第02讲 常用逻辑用语（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第02讲 常用逻辑用语 【人教A版2019】 模块一 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 4．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件 设. (1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； (2)若，则是的必要条件，是的充分条件； (3)若，则与互为充要条件. 【题型1 充分条件与必要条件的判断】 【例1.1】（23-24高一上·河北唐山·期中）下列结论中不正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，则“”是“不全为”的充要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【例1.2】（2024高三·上海·专题练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1.1】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1.2】（23-24高一上·广东江门·期中）设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【题型2 充分条件和必要条件逆向求参问题】 【例2.1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一下·浙江·期末）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高三上·江苏南通·开学考试）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 充要条件的证明】 【例3.1】（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【例3.2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 【变式3.1】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 【变式3.2】（23-24高二上·贵州黔东南·阶段练习）已知一元二次方程. （1）若是方程的两个根，求b的值； （2）求证：“是方程的一个根”的充要条件是“”. 模块二 全称量词与存在量词 1．命题及相关概念 2．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 3．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 4．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)命题的否定 一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”. 若p是真命题，则¬p必是假命题；若p是假命题，则¬p必是真命题. (2)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 5．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【题型4 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例4.1】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式4.1】（23-24高一上·江苏苏州·期末）设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命题为（ ） A．p1 B．p2 C．p3 D．p4 【变式4.2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 【题型5 全称量词命题与存在量词命题的否定】 【例5.1】（23-24高二下·陕西西安·期末）若命题，则表述准确的是（    ） A． B． C．或 D．或 【例5.2】（23-24高一上·天津和平·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5.1】（23-24高一上·青海海东·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 【变式5.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知命题p:，，命题q：，一次函数的图象在x轴下方． (1)若命题的否定为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题为真命题，命题的否定也为真命题，求实数的取值范围． 【题型6 命题与量词的逆向求参问题】 【例6.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【例6.2】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【变式6.1】（2024·浙江温州·一模）已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【变式6.2】（23-24高一上·湖北黄冈·阶段练习）已知命题，，， (1)若“”是成立的充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题和有且只有一个为假，求实数． 【题型7 常用逻辑用语与集合综合】 【例7.1】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合A的偶数. 【例7.2】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式7.1】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【变式7.2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，集合. (1)若“，”为假命题，求实数m的取值范围； (2)若中有只有三个整数，求实数m的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）已知命题甲：“实数x，y满足”，乙“实数x，y满足”，则甲是乙的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·广东·阶段练习）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江西·开学考试）已知命题，命题，则（    ） A．命题和命题都是真命题 B．命题的否定和命题都是真命题 C．命题的否定和命题都是真命题 D．命题的否定和命题的否定都是真命题 4．（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川·一模）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（23-24高一上·上海松江·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 7．（24-25高二上·山西·开学考试）已知：，：，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·河南安阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题. B．命题“对，的个位数不等于3”的否定是假命题. C．梯形是等腰梯形的充要条件是. D．设，则的充要条件是. 10．（23-24高一上·安徽·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 11．（23-24高一上·河北·阶段练习）设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（    ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 12．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 13．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 14．（23-24高一上·重庆北碚·期中）已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 . 四、解答题 15．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16．（23-24高二下·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 17．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知. (1)当时，若同时成立，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．（2024高一·全国·专题练习）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 19．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 常用逻辑用语 【人教A版2019】 模块一 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 4．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件 设. (1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； (2)若，则是的必要条件，是的充分条件； (3)若，则与互为充要条件. 【题型1 充分条件与必要条件的判断】 【例1.1】（23-24高一上·河北唐山·期中）下列结论中不正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，则“”是“不全为”的充要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【解题思路】利用集合的包含关系可判断A选项的正误；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项的正误；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C选项的正误. 【解答过程】对于A选项， ， 所以“”是“”的必要不充分条件，A选项正确； 对于B选项，充分性：若，则为直角， 所以为直角三角形，充分性成立； 必要性：若为直角三角形， 则“为直角”或“是直角”或“为直角”， 所以“”或“”或“”， 即必要性不成立. 因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，B选项错误. 对于C选项，充分性：因为，若，则， 所以不成立，所以、不全为，充分性成立； 必要性：若、不全为，则，必要性成立. 因此“”是“、不全为”的充要条件，C选项正确； 对于D选项， 充分性：取，则为无理数，但为有理数，即充分性不成立； 必要性：若为无理数，则是无理数，必要性成立. 所以“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，D选项正确； 故选：B. 【例1.2】（2024高三·上海·专题练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【解答过程】，或， 所以前者可以推得后者，后者不能推得前者， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1.1】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可. 【解答过程】如果，比如，则有， 根据定义，， 即“”不是“”的充分条件， 如果，则有， ，所以“”是“”的必要条件； 故“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 【变式1.2】（23-24高一上·广东江门·期中）设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【解题思路】结合新定义，根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】当，或，时，， 由时知，， 当时，根据定义可知，所以，故只要满足且即可， 显然不止，或，这种情况， 比如，等也满足， 所以“，或，”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型2 充分条件和必要条件逆向求参问题】 【例2.1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【解答过程】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 【例2.2】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出不等式的解集，再由集合间的包含关系即可求出m的取值范围. 【解答过程】解不等式可得， 又不等式成立的充分不必要条件是，所以可得； 即，解得； 经检验不等式两边不会同时取到等号， 所以m的取值范围是. 故选：D. 【变式2.1】（23-24高一下·浙江·期末）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解不等式得到 或，根据题意得到是的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案. 【解答过程】由条件，解得或； 因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件， 故是或的真子集， 则的取值范围是， 故选：B． 【变式2.2】（23-24高三上·江苏南通·开学考试）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可. 【解答过程】由，解得， 所以， 又由，解得， 所以， 因为是的必要不充分条件， 所以集合真包含于， 所以，解得， 经检验，时，，满足题意； 时，，满足题意； 所以实数的取值范围是. 故选:A. 【题型3 充要条件的证明】 【例3.1】（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【解题思路】先证明充分性，即由，得是方程的一个根；再证必要性，由是方程的一个根，得. 【解答过程】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【例3.2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 【解题思路】（1）由已知，先求解出集合，然后根据，将集合分为和两种情况讨论，分别列式求解即可； （2）由已知，先有或，证明至少有2个子集，即证明充分性，然后再根据至少有2个子集，求解参数的范围与或比较即可证明其必要性. 【解答过程】（1）由已知，集合，所以集合． 因为“，”为假命题，所以． 当时，，解得； 当时，要使，则，，且，， 即，解得或或或． 综上，实数m的取值范围为． （2）证明：充分性：若，或，则至少有2个子集． 当，或时，，方程有解， 集合至少有1个元素，至少有2个子集，充分性得证； 必要性：若至少有2个子集，则或． 若至少有2个子集，则至少有1个元素， 方程有解，，解得或， 必要性得证． 综上，至少有2个子集的充要条件是或． 【变式3.1】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 【解题思路】根据所给条件类比勾股定理得到，由充分性与必要性证明，证明过程作出辅助图形利用勾股定理求证即可. 【解答过程】.证明如下： 充分性：∵，不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形， ，最大，即，， 过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D， 由勾股定理，得 ，与已知矛盾， △ABC为锐角三角形. 必要性：∵△ABC为锐角三角形，，°，过点A 作BC的垂线，垂足为D， 由勾股定理知，得 . 综上，为锐角三角形的一个充要条件为. 【变式3.2】（23-24高二上·贵州黔东南·阶段练习）已知一元二次方程. （1）若是方程的两个根，求b的值； （2）求证：“是方程的一个根”的充要条件是“”. 【解题思路】（1）化简即得解； （2）先证明充分性，再证明必要性得证. 【解答过程】（1）由题得，所以； （2）先证明充分性： 当时，或， 所以是方程的一个根， 所以充分性成立； 再证明必要性： 当是方程的一个根时， . 所以必要性成立. 所以“是方程的一个根”的充要条件是“”. 模块二 全称量词与存在量词 1．命题及相关概念 2．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 3．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 4．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)命题的否定 一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”. 若p是真命题，则¬p必是假命题；若p是假命题，则¬p必是真命题. (2)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 5．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【题型4 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例4.1】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】举反例否定选项ABD，利用绝对值定义可得选项C正确. 【解答过程】当时，.故选项A判断错误； 由可得，.故选项B判断错误； .故选项C判断正确； 由，可得选项D判断错误. 故选：C. 【例4.2】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】根据题意，分析命题、的真假，进而分析选项，可得答案. 【解答过程】当时，，所以命题为假命题，则命题为真命题； 当时，，所以命题为真命题，则命题为假命题； 所以和都是真命题. 故选：C. 【变式4.1】（23-24高一上·江苏苏州·期末）设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命题为（ ） A．p1 B．p2 C．p3 D．p4 【解题思路】根据含量词的命题，分析其真假，即可求解. 【解答过程】对于p1：由于，故∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题； p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题； p3：∀x∈Z，|x|是非负整数，故|x|∈N，该命题为真命题； p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题； 故选：C. 【变式4.2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少有一个，使得成立 B．菱形的两条对角线长度相等 C．， D．对任意，，都有 【解题思路】由定义选择全称量词命题，再判断真假. 【解答过程】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题， 菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误， 对任意，，都有， 即，D选项正确. 故选：D. 【题型5 全称量词命题与存在量词命题的否定】 【例5.1】（23-24高二下·陕西西安·期末）若命题，则表述准确的是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】全称命题的否定是特称命题，否定结论的时候，注意不等式的解集是否互为补集关系. 【解答过程】全称命题的否定为特称命题，排除BD选项， 其中可解得，的否定应是， A选项中，可解得，故A选项错误，C选项正确. 故选：C. 【例5.2】（23-24高一上·天津和平·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解. 【解答过程】“，”的否定为“，”， 故选：C. 【变式5.1】（23-24高一上·青海海东·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 【解题思路】（1）（2）（3）根据全称命题、特称命题的否定写出相应命题的否定，进而判断真假性. 【解答过程】（1）命题的否定为“，”， 因为，可得命题的否定是假命题． （2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”， 由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题． （3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”， 若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置， 那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题． 【变式5.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知命题p:，，命题q：，一次函数的图象在x轴下方． (1)若命题的否定为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题为真命题，命题的否定也为真命题，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由全称命题的否定与真假判断求解即可； （2）由全称命题与特称命题的真假判断求解即可 【解答过程】（1）∵命题p的否定为真命题， 命题的否定为：，， ∴， ∴． （2）若命题p为真命题，则，即或． ∵命题q的否定为真命题， ∴“，一次函数的图象在x轴及x轴上方”为真命题． ∴，即． ∴实数a的取值范围为． 【题型6 命题与量词的逆向求参问题】 【例6.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题； （2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决. 【解答过程】（1）由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． （2）因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，． 【例6.2】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【解答过程】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“ ”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 【变式6.1】（2024·浙江温州·一模）已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由二次函数的性质得出命题为真时，实数的取值范围，进而由命题为真求解； （2）由判别式得出为真时，实数的取值范围，再讨论真假或假真，得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）若方程有两个不等的负根，则，解得； 因为命题为真，所以实数的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得. 若真假时，，解得； 若假真时，，解得. 综上，得. 【变式6.2】（23-24高一上·湖北黄冈·阶段练习）已知命题，，， (1)若“”是成立的充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题和有且只有一个为假，求实数． 【解题思路】（1）由命题为真，求出的取值范围，再利用集合的包含关系，列出不等式求解作答. （2）由命题为真，求出的取值范围，再结合（1）及已知分情况讨论作答. 【解答过程】（1）因为，，当时，恒成立，即， 当时，不等式对不恒成立， 当时，，解得或， 因此命题为真时，或，而“”是成立的充分条件， 则， 当，即时，，符合题意，于是， 当，即时，或，解得， 所以实数的取值范围. （2）由（1）知，命题为真，或，命题为真时，，解得或， 而命题和有且只有一个为假，即一真一假， 当真假时，即或并且，解得， 当假真时，即并且或，解得， 所以实数的取值范围是. 【题型7 常用逻辑用语与集合综合】 【例7.1】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合A的偶数. 【解题思路】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A. （2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论； （3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数. 【解答过程】（1），，故，， 假设，，则，且， 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，有：，，； （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 又，而，即，推不出， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为． 【例7.2】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解. 【解答过程】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【变式7.1】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【解题思路】（1）考虑的情况，然后求解出的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集求解出结果； （2）根据条件先分析出，然后考虑的情况，由此求解出符合条件的的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，所以， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. （2）因为“，使得”是真命题，所以， 当时， 若，成立，此时，解得； 若，则有或，解得， 所以时，的取值范围是或， 所以命题为真命题时的取值范围是. 【变式7.2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，集合. (1)若“，”为假命题，求实数m的取值范围； (2)若中有只有三个整数，求实数m的取值范围. 【解题思路】（1）由题设，讨论、分别求出对应参数范围； （2）由题意，讨论、求参数范围. 【解答过程】（1）由题意，知，则 ①，即，得； ②，则，此时有或，解得，此时m无解； 综上：m的取值范围为. （2）因，故中有只有三个整数时，可能为，0，1或0，1，2， 当时，，解得，即； 当时，，解得，无解； 综上：m的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）已知命题甲：“实数x，y满足”，乙“实数x，y满足”，则甲是乙的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】，充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【解答过程】，充分性成立， 但不能得到，比如当时，满足，但不满足，必要性不成立， 故甲是乙的充分不必要条件. 故选：B. 2．（23-24高一上·广东·阶段练习）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据全称量词命题为真命题，分离参数求解出参数范围的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【解答过程】因为命题“”为真命题，则对恒成立， 所以，所以， 所以命题“”为真命题的充分必要条件为，所以选项B不符合题意； 对于A选项，得不到，能得到，所以是的必要不充分条件，所以选项A符合题意； 对于C选项，得不到，也得不到，所以是的既不充分也不必要条件，所以选项C不符合题意； 对于D选项，能得到，得不到，所以是的充分不必要条件，所以选项D不符合题意. 故选：A. 3．（24-25高三上·江西·开学考试）已知命题，命题，则（    ） A．命题和命题都是真命题 B．命题的否定和命题都是真命题 C．命题的否定和命题都是真命题 D．命题的否定和命题的否定都是真命题 【解题思路】依次判断两个命题的真假，即可求解. 【解答过程】对于命题，当或时，，故命题是假命题，命题的否定为真命题； 对于命题，因为，所以命题为假命题，命题的否定为真命题； 综上可得：命题的否定和命题的否定都是真命题， 故选：D. 4．（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【解答过程】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 5．（2024·四川·一模）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果. 【解答过程】当时，，此时，即可以推出， 若，所以，得到，所以推不出， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 6．（23-24高一上·上海松江·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【解题思路】对于①，分类讨论、、、和五种情况分别求解即可判断； 对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可. 【解答过程】对于①： 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，； 则符合题意，不符合题意； 综上，是单元素集，故①正确. 对于②： 当为整数时，成立； 当不为整数时，设（为整数，）， 当时，，， 此时，成立； 当时，，则，， 此时，成立； 当时，，， 此时，成立； 综上，对于任意，成立，故②正确. 故选：A. 7．（24-25高二上·山西·开学考试）已知：，：，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将的充分不必要条件是转化为两集合的真包含关系，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【解答过程】设，， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 8．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先分别求两个命题为真命题时的取值范围，取其补集即可得答案. 【解答过程】 命题为真时恒成立，，即，， 命题为真时，即 ，解得：或. 命题“且”是真命题时，取交集部分，可得或， 所以命题“且”是假命题时，可得且， 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高二下·河南安阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题. B．命题“对，的个位数不等于3”的否定是假命题. C．梯形是等腰梯形的充要条件是. D．设，则的充要条件是. 【解题思路】根据题意，由原命题的真假即可判断其否定的真假，从而判断AB，分别验证充分性以及必要性，即可判断CD 【解答过程】对于A，命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”是真命题， 则其否定是假命题，故A错误； 对于B，命题“对，的个位数不等于3”是真命题， 因为0到9这10个数字的平方数的个位都不会是3，则其否定是假命题，故B正确； 对于C，必要性：在等腰梯形中，，， 又因为，所以，所以. 充分性：如图，过点作，交的延长线于点E. 因为，，所以四边形是平行四边形，所以. 因为，所以，所以. 又因为，所以，所以. 在和中， 所以，所以. 所以梯形为等腰梯形. 所以梯形为等腰梯形的充要条件是，故C正确； 对于D，充分性：若，则， 即，所以， 故充分性成立； 必要性：若，则， 即，所以， 所以，故必要性成立； 所以的充要条件是，故D正确； 故选：BCD. 10．（23-24高一上·安徽·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【解题思路】A项：利用不等式知识即可判断； B，C项：根据充分条件与必要条件知识即可判断； D项：根据交并集知识即可判断. 【解答过程】对于A项：由“”可以推出，但反之不可以，故A项正确. 对于B项：由“”推不出“”，但反之可以，故B项正确. 对于C项：由“”可以推出“”，但反之不可以，故C项错误. 对于D项：由题意知：是(A∩B)∪C的子集，所以“”可以推出“，但反之不可以，故D项错误. 故选:AB. 11．（23-24高一上·河北·阶段练习）设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义求解即可. 【解答过程】对于，开关闭合灯亮，反过来灯泡亮，也可能是开关闭合， 是的充分不必要条件； 对于，只有一个开关，灯如果要亮，开关必须闭合， 是的充要条件； 对于灯亮必须和同时闭合，是的必要不充分条件； 对于，灯一直亮，跟开关没有关系，是的既不充分也不必要条件. 故选：BC. 三、填空题 12．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【解题思路】先求出，为真命题时的取值范围，可得与同时为真命题时的取值范围，进而即得. 【解答过程】当命题为真命题时，， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是． 故答案为：. 13．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 【解题思路】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可. 【解答过程】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为：. 14．（23-24高一上·重庆北碚·期中）已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 . 【解题思路】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可. 【解答过程】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题， 因为集合，当时，集合，符合； 当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围； （2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围. 【解答过程】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. 16．（23-24高二下·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【解答过程】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 17．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知. (1)当时，若同时成立，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）化简，当时，解出，求它们的交集即可； （2）是的充分不必要条件，即所对应的集合所对应的集合，结合包含关系，即可求. 【解答过程】（1）当时，，即， ，即， 若同时成立，则， 即实数的取值范围为. （2）由（1）知，， ， 即， ①当时，， 若是的充分不必要条件，则，解得； ②当时，，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 18．（2024高一·全国·专题练习）当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【解题思路】（1）先理解的运算，然后求解即可； （2）先证充分性，再证必要性即可． 【解答过程】（1）. （2）先证充分性：当或时，则， 即或是的充分条件； 再证必要性：当时， 显然当时，，当时，， 即与均不合题意， 当时，由，则， 当时，由，则， 即“或”是“”的必要条件， 综上，命题得证． 19．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解. 【解答过程】（1）由题意，方程在上有解， 令，只需在的值域内， 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； （2）由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ②当，即时，，不合题意舍去； ③当，即时，. ， ； 综上可得或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$