专题01 轴对称重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 轴对称重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 轴对称图形的识别 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型四 台球桌面上的轴对称问题 题型五 轴对称中的光线反射问题 题型六 折叠问题 题型七 画对称轴 题型八 求对称轴条数 题型九 车牌号码的镜面对称 题型十 钟表的镜面对称 题型十一 画轴对称图案 题型十二 设计轴对称图案 知识点一：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 知识点二：设计轴对称图形 问题一：已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′? 作法: 过点A作直线l的垂线，在垂线上截取OA′=OA, 垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点. 问题二：如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′? 作法： 1. 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA， 点A′就是点A关于直线l的对称点； 2.类似地，作出点B关于直线l的对称点B′； 3.连结A′B′. 问题三：如图已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直线l对称的图形呢？ 作法： △ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点 关于直线l的对称点，连结这些对称点，就能得到要作的图形. ∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形. 归 纳 一．作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤: 1.找点（确定图形中的一些特殊点）； 2.画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）； 3.连线（连结对称点）. 二．设计轴对称图案的步骤： （1）画出对称轴； （2）画出图形的基本形状的部分线条； （3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形； （4）按照另一条对称轴继续画对称图形； （5）完成对称图案设计. 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 轴对称图形的识别】 【例1】如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（    ） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 1．如图所示的两位数中，是轴对称图形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 3．如图，△ABC 和△关于直线 PQ 对称，△和△关于直线 MN对称. （1）用无刻度直尺画出直线MN； （2）直线 MN 和 PQ 相交于点 O，试探究∠AOA2 与直线 MN，PQ 所夹锐角α的数量关系. 【经典例题二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例2】如图，和关于直线1对称，下列结论：①；②；③垂直平分；④直线和的交点不一定在上．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1．如图，分别以△ABC的边AB、AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有下列结论：①；②；③OA平分∠BOC；④．其中一定正确的结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，正六边形关于直线l成轴对称的图形是正六边形，有下列说法：①；②；③直线；④．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．    3．如图所示，是由经轴对称变换得到的，对称轴为直线．    (1)与全等吗？全等的两个三角形一定能经轴对称变换互相得到吗？ (2)分别找出点、点关于直线l的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？ (3)连接，线段与直线有怎样的关系？ 【经典例题三 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例3】如图，，，与关于直线对称，则为（   ） A． B． C． D． 1．如图，四边形中，，点B关于的对称点B’恰好落在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2、如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，的度数是 ．    3．如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 【经典例题四 台球桌面上的轴对称问题】 【例4】如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A．A 筐 B．B 筐 C．C 筐 D．D 筐 1．如图，在一个规格为（即个小正方形）的球台上，有两个小球，．若击打小球，经过球台边的反弹后，恰好击中小球，那么小球击出时，应瞄准球台边上的点（ ） A． B． C． D． 2．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是 3．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【经典例题五 轴对称中的光线反射问题】 【例5】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 1．如图，两个平面镜的夹角，一束光线从点出发，照射到平面镜上，经过多次反射后回到了点．关于这条入射光线，甲说：可以是以入射角为照射在边上的光线，经过3次反射后回到点；乙说：可以是平行于的光线，经过4次反射后回到点；丙说：可以是平行于的光线，经过5次反射后回到点．下列判断正确的是（    ）    A．甲对，乙错，丙对 B．甲错，乙对，丙错 C．甲对，乙错，丙错 D．甲错，乙对，丙对 2．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出，已知，且，则光线与镜面的夹角 . 3．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【经典例题六 折叠问题】 【例6】如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．如图，已知，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为 ． 3．如图1，将长方形纸片沿折叠得到图2，点，的对应点分别为点，，折叠后与相交于点； (1)若，求的度数． (2)若点落在上，请判断折痕与的位置关系，并说明理由； (3)设，． ①当恰好平分时，求的度数； ②请用含的代数式表示． 【经典例题七 画对称轴】 【例7】下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（    ） A．菱形 B．三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 1．不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是(    ) A．   B．   C．   D．   2．角的对称轴是 ；圆的对称轴是 ；正n边形的对称轴有 条． 3．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹.    (1)如图①，四边形中，，，，画出四边形的对称轴； (2)如图②，四边形中，，，画出边的垂直平分线. 【经典例题八 求对称轴条数】 【例8】正五边形的对称轴共有（      ） A．2条 B．4条 C．5条 D．无数条 1．由正方形和圆组成的轴对称图形如图所示，该图形的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到 条折痕． 3．下列图形是否是轴对称图形，画出轴对称图形的所有对称轴． 思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有______条对称轴；正五边形有_______条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_______条对称轴． 当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？ 【经典例题九 车牌号码的镜面对称】 【例9】一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 1．一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：    ，实际时间是 ． 3．小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？    【经典例题十 钟表的镜面对称】 【例10】小江从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A． B． C． D． 2．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A．B．C． D． 2．如图，小芳在镜子里看镜子对面电子钟的示数为，你能确定准确时间是 ． 3．如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 【经典例题十一 画轴对称图案】 【例11】如图，点A，B在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C在图中共有（　　）    A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 1．如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图是一个英语单词，四个大写字母都关于直线l对称，如第一个字母“C”关于直线l对称．请在图中补全剩余三个字母，并用中文翻译这个单词所指的职业： ． 3．图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出（点在小正方形的顶点上），使为轴对称图形； (2)在图中画出四边形（点、都在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形且面积为4． 【经典例题十二 设计轴对称图案】 【例12】如图，至少要将正方形中多少个空白的小正方形涂黑后，才可以使着色后的图形关于对角线对称（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 1．如图，在的正方形网格中，选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则涂阴影的格子应为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个． 3．某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙两人发现了该图案的具有以下性质： 甲：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴； 乙：这是一个轴对称图形，且每条对称轴都经过5粒棋子． (1)请在图2中去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质． (2)请在图3中去掉4个棋子，使所得图形仅保留乙所发现的性质． (3)在图4中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙两人所发现的所有性质．（图中用“×”表示去掉的棋子） 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）在下列表示的运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在中，点D在边上，将沿翻折得到，若的周长为12，的周长为4，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024八年级上·江苏·专题练习） 如图：已知点、分别在、边上，将沿折叠，点落在外部的点处，则的比值可能为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 7．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等边三角形网格中，每个小等边三角形的边长都为1，图中已经涂黑了3个三角形，从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑，其中能与图中涂黑部分构成轴对称图形的三角形序号是 ．    8．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个. 9．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 ． 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条沿折叠，使点A落在点的位置上，与交于点F（如图2）．第二步将纸条沿折叠，使点B，C分别落在直线的右侧点，的位置上（如图3）．若，，则 ． 11．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上． (1)在图1中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形是轴对称图形； (2)在图2中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形不是轴对称图形． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）认真观察图甲，其中每个小正方形的边长都是1． (1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，请说明理由． ②图甲中阴影部分的面积是多少？ (2)请在图乙中设计出至少有两条对称轴且面积与图甲中阴影部分面积相等的一个轴对称图形． 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 14．（23-24七年级下·江苏南京·期末）折纸实验如图，长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则____________；____________； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）． 15．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，，是边上一动点，连接，将沿翻折后得到，射线与射线相交于点． (1)若是直角三角形，求的度数； (2)若中有两个角相等，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 轴对称重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 轴对称图形的识别 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型四 台球桌面上的轴对称问题 题型五 轴对称中的光线反射问题 题型六 折叠问题 题型七 画对称轴 题型八 求对称轴条数 题型九 车牌号码的镜面对称 题型十 钟表的镜面对称 题型十一 画轴对称图案 题型十二 设计轴对称图案 知识点一：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 知识点二：设计轴对称图形 问题一：已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′? 作法: 过点A作直线l的垂线，在垂线上截取OA′=OA, 垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点. 问题二：如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′? 作法： 1. 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA， 点A′就是点A关于直线l的对称点； 2.类似地，作出点B关于直线l的对称点B′； 3.连结A′B′. 问题三：如图已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直线l对称的图形呢？ 作法： △ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点 关于直线l的对称点，连结这些对称点，就能得到要作的图形. ∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形. 归 纳 一．作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤: 1.找点（确定图形中的一些特殊点）； 2.画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）； 3.连线（连结对称点）. 二．设计轴对称图案的步骤： （1）画出对称轴； （2）画出图形的基本形状的部分线条； （3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形； （4）按照另一条对称轴继续画对称图形； （5）完成对称图案设计. 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 轴对称图形的识别】 【例1】如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（    ） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．将五块空白的正六边形变号，逐个判断即可作答． 【详解】如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种， 故选：C． 1．如图所示的两位数中，是轴对称图形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 由图可知是轴对称图形． 故选B． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 2．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 3．如图，△ABC 和△关于直线 PQ 对称，△和△关于直线 MN对称. （1）用无刻度直尺画出直线MN； （2）直线 MN 和 PQ 相交于点 O，试探究∠AOA2 与直线 MN，PQ 所夹锐角α的数量关系. 【答案】(1)见解析;(2) ∠AO=2α. 【分析】（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；（2）根据对称找到相等的角，然后进行推理． 【详解】解：（1）如图，连接． 作线段的垂直平分线MN． 则直线MN是△和△的对称轴． （2）∠AO 是直线 MN，PQ 所夹锐角α的2倍， 理由：∵△和△关于直线MN对称，∴ 与关于MN对称， ∴. 又∵△ABC 和△关于直线 PQ 对称， ∴∠AOP=∠OP． ∴∠AO =+∠AOP+∠OP =2（ +∠OP）=2α 即∠AO=2α． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称的性质求角的度数是解题的关键. 【经典例题二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例2】如图，和关于直线1对称，下列结论：①；②；③垂直平分；④直线和的交点不一定在上．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质求解． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴（1），正确． （2），正确． （3）直线l垂直平分，正确． （4）直线和的交点一定在直线l上，错误． 故选：B． 1．如图，分别以△ABC的边AB、AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有下列结论：①；②；③OA平分∠BOC；④．其中一定正确的结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD＝90°，判断出①正确；再求出∠BAE＝∠CAD＝60°，根据翻折可得∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，利用三角形的内角和定理可得∠BOE＝∠BAE，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；无法求出∠ADE=30°，判断出④错误． 【详解】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形， ∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD， ∴∠EAD＝3∠BAC−360°＝3×150°−360°＝90°， ∴，故①正确． ∴∠BAE＝∠CAD＝（360°−90°−150°）＝60°， 由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC， 又∵∠EPO＝∠BPA， ∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确． ∵△ACE≌△ADB， ∴，BD＝CE， ∴BD边上的高与CE边上的高相等， 即点A到∠BOC两边的距离相等， ∴OA平分∠BOC，故③正确． 在△EAD中，∠EAD＝90°， 当∠ADE=30°时，， ∵题中条件无法证明∠ADE=30°，故④错误； 综上所述，结论正确的是①②③共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 2．如图，正六边形关于直线l成轴对称的图形是正六边形，有下列说法：①；②；③直线；④．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．    【答案】①③④ 【分析】根据轴对称的性质，多边形的内角和求解，然后判断作答即可． 【详解】解：由轴对称的性质可得，，直线，， ∴①③④正确，故符合要求；②错误，故不符合要求； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，多边形的内角和．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．如图所示，是由经轴对称变换得到的，对称轴为直线．    (1)与全等吗？全等的两个三角形一定能经轴对称变换互相得到吗？ (2)分别找出点、点关于直线l的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？ (3)连接，线段与直线有怎样的关系？ 【答案】(1)与全等，全等的两个三角形不一定能经轴对称变换互相得到 (2)点关于直线的对称点一定在内 (3)线段被直线垂直平分 【分析】本题考查轴对称、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质即可得出答案，全等三角形不一定是轴对称图形，画出反例图形即可； （2）画图予以说明即可； （3）运用轴对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：与全等，全等的两个三角形不一定能经轴对称变换互相得到，这要看这两个三角形的位置关系， 理由如下： 是由经轴对称变换得到的， ， 如图，，但和不是轴对称的关系，   ； （2）解：点、点关于直线的对称点分别是点、点；如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内， 如图，   ； （3）解：线段被直线垂直平分， 理由如下： 如图，设直线交直线于，   ，与关于直线对称， 点，是对称点， 将沿直线折叠后，点与点重合，则有，， 线段被直线垂直平分． 【经典例题三 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例3】如图，，，与关于直线对称，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的性质得到，再由三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】解：与关于直线对称， ， ． 故选D． 1．如图，四边形中，，点B关于的对称点B’恰好落在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．连接，过A作于F，得到，依据，，即可得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到． 【详解】解：如图，连接，过A作于F， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 2、如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，的度数是 ．    【答案】/68度 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理．作点关于的对称点，关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，此时的周长最小，然后利用轴对称的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，此时的周长最小．    ∵， ∴． 由轴对称的性质，得，． ∴． ∴． 故答案为：． 3．如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)12cm (2)134° 【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式． （1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，为． （2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到． 【详解】（1）解：如图，∵点P与点M关于对称，    ∴， ∵点P与点N关于对称， ∴， ∵， ∴的周长为． （2）解：∵点P与点M 关于对称， ∴， 即， ∵点P 与点N 关于 对称， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【经典例题四 台球桌面上的轴对称问题】 【例4】如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A．A 筐 B．B 筐 C．C 筐 D．D 筐 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质画出图形即可得出答案． 【详解】由题意，可画出图形如下：    由图可知，球Q最终会落在C筐， 故选：C． 【点睛】本题考查了生活中的轴对称想象，掌握轴对称的性质是解题关键． 1．如图，在一个规格为（即个小正方形）的球台上，有两个小球，．若击打小球，经过球台边的反弹后，恰好击中小球，那么小球击出时，应瞄准球台边上的点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应作出点A关于P1P2所在直线的对称点A′，连接A′B与P1P2的交点即为应瞄准的点． 【详解】如图， 应瞄准球台边上的点是P2． 故选B． 【点睛】本题考查了生活中的轴对称现象；解决本题的关键是理解击球问题属于最短路线问题． 2．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是 【答案】673 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 3．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点，点即为所求；   ， 由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．   ． 【经典例题五 轴对称中的光线反射问题】 【例5】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 1．如图，两个平面镜的夹角，一束光线从点出发，照射到平面镜上，经过多次反射后回到了点．关于这条入射光线，甲说：可以是以入射角为照射在边上的光线，经过3次反射后回到点；乙说：可以是平行于的光线，经过4次反射后回到点；丙说：可以是平行于的光线，经过5次反射后回到点．下列判断正确的是（    ）    A．甲对，乙错，丙对 B．甲错，乙对，丙错 C．甲对，乙错，丙错 D．甲错，乙对，丙对 【答案】A 【分析】根据入射光线和反射光线的定义，画出图形，即可判断． 【详解】解：画出图形，如图，    可以是以入射角为照射在边上的光线，经过3次反射后回到点，甲说法正确； 可以是平行于的光线，经过4次反射后不能回到点，乙说法错误； 可以是平行于的光线，经过5次反射后回到点，丙说法正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形，了解入射光线和反射光线的定义是解题的关键． 2．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出，已知，且，则光线与镜面的夹角 . 【答案】/20度 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，根据入射角等于反射角，可得，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【答案】（1）30；（2）的余角是：；（3）见解析（4）； 【分析】（1）根据轴对称性质求解即可； （2）根据余角的定义求解即可； （3）根据反射定律得，，又，得出，由平行线的判定即可得出结论； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴，， ∵ ∴ ∴的余角是，． （3）， ∴， ∴， 由反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （4），，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键． 【经典例题六 折叠问题】 【例6】如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，由折叠的性质可得，，求出，结合得出，，即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 1．如图，已知，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，三角形的内角和为180度． 根据平行线的性质得出，根据折叠可知，进而得出，最后根据三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，翻折的性质，三角形外角性质．延长交于点G，根据三角形内角和定理可求出，由翻折的性质可知，，即得出，从而求出，由三角形外角性质结合三角形内角和定理即可得出，从而可求出． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为： 3．如图1，将长方形纸片沿折叠得到图2，点，的对应点分别为点，，折叠后与相交于点； (1)若，求的度数． (2)若点落在上，请判断折痕与的位置关系，并说明理由； (3)设，． ①当恰好平分时，求的度数； ②请用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】此题考查了折叠的性质、平行线的性质等知识， （1）由平行线的性质即可得到答案； （2）由折叠可知，则，又由即可得到结论； （3）①由角平分线定义及折叠的性质得到答案； ②由①得到，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ， ∴． （2）点落在上， ∴ ∴ ． （3）① ∵恰好平分， ② 由（1）得： 又∵， ∴ 【经典例题七 画对称轴】 【例7】下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（    ） A．菱形 B．三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的特点以及菱形、三角形、等腰梯形和正五边形的性质逐项判断即可． 【详解】A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误； B、三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确； C、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点，根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故C选项错误； D、正五边形，作一条对角线把正五边形分成一个等腰三角形与一个等腰梯形，根据正五边形的对称性，过等腰三角形的顶点与梯形的对角线的交点的直线即为对称轴，故D选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质以及以及菱形、三角形、等腰梯形和正五边形的性质等知识．轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，而这条直线就是这个图形的对称轴． 1．不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是(    ) A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查无刻度直尺绘图——画对称轴，先找出所有对称轴，再结合相关理论知识尝试作图，找出所有对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； B、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； C、本选项图形对称轴只有3条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线l、m、n即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； D、本选项图形对称轴只有4条，其中可用无刻度直尺直接准确画出的有2条，作图如下：    则直线m、n即为所求做的对称轴， 但是还有如下两条对称轴不能用无刻度直尺直接准确画出：    故此选项符合题意； 故选D． 2．角的对称轴是 ；圆的对称轴是 ；正n边形的对称轴有 条． 【答案】 角平分线所在的直线 圆的直径所在的直线 n 【分析】将一个图形沿着某条直线翻折，使两侧能够完全重合，这条直线叫对称轴，根据定义解答． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线；圆的对称轴是圆的直径所在的直线；正n边形的对称轴有n条， 故答案为：角平分线所在的直线；圆的直径所在的直线；n． 【点睛】此题考查图形的对称轴定义，熟记定义是解题的关键． 3．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹.    (1)如图①，四边形中，，，，画出四边形的对称轴； (2)如图②，四边形中，，，画出边的垂直平分线. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，，，找到交点即可得到答案； （2）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，，，找到交点即可得到答案； 【详解】（1）解：由轴对称的性质可得， ∵，，， ∴与，与，关于对称轴对称， 连接即可得到对称轴，如图所示，    （2）解：由轴对称的性质可得， ∵，， ∴与关于对称轴对称， 连接交于一点，相交于一点，连接两点得到直线即为对称轴，如图所示； 【点睛】本题考查作对称轴及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握：对称线交点在对称轴上． 【经典例题八 求对称轴条数】 【例8】正五边形的对称轴共有（      ） A．2条 B．4条 C．5条 D．无数条 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质判断即可． 【详解】解：如图： 一个正五边形的对称轴共有5条． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正五边形过每个顶点垂直对边的直线都是正五边形的对称轴． 1．由正方形和圆组成的轴对称图形如图所示，该图形的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称． 【详解】解：该图形沿直线l4折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故该图形的对称轴是l4， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2．一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到 条折痕． 【答案】15 【分析】根据对折次数得到分成的份数，再减去1即可得到折痕条数． 【详解】解：根据观察可以得到： 对折1次，一张纸分成两份，折痕为1条； 对折2次，一张纸分成=4份，折痕为4-1=3条； 对折3次，一张纸分成 =8份，折痕为8-1=7条； ∴对折4次，一张纸分成 =16份，折痕为16-1=15条 ． 故答案为15． 【点睛】本题考查折叠问题，掌握分成份数与折叠次数、折痕条数的关系是解题关键 ． 3．下列图形是否是轴对称图形，画出轴对称图形的所有对称轴． 思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有______条对称轴；正五边形有_______条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_______条对称轴． 当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？ 【答案】图见解析；3,4,5,6，n；圆，有无数条对称轴． 【详解】试题分析：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义可得只有第一个图形不是轴对称图形；作出各图形的对称轴，归纳规律即可． 试题解析： 3,4,5,6，n；圆，有无数条对称轴． 考点：轴对称图形． 【经典例题九 车牌号码的镜面对称】 【例9】一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查镜面对称性质，属于简单题，关键在于能够理解镜面对称性质.根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，据此作答即可. 【详解】根据镜面对称的性质，可以得到号码为， 故选：B. 1．一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【答案】A 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称， 则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动． 故选：A． 2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：    ，实际时间是 ． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质——镜面对称解答即可． 【详解】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为； 故答案为： 【点睛】本题实际上考查轴对称图形的性质，解题的关键是理解镜面对称是指在平面镜中的像与现实中的事物刚好顺序相反；且关于镜面对称解答这类关于数字在镜中成像问题的一般方法是画出平面镜中的图像的对称图形，再读出对称图形的时间，所得即是所求． 3．小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？    【答案】见解析 【分析】根据镜面对称的性质即可解答. 【详解】沿着镜面反射即可，如图所示．    【点睛】本题考查镜面对称，熟练掌握镜面对称的性质是解题关键. 【经典例题十 钟表的镜面对称】 【例10】小江从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称的原理与性质，即轴对称的性质．解决此类题应认真观察和有空间想象力． 根据镜面对称的性质，求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为10：51， 故选：C． 2．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了镜面对称的性质的运用，解答此题的关键是要注意联系生活实际． 镜面对称的性质：平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，据此判断即可． 【详解】解：实际时间最接近8时的时钟，在镜子里看起来应该是4点， 所以图C所示的时间最接近8时． 故选：C． 2．如图，小芳在镜子里看镜子对面电子钟的示数为，你能确定准确时间是 ． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质——镜面对称解答即可．解题的关键是理解镜面对称是指在平面镜中的像与现实中的事物刚好顺序相反；解答这类关于数字在镜中成像问题的一般方法是画出平面镜中的图像的对称图形，再读出对称图形的时间，所得即是所求． 【详解】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为； 故答案为： 3．如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 【答案】120＋85＝205 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】由题意可知，该算式的实际情况是：120＋85＝205. 【点睛】本题考查了镜面对称，物体平行对着镜子时，镜中的成像改变了物体的左右位置，即关于一条竖直的直线对称，镜中的像与原像之间实际上只是进行了左右翻折. 【经典例题十一 画轴对称图案】 【例11】如图，点A，B在方格纸的格点位置上，若要再找一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，则这样的格点C在图中共有（　　）    A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质，利用轴对称的作图方法作图是解此题的关键． 【详解】解：如图所示：    这样的格点C共有10个， 故选：D． 1．如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题利用格点图作轴对称性图形．根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可． 【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形． 故选：D． 2．如图是一个英语单词，四个大写字母都关于直线l对称，如第一个字母“C”关于直线l对称．请在图中补全剩余三个字母，并用中文翻译这个单词所指的职业： ． 【答案】厨师 【分析】本题考查了轴对称图形的画法，学科整合，解题关键是画出图形，还要会翻译成汉语． 首先画出轴对称图形，发现单词是，翻译成汉语是厨师． 【详解】解：如图根据轴对称的定义画出对称图形，得到单词：，该单词的汉语意思是：厨师． 故答案为：厨师． 3．图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出（点在小正方形的顶点上），使为轴对称图形； (2)在图中画出四边形（点、都在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形且面积为4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）画等腰三角形即可（答案不唯一）． （2）画出四边形，使四边形为轴对称图形且面积为4即可． 【详解】（1）如图中，即为所求． （2）如图中，四边形即为所求． 【经典例题十二 设计轴对称图案】 【例12】如图，至少要将正方形中多少个空白的小正方形涂黑后，才可以使着色后的图形关于对角线对称（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的性质涂色得到轴对称图形成为解题的关键． 根据轴对称图形的性质先确定对称轴对角线所在直线，再找出阴影部分的图形的关键点的对称点，画出图形即可解答． 【详解】解：如图所示：至少要将正方形中4个空白的小正方形涂黑后，才可以使着色后的图形关于对角线对称． 故选：C． 1．如图，在的正方形网格中，选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则涂阴影的格子应为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，所以阴影应该涂在标有数字1的格子内． 【详解】解：根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合， 根据题意，阴影应该涂在标有数字1的格子内； 故选：D． 2．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个． 【答案】5 【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．此题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有5种画法． 【详解】解：依题意，如图： 有5个位置使之成为轴对称图形， 故答案为：5． 3．某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙两人发现了该图案的具有以下性质： 甲：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴； 乙：这是一个轴对称图形，且每条对称轴都经过5粒棋子． (1)请在图2中去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质． (2)请在图3中去掉4个棋子，使所得图形仅保留乙所发现的性质． (3)在图4中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙两人所发现的所有性质．（图中用“×”表示去掉的棋子） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称图形的性质得出是解题关键． （1）根据图形是一个轴对称图形，且有4条对称轴，进而得出结合轴对称图形的性质得出； （2）去掉一行上的左右两粒棋子即可符合要求的答案； （3）根据题意可以去掉8个棋子，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图2所示： （2）解：如图3所示： （3）解：如图4所示： 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）在下列表示的运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．讲一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图不是轴对称图形，故不符合题意； B、该图不是轴对称图形，故不符合题意； C、该图是轴对称图形，故符合题意； D、该图不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在中，点D在边上，将沿翻折得到，若的周长为12，的周长为4，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，解答此题的关键是熟练掌握图形的折叠变换和性质．设，，，，由翻折的性质得：，，然后根据的周长为4得，再根据的周长为12得，据此可求出的长． 【详解】解：设，，，， 由翻折的性质得：，， ∵的周长为4， ，即：， ∵的周长为12， ，即：， ， ，解得：， ． 故选：C 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，先求出，再利用翻折变换的性质求出，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 沿向内折叠得到， ，，， 在中，， ， ， ， 故选：C 4．（23-24七年级下·浙江·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质； 根据平行线的性质可得，，根据折叠可得，，求出，然后根据平角的概念计算即可． 【详解】解：∵长方形纸片中， ∴，， 由折叠得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024八年级上·江苏·专题练习） 如图：已知点、分别在、边上，将沿折叠，点落在外部的点处，则的比值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何的折叠问题，三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质和平角定义是解题的关键．由折叠性质可得，，再用和列出和，组成等式得出，再进行逐个判断即可． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，即， 若，设， 则， 满足，故A符合题意； 若 则不满足，故B不符合题意； 若 则不满足，故C不符合题意； 若 则不满足，故D不符合题意； 故选：A． 6．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 7．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等边三角形网格中，每个小等边三角形的边长都为1，图中已经涂黑了3个三角形，从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑，其中能与图中涂黑部分构成轴对称图形的三角形序号是 ．    【答案】① 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，直接利用轴对称图形的性质分析得出答案． 【详解】解：从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑，其中能与图中涂黑部分构成轴对称图形的是③号位置的三角形． 故答案为：①． 8．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个. 【答案】5 【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知. 【详解】解：如图： 与成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为，，，，，共有5个. 故答案为：5. 【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． 9．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条沿折叠，使点A落在点的位置上，与交于点F（如图2）．第二步将纸条沿折叠，使点B，C分别落在直线的右侧点，的位置上（如图3）．若，，则 ． 【答案】/28度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键． 由长方形的性质及平行线的性质可证得，由长方形的性质，轴对称的性质及平行线的性质可证得，然后根据的内角和等于即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 根据轴对称的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， 即， ∴， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上． (1)在图1中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形是轴对称图形； (2)在图2中找到一个格点，画出，使与全等，且以点为顶点的四边形不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． （1）结合轴对称图形的性质以及全等三角形的判定画出图形即可； （2）根据全等三角形的判定画出图形即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求（答案不唯一）， ； （2）解：如图2，即为所求， ． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）认真观察图甲，其中每个小正方形的边长都是1． (1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，请说明理由． ②图甲中阴影部分的面积是多少？ (2)请在图乙中设计出至少有两条对称轴且面积与图甲中阴影部分面积相等的一个轴对称图形． 【答案】(1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4条对称轴；②4 (2)见解析 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，同时考查了学生的动手实践能力和逻辑思维能力． （1）观察图形即可得出答案． （2）根据轴对称图形的定义及特点即可设计出满足条件的图形． 【详解】（1）解：①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4条对称轴． ②∵每个小正方形的边长都是1， ∴图甲中阴影部分的面积． （2）所设计图形如下所示：（答案不唯一） 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)12cm (2)134° 【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式． （1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，为． （2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到． 【详解】（1）解：如图，∵点P与点M关于对称，    ∴， ∵点P与点N关于对称， ∴， ∵， ∴的周长为． （2）解：∵点P与点M 关于对称， ∴， 即， ∵点P 与点N 关于 对称， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴． 14．（23-24七年级下·江苏南京·期末）折纸实验如图，长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则____________；____________； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质： （1）由折叠的性质得到，由长方形的对边是平行的，得到，，由对顶角的性质得到，即可得到； （2）由折叠可得，，由长方形的对边是平行的，得，可得，再进一步可得答案； 【详解】（1）解：由折叠可得， ∴， ∵长方形的对边是平行的， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由折叠可得，， ∵长方形的对边是平行的， ∴，， ∴， ∴， ∴； 15．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，中，，，是边上一动点，连接，将沿翻折后得到，射线与射线相交于点． (1)若是直角三角形，求的度数； (2)若中有两个角相等，求的度数． 【答案】(1)的度数为或 (2)的度数为或或 【分析】本题考查翻折的性质，三角形内角和定理和推论，直角三角形的性质，四边形内角和，能分情况画出图形求解是解题的关键． （1）分和两种情况画出图形，利用翻折性质和三角形内角和定理及其推论即可解决问题； （2）分①，②，点为线段与线段的交点，③，点为的延长线与的延长线的交点，④，这四种情况画出图形，利用翻折性质和三角形内角和定理及其推论即可解决问题． 【详解】（1）解：是直角三角形，有两种情况： ①，如图， 将沿翻折后得到， ，， ， ， ， ； ②，如图， ， ， ， 将沿翻折后得到， ； 综上，的度数为或； （2）解：中有两个角相等，有四种情况： ①若， ， ， 这与矛盾， 此种情况不存在； ②若，点为线段与线段的交点，如图， 将沿翻折后得到， ，， ， ， ， ； ③若，点为的延长线与的延长线的交点，如图， 将沿翻折后得到， ，， ， ， ， ； ④若，如图， 将沿翻折后得到， ，， ， ， ， ； 综上，的度数为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$