第01讲 集合综合（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第01讲 集合综合 【人教A版2019】 模块一 集合的概念与表示 一、集合的概念 1．集合概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 2．集合中元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 4．常见数集 数学中的一些常用的数集及其记法： 5．集合的分类 集合的分类：有限集、无限集． 特殊集合：空集，记为∅. 二、集合的表示方法 列举法、描述法、图示法、区间法. 【题型1 集合中元素的互异性】 【例1.1】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【例1.2】（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【变式1.1】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合，若，则实数＝（ ） A．1 B．-1 C．0 D．±1 【变式1.2】（23-24高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【题型2 元素与集合关系求参】 【例2.1】（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 【例2.2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【变式2.1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 模块二 集合间的基本关系 一、集合间的基本关系 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 3．集合相等 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 4．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【题型3 集合关系的判断】 【例3.1】（24-25高三上·湖北荆门·阶段练习）如果集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）． A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高三·全国·对口高考）下面有四个命题： ①； ②若，则； ③若不属于，则a属于； ④若，则 其中真命题的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型4 已知集合间关系求参】 【例4.1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【例4.2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【变式4.1】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知集合，求： (1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【变式4.2】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 模块三 集合的基本运算 一、集合的基本运算 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 3．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 4．集合关系的转化 (1)； (2). 5．Venn图表达集合的关系和运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 【题型5 交、并、补集混合运算】 【例5.1】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）若集合，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例5.2】（2023·全国·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（2024高三·全国·专题练习）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 由集合运算结果求参】 【例6.1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【例6.2】（23-24高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【变式6.1】（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合，， (1)若，求； (2)是否存在自然数k，b，使得？若存在，求出k，b的值；若不存在，说明理由． 【变式6.2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合，． (1)当时，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 【题型7 Venn图表达集合的关系和运算】 【例7.1】（2024·广东·模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【例7.2】（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 【变式7.1】（23-24高一上·青海西宁·期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}． (1)求图中阴影部分表示的集合C； (2)若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围． 【变式7.2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，．    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出． 【题型8 集合的新定义问题】 【例8.1】（23-24高三上·山东济南·阶段练习）对于集合，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【例8.2】（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式8.1】（23-24高一下·北京丰台·期末）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记． (1)当时，若，，求和的值； (2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值； (3)给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素．证明：存在，使得． 【变式8.2】（23-24高二下·北京丰台·期末）已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质． 条件（1）：，，且，都至少含有两个元素； 条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有． (1)当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合； (2)若集合，具有性质，且，，求证：； (3)若存在集合，具有性质，求的最大值． 一、单选题 1．（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．2023年参加“两会”的代表 B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目 C．的近似值 D．我校跑步速度快的学生 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广西·阶段练习）设集合，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，，则集合的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 7．（2024高一·全国·专题练习）已知集合或，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 11．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一下·全国·课堂例题）若集合A由三个元素组成，且，则 . 13．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知集合或，，若B⫋A，则实数a的取值范围是 ． 14．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则的子集个数为 . 四、解答题 15．（2024高一·全国·专题练习）设是非空实数集，满足若，则，且. (1)若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素； (2)集合是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由. 16．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 17．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 18．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）设集合，． (1)当时，求，； (2)记，若集合的子集有8个，求实数的取值所构成的集合． 19．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合综合 【人教A版2019】 模块一 集合的概念与表示 一、集合的概念 1．集合概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 2．集合中元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 4．常见数集 数学中的一些常用的数集及其记法： 5．集合的分类 集合的分类：有限集、无限集． 特殊集合：空集，记为∅. 二、集合的表示方法 列举法、描述法、图示法、区间法. 【题型1 集合中元素的互异性】 【例1.1】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【解题思路】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解. 【解答过程】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 故选：C. 【例1.2】（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【解题思路】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【解答过程】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合，若，则实数＝（ ） A．1 B．-1 C．0 D．±1 【解题思路】根据得或，分类讨论结合集合中元素的互异性求解即可. 【解答过程】由，可得或，解得：或， 当时，集合，符合题意； 当时，集合不满足集合的互异性； 综上，. 故选：A. 【变式1.2】（23-24高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】逐个选项代入判断是否满足集合的互异性即可. 【解答过程】对A，当时，，，不满足题意； 对B，当时，，不满足题意； 对C，当时，，，满足题意； 对D，当时，，不满足题意； 故选：C. 【题型2 元素与集合关系求参】 【例2.1】（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 【解题思路】分别令，，解出的值，并根据集合中元素的互异性排除不合题意的值. 【解答过程】若，则，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，解得或， 若，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，则，符合题意. 故选：B. 【例2.2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【解题思路】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【解答过程】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B. 【变式2.1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】借助元素与集合的关系计算即可得. 【解答过程】由题意可得，解得. 故选：A. 【变式2.2】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据1是集合中的一个元素，求得a，进而再解方程求解. 【解答过程】解：， 集合中的方程为， 解得或， ， 故选：C． 模块二 集合间的基本关系 一、集合间的基本关系 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 3．集合相等 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 4．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【题型3 集合关系的判断】 【例3.1】（24-25高三上·湖北荆门·阶段练习）如果集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由可得答案. 【解答过程】集合，， ． 故选：C． 【例3.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】先将集合化简变形成统一形式，然后分析判断即可. 【解答过程】因为 ， 所以． 故选：B． 【变式3.1】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【解答过程】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高三·全国·对口高考）下面有四个命题： ①； ②若，则； ③若不属于，则a属于； ④若，则 其中真命题的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】根据子集概念判断①，由元素与集合关系判断②③，化简集合A,B判断④. 【解答过程】①由子集概念知正确； ②因为，所以，故错误； ③当时，，，故错误； ④因为，所以，故错误. 故选：B. 【题型4 已知集合间关系求参】 【例4.1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【解题思路】（1）利用集合相等的条件求的值； （2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可. 【解答过程】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 【例4.2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【解题思路】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【解答过程】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 【变式4.1】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知集合，求： (1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围； （2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根 所以，故； （2）由题意得或只有负根， 当时，，故， 当只有负根时，，无解， 综上，实数的取值范围为. 【变式4.2】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【解题思路】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案. 【解答过程】（1）因为， 当时：，即符合题意； 当时，，， 综上所述：. （2）因为， 当时，， ，解得，无解， 当时，或， ， 综上所述：. 模块三 集合的基本运算 一、集合的基本运算 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 3．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 4．集合关系的转化 (1)； (2). 5．Venn图表达集合的关系和运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 【题型5 交、并、补集混合运算】 【例5.1】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）若集合，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】根据题意求集合B，再结合补集和交集运算求解. 【解答过程】因为集合，， 则 或，所以 或． 故选：B． 【例5.2】（2023·全国·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【解答过程】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则 或，选项D错误； 故选：A. 【变式5.1】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】确定，，再计算交集得到答案. 【解答过程】，，故， ，故. 故选：B. 【变式5.2】（2024高三·全国·专题练习）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可. 【解答过程】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：    对于A：，A错误；对于B：，B错误； 对于C：，C正确；对于D：； D错误； 故选：C. 【题型6 由集合运算结果求参】 【例6.1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）根据集合的交并补运算，可得答案； （2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案. 【解答过程】（1）由题意，可得， 所以，． （2）因为，若， 所以解得，所以a的取值范围是． 【例6.2】（23-24高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果； （2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果. 【解答过程】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 【变式6.1】（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合，， (1)若，求； (2)是否存在自然数k，b，使得？若存在，求出k，b的值；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）根据题意得到，解得答案. （2）题目转化为且，联立方程，考虑和两种情况，计算，得到，再联立方程得到，考虑两个不等式有解的情况，计算得到答案。 【解答过程】（1）当时，，联立方程得，解得或； 故. （2），故且， 联立方程得，消去y得，， 由知， 当时，方程有解，故不符合题意； 当时，，即； 联立方程得，消去y得，， ，，即； 若有解，则，即； 若有解，则，即； ，，代入得，且，故且， 故； 综上所述，当，时， 【变式6.2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合，． (1)当时，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）可得出，时，得出集合，然后进行并集的运算即可； （2）若选条件①，可得出，然后讨论是否为空集：时，得出； 时，得出，然后解出的范围．若选择条件②和③，同样的方法，可得出的取值范围． 【解答过程】（1）时，，， ∴； （2）若选择①，则， 时，，解得； 时，，解得：； 综上知，实数的取值范围是； 若选择②，则的子集，， 时，，解得； 时，或，解得：或 综上所述，的取值范围是：； 若选择③，则： 时，，解得； 时，或者解得：或 综上知，实数的取值范围是：． 【题型7 Venn图表达集合的关系和运算】 【例7.1】（2024·广东·模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】 利用集合的交并补的定义，结合图即可求解. 【解答过程】因为或，或， 所以或或或， 或或或. 由题意可知阴影部分对于的集合为， 所以， 或. 故选：D. 【例7.2】（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】根据题意，求得且，结合，即可求解. 【解答过程】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 【变式7.1】（23-24高一上·青海西宁·期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}． (1)求图中阴影部分表示的集合C； (2)若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）根据条件求出集合A，B结合Venn图即可求图中阴影部分表示的集合C； （2）根据集合关系进行转化求解即可． 【解答过程】（1）因为，． 所以B＝{x|2≤x≤4}， 根据题意，由图可得：， 因为B＝{x|2≤x≤4}，则＝{x|x＞4或x＜2}， 而A＝{x|1≤x≤3}，则； （2）因为集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}， 所以A∪B＝{x|1≤x≤4}， 若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B）， 则有， 解得2＜a≤3， 即实数a的取值范围为（2，3]． 【变式7.2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，．    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出． 【解题思路】（1）利用数轴以及集合的交集、并集、补集运算法则即可求出结果； （2）根据的定义即可标出阴影，并根据其意义求得. 【解答过程】（1）由得，即； 或，； 所以，； （2）根据定义可知，集合如图中的阴影部分所示．    由于且，又，， 所以． 【题型8 集合的新定义问题】 【例8.1】（23-24高三上·山东济南·阶段练习）对于集合，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果. 【解答过程】集合，， 则 ， ， 由定义可得：且 ， 且 ， 所以，选项 ABD错误，选项C正确. 故选：C． 【例8.2】（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解题思路】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断. 【解答过程】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 【变式8.1】（23-24高一下·北京丰台·期末）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记． (1)当时，若，，求和的值； (2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值； (3)给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素．证明：存在，使得． 【解题思路】（1）直接根据定义计算； （2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明； （3）设，， ，，则且 ，对从集合中任取个两两互不相同的元素，分两种情况讨论，第一种若存在两个不同元素同时属于一个；第二种若任意两个不同元素都不同时属于一个，由第二种情况推出矛盾即可． 【解答过程】（1）因为， 所以， ． （2）设， 令其中() 则，， ，则， 当，且()时， 由题意知，是奇数，(不同)是偶数，等价于是奇数，(不同)是偶数． 若是奇数时，则中等于1的个数为1或3， 所以 ， 且． 将上述集合中的元素分成如下四组： 经检验，每组中两个元素，均有， 所以每组中两个元素不可能同时是集合中的元素． 所以集合中元素的个数不超过4个． 当且时，或，所以 又集合满足条件． 所以集合中元素个数最大值为4个． （3）设， ， ， 则且 ， 从集合中任取个两两互不相同的元素， 若存在两个不同元素同时属于一个，则， 记， 所以，存在，使得； 若任意两个不同元素都不同时属于一个， 则至多取个两两互不相同的元素，与已知取个两两互不相同的元素矛盾． 综上，存在，使得. 【变式8.2】（23-24高二下·北京丰台·期末）已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质． 条件（1）：，，且，都至少含有两个元素； 条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有． (1)当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合； (2)若集合，具有性质，且，，求证：； (3)若存在集合，具有性质，求的最大值． 【解题思路】（1）根据性质可得答案； （2）记“对任意不相等的，，都有”为条件①，记“对任意不相等的，，都有”为条件②，分析条件①②中的元素可得答案； （3）一方面求出时，可构造集合、使其具有性质；一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，可得答案. 【解答过程】（1）所有的集合为，，； （2）记“对任意不相等的，，都有”为条件①， 记“对任意不相等的，，都有”为条件②． 由条件②得． 由，和条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 所以，即 （3）的最大值为32．证明如下： 一方面，当时，可构造集合， 具有性质； 另一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，． 证明如下： 由（2）知，，且当，时，， 此时不存在具有性质的集合，． 由条件①得2，3不能同时属于集合． 下面讨论2和3一个属于集合，一个属于集合的情况： （1）当，时，由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即，． 因为，，，， 由条件②得，， 即，． 由条件①得，，即，． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． （2）当，时，由条件②得4，5不能同时属于集合， 下面分三种情形： 情形一：若，，由条件①得，即． 由条件②得，，即，． 由条件①得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． 情形二：若，，由条件①得，， 即，． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合，． 情形三：若，，由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，与矛盾， 此时不存在具有性质的集合， 综上，的最大值为32． 一、单选题 1．（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．2023年参加“两会”的代表 B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目 C．的近似值 D．我校跑步速度快的学生 【解题思路】根据集合的定义依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确； 对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B错误； 对于C：的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误； 对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误； 故选：A. 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分是否为0两种情况进行讨论，结合二次方程根的情况列式求解即可. 【解答过程】当时，，故符合题意； 当时，由题意，解得，符合题意， 满足题意的值的集合是. 故选：D. 3．（24-25高三上·广西·阶段练习）设集合，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据子集关系，分别讨论和，并检验集合元素的互异性即可得结果． 【解答过程】由已知得，若，解得，此时,，,1,，成立； 若，解得，此时,，,,，不成立； 若，解得，此时,，,，不成立； 综上所述：． 故选：B． 4．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，，则集合的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【解题思路】通过列举求出集合的元算，进而由集合的元素个数可求集合的子集的个数. 【解答过程】通过列举，可知集合，含3个元素， 则集合的子集的个数为． 故选：B． 5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】计算出集合后，结合交集运算即可得. 【解答过程】由可得，故． 故选：B. 6．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【解答过程】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ， 则 且，即且 ， 所以，阴影部分可表示为 . 故选：D. 7．（2024高一·全国·专题练习）已知集合或，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用给定条件建立不等式组，求解参数范围即可. 【解答过程】依题意得解得. 故选：B. 8．（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【解答过程】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用元素与集合的关系，逐个分析判断即可 【解答过程】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 10．（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【解题思路】根据题意可确定C的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案. 【解答过程】由题意得，，又. 所以，，故A正确； 当时，不满足，B错误， 集合的个数等价于集合的非空子集的个数， 所以集合的个数为，故C正确，D错误， 故选：AC. 11．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一元二次不等式以及一元一次不等式的解法，求得集合的元素，结合集合交、并、补的运算，可得答案. 【解答过程】由，，解得，所以； 由，解得，所以. 对于A，，故A正确；对于B，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，由选项C可知，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（23-24高一下·全国·课堂例题）若集合A由三个元素组成，且，则 2 . 【解题思路】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【解答过程】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 13．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知集合或，，若B⫋A，则实数a的取值范围是 ． 【解题思路】由为的真子集，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可. 【解答过程】因为B⫋A，所以. 故答案为：. 14．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则的子集个数为 4 . 【解题思路】首先根据题意得到，根据得到，再求的子集个数即可. 【解答过程】由题意得，， 又集合， 若，则，此时，， 则，故子集个数为； 若，，，不符合题意，舍去. 综上得：时，子集个数为4个. 故答案为：4. 四、解答题 15．（2024高一·全国·专题练习）设是非空实数集，满足若，则，且. (1)若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素； (2)集合是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由. 【解题思路】（1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）若中只有一个元素，则，该方程无解，即可得到答案. 【解答过程】（1）由于，则， 因此，. 于是，所以中至少还有两个元素：. （2）若，则，且中只有一个元素，所以，即，，该方程在实数范围内无解，所以中不能只含有一个元素. 16．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【解题思路】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． （3）根据至多一个分为一个和没有一个情况即可解决． 【解答过程】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，a的取值范围是或 （3）因为A中至多只有一个元素， 所以A为空集或A只有一个元素， 由（1）、（2）可知或， 所以a的取值范围是：或． 17．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【解题思路】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【解答过程】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 18．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）设集合，． (1)当时，求，； (2)记，若集合的子集有8个，求实数的取值所构成的集合． 【解题思路】（1）求出集合A，B，根据集合的交集、并集运算求解； （2）由集合C子集个数确定集合中元素个数，据此结合中元素确定的取值即可. 【解答过程】（1）因为集合， ， ∴当时，，∴，． （2）因为集合的子集有8个， ∴集合中有3个元素， 而，故实数的取值集合为. 19．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 【解题思路】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的；对（3），分情况讨论，寻找使是倍数的集合. 【解答过程】（1）所有可能的集合为：，，，. （2）不妨设：，由于，且 ， 所以. 由题意，是12的倍数时，或. 当时，因为， 所以当且仅当时，成立，故符合题意. 当时， 若，则，故或符合题意； 若，则，故符合题意； 若，则，无解. 综上，所有可能的集合为，，，. 故满足条件的集合的个数为. （3）（1）当时，设，则 ， 这个数取个值，故其中有两个数相等. 又因为，于是， 从而互不相等，互不相等， 所以存在， 使得. 又因，故. 则，则，结论成立. （2）当时，不妨设， 则（），在这个数中任取3个数，. 若与都是的倍数，， 这与矛盾. 则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数. 考虑这个数：，，，，，. ①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. ②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. 综上，存在非空集合，使得是的倍数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$