第01讲 空间向量的概念与运算（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第01讲 空间向量的概念与运算 【人教A版2019】 模块一 空间向量及其线性运算 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．共线向量 (1)空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 4．共面向量 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【题型1 空间向量的线性运算及其含参问题】 【例1.1】（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（22-23高二上·广西防城港·期末）如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 【题型2 向量共线的判定及应用】 【例2.1】（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2.2】（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【变式2.2】（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【题型3 向量共面的判定及应用】 【例3.1】（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【例3.2】（23-24高二上·山东聊城·期中）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二·湖南·课后作业）如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面． 【变式3.2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知，，，，，，，，为空间的个点，且，，，，，，． (1)求证：，，，四点共面，，，，四点共面； (2)求证：平面平面； (3)求证：． 模块二 空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【题型4 求空间向量数量积及其最值】 【例4.1】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）在三棱锥中，为的中点，则等于（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 【例4.2】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高二上·河南·阶段练习）正四面体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高三上·浙江杭州·阶段练习）已知长方体中，，，，空间中存在一动点满足，记，，，则（        ）. A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对任意的点，有 D．对任意的点，有 【题型5 空间向量的夹角、垂直问题】 【例5.1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高二上·浙江湖州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5.1】（2024高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【变式5.2】（23-24高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【题型6 利用空间向量的数量积求模】 【例6.1】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 【例6.2】（23-24高三下·北京·开学考试）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（2024高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. (1)用向量表示； (2)求. 【变式6.2】（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 模块三 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型7 空间向量平行、垂直的坐标运算】 【例7.1】（2024高二上·全国·专题练习）已知. (1)若，分别求λ与m的值； (2)若，且与垂直，求. 【例7.2】（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知空间向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求的最大值． 【变式7.1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知向量． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (3)若向量与向量共面向量，求的值． 【变式7.2】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）已知点，，，设，． (1)求，夹角的余弦值． (2)若向量，垂直，求的值． (3)若向量，平行，求的值． 【题型8 空间向量模长、夹角的坐标运算】 【例8.1】（23-24高二下·重庆北碚·阶段练习）已知， ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例8.2】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）在正四棱锥中，，在棱上，在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知，，，，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南通·期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 4．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 6．（23-24高二上·江西吉安·期末）在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 8．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 10．（23-24高二下·江苏常州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．在正方体中， 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 13．（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 14．（23-24高二下·河北唐山·期末）如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为 . 四、解答题 15．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 16．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，，点在上，且．是否存在实数，使四点共面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； 17．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求的值； (3)求证：． 18．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 19．（23-24高二上·湖北十堰·期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．    (1)求点Q的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间向量的概念与运算 【人教A版2019】 模块一 空间向量及其线性运算 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．共线向量 (1)空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 4．共面向量 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【题型1 空间向量的线性运算及其含参问题】 【例1.1】（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的线性运算，将用表示即可. 【解答过程】因为分别为的中点，所以. 因为为的重心，所以， 所以. 故选：B. 【例1.2】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由空间向量线性和基本定理运算可解. 【解答过程】由F为BE 的中点，得 又 所以，由 得 即所以 故选：D.    【变式1.1】（23-24高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的线性运算逐项判断即可. 【解答过程】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：AC. 【变式1.2】（22-23高二上·广西防城港·期末）如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算的几何表示，得出，结合条件即可得出答案. 【解答过程】为的中点， ， 四边形为平行四边形，， . ， ，， ， 故选：B. 【题型2 向量共线的判定及应用】 【例2.1】（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【解答过程】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 【例2.2】（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【解答过程】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 【变式2.1】（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【解题思路】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【解答过程】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 【变式2.2】（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【解题思路】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得 ，由此可得证. 【解答过程】解：（1）因为， ， 所以， 所以； （2） ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 【题型3 向量共面的判定及应用】 【例3.1】（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【解答过程】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 【例3.2】（23-24高二上·山东聊城·期中）在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量共面定理求解． 【解答过程】由题意， ，， ∵，，共面， ∴存在实数唯一实数对，使得， ， ∴，解得． 故选：B． 【变式3.1】（23-24高二·湖南·课后作业）如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面． 【解题思路】利用共面向量定理证明，由可得四点共面. 【解答过程】证明：因为从所在平面外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且满足，则有向量，，，， 而在中，有，所以 ， 故E，F，G，H四点共面，证毕. 【变式3.2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知，，，，，，，，为空间的个点，且，，，，，，． (1)求证：，，，四点共面，，，，四点共面； (2)求证：平面平面； (3)求证：． 【解题思路】（1）利用空间向量共面定理即可求证； （2）由空间向量线性运算可得，由空间向量共线定理可证明，再由线面平行的判定定理可得平面，同理可证明平面，由面面平行的判定定理即可求证； （3）由（2）知，再利用空间向量的线性运算即可求证. 【解答过程】（1）因为，， 所以，，共面，即，，，四点共面． 因为，， 所以，，共面，即，，，四点共面． （2）连接，， ，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为与相交，所以平面平面． （3）由（2）知，所以． 模块二 空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【题型4 求空间向量数量积及其最值】 【例4.1】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）在三棱锥中，为的中点，则等于（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 【解题思路】由题意可得，再由数量积的运算律代入求解即可. 【解答过程】因为， 所以， ， ， 因为， . 故选：C. 【例4.2】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，设出点，可知，所以表示点与点之间距离的平方，分析求解即可. 【解答过程】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设点， 所以，， 所以， 因为表示点与点之间距离的平方， 所以当点的坐标为时，取得最大值为， 当与点重合时，取得最小值， 所以的取值范围为：. 故选：A. 【变式4.1】（23-24高二上·河南·阶段练习）正四面体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出正四面体内切球的半径，确定弦最长时，为内切球直径，它的中点是球心，由数量积运算律得，从而可得与正四面体四顶点重合时，取得最大值． 【解答过程】如图,正四面体中，是四面体的高，与底面上直线垂直， 由对称性知其内切球球心必在高上， 利用体积法（四面体的体积等于四个三棱锥的体积和）可得， 而，， 所以，即内切球半径为，， 弦最长时，为内切球直径，它的中点是球心， ， 易知当是正四面体的四个顶点时，最大， 所以的最大值是． 故选：B． 【变式4.2】（23-24高三上·浙江杭州·阶段练习）已知长方体中，，，，空间中存在一动点满足，记，，，则（        ）. A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对任意的点，有 D．对任意的点，有 【解题思路】建立空间直角坐标系，由题意可得各顶点的坐标，由，设的坐标为，可得、、的取值范围都为，求出数量积，由的坐标的范围可得答案． 【解答过程】以为轴，为轴，为轴，为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，、，，设点， 所以，，，，， 因为，所以，，，，， ，， ， 恒成立，故C正确，A不正确； ，令，则， ，矛盾，所以B不正确； 恒成立，所以D不正确. 故选：C． 【题型5 空间向量的夹角、垂直问题】 【例5.1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论. 【解答过程】因为 所以， . 故选：B. 【例5.2】（23-24高二上·浙江湖州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得.联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可. 【解答过程】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，， ， 又，， 又为单位向量，， 联立，得或， ，， . 故选：C. 【变式5.1】（2024高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【解题思路】 （1）利用数量积的公式可得； （2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值. （3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直． 【解答过程】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 【变式5.2】（23-24高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【解题思路】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得，进而即得； （2）设，然后利用表示出，再利用向量的夹角公式可得答案. 【解答过程】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面； （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ， 若，则，即 ， 即， 解得或舍去， 即时，. 【题型6 利用空间向量的数量积求模】 【例6.1】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】由题意可得二面角的大小为或，则或，将用，结合空间向量数量积的运算律即可得解. 【解答过程】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或， 因为，所以或， 由题可知， ， 故或， 或． 故选：D. 【例6.2】（23-24高三下·北京·开学考试）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】 以为坐标原点，以分别为轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设，， 则，则， 因为平面，所以， 即，解得， 所以，所以， 又，所以当时，即是的中点时，取得最小值， 当或，即与点或重合时，取得最大值， 所以线段长度的取值范围为. 故选：C. 【变式6.1】（2024高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. (1)用向量表示； (2)求. 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）先计算，再开方即可求解. 【解答过程】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. 所以 ； （2）因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1， 所以，， 所以， 所以 ，所以. 【变式6.2】（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【解题思路】（1）根据，代入数值直接求得结果； （2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知. 【解答过程】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 模块三 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型7 空间向量平行、垂直的坐标运算】 【例7.1】（2024高二上·全国·专题练习）已知. (1)若，分别求λ与m的值； (2)若，且与垂直，求. 【解题思路】（1）利用向量平行的条件即可求解； （2）利用向量的模公式及向量垂直的条件即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以设， 所以，解得， 所以，. （2）因为，且与垂直， 所以,化简得,解得. 故. 【例7.2】（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知空间向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求的最大值． 【解题思路】（1）直接由向量共线定理、数量积的坐标公式运算即可求解. （2）首先由向量垂直的坐标表示得到条件等式，结合基本不等式即可求解，注意取等条件是否成立. 【解答过程】（1）由题意，，所以不妨设， 又， 从而， 解得，所以. （2）由题意，所以，即， 又因为， 所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 解得， 所以当且仅当时，的最大值为. 【变式7.1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知向量． (1)求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (3)若向量与向量共面向量，求的值． 【解题思路】（1）根据空间向量的模长公式求解即可. （2）根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可. （3）根据向量共面定理，建立向量与向量之间的表示，可得方程组，求解即可. 【解答过程】（1），， ， ． （2）因为， 所以，解得， 因为 ，且向量与垂直， 所以， 即， ． 所以实数和的值分别为和； （3）解：设 ， 则 解得， 即， 所以向量与向量，共面． 【变式7.2】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）已知点，，，设，． (1)求，夹角的余弦值． (2)若向量，垂直，求的值． (3)若向量，平行，求的值． 【解题思路】（1）利用夹角公式可求夹角的余弦值. （2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值. （3）利用共线向量定理可求参数的值. 【解答过程】（1），， 故. （2）由（1）可得 ，， 因为向量，垂直，故， 整理得到：，故或. （3）由（1）可得不共线，故，均不为零向量， 若向量，平行，则存在非零常数，使得， 整理得到：， 因为不共线，故，故或， 故. 【题型8 空间向量模长、夹角的坐标运算】 【例8.1】（23-24高二下·重庆北碚·阶段练习）已知， ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据空间向量的平行、垂直关系求，再根据空间向量的坐标运算求夹角. 【解答过程】∵，∴，解得，即. 又∵ ，注意到，则，使得， ∴，解得，故. ∴， ∴，又， ∴. 故选：B. 【例8.2】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）在正四棱锥中，，在棱上，在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】以O为原点，分别以，，的方向为轴、轴和轴轴的正方向建立的空间直角坐标系，设和，求得点A到直线CE的距离的表达式，进而求得最小值. 【解答过程】如图所以，连接AC，BD，记，连接OP， 由正四棱锥的性质可知OC，OD，OP两两垂直，则以O为原点，分别以，，的方向为轴、轴和轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，，，， 则，, 设，则， 从而， 故点A到直线CE的距离， 即AF的最小值是. 故选：D. 【变式8.1】（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知，，，，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由向量的平行和垂直可得关于的关系式，解得的值，从而可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论． 【解答过程】解：因为， 所以， 解得，， 故,,， 又因为，所以，即，解得． 所以,4,，,,， 所以,2,，,,， 所以， ， ， 设与的夹角为， 则． 故选：A. 【变式8.2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立的函数关系求解即可. 【解答过程】三棱锥中，过作平面，由，知， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，    由平面，得，则， 令，则，设， 于是， 当且仅当时取等号，所以线段的最小值为. 故选：B. 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南通·期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】连接,利用空间向量的基本定理求解即可. 【解答过程】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D. 2．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【解答过程】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C. 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，，若与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】根据两个向量垂直的坐标表示计算即可. 【解答过程】，∴，解得， 故选：A． 4．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【解题思路】先利用题给条件求得的值，进而求得的值. 【解答过程】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D. 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【解题思路】由四点共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【解答过程】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B. 6．（23-24高二上·江西吉安·期末）在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解参数即可. 【解答过程】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，    ∵，， ∴，，，， ∴，， 已知是棱上一点，（）， 则， ∵，∴，解得． 故选：C. 7．（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解. 【解答过程】    如图，建立空间直角坐标系，设， 则， 所以，则， 因为，又， 所以，即， 所以， 又，所以，当且仅当，此时时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：D. 8．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由空间向量的数量积运算计算可得，即可得的轨迹，即可根据数量积的几何意义求解即可． 【解答过程】取的中点,, 则 ， 所以． 所以在以为球心，为半径的球面上，如图 可知在上的投影数量最小值为， 所以的最小值为， 所以的最小值为． 故选：B． 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【解题思路】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断. 【解答过程】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 10．（23-24高二下·江苏常州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得.联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可. 【解答过程】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，， ， 又，， 又为单位向量，， 联立，得或， ，， . 故选：AC. 11．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．在正方体中， 【解题思路】根据向量的定义结合向量模的含义可判断A；根据数量积的运算律判断B；根据向量的夹角公式可判断C；根据正方体的性质可判断D。 【解答过程】对于A，若，但，的方向不确定，A错误； 对于B，若，两边平方得， 则，B正确； 对于C，，则，即得， 故，， 故， 而，故与的夹角为，C错误； 对于D，在正方体中，， 故四边形为平行四边形，故， 故，D正确， 故选：BD. 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【解题思路】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【解答过程】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 13．（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； 2 ． 【解题思路】设，以为基底表示，由共面，求出，可得的值和，可求． 【解答过程】， 设， 由共面，有，解得，故． 又，有， 则． 故答案为：；2． 14．（23-24高二下·河北唐山·期末）如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为 3 . 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算得关于的函数，再求解函数最值即可. 【解答过程】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， ， 则 ， 因为，所以当时，取最大值，最大值为3. 故答案为：3. 四、解答题 15．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【解题思路】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【解答过程】（1）设，，，由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 16．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，，点在上，且．是否存在实数，使四点共面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； 【解题思路】取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，若四点共面，则存在满足，列方程组求的值. 【解答过程】假设存在实数，使四点共面． 由正三棱柱的性质可知为正三角形，取的中点，连接，则． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 故以为坐标原点，所在直线分别为轴， 在平面内，以过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，． 因为， 所以． 若四点共面，则存在满足， 又，所以，解得， 故存在实数，使四点共面． 17．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求的值； (3)求证：． 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求得的坐标，再求模即可； （2）分别求得的坐标，再利用向量的夹角公式求解； （3）分别求得的坐标，再判断是否为零即可. 【解答过程】（1）解：建立如图所示空间直角坐标系： ， 则， 所以， 则； （2）由（1）知， 所以， 则， 所以； （3）由（1）知， 所以， 则， 所以． 18．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 【解题思路】（1）由向量的坐标表示共线和模长计算求出即可； （2）由向量垂直的坐标表示求出参数即可； （3）由点在平面上，设，解方程组求出即可. 【解答过程】（1），设， 因为，而，所以； 故或 （2），，， 由与互相垂直得：， 解得. （3）点在平面上，， ， ， 解得：. 19．（23-24高二上·湖北十堰·期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．    (1)求点Q的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值． 【解题思路】（1）根据线线平行得四点共面，进而可得Q的轨迹是正六边形OFNEMG，根据三角形的面积公式即可求解， （2）根据数量积的几何意义即可结合图形求解最值. 【解答过程】（1）因为，∴点在平面上， 如图，分别取，，的中点，    连接 因为分别为，的中点，故， 又由正方体可得，，，， 故，，故四边形为平行四边形，故， 故，故四点共面，同理可证四点共面， 故五点共面，同理可证四点共面， 故六点共面，由正方体的对称性可得六边形 为正六边形． 故点的轨迹是正六边形， 因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为， 所以点的轨迹围成图形的面积是． （2）如图，根据向量数量积的几何意义可得 当位于时，此时在上的投影最大， 故 ， ∴的最大值为12． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$