专题02 垂直平分线的判定与性质重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 垂直平分线的判定与性质重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 根据垂直平分线的性质求长度 题型二 根据垂直平分线的性质求周长 题型三 根据垂直平分线的性质求角度 题型四 利用垂直平分线的性质求最值 题型五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系 题型六 垂直平分线的判定方法 题型七 作已知线段的垂直平分线 题型八 尺规作垂线 题型九 垂直平分线的判定与性质综合 题型十 垂直平分线的判定与性质应用 题型十一 垂直平分线常见辅助线添加 知识点一：垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】如图，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．3 C． D．9 1．如图，中，，，的垂直平分线交于，连接．若，求的长（   ）    A． B． C． D． 2．如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ． 3．如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【经典例题二 根据垂直平分线的性质求周长】 【例2】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点．作直线，交于点，交于点，连接．若，则的周长为（）． A．25 B．21 C．16 D．17 1．如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，已知，的周长为8，则的周长是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为 ． 3．如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【经典例题三 根据垂直平分线的性质求角度】 【例3】如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（    ）    A．145° B．150° C．160° D．165° 1．如图，的三边都不相等，点P是三条内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当点P、O同时在的内部时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为 ． 3．如图，中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，连接．    (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【经典例题四 利用垂直平分线的性质求最值】 【例4】如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为(　　)    A． B．4 C． D．5 2．如图，在四边形中，，，在、上分别找一个点M，N使的周长最小，则 ． 3．如图，在中，是高，，是角平分线，交于点，，．    (1)______°； (2)若，，求的面积； (3)作图：在线段上求作一点，使得最小（保留作图痕迹）． 【经典例题五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系】 【例5】如图，已知，和的垂直平分线交于点D，连接，，，下列角度关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 1．如图，在中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，平分，交于点，，，垂足分别为，，连接，与交于点，则与的关系是 ． 3．如图，在中，是的角平分线，于，于，与相交于.    (1)若；则______（用表示） (2)判断线段和的关系？并说明理由. 【经典例题六 垂直平分线的判定方法】 【例6】如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 1．在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．平分 C．线段垂直平分线段 D． 2．在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为 ． 3．如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、． (1)吗？为什么？ (2)是的垂直平分线吗？为什么？ 【经典例题七 作已知线段的垂直平分线】 【例7】已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 1．在中，．用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 2、在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以A，C为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连结CD． 请回答：若BC=DC，∠B=100°，则∠ACB的度数为 ． 3．如图，在中， (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点D、E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长等于50，求的长． 【经典例题八 尺规作垂线】 【例8】如图，已知，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交直线a，b于点D、C，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A． B． C． D． 2．如图所示是作图后的痕迹．在中，，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，再以这两点为圆心，大于这两点到点C的长为半径作弧，交于一点，过该点和点C作直线交于点D．以点D为圆心画弧交BC于两点，再以这两点分别为圆心，以大于这两点长的为半径画弧交于一点，过该点和点D作直线交于点E．若，，则的长为 ． 3．如图，在中，，． (1)尺规作图：在上求作一点，使； (2)已知，，求的周长． 【经典例题九 垂直平分线的判定与性质综合】 【例9】如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 1．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 2．如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 【经典例题十 垂直平分线的判定与性质应用】 【例10】如图，在公路异侧、同侧有两个村庄，，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，符合条件的服务区有（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 1．如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　）    A．的平分线和线段的交点处 B．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 C．的平分线和线段的交点处 D．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 2．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 3．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【经典例题十一 垂直平分线常见辅助线添加】 【例11】如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 1．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 3．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 1．（2024·贵州贵阳·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 D和E ；②作直线，分别交线段和于点 F 和G．连接．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图， 中，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，，， 的周长为 ，则 的周长是（   ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，边上的垂直平分线交于点，交于点，，的周长为，则的长为（      ）． A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在公路异侧、同侧有两个村庄，，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，符合条件的服务区有（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 6．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ． 7．（22-23八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 8．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为 ．    9．（23-24八年级下·宁夏固原·开学考试）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为 ． 10．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 11．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，请用尺规作图法，在四边形内求作一点E，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 12．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 13．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，D是直线上一动点（不与点A，B重合）．若，点D在边上，，交直线于点E，交直线于点F． (1)线段三者之间的数量关系是_______． (2)若点D在的延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请画出图形，并直接写出三者之间的数量关系． (3)若点D在边上，且，请判断三者之间的数量关系，并说明理由． 14．（23-24八年级上·北京·期中）已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 15．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，连接．    (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 垂直平分线的判定与性质重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 根据垂直平分线的性质求长度 题型二 根据垂直平分线的性质求周长 题型三 根据垂直平分线的性质求角度 题型四 利用垂直平分线的性质求最值 题型五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系 题型六 垂直平分线的判定方法 题型七 作已知线段的垂直平分线 题型八 尺规作垂线 题型九 垂直平分线的判定与性质综合 题型十 垂直平分线的判定与性质应用 题型十一 垂直平分线常见辅助线添加 知识点一：垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】如图，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，线段垂直平分线定理，通过添加辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．连结，，过点C作于点H，根据线段垂直平分线定理可得，根据角平分线的性质定理可得，根据“斜边直角边”可证明，可得，进一步推得，再证明，可得，由此即得答案． 【详解】连结，，过点C作于点H， 垂直平分， ， 平分，， ， ，， ， ， ， 在和中，，， ， ， ． 故选D． 1．如图，中，，，的垂直平分线交于，连接．若，求的长（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，设，，由是线段的垂直平分线，得，再根据线段和差即可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴设，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， 故选：． 2．如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接，过点E作交的延长线于点G，由线段垂直平分线的性质得 ，由角平分线的性质得，由得由全等三角形的性质得，同理可得，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， 同理可得：， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 3．如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和判定，熟练掌握各定理是解题的关键： （1）根据题意连接，利用线段垂直平分线的性质可得，依据角平分线的性质得，依据证明，根据全等三角形的性质可得出结论； （2）由题意可得，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵D是垂直平分线上的点， ∴， ∵平分，， ∴，， 在和中 ∴ ∴； （2）在和中 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题二 根据垂直平分线的性质求周长】 【例2】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点．作直线，交于点，交于点，连接．若，则的周长为（）． A．25 B．21 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， 的周长 故选：B． 1．如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，已知，的周长为8，则的周长是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等即可得到结论． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴周长． 故选：C． 2．如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则．由题意可得，，则的周长为求解． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． ∵的周长为24，， ∴． ∴的周长为． 故答案为：15． 3．如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：、分别垂直平分和， ，， 的周长， 故的周长为； （2）， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故的度数为． 【经典例题三 根据垂直平分线的性质求角度】 【例3】如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（    ）    A．145° B．150° C．160° D．165° 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线性质、等腰三角形性质、以及三角形内角和定理，根据垂直平分线性质和等腰三角形性质，得到，，再利用三角形内角和定理进行求解，即可解题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵、的垂直平分线交于点O， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选C．    1．如图，的三边都不相等，点P是三条内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当点P、O同时在的内部时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质和角平分线的定义；连接，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，可得，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理得到，由此即可求出答案． 【详解】解：连接， 点是这个三角形三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ， ， ∵， ∴， 平分，平分， ，， ∵， 故选A． 2．如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题关键．由线段垂直平分线的性质得，从而，由三角形内角和求出即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，连接．    (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理的运用，图形结合分析，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质可得，再根据的周长为，即可求解； （2）根据三角形内角和定理可得，由（1）可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 利用垂直平分线的性质求最值】 【例4】如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题，连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点， ∴， ∵，面积为10， ∴， 解得． 故选：B． 1．如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为(　　)    A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】在上取一点P，连接，，，由垂直平分线的性质可知，从而得到，点D是定点，由两点之间线段最短可知，最小值为的长，再利用三角形的面积公式求即可． 【详解】解：在上取一点P，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，    点D是定点，由两点之间线段最短可知：点P在上时，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴最小值为4， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的面积公式，两点之间线段最短，垂直平分线的性质等知识，推导出最小值即为的长是解题的关键． 2．如图，在四边形中，，，在、上分别找一个点M，N使的周长最小，则 ． 【答案】/度 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于 和的对称点，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作出A关于 和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值． ∵， ∴， ∵由轴对称的性质可得： 且 ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出的位置是解题关键． 3．如图，在中，是高，，是角平分线，交于点，，．    (1)______°； (2)若，，求的面积； (3)作图：在线段上求作一点，使得最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)； (2)的面积； (3)见解析图． 【分析】（）根据角平分线的定义得出和，进而利用三角形内角和定理解答即可； （）根据三角形外角性质和等腰三角形的三线合一解答即可； （）连接，交于点即可； 此题考查了三角形的角平分线，三角形的高，等腰三角形的性质和轴对称性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的的应用． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵，是角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴, ∵是高， ∴， ∴， ∴的面积； （3）如图，连接，交于点，连接，    由（）得， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则， ∴点即为所求． 【经典例题五 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系】 【例5】如图，已知，和的垂直平分线交于点D，连接，，，下列角度关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质得到，设，，根据三角形内角和定理证明即可． 【详解】解：和的垂直平分线交于点D， ， ，， 设，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 1．如图，在中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是尺规作角平分线和垂直平分线，熟知角平分线的作法和垂直平分线性质是解答此题的关键． 根据题意得到是的角平分线，垂直平分，进而求解即可． 【详解】解：由作图知，是的角平分线， ∴，故A不符合题意； 由作图知垂直平分， ∴，，故C，D不符合题意； 无法证明，故B符合题意， 故选：B． 2．在中，平分，交于点，，，垂足分别为，，连接，与交于点，则与的关系是 ． 【答案】垂直平分 【分析】证明，则有，再由知，垂直平分． 【详解】解：如图，∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴A、D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； 故答案为：垂直平分． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，直角三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定，掌握以上内容是解题的关键． 3．如图，在中，是的角平分线，于，于，与相交于.    (1)若；则______（用表示） (2)判断线段和的关系？并说明理由. 【答案】(1) (2)垂直平分， 理由见解析 【分析】（1）可证明，可知，可得出，即可得结论； （2）可证明，可知，利用线段垂直平分线的判定可证明是的垂直平分线，可证得结论； 【详解】（1）是的角平分线， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ∵ ∴ ∴ （2）垂直．理由如下： 是的角平分线， ， ，， ， 在和中 ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 同理点也在线段的垂直平分线上， ； 【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等，解题的关键是熟练掌握角平分线以及垂直平分线性质定理． 【经典例题六 垂直平分线的判定方法】 【例6】如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵，    ∴， 在与中， ， ， ， ∴垂直平分，故A正确， 无法得出，故不能垂直平分，故B和C错误， 也无法得出，故不能平分，故D错误， 故选：A． 1．在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．平分 C．线段垂直平分线段 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，先证明，得出，，，根据，，得出点A、D在线段的垂直平分线，证明线段垂直平分线段． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴平分， ∵，， ∴点A、D在线段的垂直平分线， ∴线段垂直平分线段， 无法证明，故D符合题意，不符合题意． 故选：D． 2．在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为 ． 【答案】互相垂直平分 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质与判定，证明，得到，即可得到线段与线段的关系为互相垂直平分． 【详解】解：设线段与线段交于H， ∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F， ∴， ∵的角平分线交于点D， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴线段与线段的关系为互相垂直平分． 3．如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、． (1)吗？为什么？ (2)是的垂直平分线吗？为什么？ 【答案】(1)．见解析； (2)是的垂直平分线．见解析 【分析】此题考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质． （1）．由于点是平分线上一点，根据角平分线的性质可以推出，然后利用等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据已知条件首先容易证明，从而得到，由（1）有，利用线段的垂直平分线的判定即可证明结论． 【详解】（1）解：． 理由：是的平分线， 且，， ， ； （2）解：是的垂直平分线． 理由：， 在和中， ， ， ， 由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点， 是线段的垂直平分线． 【经典例题七 作已知线段的垂直平分线】 【例7】已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 1．在中，．用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与作线段垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：，在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等， 只需要做线段的垂直平分线即可， A、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； B、作图痕迹是线段的垂直平分线，符合题意； C、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； D、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意； 故选：B． 2、在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以A，C为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连结CD． 请回答：若BC=DC，∠B=100°，则∠ACB的度数为 ． 【答案】30° 【分析】依据等腰三角形的性质，即可得到∠BDC的度数，再根据线段垂直平分线的性质，即可得出∠A的度数，进而得到∠ACB的度数． 【详解】解：根据题意，如图： ∵BC=DC，∠ABC=100°， ∴∠BDC=∠CBD=180°100°=80°， 根据题意得：MN是AC的垂直平分线， ∴CD=AD， ∴∠ACD=∠A， ∴∠A=， ∴∠ACB=∠CBD∠A=80°50°=30°． 故答案为：30°． 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 3．如图，在中， (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点D、E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长等于50，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的作图，以及线段的垂直平分线的性质，正确理解的周长是关键． （1）利用尺规作图即可作出； （2）根据线段的垂直平分线的性质可得，则的周长，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求， （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴． 【经典例题八 尺规作垂线】 【例8】如图，已知，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交直线a，b于点D、C，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图−垂直平分线、三角形内角和定理、平行线的性质，由题意得，是直线l的垂直平分线，可得，根据三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，是直线l的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 1．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，平分，垂直平分， ，， ， ， 故选：C． 2．如图所示是作图后的痕迹．在中，，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，再以这两点为圆心，大于这两点到点C的长为半径作弧，交于一点，过该点和点C作直线交于点D．以点D为圆心画弧交BC于两点，再以这两点分别为圆心，以大于这两点长的为半径画弧交于一点，过该点和点D作直线交于点E．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查对作角平分线和作垂线的理解，以及角平分线性质，作于点，由题干作图过程可知，平分，，利用角平分线性质得到，再利用等面积法求解，即可解题． 【详解】解：作于点， 由题干作图过程可知，平分，， ， 在中，，，， ， ， 解得， 故答案为：． 3．如图，在中，，． (1)尺规作图：在上求作一点，使； (2)已知，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求； （）由题意知，的周长为，即可得出答案； 本题考查作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用知识点的应用． 【详解】（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接， 则， ∴， ∴点即为所求； （2）∵， ∴， ∴的周长为． 【经典例题九 垂直平分线的判定与性质综合】 【例9】如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】①根据将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），证明直线垂直平分，故①正确； ②证明与不一定相等，得到与不一定相等，故②错误； ③先由①得，直线垂直平分，则，，再根据”等边对等角“证明，，则，再根据是的一个外角，是的一个外角，证明，，进一步证明，根据，得到，则，然后根据，证明，从而得到，故③正确； ④先根据是的中点，证明，再由①得，直线垂直平分，则，再证明，最后证明，即，故④正确． 【详解】解：①∵将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C）， ∴直线垂直平分， 故①正确； ②∵， ∴， ∴ 又∵， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， 故②错误； ③由①得，直线垂直平分， ∴，， ∴，， ∴ ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴ 即， 又∵(已证)， ∴， 故③正确； ④∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 综上所述，一定正确的有①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是能够根据题意的条件，进行恰当的推理论证． 1．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【分析】如图，延长到，使得，连接，，证明，推出，由，可得． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 延长交于，先利用“”证明，得出，，可判断①符合题意；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意；由，，得出，得出，可判断③符合题意；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断④符合题意；即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于， ，分别为，边上的高， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，故①符合题意； ， ， ， ，故②不符合题意； ，， ， ，故③符合题意； ，， ， ， ， 垂直平分， ，， 的周长 ，故④符合题意． 故答案为：． 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）8 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）根据点是的中点，延长到点，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到中的两个角相等，然后用等角对等边证明等于． （3）延长交于，证明，则，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是边上的中线(已知)， ∴， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ， 即：， ． （3）解：如图3，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． 【经典例题十 垂直平分线的判定与性质应用】 【例10】如图，在公路异侧、同侧有两个村庄，，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，符合条件的服务区有（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】C 【分析】此题考查了作图-应用与设计作图，本题的关键是：①对角平分线、线段垂直平分线作法的运用，②对题意的正确理解． 作两条公路夹角的平分线，作线段的垂直平分线，则其交点就是所求的位置 ． 【详解】解：作两条公路夹角的平分线，作线段的垂直平分线，则其交点就是所求的位置，如图所示，点C位置即为所求， 故选：C． 1．如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　）    A．的平分线和线段的交点处 B．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 C．的平分线和线段的交点处 D．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质与垂直平分线的性质，根据题意可得发射塔必须建在线段的垂直平分线上，且在的平分线上，即可求解． 【详解】解：要两个城镇，的距离，发射塔必须建在线段的垂直平分线上，要到两条高速公路和的距离相等需要建在的平分线上， ∴发射塔应该修建在的平分线和线段的垂直平分线的交点处． 答案：B． 2．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．连接、，由是的垂直平分线，得，由是的平分线，，，得出，证出，可得，证明，可得，从而有，即可得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接、， 是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， , 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点，    ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接，      ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【经典例题十一 垂直平分线常见辅助线添加】 【例11】如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 连接、，由的平分线与的垂直平分线相较于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，从而得到，可证的，则可得，即可得到结果． 【详解】连接、， 是的平分线，，， ，， ， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ，， ． 故选：B 1．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质．连接常用的辅助线构造全等三角形是解题关键． 【详解】解：∵为的平分线， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，平分， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，即平分． ∵与不重合， ∴不平分，故③错误； 如图，连接，    ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ∵，， ∴，故④正确． 综上可知正确的有3个． 故选C． 2．如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： 3．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【答案】2.5 【分析】连接、，由可证，则可得、，由可证，则可得，设，则，，由此得，求出x的值即可得解． 【详解】解：如图，连接、 ∵是的角平分线，且、， ，， 又， ， ，， ∵垂直平分， ， ， ， ，， 设，则，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 1．（2024·贵州贵阳·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 D和E ；②作直线，分别交线段和于点 F 和G．连接．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图，垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质即可得到结论． 【详解】由作图可知，垂直平分， ， ， ． 故选C． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图， 中，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，，， 的周长为 ，则 的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， 的周长， 故选：D． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，解题关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．依据线段垂直平分线的性质，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得出的度数，根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：垂直平分， ， 又平分， ， ， 故选：B． 4．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，边上的垂直平分线交于点，交于点，，的周长为，则的长为（      ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴， 故选：． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在公路异侧、同侧有两个村庄，，高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，符合条件的服务区有（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】C 【分析】此题考查了作图-应用与设计作图，本题的关键是：①对角平分线、线段垂直平分线作法的运用，②对题意的正确理解． 作两条公路夹角的平分线，作线段的垂直平分线，则其交点就是所求的位置 ． 【详解】解：作两条公路夹角的平分线，作线段的垂直平分线，则其交点就是所求的位置，如图所示，点C位置即为所求， 故选：C． 6．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接，过点E作交的延长线于点G，由线段垂直平分线的性质得 ，由角平分线的性质得，由得由全等三角形的性质得，同理可得，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， 同理可得：， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 7．（22-23八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是通过辅助线构造全等三角形． 由线段垂直平分线的性质得到，由补角的性质推出，由证明，得到，，又，推出，得到，求出，即可得到． 【详解】解：过作交延长线于，连接， 于点，且， ， ，， ， 于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 8．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到结论． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长是， ，即， 的周长是， ， ， ． 故答案为：4 9．（23-24八年级下·宁夏固原·开学考试）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质得出，最后用角度和差即可得出结论，正确掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， 根据作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： 11．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，请用尺规作图法，在四边形内求作一点E，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图——角平分线和垂直平分线的作法，由，可得，因此线段的垂直平分线与的角平分线的交点即为点E． 【详解】解：如图，点E即为所求： 12．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：、分别垂直平分和， ，， 的周长， 故的周长为； （2）， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故的度数为． 13．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，D是直线上一动点（不与点A，B重合）．若，点D在边上，，交直线于点E，交直线于点F． (1)线段三者之间的数量关系是_______． (2)若点D在的延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请画出图形，并直接写出三者之间的数量关系． (3)若点D在边上，且，请判断三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)（1）中的结论不成立，图见解析， (3)．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，即可得解； （2）根据题意画出图形，证明，得出，即可得解； （3）证明，得出，，证明是的垂直平分线，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论不成立， 根据题意画出图形如图所示： ，，，三者之间的数量关系为：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 14．（23-24八年级上·北京·期中）已知：如图所示． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，过点D画，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，角平分线，三角形全等的判定与性质． （1）根据点D到边的距离相等，即点D在的角平分线上，又根据，即点D在线段的垂直平分线上，所以，点D为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此作图即可； （2）过点点D作交于点E，过点D作交于点F，由（1）知，证明，再证，推出，再根据即可求出的长 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：如图，过点作交于点E，过点D作交于点F， 由（1）知， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，即， ， ，， ． 故答案为：3． 15．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，连接．    (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理的运用，图形结合分析，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质可得，再根据的周长为，即可求解； （2）根据三角形内角和定理可得，由（1）可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$