∵△ABC是等边三角形，BE=1， ∴AB=BC=EF+BE=3， ∴△ABC的周长是9． 故选：B． 7．如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】A 【解析】延长AM交BC于N，证明△AMB≌△NMB，根据全等三角形的性质得到AM=NM，根据三角形的面积公式计算即可． 解：延长AM交BC于N， 在△AMB和△NMB中， ， ∴△AMB≌△NMB（ASA）， ∴AM=NM， ∴S△AMB=S△NMB，S△AMC=S△NMC， ∴S△BMC=S△ABC=2， ∵D为BC中点， ∴S△BMD=S△BMC=1， 故选：A． 8．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（　　） A. OM+ON的值不变 B. ∠PNM=∠POB C. MN的长不变 D. 四边形PMON的面积不变 【答案】C 【解析】过P作PL⊥OB于M，PQ⊥OA于N，可以证明△PMQ≌△PNL（AAS），得到PM=PN，MQ=LN，OQ=OL，因此OM+ON=MQ+OQ+OL-LN=2OQ=定值；设∠MPN=x°， ∠PNM=∠PON=90°-x°，由M、N在移动，得到MN的长在变化，四边形PMON的面积=四边形PQOL的面积=2×△POQ的面积=OQ•PQ=定值． 解：过P作PL⊥OB于M，PQ⊥OA于N， ∵OP平分∠AOB， ∴PL=PQ， ∵∠MPN与∠AOB互补， ∴∠PMQ+∠PNO=180°， ∴∠PNL+∠PNO=180°， ∴∠PMQ=∠PNL， ∵∠PQM=∠PLN=90°， ∴△PMQ≌△PNL（AAS）， ∴PM=PN，MQ=LN，OQ=OL， ∴OM+ON=MQ+OQ+OL-LN=2OQ， ∵∠AOB的度数是定值，OP的长是定值， ∴OQ的长是定值， ∴OM+ON的值不变， 故A不符合题意； 设∠MPN=x°， ∵PM=PN， ∴∠PNM=∠PMN=×（180°-x）=90°-x°， ∵∠AOB+∠MPN=180°， ∴∠AOB=180°-x° ∴∠PON=×（180°-x）=90°-x°， ∴∠PNM=∠PON， 故B不符合题意； ∵M、N在移动， ∴MN的长在变化， 故C符合题意； ∵△PMQ≌△PNL， ∴四边形PMON的面积=四边形PQOL的面积， ∵OP=OP，PQ=PL， ∴Rt△POQ≌Rt△POL（HL）， ∴四边形PQOL的面积=2×△POQ的面积=OQ•PQ， ∵OQ，PQ的长是定值， ∴四边形PMON的面积不变， 故D不符合题意． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=20，则CD=_____． 【答案】4 【解析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解． 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E； ∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴CD=DE； ∵S△ABD=AB•DE=×10•DE=20， ∴DE=4， ∴CD=DE=4． 故答案为：4． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD的长为 _____． 【答案】1 【解析】根据角平分线的性质得到CD=点D到AB的距离=1． 解：由作图知AD平分∠BAC， ∵∠C=90°，点D到AB的距离为1， ∴CD=1． 故答案为：1． 11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是______． ①线段AD是△ABC的角平分线； ②∠ADC=60°； ③点D在AB的中垂线上； ④． 【答案】①②③④ 【解析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比． 详解】解：由作法得，AD平分∠BAC，故①正确； ∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确； ∵在直角△ACD中，∠CAD=30°， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质． 12．如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为4，的面积为8，，则的长为 _____． 【答案】6 【解析】根据垂直的定义得到∠CHD＝90°，根据三角形的面积求得DH＝，过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝，于是得到结论． 解：∵BH⊥AC， ∴∠CHD＝90°， ∵△DCH的面积为4，CH＝3， ∴DH＝， 过D作DE⊥BC于E， ∵CD平分∠ACB交BH于点D ∴DE＝DH＝， ∵△BCD的面积为8， ∴DE•BC＝BC＝8， ∴BC＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB=6cm,则△DEB的周长为 _____． 【答案】6cm 【解析】先利用角平分线的性质得到DC=DE，则△DEB的周长=BC+BE，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC=AE，所以△DEB的周长=AE+BE=AB． 解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°， ∴DC=DE， ∴△DEB的周长=DE+BE+BD=CD+BD+BE=BC+BE， 在Rt△ACD和Rt△AED中 ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE， ∵AC=BC， ∴AE=BC， ∴△DEB的周长=AE+BE=AB=6cm. 故答案为：6cm. 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF． （Ⅰ）求证：CF=AE； （Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长． 【解析】（Ⅰ）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EDA，即可得出结论； （Ⅱ）通过HL证明△BED≌△BCD，得BE=BC，再进行等量代换即可． 证明：（Ⅰ）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， ∴DE=DC，∠AED=90°， 在Rt△CDF与Rt△EDA中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDA（HL）， ∴CF=AE； （Ⅱ）∵CF=AE，AE=3， ∴CF=3， ∵BF=4， ∴BC=BF+CF=4+3=7， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∵∠C=90°， ∴∠DEB=∠C， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△BED和△BCD中， ， ∴△BED≌△BCD（AAS）， ∴BE=BC=7， ∴AB=BE+AE=7+3=10． 15．（8分）如图，△ABC 中，点D在边AC上，且AD=AB． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE=BE． ​ 【解析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明△BAE≌△DAE（SAS），即可得出结论． （1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠DAE， ∵AB=AD，AE=AE， ∴△BAE≌△DAE（SAS）， ∴DE=BE． 16．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积． ​ 【解析】（1）根据角平分线的作法，即可画出图形； （2）由勾股定理求出AC，由角平分线的性质得到PC=PD，根据三角形的面积公式求出PD，即可求出结论． 解：（1）如图所示：AP即为所求； （2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=， ∴AC==2， 过点P作PD⊥AB于D， ∵AP是∠BAC的角平分线， ∴PD=PC， ∵△ABC的面积=△ACP的面积+△ABP的面积， ∴AC•PC+AB•PD=AC•BC， ∴2PD+5PD=2， 解得PD=， ∴△ABP的面积=AB•PD==． 17．（8分）如图，在中，为其角平分线，于点，于点，的面积是，，，求的长． 【答案】 【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据，计算即可得解． 解：为的平分线，，， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并列出方程是解题的关键． 18.（8分）如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F． （1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等； （2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想． 【分析】（1）首先由PE∥AB，PF∥AC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，又由△ABC中，AD是它的角平分线，可得DP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可证得D到PE的距离与D到PF的距离相等； （2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立，同（1）证明即可． 【解答】（1）证明：∵PE∥AB，PF∥AC， ∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD， ∵△ABC中，AD是它的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠EPD＝∠DPF， 即PD平分∠EPF， ∴D到PE的距离与D到PF的距离相等； （2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立．理由如下： ∵PE∥AB，PF∥AC， ∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD， ∵△ABC中，AD是它的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠EPD＝∠DPF， 即PD平分∠EPF， ∴D到PE的距离与D到PF的距离相等． 【点评】此题考查了角平分线的性质与平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用． 19 .（8分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 ； （2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　． 【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案． 【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E， ∵点D是BC边上的中点， ∴BD＝DC， ∴SABD：S△ACD＝（BD×AE）：（CD×AE）＝1：1， 故答案为：1：1； （2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴DE＝DF， ∵AB＝m，AC＝n， ∴SABD：S△ACD＝（AB×DE）：（AC×DF）＝m：n； （3） ∵AD＝DE， ∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1， ∵S△BDE＝6， ∴S△ABD＝6， ∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB， ∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1， ∴S△ACD＝3， ∴S△ABC＝3+6＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$