2.7 探索勾股定理 同步测试（基础版） 2024-2025学年浙教版八年级数学上册

浙教版八年级数学上册2.7 探索勾股定理 同步测试 班级： 姓名： 同学们： 练习开始了，希望你认真审题，细致做题，运用所学知识解决本练习。祝你收获满满，学习进步，榜上有名！ 一、选择题 1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　） A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17 2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．，，2 B．1，2， C．1，， D．4，5，6 3．下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是（　　） A．，1， B．1，，2 C．6，8，10 D．4，4，5 4．一个直角三角形的两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为（　　） A．5cm B．4cm C．cm D．5cm 或cm 5．在等腰中，，，则底边上的高为（　　） A．12 B． C． D．18 6．直角三角形的一条直角边长是8cm，另一条直角边比斜边短2cm，则斜边长为（　　） A．12 cm B．15 cm C．17 cm D．20 cm 7．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　） A．6 B．8 C．13 D． 8．在中，，，，则的长为（　　） A．5 B．10 C． D．28 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，点D为 BC 的中点，则AD 的长为（　　） A．4.8 B．5 C．6 D．8 2、 填空题 11．已知一个三角形的三边长分别是4cm、7cm、6cm，该三角形的形状　 　（填“是”或“不是”）直角三角形． 12．直角三角形两条边长分别为3和4，则第三边的长为　 　. 13．三角形的三边长分别为3，4，5，则最长边上的高为 　 　. 14．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，.则滑道的长度为　 　m. 15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于点D，点E，连结AE，当AC=13，AB=5时，则△ABE的周长是　 　. 16． 已知，，那么以a、b为边长的直角三角形斜边上的中线长为 　 　. 三、解答题 17．已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13， 求证：△ACD是直角三角形. 18．在中，D是BC上一点，AC=10，CD=6，AD=8，AB=17，求BC的长． 19．已知的三条边长分别为，，，其中，，，且是直角三角形吗？请证明你的判断. 20．如图，正方形网格中的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，判断的形状，并说明理由． 21．如图，某校攀岩墙的顶部A处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即米），，求攀岩墙的高度. 22．如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，，求BD的长．（结果保留根号） 23．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 24．如图，P是等边内的一点，连接，以为边作，且，连接.若，连接. （1）证明：； （2）求的度数. 25．如图是钉板示意图，相邻的两个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A、B的连线与钉点C、D的连线交于点E． （1）求证：； （2）　 　． 26．湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米. 求： （1）点B到直线AC的距离. （2）两棵景观树之间的距离； 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵22+32=13≠52=25，∴以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵42+52=41≠62=36，∴以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵52+112=146≠122=144，∴以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵82+152=289=172，∴以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：A、，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形； B、，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形； C、，故此选项中的三条线段能构成直角三角形； D、，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形. 故答案为：C. 【分析】如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵12+22=5=，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C、，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，此三角形不是直角三角形，故此选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据勾股定理的逆定理，只需要判断较小两边的平方和是否等于最大边长的平方即可，从而一一判断得出答案. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：①当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm； ②当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为 cm； 故直角三角形的第三边应该为5cm或 cm． 故答案为：D． 【分析】此题分类讨论：①当两边均为直角边时，②当4为斜边时，分别根据勾股定理算出第三边的长. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点A作于点， 是等腰三角形，， ， 在中，由勾股定理得， ， 即底边上的高为， 故答案为：． 【分析】过点A作于点，先求出，再利用勾股定理求出AD的长即可。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：设直角三角形斜边为，则另一条直角边为， 根据勾股定理，得：， 解得：， 斜边长为， 故答案为：C. 【分析】设直角三角形斜边为，则另一条直角边为，根据勾股定理建立方程并解之即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：如图， 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5， ∴， ∵ ∴12×5=13CD， 解之：. 故答案为：D 【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用直角三角形的两个面积公式可求出CD的长. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：B. 【分析】根据题意，利用勾股定理计算求解即可。 9．【答案】C 【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6， 在Rt△ABD中，AD＝＝＝8， 故答案为：C. 【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，然后利用勾股定理进行计算. 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6， ∴， ∵点D是BC的中点， ∴AD是△ABC的中线， ∴AD=BC=×10=5. 故答案为：B 【分析】利用勾股定理求出BC的长；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AD的长. 11．【答案】不是 【解析】【解答】解：∵42+62≠72， ∴该三角形的形状不是直角三角形. 故答案为：不是 【分析】根据勾股定理的逆定理，如果三角形较小的两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，否则就不是. 12．【答案】5或 【解析】【解答】解：当4是直角边时，第三边长为：， 当4是斜边时，第三边长为：， 所以，第三边长为5或. 故答案为：5或. 【分析】分4是直角边、4是斜边，利用勾股定理进行计算就可求出第三边的长. 13．【答案】2.4 【解析】【解答】解：∵32+42=52， ∴此三角形是直角三角形，斜边为5. 设斜边上高为h，根据三角形的面积公式得： ×3×4= ×5×h， 解得：h=2.4. 故答案为： . 【分析】根据勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，斜边为5，设斜边上高为h，然后根据三角形的面积公式进行计算. 14．【答案】10 【解析】【解答】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即，解得， 故答案为：10. 【分析】设AC=AE=xm，则AB=(x-2)m，接下来在Rt△ABC中，利用勾股定理计算即可. 15．【答案】17 【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AC=13，AB=5， ∴， 由作法得MN垂直平分AC， ∴EA=EC， ∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=5+12=17. 故答案为：17. 【分析】利用勾股定理可求出BC的值，由作法得MN垂直平分AC，则EA=EC，进而可将△ABE的周长转化为AB+BC，据此计算. 16．【答案】2或2.5 【解析】【解答】解：当b是直角三角形的斜边时，直角三角形斜边上的中线长为：， 当b是直角边时，由勾股定理得：斜边长， 则直角三角形斜边上的中线长为：， 综上所述：以a、b为边长的直角三角形斜边上的中线长为2或2.5， 故答案为：2或2.5. 【分析】分类讨论：①当b是直角三角形的斜边时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半可求斜边上的中线长；②当b是直角边时，由勾股定理求出斜边的长，进而再直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半可求出斜边上的中线长，综上即可得出答案. 17．【答案】证明： ∴△ACD是直角三角形. 【解析】【分析】利用勾股定理可求出AC的值，然后结合勾股定理逆定理进行证明. 18．【答案】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理可得，利用勾股定理求出BD的长，最后利用线段的和差求出BC的长即可。 19．【答案】解：的三条边长分别为，，，，，， ， 是直角三角形. 【解析】【分析】根据已知条件可得a2+b2=(m-n)2+4mn=(m+n)2，c2=(m+n)2，然后结合勾股定理逆定理进行解答. 20．【答案】解：是直角三角形． 理由：由勾股定理，得； ； ． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】【分析】利用勾股定理求出AB，BC，AC的长，再求出AB2，BC2，AC2，由此可得到AB2+BC2=AC2，然后利用勾股定理的逆定理可证得结论. 21．【答案】解：设攀岩墙的高为x米，则绳子的长为米， 在中，米， ， ∴， 解得， ∴攀岩墙的高为15米. 【解析】【分析】 设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程， 求解即可. 22．【答案】解：∵CD是中AB边上的高， ∴△ACD和△BCD都是直角三角形. 在Rt△ACD中 ∴， ∵， ∴， 在Rt△BCD中， . 【解析】【分析】先求出 △ACD和△BCD都是直角三角形，再利用勾股定理求出AD=3，最后利用勾股定理计算求解即可。 23．【答案】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴设，则， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴ 【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得，即可证出是直角三角形； （2）连接BE，设，则，利用勾股定理可得，将数据代入可得，最后求出即可。 24．【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，. ∵， ∴. 在和中，， ∴ （2）解：∵， ∴设，则，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且. ∴. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=60°，由角的和差关系可得∠ABP=∠CBQ，由已知条件可知BQ=BP，然后根据全等三角形的判定定理进行证明； （2）设PA=3a，则PB=4a，PC=5a，易得△PBQ为等边三角形，则∠PQB=60°，PQ=PB=4a，由全等三角形的性质可得∠APB=∠CQB，CQ=PA=3a，由勾股定理逆定理知△PQC为直角三角形，且∠PQC=90°，然后根据∠BQC=∠PQB+∠PQC进行计算. 25．【答案】（1）证明：在 和 中， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴； （2） 【解析】【解答】解：（2）在Rt△ABC中，， ∵S△ABC=， ∴2×1=CE， ∴. 故答案为：. 【分析】（1）利用SAS判断出△ACB≌△CFD，由全等三角形的对应角相等得∠CAB=∠FCD，根据直角三角形两锐角互余及等量代换可得∠FCD+∠CBA=90°，由三角形的内角和定理得∠CEB=90°，根据垂直的定义可得AB⊥CD； （2）在Rt△ABC中，先用勾股定理算出AB，进而根据S△ABC=，建立方程，求解即可. 26．【答案】（1）解：过点B作于点D. 因为， 所以. 所以（米）， 即点B到直线AC的距离是24米. （2）解：因为△ABC是直角三角形， 所以由勾股定理，得AC2=BC2+AB2. 因为AC=50米，BC=30米，所以AB2=502-302=1600. 因为AB＞0，所以AB=40米. 即A，B两点间的 距离是40米. 【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AB的值，即为两棵景观树之间的距离； （2）过点B作BD⊥AC于点D，根据等面积法可求出BD的值，即为点B到直线AC的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$