高二数学第一次月考卷（北师大版2019选择性必修第一册第1.1～2.1：直线与圆+椭圆)-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第一次月考

试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ __ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第1.1~2.1章（直线与圆+椭圆）。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．点  1,1 到直线3 4 2 0x y   的距离是（ ） A．1 B．2 C． 5 D．3 2．已知方程 2 2 1 2 x y m m    表示椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A． (0,2) B．(0,1) C． (2, ) D． (0,1) (1,2) 3．圆  2 24 9x y   和圆  22 3 4x y   的公切线有（ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 4．已知实数 x， y 满足方程 2 4 1y x x    ，则 y x 的最大值为（ ） A．0 B．1 C． 3 D．2 5．某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星图片和轨道图片， 地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约 0.6A.U.，将于 2023 年 12 月 9 日出现的远日点距离太阳约 35A.U.（A.U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距 离，1A.U. 149597870 千米）.物理老师告诉他该彗星的周期约 76 年，质量约 1510 kg.化学老师说：彗核 的成分以水冰为主，占 70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷彗星的轨迹可以近似看 成椭圆，那么该椭圆的离心率约是（ ） A．0.03 B．0.97 C．0.83 D．0.77 6．已知直线 l： 1 0x my m    ，则下列说法不正确的是（ ） A．直线 l恒过点  1,1 B．若直线 l与 y轴的夹角为 30°，则 3 3 m  或 3 3 m   C．直线 l的斜率可以等于 0 D．若直线 l在两坐标轴上的截距相等，则 1m  或 1m   7．若圆 2 2 2 6 1 0x y x y     上恰有三点到直线 y kx 的距离为 2，则 k的值为（ ） A． 1 2 B． 3 4 C． 4 3 D．2 8．已知椭圆 2 2 1 4 x y  的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P在椭圆上，当 1 2F PF 的面积为 1 时， 1 2PF PF   等 于（ ） A．0 B．1 C．2 D． 1 2 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知两条直线 1l ， 2l 的方程分别为3 4 12 0x y   与 8 11 0ax y   ，下列结论正确的是（ ） A．若 1 2//l l ，则 6a  B．若 1 2//l l ，则两条平行直线之间的距离为 7 4 C．若 1 2l l ，则 32 3 a  D．若 6a  ，则直线 1l ， 2l 一定相交 10．过点  2,1P 作圆 O： 2 2 1x y  的切线 l，则切线 l的方程为（ ） A． 1y  B． 2x  C．3 4 5 0x y   D．4 3 5 0x y   11．已知椭圆 2 2 2 1(0 3) 9 x y b b     的左､右焦点分别为 1 2,F F ，过点 1F 的直线 l交椭圆于 ,A B两点，若 AB 的 最小值为 4，则（ ） A．椭圆的短轴长为 6 B． 2 2AF BF 的最大值为 8 C．离心率为 3 2 D．椭圆上不存在点 P，使得 1 2 90F PF   试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知点  ,P x y 到定点  0, 2F 的距离与它到定直线 3: 2 2 l y  的距离的比是常数 2 3 ，点 P的轨迹为曲 线E，则曲线E的方程为 ． 13．经过点  3, 1P   且斜率为 k的直线 l与圆 2 2: ( 1) ( 2) 17C x y    相交于 ,A B两点，若 4 2AB  ，则 k的值为 . 14．直线 1l ： 2 0x my   与直线 2l ： 2 0mx y   交于点 Q，m是实数，O为坐标原点，则 OQ 的最大 值是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分） 已知直线 l经过点  2,1P  ，且平行于向量  1,1 . （1）求直线 l的方程； （2）若直线 m与 l平行且点 P到直线 m的距离为 2 ，求直线 m的方程. 16．（15 分） 如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为 10，椭圆的离心率为 3 2 ，且短轴与半圆的直 径（图中虚线）重合，图徽内有一矩形区域 ABCD用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在 图徽外框上． （1）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程； （2）根据美学知识，当 0.6 AD AB  时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时 AB的长． 17．（15 分） 瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后 人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中， ABC 满足 AC BC ，顶点  1,0A  、  1,2B ，且其 “欧拉线”与圆M：  2 2 25x y r    0r  相切． （1）求 ABC 的“欧拉线”方程； （2）若圆M 与圆  22 2x y a   有公共点，求a的范围． 18．（17 分） 已知在平面直角坐标系 xOy中，动点 P到  3,0 和  3,0 的距离和为 4，设点 11, 2 A     . （1）求动点 P的轨迹方程； （2）M 为线段PA的中点，求点M 的轨迹方程； （3）过原点O的直线交 P的轨迹于 B，C两点，求 ABC 面积的最大值. 19．（17 分） 已知 ABC 中，点  1,5A  ，AC边上中线所在直线 1l 的方程为8 12 0x y   ，AB边上的高线所在直线 2l 的方程为 3 6 0x y   ． （1）求边BC所在直线方程； （2）以  1,0M 为圆心作一个圆，使得 、 、A B C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外， 并记该圆为圆M ，过直线2 12 0x y   上一点 P作圆M 的切线 ,PE PF，切点为 ,E F，当四边形 PEMF 面积最小时，求直线EF 的方程. 高二上学期数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第1.1~2.1章（直线与圆+椭圆）。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】. 故选：A. 2．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，解得或 故选：D 3．圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2． 两圆的圆心距为，所以两圆外切， 故两圆的公切线的条数为3，故C正确. 故选：C 4．已知实数，满足方程，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程化为， 表示的图形是一个以为圆心，为半径的半圆， 令，即，如图所示， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离， 解得或（负值不满足条件，舍去）， 所以的最大值为， 故选：C. 5．某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星图片和轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约0.6A.U.，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约35A.U.（A.U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，千米）.物理老师告诉他该彗星的周期约76年，质量约kg.化学老师说：彗核的成分以水冰为主，占70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷彗星的轨迹可以近似看成椭圆，那么该椭圆的离心率约是（   ）    A．0.03 B．0.97 C．0.83 D．0.77 【答案】B 【解析】设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由题意可得解得 所以. 故选：B 6．已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】C 【解析】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 7．若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由得，所以圆心，半径， 因为圆上恰有三点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得， 故选：C． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意可得：， 则， 设， 由题意可得：，解得， 代入方程可得，则， 又因为， 则. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 【答案】AD 【解析】两条直线，的方程分别为与， 若，则，得，故A选项正确； 若，由A选项可知，：，直线的方程可化为， 故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确； 若，则，得，故C选项不正确； 由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确. 故选：AD. 10．过点作圆O：的切线l，则切线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意得切线l的斜率存在，故可设切线l的方程为，即， ∴圆心到直线l的距离， ∴，∴或， ∴切线l的方程为或． 故选：AD. 11．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的最大值为8 C．离心率为 D．椭圆上不存在点，使得 【答案】BD 【解析】易知当轴时，即线段为通径时，最短，，解得，椭圆方程为， 对于，椭圆的短轴长为，故A错误； 对于，因为的周长为，且，故B正确； 对于C，离心率，故C错误； 对于，易知当点位于短轴顶点时，最大，此时，又为三角形内角，椭圆上不存在点，使得，故D正确， 故选:BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ． 【答案】 【解析】根据题意可得，化简得， 曲线的方程为． 故答案为：. 13．经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 【答案】0或 【解析】由条件可知，圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 设直线，即， 所以圆心到直线的距离， 解得：或. 故答案为：0或. 14．直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】因为：与直线：的交点坐标为， 所以， 若最大，则最小，则最小， 而，当且仅当时取等，此时， 所以的最大值是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知直线l经过点，且平行于向量. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程. 【解析】（1）由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为---------4分 即.----------------------------------------------------------------------------------5分 （2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为，-----------7分 由点到直线的距离公式得，即，---------------------------9分 解得或.---------------------------------------------------------------------------------11分 所以所求直线m的方程为或.--------------------------------------13分 16．（15分） 如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径（图中虚线）重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上． （1）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程； （2）根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长． 【解析】（1）以半圆的直径为轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由已知，圆的半径为，则半圆的方程为．----------------------------2分 椭圆的短半轴长，又，-----------------------------------------------4分 所以，-------------------------------------------------------------------6分 所以半椭圆的方程为．-------------------------------------------7分 （2） 设第一象限内的点的横坐标为，则----------------------------9分 ．------------------------------------------------------11分 由得，-----------------------------------------------------------------------13分 解得，此时． 故达到最佳美观的效果时长为．----------------------------------------------------------15分 17．（15分） 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M：相切． （1）求的“欧拉线”方程； （2）若圆与圆有公共点，求的范围． 【解析】（1）因为，所以是等腰三角形，由三线合一得：的外心、重心、垂心均在边的垂直平分线上，--------------------------------------------------------------------------------------------2分 设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直，---------------------------------------3分 由、可得：的中点，即，--------------------------------------5分 由，得，-------------------------------------------------------------------------6分 故的方程为即；-----------------------------------------------------------------7分 （2）因为与圆M：相切，故圆心，，--------9分 圆的圆心坐标为，半径，------------------------------------------10分 则要想圆M与圆有公共点，则两圆外切、相交或内切， 只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，--------------------------12分 即，-----------------------------------------------------------------13分 故，解得．------------------------------------------------------15分 18．（17分） 已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. （1）求动点的轨迹方程； （2）为线段的中点，求点的轨迹方程； （3）过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 【解析】（1）因为，由椭圆定义可知， 点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆，--------------------3分 设椭圆方程为，则，，所以， 故动点的轨迹方程为；---------------------------------------------------------------4分 （2）设，， ，且为线段的中点，----------------------------------------------------------------5分 ，即，代入的轨迹方程，可得，----7分 整理得， 即点的轨迹方程为；----------------------------------------------------8分 （3）①当直线的斜率不存在时，不妨令，， ，点到轴的距离为1， ；-----------------------------------------------------------------9分 ②当直线的斜率为时，不妨令，， ，点到轴的距离为， 所以；-----------------------------------------------------------------10分 ③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，，，． 联立，化为． 解得，则，则，． ．----------------------------------------------------------------------------------------11分 又点到直线的距离．----------------------------------------------------------------------------12分 ， ，---------------------------------------------------------------------13分 当时，当且仅当，即时取等号，-------------------------14分 当时，当且仅当，即时取等号， 所以，--------------------------------------------------------------------------------16分 当且仅当时，即，取最大值，最大值为， 综上所述面积的最大值．---------------------------------------------------------------------------17分 19．（17分） 已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为． （1）求边所在直线方程； （2）以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程. 【解析】（1）因为边上的高线所在直线的方程为， 且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即，------------2分 联立直线和直线的方程可得，解得，即点，--------------------3分 设点，则线段的中点为， 由题意可得，解得，------------------------------------------------------------5分 即点，则，即；-------------------------------------------------------6分 （2）因为， ， ， 则，--------------------------------------------------------------------------------------------------9分 故圆的半径为， 所以，圆的方程为， 由与圆相切，故,------------------------------------------------11分 又，故取最小值时，四边形面积最小， 则当为点到直线的距离时， 即时，四边形面积最小，------------------------------------------------------------13分 设，有， 解得，故，由与圆相切，故、、、四点共圆， 且该圆以为直径，圆心为，即，半径为， 即该圆方程为，即，--------------------------------------------------15分 又圆的方程为，即， 两圆方程作差得， 即直线为.-------------------------------------------------------------------------------------------17分 试卷第12页，共13页 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 高二上学期数学第一次月考卷 参考答案 第一部分(选择题共58分) 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 2 6 7 3 8 C D CC A 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9 10 11 AD AD BD 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 14. 2v2 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 15.(13分) 【解析】(1)由题意知直线7的斜率为1,所求直线方程为y-1=x+2-------4分 即x-y3-0-------- -------5分 (2)由直线m与直线1平行,可设直线m的方程为x-y+c=0(c*3),---------7分 2 解得.- 1.--5..-------.-------------.-------.---------.---------------1分 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 所以所求直线m的方程为x-y+1=0或x-y+5=0--------------------13分 16.(15分) 【解析】(1)以半圆的直径为x轴,圆心为坐标原点,建立平面直角坐标系, 由己知,..半径为.-则半.方程为-x-+-2-5-5(y5-).-----------分 .----.--------------------41分. 所以--1-0--5------------------------------------1分 (2)设第-象限内的点A的横坐标为m(<m5),则-AB=-2-m-------------9分 由A ,AD 1_0.6得 3V25~ 2n 259 解得n= 2,此时AB- 5029 29 29 故达到最佳美观的效果时AB长为5020 2 -------------1 1分- 17.(15分) 【解析】(1)因为AC=BC,所以ABC是等腰三角形,由三线合一得:ABC的外心、重心、垂心均在 边AB的垂平分线上,---------..--------------------- 设 ABC的欧拉线为/,则/过AB的中点,且与直线AB垂直, _--.---1. 由A(-1.0)、B(1.2)可得:AB的中点D(1-1.0+2) 即D(0.1), ---------------5--- 试卷第6页,共6页 学易金卷 精创试卷 #R 精品频道·倾力推荐 故/的方程为y-1=-x即x+y-1=0; 1+1 圆x+(y-a){②}-2的圆心坐标为(0.a),半径 -2, _.-...-....-...-10分. 则要想圆M与圆x^{}+(v-a)^{}=2有公共点,则两圆外切、相交或内切, 只需两圆圆心的距离小于等于半径之和,大于等于半径之差的绝对值, ---------------.---12分 即V2-2(-5)+a^3V2+2 -------.-1分 故2225+42,解得a-77 18.(17分) 【解析】(1)因为3-(-3)-23<4,由圆定义可知, 点P的轨迹C是以(-3.0)和(3,0)为焦点,长半轴长为2的圆, ......-....-.--3分 (2)设M(r.y). P(xoy)., [xo-2x-1 [x。+1-2x 整理得2x-2x+8y-4y-1-0. 即点M的轨迹方程为2x-2x+8v-4y-1=0:---- (3)①当直线BC的斜率不存在时,不妨令B(0.-1),C(0,1). [BC-2.,点(1])1y轴的离为1. ②当直线BC的斜率为O时,不妨令B(-2.0).C(2.0), [B(14点(1])轴的高为 3 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 所以Sc= --.-10分 ③当直线BC的斜率存在且不为零时,设直线BC的方程为y=kx(k;0),B(x,y),C(-x,-y),(x0). 联立 y-kx .:+4y=4' 化为(1+4)xr=4 __)#_) #+4,则y_ (0C#、00# # #__# 又点A到直线BC的距离 +起2} 2k-1, , ###1+41+{}1+4^} 4--4+1- 4 V 42+1 1,------------------------1-- 1分- !时取等号, ,即K二 __.--..-----14分 。 -r 当且仅当41. Sc取最大值,最大值为2, 综上所述ABC面积的最大值2。 1 19. (17分) 【解析】(1)因为AB边上的高线所在直线乙的方程为x-3y+6=0 试卷第6页,共6页 精创试卷 ①R 学易金卷 精品频道·倾力推荐 ,则k=-3,故直线AB的方程为y-5=-3(x+1),即3r+-2=0,------2分 [3x+y-2-0 x-2 联立直线AB和直线乙的方程可得 {8x+y-12=0,解得{ 设点C(mnn),则线段AC的中点为D (m-1.n+5). [8m-1.n+5-12=0 由题意可得 2+2 ,解得-----------------------------------5分 n-3n+6-0 3+4 即点C(3.3),则/nc:y+4-3 (x-2),即7x-y-18=0; 3-2 (2)因为 AM(-1-1){+(5-0){}=29, BM=(2-1)*+(-4-0){*17, [CM-(3-1)}+(3-0){}-13 则CMBMAM,-- 故圆M的半径为BM-V17, 所以,圆M的方程为(x-1^{}+y-17, 由PE,PF与圆相切,故Smme=2$s=ME·PE=17PE ----------11分 又PE=PM -17,故PM取最小值时,四边形PEMF面积最小, 则当PM为点M 到直线2x-y-12=0的距离时, 2-12-2、5时,四边形PEMF面积最小, 即PM-- 2 设P(m,2m-12),有(m-1){}+(2m-12){}=25){} 解得m=5,故P(5.-2),由PE,PF与圆相切,故M、E、P、F四点共圆 即(3,-1),半径为5, 即该圆方程为(x-3){+(y+1)②}=5,即x+ -6x+2y+5=0, ---15分 又圆M的方程为(x-1) +}=17,即x}+y}-2x-16=0,$ 两圆方程作差得4x-2v-21-0. , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 即直线EF为4x-2v-21=0---- --------17分 试卷第6页,共6页 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第1.1~2.1章（直线与圆+椭圆）。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D．3 2．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．已知实数，满足方程，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星图片和轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约0.6A.U.，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约35A.U.（A.U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，千米）.物理老师告诉他该彗星的周期约76年，质量约kg.化学老师说：彗核的成分以水冰为主，占70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷彗星的轨迹可以近似看成椭圆，那么该椭圆的离心率约是（   ）    A．0.03 B．0.97 C．0.83 D．0.77 6．已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 7．若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 10．过点作圆O：的切线l，则切线l的方程为（   ） A． B． C． D． 11．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的最大值为8 C．离心率为 D．椭圆上不存在点，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ． 13．经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 14．直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知直线l经过点，且平行于向量. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程. 16．（15分） 如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径（图中虚线）重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上． （1）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程； （2）根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长． 17．（15分） 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M：相切． （1）求的“欧拉线”方程； （2）若圆与圆有公共点，求的范围． 18．（17分） 已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. （1）求动点的轨迹方程； （2）为线段的中点，求点的轨迹方程； （3）过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 19．（17分） 已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为． （1）求边所在直线方程； （2）以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二上学期数学第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第1.1~2.1章（直线与圆+椭圆）。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D．3 2．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．已知实数，满足方程，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星图片和轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约0.6A.U.，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约35A.U.（A.U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，千米）.物理老师告诉他该彗星的周期约76年，质量约kg.化学老师说：彗核的成分以水冰为主，占70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷彗星的轨迹可以近似看成椭圆，那么该椭圆的离心率约是（   ）    A．0.03 B．0.97 C．0.83 D．0.77 6．已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 7．若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线，一定相交 10．过点作圆O：的切线l，则切线l的方程为（   ） A． B． C． D． 11．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的最大值为8 C．离心率为 D．椭圆上不存在点，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ． 13．经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 14．直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知直线l经过点，且平行于向量. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程. 16．（15分） 如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径（图中虚线）重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上． （1）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程； （2）根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长． 17．（15分） 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M：相切． （1）求的“欧拉线”方程； （2）若圆与圆有公共点，求的范围． 18．（17分） 已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. （1）求动点的轨迹方程； （2）为线段的中点，求点的轨迹方程； （3）过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 19．（17分） 已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为． （1）求边所在直线方程； （2）以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程. 试卷第4页，共4页 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$