2.5 一元二次方程的根与系数的关系（8大题型）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（北师大版）

（北师大版）九年级上册数学《第二章 一元二次方程》 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系知识点一 ◆1、根与系数的关系： （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），x1x2． ◆2、文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. ◆3、根与系数的关系使用的条件： (1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0； (2)方程有实数根，即 Δ≥0. ◆4、一元二次方程根与系数的应用很多: (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数: (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程 题型一 由根与系数的关系直接求代数式的值 【例题1】（2024•河北区二模）若x1，x2是方程x2﹣5x+4＝0的两根，则x1•x2＝（　　） A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5 【变式1-1】（2024•霍林郭勒市校级模拟）若a，b是方程的两个根，则的值为（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣20 D．20 【变式1-2】（2024春•包河区期末）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x＝1的两个根，则x1+x1x2+x2的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2 【变式1-3】（2024春•海曙区期末）已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值 为（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】（2023•武昌区模拟）已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则m+n的值 是（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3 【变式1-5】已知一元二次方程4x2﹣7x+1＝0的两个根分别为α，β，不解方程，求下列各式的值： （1）αβ3+α3β； （2）． 【变式1-6】已知x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． （1）（x1+x2）2﹣x1x2 （2）（x1﹣2）（x2﹣2） （3）x12+x22 【变式1-7】（2022•苏州模拟）已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为x1和x2，不解方程，求下列各式 的值： （1）（x1﹣1）（x2﹣1）； （2）． 题型二 由根与系数的关系和方程的解求代数式的值 【例题2】（2023•南安市模拟）已知m，n是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个根，则m2+mn+3m的值 为（　　） A．0 B．3 C．6 D．13 【变式2-1】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程 的两个实数根，则 的值为（ ） A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013 【变式2-2】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为(   ) A． B． C． D． 【变式2-3】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知是方程的两根，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2-4】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2021 C． D．2023 【变式2-5】 （2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 题型三 由方程两根满足关系求字母的值 【例题3】（2024•乐山）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且3，则p的值 为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【变式3-1】 （2024•湖北模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0有两个实数根x1和x2，且|x1|＝|x2|，m的值为（　　） A．﹣1或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．1 【变式3-2】 （2022秋•绵阳期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】 （2024春•泰兴市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+2﹣2k＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两根为x1、x2，且x1＝2﹣x2，求k的值． 【变式3-4】 （2023春•广水市月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数根m，使（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【变式3-5】 已知关于x的方程kx2+（k+1）x0有实根． （1）当k＝4时，求解上述方程； （2）求k的取值范围； （3）是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 题型四 不解方程由根与系数的关系判断根的正负 【例题4】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【变式4-1】 （2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（      ） A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定 【变式4-2】 （2024•玄武区二模）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的 是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【变式4-3】 （2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根 【变式4-4】 （2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（    ）. A．有两个负根 B．两根异号且正根绝对值较大 C．有两个正根 D．两根异号且负根绝对值较大 题型五 构造一元二次方程求代数式的值 【例5】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（　　） A．﹣402 B． C． D． 【变式5-1】 （2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（ ）． A．6 B．3 C．-3 D．0 【变式5-2】（2024春•北仑区期末）若实数a，b满足2a2﹣5a＝2b2﹣5b＝3，且a≠b，则a2b+ab2的值为 　 ． 【变式5-3】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值 ． 【变式5-4】（2023春·江苏·九年级专题练习）设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 题型六 已知方程根的情况判断另一个方程 【例题6】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程的两根分别是（    ）． A．， B．， C．， D． ， 【变式6-1】 （2024•盐城模拟）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣8＝0的一个根是﹣2，则它的另一个根为 　 　． 【变式6-2】 （2024•漳州三模）已知﹣2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则这个方程的另一个根为 　 　． 【变式6-3】 （2024春•市中区期末）一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一根是3，则另外一根是 　 　． 【变式6-4】 （2024春•玄武区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【变式6-5】（2024春•庐阳区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知5是此方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0的一个根，求k的值和这个方程的另一个根． 题型七 根的判别式与根与系数关系的综合应用 【例题7】（2024春•苏州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0． （1）求证：m取任意实数，该方程总有两个实数根； （2）设该方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，求m的值． 【变式7-1】 已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值． 【变式7-2】 （2023•荆门一模）已知a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若（a+1）（b+1）＝2ab﹣4，求m的值． 【变式7-3】 （2023•老河口市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足14．求4x2﹣10的值． 【变式7-4】 （2023秋•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 【变式7-5】 （2023春•拱墅区校级期中）关于x的方程：x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）用含k的代数式表示|x1﹣x2|； （3）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由． 【变式7-6】（2023·浙江·九年级假期作业）已知，关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)若方程的两实根为且满足，求k的值． (3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）九年级上册数学《第二章 一元二次方程》 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系知识点一 ◆1、根与系数的关系： （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），x1x2． ◆2、文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. ◆3、根与系数的关系使用的条件： (1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0； (2)方程有实数根，即 Δ≥0. ◆4、一元二次方程根与系数的应用很多: (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数: (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程 题型一 由根与系数的关系直接求代数式的值 【例题1】（2024•河北区二模）若x1，x2是方程x2﹣5x+4＝0的两根，则x1•x2＝（　　） A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5 【分析】根据根与系数的关系解决问题． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣5x+4＝0的两根， ∴x1•x2＝4， 故选：A． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【变式1-1】（2024•霍林郭勒市校级模拟）若a，b是方程的两个根，则的值 为（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣20 D．20 【分析】利用根与系数的关系求出a+b和ab的值，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为a，b是方程的两个根， 所以a+b，ab， 所以． 故选：C． 【点评】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式1-2】（2024春•包河区期末）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x＝1的两个根，则x1+x1x2+x2的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2 【分析】把方程化为一般形式，利用根与系数的关系可求得x1+x2和x1x2的值代入即可求得答案． 【解答】解：把方程化为一般形式可得x2﹣3x﹣1＝0， ∵x1，x2是方程的两个根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1， ∴x1+x1x2+x2＝3+（﹣1）＝2， 故选：D． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程两根和、两根积与方程系数的关系是解题的关键． 【变式1-3】（2024春•海曙区期末）已知x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则的值 为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2和x1x2，再利用整体思想即可解决问题． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根， ∴，， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式1-4】（2023•武昌区模拟）已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则m+n的值 是（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3 【分析】先将m+n通分、化简得，再利用配方法得，根据一元二次方程根与系数的关系可知m+n2，mn1，最后整体代入计算即可求解． 【解答】解：m+n ， ∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根， ∴m+n2，mn1， 则原式3． 故选：B． 【点评】本题主要考查分式的混合运算、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，． 【变式1-5】已知一元二次方程4x2﹣7x+1＝0的两个根分别为α，β，不解方程，求下列各式的值： （1）αβ3+α3β； （2）． 【分析】根据根与系数的关系得到α+β，αβ， （1）利用因式分解和完全平方公式把原式变形为αβ[（α+β）2﹣2αβ]，然后利用整体代入的方法计算； （2）先通分，再利用完全平方公式变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得α+β，αβ， （1）原式＝αβ（α2+β2）＝αβ[（α+β）2﹣2αβ][（）2﹣2]； （2）原式． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 【变式1-6】已知x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． （1）（x1+x2）2﹣x1x2 （2）（x1﹣2）（x2﹣2） （3）x12+x22 【分析】首先利用根与系数的关系可得x1+x2、x1x2的值． （1）直接将x1+x2、x1x2的值代入，并计算即可解答； （2）利用多项式与多项式的乘法法则将其展开，得x1x2﹣2（x1+x2）+4，此时再将x1+x2、x1x2的值代入，计算即可； （3）结合完全平方公式将其变形得（x1+x2）2﹣2x1x2，可得结论． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个实数根， ∴x1+x22，x1x2， （1）将x1+x2＝﹣2，x1x2代入（x1+x2）2﹣x1x2＝（﹣2）2﹣（）． （2）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4， 将x1+x2＝﹣2，x1x2代入上式，得 2×（﹣2）+4． （3）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（）＝7． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型． 【变式1-7】（2022•苏州模拟）已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为x1和x2，不解方程，求下列各式 的值： （1）（x1﹣1）（x2﹣1）； （2）． 【分析】（1）先进行整式的乘法运算，再利用一元二次方程根与系数的关系代入求值即可； （2）先进行分式的加法运算，再利用一元二次方程根与系数的关系代入求值即可． 【解答】解：（1）（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1， 由题意知：x1+x2＝3，x1x2＝1，代入上式得：x1x2﹣（x1+x2）+1＝1﹣3+1＝﹣1． （2） ， ∵x1+x2＝3，x1x2＝1， ∴， ∴． 【点评】本题考查利用一元二次方程根与系数的关系：进行化简求值，掌握一元二次方程根与系数的关系，准确地化简代数式是解题的关键． 题型二 由根与系数的关系和方程的解求代数式的值 【例题2】（2023•南安市模拟）已知m，n是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个根，则m2+mn+3m的值 为（　　） A．0 B．3 C．6 D．13 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2+3m＝6，根与系数的关系得到mn＝﹣6，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的根， ∴m2+3m﹣6＝0，mn＝﹣6， 即m2+3m＝6， ∴m2+mn+3m＝m2+3m+mn＝6﹣6＝0， 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 【变式2-1】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程 的两个实数根，则 的值为（ ） A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可． 【解答】∵α是方程x2+x+2012=0的根， ∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012， ∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β， ∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根， ∴α+β=-1， ∴α2+2α+β=-2012-1=-2013． 故选D． 【点评】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 【变式2-2】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为(   ) A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式即可求解． 【解答】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ ， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出，是解题的关键． 【变式2-3】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知是方程的两根，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，，，， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． 【变式2-4】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2021 C． D．2023 【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，由一元二次方程根的定义可得，即可求解； 【解答】 和是方程的两个根， ， ， ，， 故选A． 【点评】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键． 【变式2-5】 （2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，由根的定义可得，代入即可得答案． 【解答】∵，， ∴． 故答案为：6 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念． 题型三 由方程两根满足关系求字母的值 【例题3】（2024•乐山）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且3，则p的值 为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝p，再结合所给的条件从而要求解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝p， ∵3， ∴， 即， 解得：p． 故选：A． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：x1+x2，x1x2． 【变式3-1】 （2024•湖北模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0有两个实数根x1和x2，且|x1|＝|x2|，m的值为（　　） A．﹣1或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．1 【分析】由|x1|＝|x2|知x1＝x2或x1+x2＝0，当x1＝x2时，（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0，当x1+x2＝0时，2﹣2m＝0，解方程可得答案． 【解答】解：∵|x1|＝|x2|， ∴x1＝x2或x1+x2＝0， 当x1＝x2时，Δ＝0，即（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0， 解得m＝1； 当x1+x2＝0时，2﹣2m＝0， 解得m＝1， 综上所述，m的值为1； 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【变式3-2】 （2022秋•绵阳期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）由根与系数的关系，得到，然后解关于k的一元二次方程，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，且k≠0， 即， 即：1﹣2k＞0， ∴，且k≠0； （2）存在． 根据题意，， ∴， ∴， 经检验，是方程的根，且符合题意， 即． 【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式Δ＞0，列出关于k的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k值． 【变式3-3】 （2024春•泰兴市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+2﹣2k＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两根为x1、x2，且x1＝2﹣x2，求k的值． 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证； （2）利用根与系数的关系求出x1+x2的值，代入已知等式计算即可求出k的值． 【解答】（1）证明：a＝1，b＝﹣（2k﹣3），c＝2﹣2k， ∵Δ＝（﹣2k+3）2﹣4（2﹣2k） ＝4k2﹣12k+9﹣8+8k ＝4k2﹣4k+1 ＝（2k﹣1）2≥0， ∴无论k为何值，此方程总有两个实数根； （2）解：这里a＝1，b＝﹣（2k﹣3），c＝2﹣2k， 根据根与系数的关系得：x1+x2＝2k﹣3， ∵x1＝2﹣x2， ∴x1+x2＝2， ∴2k﹣3＝2， 解得：k＝2.5． 【点评】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 【变式3-4】 （2023春•广水市月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数根m，使（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明 理由． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝2（m+1），，再由（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6，可得关于m的方程，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+3）≥0， 解得：m≥1， 即：m的取值范围为：m≥1； （2）存在， 由根与系数的关系得：x1+x2＝2（m+1），， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6， ∴x1x2﹣x1﹣x2+1＝m+6， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝m+6， ∴m2+3﹣2（m+1）+1＝m+6， 解得：m1＝4，m2＝﹣1， ∵m≥1， ∴m＝4． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 【变式3-5】 已知关于x的方程kx2+（k+1）x0有实根． （1）当k＝4时，求解上述方程； （2）求k的取值范围； （3）是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）讨论：当k＝0时，方程为一元一次方程，有实数解；当k≠0时，利用根的判别式的意义得到Δ＝（k+1）2﹣4k0，此时满足k且k≠0，然后综合两种情况得到k的取值范围； （3）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系得a+b，ab，再利用1得到，解得k，然后利用k且k≠0可判断不存在实数k，使方程两根的倒数和为1． 【解答】解：（1）k＝4，方程化为：4x2+5x+1＝0， （4x+1）（x+1）＝0， 4x+1＝0或x+1＝0， 所以x1，x2＝﹣1； （2）当k＝0时，方程化为x＝0，方程有实数解； 当k≠0时，根据题意得Δ＝（k+1）2﹣4k0， 解得k且k≠0， 综上所述，k的取值范围为k； （3）不存在． 理由如下： 设方程的两根分别为a、b， 根据根与系数的关系得a+b，ab， ∵1， 即1， ∴a+b＝ab， ∴， 解得k， ∵k且k≠0， ∴不存在实数k，使方程两根的倒数和为1． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 题型四 不解方程由根与系数的关系判断根的正负 【例题4】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【解答】解：由题意得：方程可化为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：， ∴该方程的两个根为一正一负， 故选C． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 【变式4-1】 （2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（      ） A．两根一正一负 B．两根都是负数 C．两根都是正数 D．无法确定 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解． 【解答】解：的两根分别为，，则，， ∴方程的两根同号，且两根都是正数， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的两根，满足，是解题关键． 【变式4-2】 （2024•玄武区二模）关于x的方程x2+kx＝2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的 是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【分析】先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：整理关于x的方程x2+kx＝2为：x2+kx﹣2＝0， ∵Δ＝k2﹣4×（﹣2）＝k2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵两根之积为﹣2， ∴方程有一个正根，一个负根． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 【变式4-3】 （2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根 【分析】首先根据根的判别式，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断． 【解答】解：在方程中， 可得：， ∵a、b、c是的三条边的长， ∴，，．，即， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根的和是，两根的积是， ∴方程有两个不等的负实根． 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根． 【变式4-4】 （2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（    ）. A．有两个负根 B．两根异号且正根绝对值较大 C．有两个正根 D．两根异号且负根绝对值较大 【分析】先计算△=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到△＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由得到方程有异号两实数根，再由得到负根的绝对值大． 【解答】△=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac． ∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根． 设方程两根为x1，x2． ∵，∴方程有异号两实数根． ∵，∴负根的绝对值大． 故选D． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 题型五 构造一元二次方程求代数式的值 【例5】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（　　） A．﹣402 B． C． D． 【分析】将原题第二个等式左右两边同时除以n2，变形后与第一个等式比较，得到m与 为方程5x2+2010x+9=0的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出所求式子的值． 【解答】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，又5m2+2010m+9=0， ∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m• = = ． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【变式5-1】 （2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（ ）． A．6 B．3 C．-3 D．0 【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题． 【解答】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0， ∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根， ∴m＋n＝2a，mn＝2， ∴(m－1)2＋(n－1)2 ＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1 ＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2 ＝4a2－4－4a＋2 ＝4(a－)2－3， ∵a≥2， ∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值， ∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6， 故选A． 【点评】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【变式5-2】（2024春•北仑区期末）若实数a，b满足2a2﹣5a＝2b2﹣5b＝3，且a≠b，则a2b+ab2的值为 　 ． 【分析】利用2a2﹣5a＝3，2b2﹣5b＝3，a≠b，则可把a、b看作方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，根据根与系数的关系得到a+b，ab，再把a2b+ab2分解因式得到ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵2a2﹣5a＝3，2b2﹣5b＝3， 即2a2﹣5a﹣3＝0，＝2b2﹣5b﹣3＝0， 而a≠b， ∴a、b可看作方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根， ∴a+b，ab， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【变式5-3】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值 ． 【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值． 【解答】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①； 由=﹣b﹣3得： b2+3b+c=0②； ∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c； ∴+﹣=====﹣2． 故答案为﹣2． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键． 【变式5-4】（2023春·江苏·九年级专题练习）设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可 【解答】解： ，， 看作以上方程的两个不同的根， 即是方程的两根， 故，即 故选A 【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键． 题型六 已知方程根的情况判断另一个方程 【例题6】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程的两根分别是（    ）． A．， B．， C．， D． ， 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程 的另一个根，设，根据方程 的根代入求值即可得到答案； 【解答】解：∵一元二次方程 的一个根为m，设方程另一根为n， ∴， 解得：， 设，方程变形为， 由一元二次方程 的根可得， ，， ∴，， ∴，， 故答案为：A． 【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解． 【变式6-1】 （2024•盐城模拟）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣8＝0的一个根是﹣2，则它的另一个根为 　 　． 【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得﹣2t＝﹣8，然后解关于t的方程即可． 【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得﹣2t＝﹣8， 解得t＝4， 即方程的另一个根为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【变式6-2】 （2024•漳州三模）已知﹣2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则这个方程的另一个根为 　 　． 【分析】设另一个根为x＝m，则根据根与系数的关系得﹣2m＝﹣6，求出即可． 【解答】解：设另一个根为x＝m，则﹣2m＝﹣6， 解得：m＝3， 所以，另一个根为3． 故答案为：3． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解，分别为x1，x2，则有x1+x2，x1x2． 【变式6-3】 （2024春•市中区期末）一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一根是3，则另外一根是 　 　． 【分析】设另一个根为x，根据根与系数的关系列方程即可求解． 【解答】解：设另一个根为x， ∵一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根是3， ∴3+x＝﹣（﹣2）， 解得：x＝﹣1， ∴另一个根为﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【变式6-4】 （2024春•玄武区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【分析】（1）证明Δ＞0，可得结论； （2）根据方程解的定义求出k的值，再求出方程的根可得结论． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\ ＝k2+4k+4﹣8k+4 ＝k2﹣4k+4+4 ＝（k﹣2）2+4， ∵（k﹣2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根为3， ∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， ∴k＝2， ∴方程为x2﹣4k+3＝0， ∴x1＝3，x1＝1， ∴另一个根为1，k＝2． 【点评】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型． 【变式6-5】（2024春•庐阳区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知5是此方程x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0的一个根，求k的值和这个方程的另一个根． 【分析】（1）根据根的判别式，即可得出Δ＝k2+8＞0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）把x＝5代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝k﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2+8 无论k取何值，k2≥0， 则k2+8＞0， ∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：把x＝5代入方程可得25﹣5（k+2）+k﹣1＝0， 解得k， 当k时，原方程为x2x0， 解得x1，x2＝5， 即方程的另一根为． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1•x2是解题的关键． 题型七 根的判别式与根与系数关系的综合应用 【例题7】（2024春•苏州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0． （1）求证：m取任意实数，该方程总有两个实数根； （2）设该方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，求m的值． 【分析】（1）根据题意求出△的值，判断出△的符号即可； （2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后将其代入x1+x2＝3x1x2列出关于m的方程，并解方程即可． 【解答】（1）证明：在关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0中，a＝1，b＝﹣2m，c＝2m﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2． ∵无论m为任何实数，（m﹣1）2≥0， ∴4（m﹣1）2≥0． ∴无论m为任何实数，该方程总有两个实数根； （2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2m，x1•x2＝2m﹣1． ∵x1+x2＝3x1x2， ∴2m＝3（2m﹣1）． 解得m． 即m的值为． 【点评】本题考查的是根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1•x2． 【变式7-1】 已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值． 【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可； （2）将m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论． 【解答】解：（1）由题意△≥0， ∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0， ∴m． （2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0， ∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1， ∵方程的根为x1，x2， 解法一：x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0， ∴（x12+2x1）（x22+4x2+2） ＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2） ＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2） ＝（﹣1﹣x1）（x2+1） ＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1 ＝﹣x2﹣x1﹣2 ＝3﹣2 ＝1． 解法二：x12+2x1＝3x1+x12﹣x1+1﹣1＝﹣x1﹣1 x22+4x2+2＝x22+3x2+1+x2+1＝x2+1 ∴（x12+2x1）（x22+4x2+2） ＝（﹣1﹣x1）（x2+1） ＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1 ＝﹣x2﹣x1﹣2 ＝3﹣2 ＝1． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【变式7-2】 （2023•荆门一模）已知a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若（a+1）（b+1）＝2ab﹣4，求m的值． 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，解不等式即可求解； （2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入计算即可求出m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等的实数根a、b， ∴Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1＞0， 解得：m， （2）∵（a+1）（b+1）＝2ab﹣4， 即：ab+（a+b）+1＝2ab﹣4 ∴ab﹣（a+b）﹣5＝0， 又∵a+b＝2m﹣1，ab＝m2， ∴m2﹣（2m﹣1）﹣5＝0， ∴m2﹣2m﹣4＝0， 解得：或（舍去）． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 【变式7-3】 （2023•老河口市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足14．求4x2﹣10的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2，结合14，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出实数m的值，即可求出x1+x2＝4，，代入4x2﹣10即可得答案． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m． （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根， ∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2． ∵14， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝14， ∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14， ∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14， ∴m＝5或﹣1， 当m＝5时，方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0变为x2+8x+25＝0，无解舍去， 当m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0， ∴x1+x2＝4，， ∴x1﹣1， ∴4x2﹣10＝4x1﹣1+4x2﹣10＝4（x1+x2）﹣11＝16﹣11＝5． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x1+x2）2＝18+4x1x2，找出关于m的一元一次方程． 【变式7-4】 （2023秋•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝（2k﹣3）2+4，利用非负数的性质得到Δ＞0，从而根据判别式的意义得到结论； （2）利用根与系数的关系得到AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2＝AC2＝（）2，则（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，解得k1＝3，k2＝﹣2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长． 【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3） ＝4k2+4k+1﹣16k+12 ＝4k2﹣12k+13 ＝（2k﹣3）2+4， ∵（2k﹣3）2≥0， ∴Δ＞0， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3， 而AB2+BC2＝AC2＝（）2， ∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31， 整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2， 而AB+BC＝2k+1＞0，AB•BC＝4k﹣3＞0， ∴k的值为3， ∴AB+BC＝7， ∴矩形ABCD的周长为14． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 【变式7-5】 （2023春•拱墅区校级期中）关于x的方程：x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）用含k的代数式表示|x1﹣x2|； （3）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由方程根的性质，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围； （2）利用k可表示出方程的两根，结合k的取值范围可判断出两根的符号，利用求根公式表示出两根，即可求得|x1﹣x2|的值； （3）在二的结论下代入数据，结合已知条件可得到关于k的方程，则可求得k的值． 【解答】解：（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0， ∴； （2）由一元二次方程的求根公式得：x1，x2， ∵， ∴， ∴x1＞0， 又∵x1•x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0， ∴x2＞0， x1﹣x2； ∵， ∴4k﹣11＞0， ∴|x1﹣x2|； （3）当时，有， 即， ∴4k﹣11＝3， ∴， ∴存在实数，使得． 【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，用k表示出判别式、表示出两根是解题的关键． 【变式7-6】（2023·浙江·九年级假期作业）已知，关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)若方程的两实根为且满足，求k的值． (3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值． 【分析】（1）根据方程有两个实数根可得，解不等式即可求得； （2）由根与系数的关系可得，，代入中求解出k即可； （3）由，，将进行变形，再代入根据二次函数的性质求解即可． 【解答】（1）由题意可得：， ∴， ， 解得； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴k=2； （3）∵，， ∴， =， =， =， ∵， ∴当，有最小值，最小值为． 【点评】本题考查了(a，a，b，c为常数)的根的判别式和其根与系数的关系、二次函数的性质，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$