2.6 应用一元二次方程（8大题型）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（北师大版）

（北师大版）九年级上册数学《第二章 一元二次方程》 2.6 应用一元二次方程 列一元二次方程解决实际问题知识点 ◆◆列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 【注意】 （1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）． （2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去. 题型一 增长率问题 【例题1】（2023春•龙口市期中）某商业街有店面房共195间，2021年平均每间店面房的年租金为10万元，由于物价上涨，到2023年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元，则2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为（　　） A．2.1% B．11% C．10% D．10%或21% 平均增长（降低）率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原有量是a，现有量是b,每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x） ；第二次增长后为a（1+x）2 ，即原有量×（1+增长百分率）2＝现有量． 平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x为减低率） 【变式1-1】（2024春•琼海期末）2024年春节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则下列方程正确的是（　　） A．25（1﹣x）2＝18 B．18（1﹣x）2＝25 C．18（x﹣1）2＝25 D．25（1﹣2x）2＝18 【变式1-2】（2024•沙坪坝区校级一模）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　） A．207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96 B．207.9（1﹣x）2＝1027.96 C．207.9+207.9（1+x）2＝1027.96 D．207.9（1+x）2＝1027.96 【变式1-3】（2024春•滨江区期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，则此月增长率为（　　） A．83% B．69% C．25% D．20% 【变式1-4】（2023•富锦市校级三模）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由1280元降为720元．已知两次降价的百分率都是x%，则x的值是（　　） A．25% B．25 C．20% D．20 【变式1-5】（2024•库尔勒市一模）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 　 　． 【变式1-6】（2023春•梧州期中）某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同． （1）求这个增长率； （2）求3月份的利润是多少万元？ 【变式1-7】（2023•清镇市模拟）贵州省政府近日宣布，从2023年8月1日起，将推出一系列旅游优惠政策，以激励更多游客到贵州旅游，某旅游景点为了响应政府号召，将对旅游团体购买门票实行优惠活动，决定在原定票价基础上每张降价40元，这样按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元． （1）求每张门票的原定票价； （2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续两次降价后降为97.2元，求平均每次降价的百分率． 题型二 传播问题 式有意义的条件 【例题2】（2023秋•枣阳市期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，按照这样的传染速度，经过三轮后患了流感人数共有（　　） A．512人 B．596人 C．648人 D．729人 ◆传播问题：对于传播问题，应弄清传染源对应的基数及每轮传播后的总量．设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染的总个数为a(1+x)2 ． ◆握手问题：假设有x个人，每个人都要和除自己外的（x﹣1）个人握手，则所有人需要握手的次数为． 【变式2-1】（2023秋•富锦市校级期末）学校进行足球比赛，每两班比一场，计划安排15场比赛，请问共有几个班参加比赛？（　　） A．5 B．6 C．5或6 D．7 【变式2-2】（2023•江夏区校级模拟）元旦当天，在微信群里，每两个成员之间都单独互发一条祝福信息，共发出72条信息，则这个微信群的人数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式2-3】（2023•鸡西二模）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（　　） A．9人 B．10人 C．12人 D．15人 【变式2-4】（2022秋•昭阳区期中）2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场）． （1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行 　 　场比赛； （2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【变式2-5】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染． （1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过500台？ 题型三 商品销售问题 【例题3】（2023•偃师市模拟）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（　　） A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600 ◆商品销售问题： 利润=售价－进价；利润率= ×100%； 售价=进价×（1+利润率）； 总利润=总售价－总进价=（售价－进价）×销售量 【变式3-1】（2023•兴庆区校级一模）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440 C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440 D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440 【变式3-2】（2023春•鹿城区校级期中）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【变式3-3】（2023春•花山区校级期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（　　） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 【变式3-4】（2023•常德三模）一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件， 经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低 　 　元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元． 【变式3-5】（2023秋•阳城县期末）某商品进价每件30元，有一段时间若以x元卖出，则可卖（100﹣x）件，商场计划要赚1200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价x＝　 　元． 【变式3-6】（2023秋•邹平市期末）某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，市场预测定价为50元时，可销售200个，当定价每增加1元时销售量将减少10个．若商店进货全部售完后赚了2250元，则本次小家电的销售定价是 　 　． 【变式3-7】（2023春•海曙区期末）第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． （1）若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 【变式3-8】（2024春•宁明县期末）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天可售出20件．为了迎接六一儿童节，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件，设每件童装降价x元． （1）每天可售出 　 　件，每件盈利 　 　元．（用含x的代数式表示） （2）当每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （3）平均每天的盈利能否达到2000元？请说明理由． 题型四 面积问题----几何图形的问题 综合应用 【例题4】（2023•盐湖区校级三模）如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为x2+24x，则无盖箱子的外表面积为（　　） A．1 B．4 C．6 D．9 根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程． 【变式4-1】（2024•扬中市二模）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　） A．102+（x﹣1）2＝x2 B．（x+1）2＝x2+102 C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12 【变式4-2】（2023•玉林一模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（　　） A．（60﹣x）x＝864 B． C．（60+x）x＝864 D．（30+x）（30﹣x）＝864 【变式4-3】（2024春•普兰店区期末）若将一根16米长的铁丝围成一个面积为15平方米的矩形，那么这个矩形较长的边长为 　 　米． 【变式4-4】由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD（如图），则长方形ABCD的周长为 　 　． 【变式4-5】（2023•青海模拟）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 　 　m． 【变式4-6】（2024春•文登区期末）有一块长28cm，宽16cm的矩形纸片． （1）如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为220cm2，求裁去的小正方形的边长； （2）若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为144cm2的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 题型五 面积问题----边框与甬道问题 综合应用 【例题5】（2023秋•遵义期末）如图，在一个长为60m，宽为40m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204m2，那么道路的宽为 　 　m． 根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程． 【变式5-1】（2024春•高青县期末）如图，某小区居民休闲娱乐中心是建在一块长方形（长20米，宽10米）场地，被3条宽度相等的绿化带（阴影部分）划分为总面积为140平方米的6块活动场所．设绿化带的宽度x米，可列出的方程为（　　） A．（20﹣x）（20+x）＝140 B．（20﹣2x）（10﹣2x）＝140 C．（20﹣x）（10﹣2x）＝140 D．（20﹣2x）（10﹣x）＝140 【变式5-2】（2024春•让胡路区校级期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为540m2，则道路的宽为 　 　m． 【变式5-3】（2023春•包河区期中）在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为 　 　米． 【变式5-4】（2023•黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（　　） A．5m B．70m C．5m或70m D．10m 【变式5-5】我市在创建全国文明城市期间，对一个矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长为30m、宽为20m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为4：3．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用606000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 【变式5-6】（2023•和平区校级三模）如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度． 题型六 面积问题----围墙问题 【例题6】（2022春•雨花区期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m． （1）鸡场的面积能达到200m2吗？如果能，求出与墙平行的边的长； （2）鸡场的面积能达到210m2吗？为什么？ 围墙问题难点是用材料围成的图形的边如何表示及所围图形的平行于墙的线段的取值范围. 【变式6-1】（2023•揭阳一模）如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是（　　） A．x（69+1﹣2x）＝600 B．x（69﹣1﹣2x）＝600 C．x（69﹣2x）＝600 D．x（35+1﹣2x）＝600 【变式6-2】（2023春•肇源县期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，若菜园的面积为100m2，墙的长度为18m．设垂直于墙的一边长为x m，则x的值为 　 　． 【变式6-3】某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 　 　米． 【变式6-4】学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）． （1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）； （2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长． 【变式6-5】（2023春•淄川区期中）如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？ 【变式6-6】（2024•凉州区三模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长． （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 题型七 数字问题 【例题7】（2023春•瑶海区校级期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4 C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4 D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 解决数字问题的关键是用代数式表示出这个多位数的数值，设未知数时，通常采用间接设未知数的方法，即设这个多位数的某一位上的数字为x，然后将其它数位上的数字用含x的式子表示出来，最后根据题中的等量关系列方程求解即． 【变式7-1】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4 C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4 D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4 【变式7-2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 　 ． 【变式7-3】（2024•江西模拟）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 　 　． 【变式7-4】（2023秋•连云港期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 【变式7-5】（2023秋•沈丘县校级月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数． 【变式7-6】（2023秋•西吉县校级月考）一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数． 题型八 动点运动问题 【例题8】（2023春•鄞州区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 以“静”制“动”求解动态问题 1、分析出动点的运动轨迹，用含未知数的代数式把相应的线段的长度表示出来是解决这类问题的关键； 2、结合题意，用“静”的方法处理“动”的问题. 【变式8-1】（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（　　） A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒 【变式8-2】（2024春•沈阳期中）如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 　 　秒，△POQ的面积为8平方厘米． 【变式8-3】（2023秋•仁寿县期末）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【变式8-4】（2022春•泗水县期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动． （1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2？ （2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？ 【变式8-5】（2023春•蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式8-6】（2023秋•澄迈县期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动． （1）经过ts后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值； （2）经过ts后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值； （3）△PBQ的面积能否等于8cm2？ 【变式8-7】（2023春•和平区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）九年级上册数学《第二章 一元二次方程》 2.6 应用一元二次方程 列一元二次方程解决实际问题知识点 ◆◆列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 【注意】 （1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）． （2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去. 题型一 增长率问题 【例题1】（2023春•龙口市期中）某商业街有店面房共195间，2021年平均每间店面房的年租金为10万元，由于物价上涨，到2023年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元，则2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为（　　） A．2.1% B．11% C．10% D．10%或21% 【分析】设2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据2021年及2023年平均每间店面房的年租金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可． 【解答】解：设2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据题意得：10×（1+x）2＝12.1． 解得：x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）， ∴2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率为10%． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系列出关于x的一元二次方程． 平均增长（降低）率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原有量是a，现有量是b,每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x） ；第二次增长后为a（1+x）2 ，即原有量×（1+增长百分率）2＝现有量． 平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x为减低率） 【变式1-1】（2024春•琼海期末）2024年春节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则下列方程正确的是（　　） A．25（1﹣x）2＝18 B．18（1﹣x）2＝25 C．18（x﹣1）2＝25 D．25（1﹣2x）2＝18 【分析】根据3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，列出关于x的一元二次方程即可． 【解答】解：根据题意得 25（1﹣x）2＝18． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键． 【变式1-2】（2024•沙坪坝区校级一模）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　） A．207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96 B．207.9（1﹣x）2＝1027.96 C．207.9+207.9（1+x）2＝1027.96 D．207.9（1+x）2＝1027.96 【分析】根据5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元，列方程即可． 【解答】解：根据题意，可列方程为207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b． 【变式1-3】（2024春•滨江区期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，则此月增长率为（　　） A．83% B．69% C．25% D．20% 【分析】设从5月份到7月份销售量的月增长率为x，根据某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设从5月份到7月份销售量的月增长率为x， 由题意得：144（1+x）2＝225， 解得：x1＝0.25＝20%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）． 即从5月份到7月份销售量的月增长率为25%， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1-4】（2023•富锦市校级三模）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由1280元降为720元．已知两次降价的百分率都是x%，则x的值是（　　） A．25% B．25 C．20% D．20 【分析】根据经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣x%）2建立方程，解方程即可得． 【解答】解：由题意得：1280（1﹣x%）2＝720， 解得x＝25或x＝175， 当x＝175时，1﹣175%＝﹣75%＜0（不符合题意，舍去）． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 【变式1-5】（2024•库尔勒市一模）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 　 　． 【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解． 【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x， 由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元， 故25（1﹣x）2＝16， 解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去）， 故该药品平均每次降价的百分率为20%． 【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”． 【变式1-6】（2023春•梧州期中）某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同． （1）求这个增长率； （2）求3月份的利润是多少万元？ 【分析】（1）设这个增长率为x，则2月份获得利润20（1+x）万元，3月份获得利润20（1+x）2万元，根据3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用3月份的利润＝1月份的利润×（1+增长率）2，即可求出结论． 【解答】解：（1）设这个增长率为x，则2月份获得利润20（1+x）万元，3月份获得利润20（1+x）2万元， 依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）＝4.8， 整理得：25x2+25x﹣6＝0， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2（不合题意，舍去）． 答：这个增长率为20%． （2）20×（1+20%）2＝20×1.44＝28.8（万元）． 答：3月份的利润是28.8万元． 【变式1-7】（2023•清镇市模拟）贵州省政府近日宣布，从2023年8月1日起，将推出一系列旅游优惠政策，以激励更多游客到贵州旅游，某旅游景点为了响应政府号召，将对旅游团体购买门票实行优惠活动，决定在原定票价基础上每张降价40元，这样按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元． （1）求每张门票的原定票价； （2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续两次降价后降为97.2元，求平均每次降价的百分率． 【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则优惠后每张门票的票价为（x﹣40）元，利用数量＝总价÷单价，结合“按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出每张门票的原定票价； （2）设平均每次降价的百分率为y，利用经过两次降价后的票价＝原定票价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则优惠后每张门票的票价为（x﹣40）元， 根据题意得：， 解得：x＝120， 经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意． 答：每张门票的原定票价为120元； （2）设平均每次降价的百分率为y， 根据题意得：120（1﹣y）2＝97.2， 解得：y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不符合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为10%． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型二 传播问题 式有意义的条件 【例题2】（2023秋•枣阳市期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，按照这样的传染速度，经过三轮后患了流感人数共有（　　） A．512人 B．596人 C．648人 D．729人 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论，根据经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：1+x+x（x+1）＝81， 整理，得：x2+2x﹣80＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 即每轮传染中平均一个人传染8个人． ∴81+81×8＝729（人）． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程． ◆传播问题：对于传播问题，应弄清传染源对应的基数及每轮传播后的总量．设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染的总个数为a(1+x)2 ． ◆握手问题：假设有x个人，每个人都要和除自己外的（x﹣1）个人握手，则所有人需要握手的次数为． 【变式2-1】（2023秋•富锦市校级期末）学校进行足球比赛，每两班比一场，计划安排15场比赛，请问共有几个班参加比赛？（　　） A．5 B．6 C．5或6 D．7 【分析】设共有x个班参赛，根据每两班之间都比赛一场且计划安排15场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设共有x个班参加比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝15， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）， 即共有6个班参加比赛， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2-2】（2023•江夏区校级模拟）元旦当天，在微信群里，每两个成员之间都单独互发一条祝福信息，共发出72条信息，则这个微信群的人数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【分析】设这个微信群的人数为x人，则每人需发出（x﹣1）条短信，根据共发出90条短信，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设这个微信群的人数为x人，则每人需发出（x﹣1）条短信， 依题意得：x（x﹣1）＝72， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴这个微信群的人数为9人． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2-3】（2023•鸡西二模）一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有（　　） A．9人 B．10人 C．12人 D．15人 【分析】设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，根据全组共送贺卡90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡， 依题意得：x（x﹣1）＝90， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2-4】（2022秋•昭阳区期中）2022年北京冬奥会冰壶混双项目在国家游泳中心“冰立方”开赛，中国混双球队参加了比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场）． （1）如果有6支球队参加比赛，那么共进行 　 　场比赛； （2）如果一共进行45场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【分析】（1）利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可求出结论； （2）设有x支球队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【解答】解：（1）6×（6﹣1）÷2＝15（场）， ∴如果有6支球队参加比赛，那么共进行15场比赛． 故答案为：15． （2）设有x支球队参加比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）． 答：有10支球队参加比赛． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2-5】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染． （1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过500台？ 【分析】（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮传染中有x台电脑被感染，第二轮传染中有x（1+x）台电脑被感染，根据经过两轮感染后就会有64台电脑被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮感染后被感染的电脑数量＝经过两轮感染后被感染的电脑数量×（1+每轮感染中平均一台电脑感染电脑的数量），即可求出经过三轮感染后被感染的电脑数量，再将其与500比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮传染中有x台电脑被感染，第二轮传染中有x（1+x）台电脑被感染， 依题意得：1+x+x（1+x）＝64， 解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染7台电脑． （2）64×（1+7）＝512（台）． ∵512＞500， ∴3轮感染后，被感染的电脑会超过500台． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型三 商品销售问题 【例题3】（2023•偃师市模拟）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（　　） A．（44+x）（20+5x）＝1600 B．（44﹣x）（20+5x）＝1600 C．（44﹣x）（20﹣5x）＝1600 D．（44﹣10x）（20+5x）＝1600 【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可． 【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得： （44﹣x）（20+5x）＝1600 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． ◆商品销售问题： 利润=售价－进价；利润率= ×100%； 售价=进价×（1+利润率）； 总利润=总售价－总进价=（售价－进价）×销售量 【变式3-1】（2023•兴庆区校级一模）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440 C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440 D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440 【分析】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，利用总利润＝每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋， 依题意得：（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式3-2】（2023春•鹿城区校级期中）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【分析】当每件降低x元时，每件的销售利润为（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件，利用每周销售该款T恤获得的总利润＝每件的销售利润×每周的销售量，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件， 根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式3-3】（2023春•花山区校级期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（　　） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 【分析】利用商店销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，再结合物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，即可确定每件商品的售价． 【解答】解：依题意得：（a﹣18）（320﹣10a）＝400， 整理得：a2﹣50a+616＝0， 解得：a1＝22，a2＝28． 又∵物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%， ∴售价不能超过18×（1+25%）＝22.5（元）． ∴a＝22． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式3-4】（2023•常德三模）一商店销售某种商品，当每件利润为30元时，平均每天可售出20件， 经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品的单价降低 　 　元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元． 【分析】设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元，然后根据利润＝单件利润×销售量，列出方程求解即可． 【解答】解：设商品单价降低x元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元， 由题意得，（30﹣x）（20+2x）＝800， 整理得：x2﹣20x+100＝0， 解得x＝10， ∴当每件商品的单价降低10元时，该商店销售这种商品每天的利润为800元， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 【变式3-5】（2023秋•阳城县期末）某商品进价每件30元，有一段时间若以x元卖出，则可卖（100﹣x）件，商场计划要赚1200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价x＝　 　元． 【分析】根据利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列一元二次方程最大值即可． 【解答】解：根据题意，得（100﹣x）（x﹣30）＝1200， 整理得x2﹣130x+4200＝0， 解方程，得x1＝60，x2＝70， 要让顾客得到实惠， 价格取较低的， 故x＝60， 故答案为：60． 【点评】本题考查了把实际问题转化为一元二次方程．此题为数学建模题解决实际问题． 【变式3-6】（2023秋•邹平市期末）某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，市场预测定价为50元时，可销售200个，当定价每增加1元时销售量将减少10个．若商店进货全部售完后赚了2250元，则本次小家电的销售定价是 　 　． 【分析】设本次小家电的销售定价是x元，则每个的销售利润为（x﹣40）元，可销售[200﹣10（x﹣50）]个，根据商店进货全部售完后赚了2250元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设本次小家电的销售定价是x元，则每个的销售利润为（x﹣40）元，可销售[200﹣10（x﹣50）]个， 根据题意得：（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]＝2250， 整理得：x2﹣110x+3025＝0， 解得：x1＝x2＝55， 即本次小家电的销售定价是55元． 故答案为：55元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式3-7】（2023春•海曙区期末）第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． （1）若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 【分析】（1）利用每天的销售利润＝每件的销售利润×日销售量，即可求出结论； （2）设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，日销售量为100﹣2（x﹣40）＝（180﹣2x）件，利用每天的销售利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：（45﹣30）×[100﹣2×（45﹣40）] ＝15×[100﹣2×5] ＝15×[100﹣10] ＝15×90 ＝1350（元）． 答：每天的销售利润为1350元； （2）设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为（x﹣30）元，日销售量为100﹣2（x﹣40）＝（180﹣2x）件， 根据题意得：（x﹣30）（180﹣2x）＝1600， 整理得：x2﹣120x+3500＝0， 解得：x1＝50，x2＝70， 又∵要让利给顾客， ∴x＝50． 答：该纪念品的售价单价应定为每件50元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式3-8】（2024春•宁明县期末）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天可售出20件．为了迎接六一儿童节，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件，设每件童装降价x元． （1）每天可售出 　 　件，每件盈利 　 　元．（用含x的代数式表示） （2）当每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （3）平均每天的盈利能否达到2000元？请说明理由． 【分析】（1）根据销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润＝实际售价﹣进价，列式即可； （2）根据总利润＝每件利润×销售数量，列方程求解可得； （3）根据每台的盈利×销售的件数＝2000元，即可列方程，再根据根的判别式求解． 【解答】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元， 故答案为：（20+2x），（40﹣x）； （2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200． 解得：x1＝20，x2＝10， ∵扩大销售量，增加利润， ∴x＝20， 答：每件童装降价20元，平均每天盈利1200元； （3）依题意，可列方程： （40﹣x）（20+2x）＝2000， 化简，得x2﹣30x+600＝0， Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0． 故方程无实数根． 故平均每天销售利润不能达到2000元． 【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． 题型四 面积问题----几何图形的问题 综合应用 【例题4】（2023•盐湖区校级三模）如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为x2+24x，则无盖箱子的外表面积为（　　） A．1 B．4 C．6 D．9 【分析】根据原正方形铁皮的面积为x2+24x，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用长方体的表面积计算公式，即可得出结论． 【解答】解：依题意，得：（x+2×2）2＝x2+24x， 解得：x＝1， ∴x2+4×2x＝9． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程． 【变式4-1】（2024•扬中市二模）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（　　） A．102+（x﹣1）2＝x2 B．（x+1）2＝x2+102 C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程． 【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺， 在Rt△ABC中， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴102+（x﹣1）2＝x2， 故选：A． 【点评】此题考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【变式4-2】（2023•玉林一模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（　　） A．（60﹣x）x＝864 B． C．（60+x）x＝864 D．（30+x）（30﹣x）＝864 【分析】根据长与宽之间的关系，可得出长为步，宽为步，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵长与宽和为60步，长比宽多x步， ∴长为步，宽为步． 依题意得：•864． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式4-3】（2024春•普兰店区期末）若将一根16米长的铁丝围成一个面积为15平方米的矩形，那么这个矩形较长的边长为 　 　米． 【分析】设这个矩形较长的边长为x米，则较短的边长为（8﹣x）米，根据矩形的面积公式，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设这个矩形较长的边长为x米，则较短的边长为（8﹣x）米， 由题意得：x（8﹣x）＝15， 整理得：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝5，x2＝3（不合题意，舍去）， 即这个矩形较长的边长为5米， 故答案为：5． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式4-4】由10块相同的小长方形地砖拼成面积为1.6m2的长方形ABCD（如图），则长方形ABCD的周长为 　 　． 【分析】每块长方形地砖的宽为xm，则长为4xm，利用矩形的面积等于10块小矩形的面积列出方程求解即可． 【解答】解：设每块长方形地砖的宽为xm，则长为4xm， 根据题意，得4x2＝1.6， 解得x＝±0.2， 2×（4x+x+2×4x）＝26 x＝5.2（m）． 答：矩形ABCD的周长为5.2m． 故答案为：5.2m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找到等量关系并列出一元二次方程求解． 【变式4-5】（2023•青海模拟）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 　 　m． 【分析】设原菜地的长是xm，则宽是（x﹣2）m，根据矩形菜地的面积是120m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出原菜地的长． 【解答】解：设原菜地的长是xm，则宽是（x﹣2）m， 根据题意得：x（x﹣2）＝120， 整理得：x2﹣2x﹣120＝0， 解得：x1＝12，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）， ∴原菜地的长是12m． 故答案为：12． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式4-6】（2024春•文登区期末）有一块长28cm，宽16cm的矩形纸片． （1）如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为220cm2，求裁去的小正方形的边长； （2）若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为144cm2的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设裁去的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖长方体盒子的底面长为（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm，根据折成的盒子的底面积为220cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设裁去的小正方形的边长为y cm，则折成的有盖长方体盒子的底面长为（14﹣y）cm，宽为（16﹣2y）cm，根据折成的盒子的底面积为144cm2，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再将其代入144y中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设裁去的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖长方体盒子的底面长为（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm， 根据题意得：（28﹣2x）（16﹣2x）＝220， 整理得：x2﹣22x+57＝0， 解得：x1＝3，x2＝19（不符合题意，舍去）． 答：裁去的小正方形的边长为3cm； （2）设裁去的小正方形的边长为y cm，则折成的有盖长方体盒子的底面长为（14﹣y）cm，宽为（16﹣2y）cm， 根据题意得：（14﹣y）（16﹣2y）＝144， 整理得：y2﹣22y+40＝0， 解得：y1＝2，y2＝20（不符合题意，舍去）， ∴144y＝144×2＝288． 答：能折出底面积为144cm2的有盖盒子，盒子的体积为288cm3． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型五 面积问题----边框与甬道问题 综合应用 【例题5】（2023秋•遵义期末）如图，在一个长为60m，宽为40m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204m2，那么道路的宽为 　 　m． 【分析】设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为（60﹣x）m，宽为（40﹣x）m的矩形，根据绿化用地的面积为2204m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为（60﹣x）m，宽为（40﹣x）m的矩形， 根据题意得：（60﹣x）（40﹣x）＝2204， 整理得：x2﹣100x+196＝0， 解得：x1＝2，x2＝98（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为2m． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程． 【变式5-1】（2024春•高青县期末）如图，某小区居民休闲娱乐中心是建在一块长方形（长20米，宽10米）场地，被3条宽度相等的绿化带（阴影部分）划分为总面积为140平方米的6块活动场所．设绿化带的宽度x米，可列出的方程为（　　） A．（20﹣x）（20+x）＝140 B．（20﹣2x）（10﹣2x）＝140 C．（20﹣x）（10﹣2x）＝140 D．（20﹣2x）（10﹣x）＝140 【分析】根据长方形场地的长、宽及绿化带的宽度，可得出6块活动场所可合成长为（20﹣2x）米，宽为（10﹣x）米的长方形，结合6块活动场所的总面积为140平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵长方形场地的长为20米，宽为10米，且绿化带的宽度为x米， ∴6块活动场所可合成长为（20﹣2x）米，宽为（10﹣x）米的长方形． 根据题意得：（20﹣2x）（10﹣x）＝140． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式5-2】（2024春•让胡路区校级期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为540m2，则道路的宽为 　 　m． 【分析】利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积之和就变为了（32﹣x）×（20﹣x）m2，进而即可求出答案 【解答】解：设道路的宽为x m，则有（32﹣x）（20﹣x）＝540， 解得x1＝2，x2＝50（舍去）， 答：道路的宽为2m． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案． 【变式5-3】（2023春•包河区期中）在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为 　 　米． 【分析】设小道的宽为x米，则剩下部分可合成长为（20﹣x）米，宽为（10﹣x）米的长方形，根据“剩下部分种植蔬菜，种植蔬菜的面积为171平方米”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设小道的宽为x米，则剩下部分可合成长为（20﹣x）米，宽为（10﹣x）米的长方形， 根据题意得：（20﹣x）（10﹣x）＝171， 整理得：x2﹣30x+29＝0， 解得：x1＝1，x2＝29（不符合题意，舍去）， ∴小道的宽为1米． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式5-4】（2023•黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（　　） A．5m B．70m C．5m或70m D．10m 【分析】设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形， 根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600， 整理得：x2﹣75x+350＝0， 解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去）， ∴小路的宽是5m． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式5-5】我市在创建全国文明城市期间，对一个矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长为30m、宽为20m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为4：3．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用606000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 【分析】设扩充后广场的长为4xm，宽为3xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答． 【解答】解：设扩充后广场的长为4xm，宽为3xm， 依题意得：4x•3x•100+30（4x•3x﹣30×20）＝606000． 解得x1＝20，x2＝﹣20（舍去）． 所以4x＝80，3x＝60， 答：扩充后广场的长为80m，宽为60m． 【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键． 【变式5-6】（2023•和平区校级三模）如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度． 【分析】设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形，根据两块长方形绿地的面积共216m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形， 根据题意得：（30﹣3x）（10﹣2x）＝216， 整理得：x2﹣15+14＝0， 即（x﹣1）（x﹣14）＝0， 解得：x1＝1，x2＝14， 当x＝14时，30﹣3x＝30﹣3×14＝﹣12＜0，不符合题意，舍去， ∴x＝1． 答：人行通道的宽度是1米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型六 面积问题----围墙问题 【例题6】（2022春•雨花区期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，一边靠墙，另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m． （1）鸡场的面积能达到200m2吗？如果能，求出与墙平行的边的长； （2）鸡场的面积能达到210m2吗？为什么？ 【分析】（1）设与墙平行的边的长是xm，则与墙垂直的边的长是m，根据鸡场的面积为200m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再结合墙长25m，即可得出结论； （2）鸡场的面积不能达到210m2，设与墙平行的边的长是ym，则与墙垂直的边的长是m，根据鸡场的面积为210m2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣80＜0，可得出该方程没有实数根，即鸡场的面积不能达到210m2． 【解答】解：（1）设与墙平行的边的长是xm，则与墙垂直的边的长是m， 依题意得：x•200， 整理得：x2﹣40x+400＝0， 解得：x1＝x2＝20， ∵20＜25， ∴鸡场的面积能达到200m2，此时与墙平行的边的长是20m． （2）鸡场的面积不能达到210m2，理由如下： 设与墙平行的边的长是ym，则与墙垂直的边的长是m， 依题意得：y•210， 整理得：y2﹣40y+420＝0． ∵Δ＝（﹣40）2﹣4×1×420＝﹣80＜0， ∴该方程没有实数根， 即鸡场的面积不能达到210m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 围墙问题难点是用材料围成的图形的边如何表示及所围图形的平行于墙的线段的取值范围. 【变式6-1】（2023•揭阳一模）如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是（　　） A．x（69+1﹣2x）＝600 B．x（69﹣1﹣2x）＝600 C．x（69﹣2x）＝600 D．x（35+1﹣2x）＝600 【分析】根据各边之间的关系，可得出鸡场平行于墙的一边为（69+1﹣2x）m，根据长方形鸡场的面积为600m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵竹篱笆的总长为69m，鸡场垂直于墙的一边为xm， ∴鸡场平行于墙的一边为（69+1﹣2x）m． 根据题意得：x（69+1﹣2x）＝600． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式6-2】（2023春•肇源县期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，若菜园的面积为100m2，墙的长度为18m．设垂直于墙的一边长为x m，则x的值为 　 　． 【分析】设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为（30﹣2x）m，根据菜园的面积为100m2，列出一元二次方程，解之得出x的值，再结合墙的长度为18m，即可确定x的值． 【解答】解：设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为（30﹣2x）m， 依题意得：x（30﹣2x）＝100， 整理得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10， 当x＝5时，30﹣2x＝30﹣2×5＝20＞18，不合题意，舍去； 当x＝10时，30﹣2x＝30﹣2×10＝10＜18，符合题意； 即x的值为10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式6-3】某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 　 　米． 【分析】设矩形场地的长为x米，则宽为（60+2﹣x），根据矩形的面积公式和该矩形的面积为480平方米列出方程并解答． 【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为（60+2﹣x）， 根据题意，得（60+2﹣x）•x＝480． 解得x1＝30，x2＝32． 所以矩形场地的长为30或32米． 故答案是：30或32． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的周长和面积计算公式是解决问题的前提． 【变式6-4】学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）． （1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）； （2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长． 【分析】（1）用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得BC的长； （2）根据矩形的面积公式列式求解即可． 【解答】解：（1）设AB边长为x米，则EF＝DC＝AB＝x米， 所以BC＝（21﹣3x）米； （2）根据题意得：x（21﹣3x）＝30， 解得：x＝2或x＝5， 答：AB的长为2米或5米． 【点评】考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够正确的表示出BC的长，难度不大． 【变式6-5】（2023春•淄川区期中）如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？ 【分析】设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为（50+2﹣2x）米，根据自行车棚的面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长18米，即可得出车棚垂直于墙的一边的长为20米． 【解答】解：设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为（50+2﹣2x）米， 依题意得：x（50+2﹣2x）＝240， 整理得：x2﹣26x+120＝0， 解得：x1＝6，x2＝20． 当x＝6时，50+2﹣2x＝50+2﹣2×6＝40＞18，不符合题意，舍去； 当x＝20时，50+2﹣2x＝50+2﹣2×20＝12＜18，符合题意． 答：车棚垂直于墙的一边的长为20米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式6-6】（2024•凉州区三模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长． （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设AB＝x m，则BC＝（28+2﹣3x）m，根据矩形ABCD的面积为72m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）矩形ABCD的面积不能为80m2，假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（28+2﹣3y）m，根据矩形ABCD的面积为80m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣60＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2． 【解答】解：（1）设AB＝x m，则BC＝（28+2﹣3x）m， 根据题意得：x（28+2﹣3x）＝72， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝4，x2＝6， 当x＝4时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×4＝18＞15，不符合题意，舍去； 当x＝6时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×6＝12＜15，符合题意． 答：AB的长为6m； （2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由如下： 假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（28+2﹣3y）m， 根据题意得：y（28+2﹣3y）＝80， 整理得：3y2﹣30y+80＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×3×80＝﹣60＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”． 题型七 数字问题 【例题7】（2023春•瑶海区校级期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4 C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4 D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4） 这两个数的平方和为：x2+（x+4）2， ∵两数相差4， ∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 解决数字问题的关键是用代数式表示出这个多位数的数值，设未知数时，通常采用间接设未知数的方法，即设这个多位数的某一位上的数字为x，然后将其它数位上的数字用含x的式子表示出来，最后根据题中的等量关系列方程求解即． 【变式7-1】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4 C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4 D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4 【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4） 这两个数的平方和为：x2+（x+4）2， ∵两数相差4， ∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）+4． 故选：D． 【点评】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 【变式7-2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 　 ． 【分析】等量关系为：原来的两位数﹣新两位数＝27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可． 【解答】解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2﹣9）． ∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27， 解得x1＝4，x2＝﹣3（不符合题意，舍去）． ∴x2﹣9＝7， ∴10（x2﹣9）+x＝74． 答：原两位数为74． 故答案为：74． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；得到两个两位数之间的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字． 【变式7-3】（2024•江西模拟）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 　 　． 【分析】设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为x﹣3，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可． 【解答】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为（x﹣3）， 由题意得，10（x﹣3）+x＝x2， 解得：x1＝5，x2＝6， ∴他去世时年龄为25或36， 又∵他去世时的年龄大于30， ∴他去世时的年龄为36 故答案为：36． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程． 【变式7-4】（2023秋•连云港期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 【分析】先设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是[10（x﹣3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可． 【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是10（x﹣3）+x， 依题意得：x2＝10（x﹣3）+x， ∴x2﹣11x+30＝0， ∴x1＝5，x2＝6， ∴x﹣3＝2或3． 答：这个两位数是25或36． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【变式7-5】（2023秋•沈丘县校级月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数． 【分析】设个位为x，则十位上的数字为8﹣x，根据如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得两位数乘以原来的两位数就得1855，求解即可． 【解答】解：设原来个位为x，则十位上的数字为8﹣x， 由题意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855 解得：x1＝3，x2＝5， 原来十位上的数字为5或3， 答：原来这个两位数53或35． 【点评】本题考查了一元二次次方程的应用，解答本题的关键是表示出对调前后两位数的表示方法． 【变式7-6】（2023秋•西吉县校级月考）一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数． 【分析】设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2，根据题意由等量关系列出一元二次方程，解之即可． 【解答】解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2， 根据题意列出方程得： [10（x+2）+x]+138＝（10x+x+2）2， 整理得11x2+3x﹣14＝0， 解得x1＝1，x2（不合题意舍去）． 答：这原来的两位数是31． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 题型八 动点运动问题 【例题8】（2023春•鄞州区期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当Q到达点C时两点同时停止运动．若使△PBQ的面积为5cm2，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 【分析】设点P运动的时间为ts，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，再结合当Q到达点C时两点同时停止运动，即可得出点P运动的时间． 【解答】解：设点P运动的时间为ts，则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm， 依题意得：（6﹣t）×2t＝5， 整理得：t2﹣6t+5＝0， 解得：t1＝1，t2＝5， ∵当Q到达点C时两点同时停止运动， ∴2t≤8， ∴t≤4， ∴t＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 以“静”制“动”求解动态问题 1、分析出动点的运动轨迹，用含未知数的代数式把相应的线段的长度表示出来是解决这类问题的关键； 2、结合题意，用“静”的方法处理“动”的问题. 【变式8-1】（2023春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若△PBQ的面积等于4cm2，则运动时间为（　　） A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒 【分析】当运动时间为t秒时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，根据△PBQ的面积等于4cm2，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm， 根据题意得：PB•BQ＝4， 即（5﹣t）•2t＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4， 当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去， ∴t＝1． ∴运动时间为1秒． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-2】（2024春•沈阳期中）如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 　 　秒，△POQ的面积为8平方厘米． 【分析】分两种情况，①当点P在AO上时，②当点P在BO上时，分别根据△POQ的面积为8平方厘米．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：分两种情况： ①当点P在AO上时， 由题意得：（6﹣t）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4； ②当点P在BO上时， 由题意得：（t﹣6）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t3＝3，t4＝3（不符合题意，舍去）； 综上所述，经过2秒或4秒或3秒，△POQ的面积为8平方厘米． 故答案为：2秒或4秒或3． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-3】（2023秋•仁寿县期末）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【分析】设t秒后，△PCQ的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：设t秒后，△PCQ的面积等于4， 由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t， ∵S△PCQCQ•CP， ∴42t×（5﹣t）， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）， 即1秒后，△PCQ的面积等于4， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-4】（2022春•泗水县期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动． （1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2？ （2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？ 【分析】当运动时间为ts时，AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm． （1）利用三角形的面积计算公式结合△PBQ的面积为4cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）利用勾股定理结合PQ的长度为5cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当运动时间为ts时，AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm． （1）依题意得：（5﹣t）×2t＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4， 当t＝1时，2t＝2×1＝2＜7，符合题意； 当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去． 答：1s后，△PBQ的面积为4cm2． （2）依题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝25， 整理得：t2﹣2t＝0， 解得：t1＝0，t2＝2． 答：0s或2s后，PQ的长度为5cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-5】（2023春•蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据路程＝速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB﹣AP就可以求出PB的长． （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式建立方程，解方程即可． 【解答】解：（1）由题意，得：BQ＝2t（cm），PB＝（5﹣t）cm． 故答案为：2t cm，（5﹣t）cm． （2）存在，理由如下： 由题意得：2t×（5﹣t）＝4， 解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去）， ∴存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2，t＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-6】（2023秋•澄迈县期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动． （1）经过ts后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值； （2）经过ts后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值； （3）△PBQ的面积能否等于8cm2？ 【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P到达点B及点Q到达点C所需时间，比较后可得出0＜t，当运动时间为ts时，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm． （1）根据△PBQ的面积等于4cm2，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）利用勾股定理，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （3）△PBQ的面积不能等于8cm2，假设△PBQ的面积能等于8cm2，根据△PBQ的面积等于8cm2，可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣7＜0，可得出该方程没有实数根，假设不成立，即△PBQ的面积不能等于8cm2． 【解答】解：∵5÷1＝5（s），7÷2（s），5， ∴0＜t． 当运动时间为ts时，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm． （1）根据题意得：BP•BQ＝4， 即（5﹣t）×2t＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不符合题意，舍去）． 答：t的值为1； （2）根据题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52， 整理得：t2﹣2t＝0， 解得：t1＝0（不符合题意，舍去），t2＝2． 答：t的值为2； （3）△PBQ的面积不能等于8cm2，理由如下： 假设△PBQ的面积能等于8cm2，根据题意得：BP•BQ＝8， 即（5﹣t）×2t＝8， 整理得：t2﹣5t+8＝0， ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝﹣7＜0， ∴该方程没有实数根， ∴假设不成立，即△PBQ的面积不能等于8cm2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-7】（2023春•和平区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 【分析】（1）当运动时间为ts时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当运动时间为ts时，AP＝3tcm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（16﹣2t）cm． 故答案为：3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm． （2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33， 整理得：16﹣t＝11， 解得：t＝5. 答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示． 依题意得：|16﹣5t|2+62＝102， 即（16﹣5t）2＝82， 解得：t1，t2． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$