13.4 三角形的尺规作图-2024-2025学年八年级上册数学冲冠同步卷(冀教版)

冀教新版八年级上学期《13.4 三角形的尺规作图》2024年同步练习卷 一．选择题（共31小题） 1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AC于E，交BC于D，连接AD．若AECE，AE＝2，则AD＝（　　） A． B．2 C． D． 3．如图，△ABC中，∠A＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交AC于点D．若AD＝1，则点D到BC的距离为（　　） A．2 B．1 C． D． 4．如图，在△ABC中，AC＝6，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接BE，若△BCE的周长为10，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，△ABC中，AB＝CB，∠ABC＜90°，尺规作图痕迹如下． 结论Ⅰ：点O一定为△ABC的内心； 结论Ⅱ：连接OC，MN，则MN＜OC． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I不对，Ⅱ对 D．I对，Ⅱ不对 7．下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图过程： ①在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE； ②分别以点D、E为圆心，以大于DE的同一长度为半径作弧，两弧交于∠AOB内的一点C； ③作射线OC． OC就是所求作的角的平分线． 该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（　　） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 C．两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等 D．两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 8．如图，点C是直径AB为4的半圆的中点，连接BC，分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，作直线OD交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（　　） A．π B．2π C．2π﹣4 D． 9．如图，在△ABC中，以A为圆心，AC为半径作弧交BC于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连结MN交AB于点E，已知△ADE的周长为13，AC＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 10．如图，▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上．以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N；分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E；画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，∠C＝90°．以点B为圆心，BC为半径作圆弧，与AB交于点D，再分别以A为圆心，大于的长为半径作圆弧交于点M，N，作直线MN，交AC于E，则AE的长度为（　　） A． B． C．3 D．4 12．如图，已知∠A，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接DC，BC，则四边形ABCD为菱形．其依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 14．如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（　　） A．ED＝CD B．AC＝AE C．∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B 15．如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形ABCD，让同学们按以下步骤完成画图．（1）画出AD的中点E，连接BE；（2）以点E为圆心，EB长为半径画弧，交DA的延长线于点F；（3）以AF为边画正方形AFGH，点H在AB边上．在画出的图中有一条线段的长是方程x2+2x﹣4＝0的一个根．这条线段是（　　） A．线段BH B．线段BE C．线段AE D．线段AH 16．如图已知∠AOB，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD． ②分别以点C，D为圆心，以大于线段CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE． ③连接OE交CD于点M． 下列结论中错误的是（　　） A．CM＝MD B．∠CEO＝∠DEO C．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCEDCD•OE 17．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则tan∠DAE＝（　　） A． B． C． D． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC≠BC．用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点D，使∠BCD＝∠A，则符合要求的作图是（　　） A． B． C． D． 19．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝75°根据图中圆规作图的痕迹，可用无刻度直尺画一条直线将△ABC的周长分成相等两部分的是（　　） A． B． C． D． 20．如图（1），锐角△ABC中，AB＞BC＞AC，要用尺规作图的方法在AB边上找一点D，使△ACD为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确 21．下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 22．已知点P是直线l外一点，数学兴趣小组的同学用了4种不同的尺规作图方法想过点P作直线l的平行线，根据尺规作图痕迹，直线PQ不一定与直线l平行的是（　　） A． B． C． D． 23．如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，按如下步骤作图． 第一步：作∠BAC的平分线AD交BC于点D； 第二步：作AD的垂直平分线EF，交AC于点E，交AB于点F； 第三步：连接DE． 则下列结论正确的是（　　） A．DE∥AB B．EF平分AC C．CD＝DE D．CD＝BD 24．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，，三条弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果AB＝3，那么这个曲边三角形的周长是（　　） A．π B．2π C． D．3π 25．如图，过直线AB外的点P作直线AB的平行线，下列作法错误的是（　　） A． B． C． D． 26．下列关于过直线l外一点P作直线l的平行线的尺规作图错误的是（　　） A． B． C． D． 27．小明同学在平行四边形ABCD中用尺规作图作等腰三角形ABE，下列作图不正确的是（　　） A． B． C． D． 28．如图，⊙O是△ABC的外接圆，在弧BC上找一点M，使点M平分弧BC．以下是甲乙丙三种不同的作法：作法正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 29．如图，已知∠AOB的内部有两点C，D． （1）以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交OA于点E，交OB于点F； （2）分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点G； （3）作射线OG； （4）连接CD，分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； （5）作直线MN，交OG于点P． 根据以上信息，甲、乙两个同学分别写出了一个结论： 甲：点P到OA，OB的距离相等；乙：点P到点C，D的距离相等． 其中结论正确的是（　　） A．甲同学 B．乙同学 C．甲、乙两同学 D．甲、乙两同学都错误 30．过直线AB外一点C作直线AB的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　） A． B． C． D． 31．小明遇到这样一道试题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，请利用无刻度直尺作图．（1）在图1中，请过点E作AB的平行线交AD于点F．（2）在图1中，请过点E作AC的平行线交AB于点G．小明第（1）问的做法是：如图2，①连接BD交AC于点O；②连接EO并延长，交AD于点F，则EF即为所求．小明第（2）问的做法是：如图3，①连接BD交AC于点O；②连接EO并延长，交AD于点M：③连接AE、BM交于点N；④连接ON并延长，交AB于点G，连接EG，则EG即为所求．对小明的解答，下列说法正确的是（　　） A．两问都正确 B．两问都不正确 C．第（1）问正确，第（2）问错误 D．第（1）问错误，第（2）问正确 二．填空题（共11小题） 32．如图，长方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，连接AE．按以下步骤作图：①分别以点A和点E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，且直线MN刚好经过点B，若DE＝2，则BC的长度是 　 　． 33．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），连接AC，按照下列方法作图： （1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA、CD于点E、F； （2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点G； （3）作射线CG交AD于H，则线段DH的长为 　 　． 34．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝　 　． 35．已知如图，在△ABC中，∠A＝70°，且AC＝BC，根据图中的尺规作图痕迹，计算∠α＝　 　°． 36．如图，在半径为6cm、圆心角为120°的扇形OAB中，分别以点O、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与相交于点C，连接BC，则由、AB、BC围成的阴影部分的面积为 　 　cm2． 37．如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．若AD＝2a，则BE的长为 　 　（用含a的代数式表示）． 38．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及线段DE上的点D，E均在格点上． （1）线段DE的长等于 　 　； （2）圆上有一个动点F，若点M为线段DF的中点，在线段DE上有一点K，当MK取得最大值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点K，并简要说明点K的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　． 39．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC，以点B为圆心，以BC长度为半径作弧，交BA于点D，以点C为圆心，以大于CD为半径作弧，接着再以点D为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交CA于点F，以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点G，则阴影部分的面积为 　 　． 40．如图所示，分别以线段AB的端点A和B为圆心，大于的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线l，在直线l上取一点C，使得∠CBA＝25°，延长AC至M，∠BCM的度数为 　 　． 41．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝5，b＝3，则矩形ABCD的面积是 　 　． 42．图1是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下： 游戏规则 a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点； b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点； c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上； d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜． 如图2，甲先画出线段AB，乙随后画出线段BC．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是　 　（填“甲”，“乙”或“不确定”）． 三．解答题（共18小题） 43．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC． （1）求证：△ABC≌△CDA； （2）尺规作图：作AC的垂直平分线EF，分别交AB、CD于点E、F（不写作法，保留作图痕迹）； （3）连接CE、AF，若∠ECA＝25°，求∠BEC的度数． 44．如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC，AD于点E，O，F． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若CE＝5，，求菱形AECF的面积． 45．下面是小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：边BC上的高AD． 作法：如图1， ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P（不同于点A）； ③作直线AP交BC于点D． 所以线段AD就是所求作的△ABC的边BC上的高． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AM，AN，PM，PN． ∵AM＝　 　，PM＝　 　， ∴AP是线段MN的垂直平分线（ 　 　）（填推理的依据）， ∴AD⊥BC于点D， 即线段AD为△ABC的边BC上的高． 46．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，CD＝BC，∠ABD＝90°． （1）请用尺规作图作边AD的垂直平分线MN，交AD于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接BE，试判断四边形BCDE的形状，并说明理由． 47．如图，已知△ABC． （1）实践与操作：利用尺规分别作∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CD，交点为D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）计算：若∠A＝76°，求∠BDC的度数． 48．如图，直线l1∥l2，直线m分别交直线l1、l2于点A、B． （1）使用尺规完成基本作图：作线段AB的垂直平分线交l1于点C，交l2于点D，交线段AB于点O，连接BC，AD．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ACBD是菱形．（填写下面的证明依据） 证明： ∵l1∥l2 ∴∠CAB＝∠DBA ∵CD垂直平分AB，垂足为O ∴OB＝OA，∠AOC＝∠DOB＝90° ∴△AOC≌△BOD ∴AC＝DB ∴四边形ACBD是平行四边形．（ 　 　） ∵CD垂直平分AB ∴AC＝CB．（ 　 　） ∴四边形ACBD是菱形．（ 　 　） 49．如图，已知四边形ABCD是平行四边形． （1）尺规作图：作∠A的平分线交BC于点E； （保留作图痕迹，不用写作法） （2）在（1）中，若AD＝6，EC＝2，求AB的长． 50．如图，D，E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接FC，其中DE＝5，BD＝4，∠B＝30°． （1）求证：四边形BCFD是平行四边形； （2）过点D作DH⊥BC于点H（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并求出四边形BCFD的面积． 51．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，BM⊥AB （1）尺规作图：求作AB的中点O，连CO并延长，交BM于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求∠BDC的余弦值． 条件①：△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1：S2＝3：5； 条件②：△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1﹣C2＝AC． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 52．如图，点D，E分别是AB，AC的中点，且AB⊥AC于点A，请你仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中，点A，B，C在圆上，画出圆心O； （2）在图2中，点A，B在圆上，点C在圆内，画出圆心O． 53．已知：如图，∠MAN＝α（0°＜α＜45°）． 求作：△ABC，使得∠ABC＝2∠BAC， 作法：①在射线AN上取点O，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线AM于点C； ②连接CO； ③以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线AN于点B；连接CB，△ABC就是所求作的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）请写出证明过程． 54．作图并证明： （1）如图，在△ABC的边AC的上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，证明：CD∥AB． 55．如图是一张矩形纸片ABCD，对角线AC与BD相交于点O． （1）如图1中，在BC边上求作一点E，使得△CDE沿着DE折叠后，点C落在线段OC上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2中，在（1）的条件下，点C的对应点为点F，若OF＝AB，求的值． 56．已知M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点． （1）如图①，OM≠ON，P为∠AOB角平分线上的一点，若∠AOB+∠MPN＝180°，求证：PM＝PN． （2）如图②，若P为∠AOB外一点，求作点M，N，使得∠PMO为锐角，PM＝MN，且∠PMN＝90°．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 57．已知：如图，点P和⊙O． 求作：直线PA，使得PA与⊙O相切于点A． 作法：（1）连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于C，D两点； （2）作直线CD，交OP于点B； （3）以点B为圆心，以OB长为半径作⊙B，与⊙O相交，其中一个交点为点A； （4）作直线PA． 直线PA即为所求作． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：由作法可知，点B为线段OP的中点．连接OA． ∵OP为⊙B的直径， ∴∠OAP＝　 　°（ 　 　）（填推理的依据）． ∴OA⊥PA． ∵点A在⊙O上， ∵PA是⊙O的切线（ 　 　）（填推理的依据）． 58．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线； （2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的内角∠ABD的角平分线． 59．如图，海沧大桥是中国国内第一座系统地进行桥梁景观研究与设计的特大型桥梁．从总体线形、结构造型、景观色彩等多方面保证了大桥与自然环境的和谐，地平面（AB）是水平且笔直的，此时一个高1.6m的人（CD）站在C点望该桥的主塔BF，此时测得点D关于点F的俯角为35°，关于点E的俯角为75°，已知主塔AE＝BF＝114.3m，为该桥的主缆，与线段DF交于的中点G．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） （1）请在图中作出关于所对应圆心O（尺规作图，保留作图痕迹且无需说明作图过程）； （2）若关于所对应圆的半径为R，求的长（用含有π，R的代数式表示）； （3）利用已知信息，求海沧大桥两座主塔之间EF的距离（结果取整数）． 60．在数学课上，爱动脑筋的小孙同学提出了一个问题：已知∠MAN，求作一个以∠A为内角的菱形．经过课堂讨论，有的学习小组提出了如下尺规作图方案： ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，与AM，AN分别交于P，Q两点，再分别以P，Q两点为圆心，以相同的长度为半径（大于）画两条弧，两弧交于∠MAN内一点C； ②以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧交于H，K两点； ③连接HK交AM于点B，交AN于点D，连接BC，CD． 请你根据上述尺规作图方案，完成下列问题： （1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹） （2）证明四边形ABCD是菱形． 冀教新版八年级上学期《13.4 三角形的尺规作图》2024年同步练习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共31小题） 1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A．由作法知AD＝AC，可判断A；B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，可判断B；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，可判断C；D．由作法知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判断D． 【解答】解：A．由作法知AD＝AC， ∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意； B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线， ∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意； C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意； D．∠C＝90°，∠B＝30°， ∠BAC＝60°， 由作法知AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝30°＝∠B， ∴DB＝DA， ∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意； 故选B． 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AC于E，交BC于D，连接AD．若AECE，AE＝2，则AD＝（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出BC，再利用直角三角形斜边中线定理求解． 【解答】解：∵AE＝2，AECE， ∴CE＝4， ∴AC＝AE+EC＝2+4＝6， 由作图可知DE垂直平分线段BC， ∴EB＝EC＝4， ∵∠BAC＝90°， ∴AB2， ∴BC4， ∵BD＝CD，∠BAC＝90°， ∴ADBC＝2． 故选：C． 3．如图，△ABC中，∠A＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交AC于点D．若AD＝1，则点D到BC的距离为（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先根据角平分线的性质得出AD＝DE，再根据勾股定理求解． 【解答】解：过D作DE⊥BC于E， 由作图得：BF平分∠ABC， ∵∠A＝90°， ∴AD＝DE＝1， ∴点D到BC的距离为1， 故选：B． 4．如图，在△ABC中，AC＝6，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接BE，若△BCE的周长为10，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：由作图知，直线MN是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵△BCE的周长为10， ∴BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝10， ∵AC＝6， ∴BC＝10﹣6＝4， 故选：C． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质和特殊角的三角函数即可得到结论． 【解答】解：由作图知，AF⊥BC， ∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4． ∴ABAC＝4， ∵AF⊥BC， ∴∠AFB＝90°， ∴， 故选：B． 6．如图，△ABC中，AB＝CB，∠ABC＜90°，尺规作图痕迹如下． 结论Ⅰ：点O一定为△ABC的内心； 结论Ⅱ：连接OC，MN，则MN＜OC． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I不对，Ⅱ对 D．I对，Ⅱ不对 【答案】C 【分析】利用基本作图得NB平分∠ABC，OM垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，再利用等腰三角形的性质得到BN垂直AC，AN＝CN，所以OA＝OC，于是可判断点O为△ABC的外心，不一定为△ABC的内心，这样可对结论Ⅰ进行判断；利用直角三角形斜边上的中线性质得到MN＝BM＝CM，由于OC＞CM，所以OC＞MN，则可对结论Ⅱ进行判断． 【解答】解：由尺规作图痕迹得NB平分∠ABC，OM垂直平分BC， ∴OB＝OC， ∵AB＝CB， ∴BN垂直AC，AN＝CN， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC， ∴点O为△ABC的外心，不一定为△ABC的内心，所以结论Ⅰ不正确； ∵MN为Rt△BCN的斜边BC的中线， ∴MN＝BM＝CM， ∵OC＞CM， ∴OC＞MN，所以结论Ⅱ正确． 故选：C． 7．下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图过程： ①在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE； ②分别以点D、E为圆心，以大于DE的同一长度为半径作弧，两弧交于∠AOB内的一点C； ③作射线OC． OC就是所求作的角的平分线． 该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（　　） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 C．两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等 D．两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】根据SSS证明三角形全等． 【解答】解：连接CD，CE， 由作图得：OD＝OE，CD＝CE，OC＝OC， ∴△OCD≌△OCE（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， 故选：A． 8．如图，点C是直径AB为4的半圆的中点，连接BC，分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，作直线OD交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为（　　） A．π B．2π C．2π﹣4 D． 【答案】A 【分析】连接OC，作EF⊥AB于F，根据圆周角定理得到∠COB＝90°，∠ABC＝45°，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断OD是BC的垂直平分线，进一步即可求得EF1，求得S△ABE2，S△OBC2，得到S△ABE＝S△OBC，即可得到S阴影． 【解答】解：连接OC，作EF⊥AB于F， ∵点C是直径AB为4的半圆的中点， ∴∠COB＝90°，∠ABC＝45°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∵分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，且OB＝OC， ∴OD垂直平分BC， ∴CE＝BE， ∵∠COB＝90°，EF⊥AB， ∴EF∥OC， ∴1， ∴EF是△BOC的中位线， ∴EF， ∴S△ABE2， ∵S△OBC2， ∴S△ABE＝S△OBC， ∴S阴影＝S半圆AB﹣S△ABE﹣S弓形BC＝S半圆AB﹣S扇形OBCπ． 故选：A． 9．如图，在△ABC中，以A为圆心，AC为半径作弧交BC于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连结MN交AB于点E，已知△ADE的周长为13，AC＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：由作图知AD＝AC＝5，直线MN垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∵△ADE的周长为13， ∴AD+DE+AE＝AE+BE+AD＝AB+AD＝13， ∴AB＝13﹣5＝8， 故选：B． 10．如图，▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上．以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N；分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E；画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用基本作图得OF平分∠AOC，再证明∠AOF＝∠AFO得到AF＝AO，AD交y轴于H点，如图，设AH＝t，则OH＝3，HF＝2，所以AO＝t+2，接着在Rt△AOH中利用勾股定理得到t2+32＝（t+2）2，然后解方程求出t，从而得到A点坐标． 【解答】解：由作法得OF平分∠AOC， ∴∠AOF＝∠COF， ∵四边形AOCD为平行四边形， ∴AD∥OC， ∴∠AFO＝∠COF， ∴∠AOF＝∠AFO， ∴AF＝AO， AD交y轴于H点，如图，设AH＝t， ∵F（2，3）， ∴OH＝3，HF＝2， ∴AO＝t+2， 在Rt△AOH中，t2+32＝（t+2）2， 解得t， ∴A（，3）． 故选：A． 11．如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，∠C＝90°．以点B为圆心，BC为半径作圆弧，与AB交于点D，再分别以A为圆心，大于的长为半径作圆弧交于点M，N，作直线MN，交AC于E，则AE的长度为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据相似三角形的性质求解． 【解答】解：设MN交AD于F， ∵BC＝9，AC＝12，∠C＝90°， ∴AB＝15， 由作图得：BD＝BC＝9，MN垂直平分AD， ∴AD＝AB﹣BD＝6，∠AFE＝90°＝∠ACB， ∴AMAD＝3， ∵∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ABC， ∴， 即：， 解得：AE， 故选：B． 12．如图，已知∠A，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接DC，BC，则四边形ABCD为菱形．其依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【答案】D 【分析】利用基本作图得到AD＝AB＝CD＝CB，则根据菱形的判定方法可判断四边形ABCD为菱形．从而可对各选项进行判断． 【解答】解：由作法得AD＝AB＝CD＝CB， 所以四边形ABCD为菱形． 故选：D． 13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“要在BC边上找一点D，使AD＝BD”知点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，据此求解即可． 【解答】解：若要在BC边上找一点D，使AD＝BD， 则点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点， 故选：D． 14．如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（　　） A．ED＝CD B．AC＝AE C．∠EDB＝∠CAB D．∠DAC＝∠B 【答案】D 【分析】根据尺规作图的痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，依据这两个条件逐项判断即可． 【解答】解：∵根据尺规作图的痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE， ∴ED＝CD，∠DAC＝∠DAB，∠EDB＝90°﹣∠B， 在Rt△AED和Rt△ACD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）， ∴AC＝AE， ∵△ABC是直角三角形， ∴∠CAB＝90°﹣∠B， ∴∠EDB＝∠CAB， ∵AB⊥DE，但DE不一定平分AB， ∴∠DAB不一定等于∠B， ∴∠DAC不一定等于∠B， 故选：D． 15．如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形ABCD，让同学们按以下步骤完成画图．（1）画出AD的中点E，连接BE；（2）以点E为圆心，EB长为半径画弧，交DA的延长线于点F；（3）以AF为边画正方形AFGH，点H在AB边上．在画出的图中有一条线段的长是方程x2+2x﹣4＝0的一个根．这条线段是（　　） A．线段BH B．线段BE C．线段AE D．线段AH 【答案】D 【分析】由正方形ABCD的边长为2知AD＝AB＝2，由E是AD的中点知AE＝1，继而得BE＝EF，AH＝AF＝EF﹣AE1，BH＝AB﹣AH＝3，解方程即可得出答案． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2， ∴AD＝AB＝2， ∵E是AD的中点， ∴AE＝1， 则BE＝EF， ∴AH＝AF＝EF﹣AE1， ∴BH＝AB﹣AH＝2﹣（1）＝3， 解方程x2+2x﹣4＝0得x11，x21， 所以这条线段是AH， 故选：D． 16．如图已知∠AOB，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD． ②分别以点C，D为圆心，以大于线段CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE． ③连接OE交CD于点M． 下列结论中错误的是（　　） A．CM＝MD B．∠CEO＝∠DEO C．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCEDCD•OE 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的判定，全等三角形的性质一一判断即可． 【解答】解：由作图可知，OC＝OC，EC＝ED， ∴OE垂直平分线段CD， ∴CM＝MD， ∴S四边形OCED•CD•OE， 在△COE和△DOE中， ， ∴△COE≌△DOE（SSS）， ∴∠CEO＝∠DEO， 故A，B，D正确， 故选：C． 17．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则tan∠DAE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作法知AB＝AF＝5，AE平分∠BAD，由等腰三角形的“三线合一”的性质得到BH＝FH＝3，AH⊥BF，由勾股定理求出AH，根据正切三角函数的定义即可求出tan∠DAE． 【解答】解：由作法知AB＝AF＝5， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴BH＝FHBF6＝3，AH⊥BF， 在Rt△AFH中，AH4， ∴tan∠DAE． 故选：C． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC≠BC．用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点D，使∠BCD＝∠A，则符合要求的作图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由A作图可知，CD＝CB，可判断A；由B作图可知，CD是∠ACB的平分线，可判断B；由C作图可知，CD⊥AB，根据同角的与角相等∠BCD＝∠A，可判断C；由D作图可知，所作图形是线段AC的垂直平分线，可判断D． 【解答】解：A．由作图可知，CD＝CB， ∴∠CBD＝∠CDB，故本选项不符合题意； B．由作图可知，CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠BCD，故本选项不符合题意； C．由作图可知，CD⊥AB， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠A＝90°﹣∠ACD，故本选项符合题意； D．由作图可知，所作图形是线段AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠A＝∠ACD，故本选项不符合题意； 故选：C． 19．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝75°根据图中圆规作图的痕迹，可用无刻度直尺画一条直线将△ABC的周长分成相等两部分的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由∠A＝30°，∠B＝75°，得出∠C＝75°，则∠B＝∠C，推出AC＝AB，再根据等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝75°， ∴∠C＝75°， ∴∠B＝∠C， ∴AC＝AB， 则作图为∠BAC的角平分线，将△ABC的周长分成相等两部分， A选项作图为∠ABC的角平分线，不合题意； B选项为∠ACB的角平分线，不合题意； C选项为∠ABC的角平分线，符合题意； D选项为AB的垂直平分线，不合题意． 故选：C． 20．如图（1），锐角△ABC中，AB＞BC＞AC，要用尺规作图的方法在AB边上找一点D，使△ACD为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确 【答案】A 【分析】根据作图以及等腰三角形的性质与判定分别分析甲，乙，根据作一个角等于已知角的作图，判断丙． 【解答】解：甲，根据作图过程可知：AC＝AD，所以△ACD为等腰三角形，甲的方法正确； 乙，根据线段的垂直平分线作图过程可知：CD＝AD，所以△ACD为等腰三角形，乙的方法正确； 丙，根据作一个角等于已知角的过程可知：∠ACD＝∠A，所以CD＝AD，所以△ACD为等腰三角形，丙的方法正确； 综上所述：甲、乙、丙都正确， 故选：A． 21．下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作一个角等于已知角的步骤，可得结论． 【解答】解：根据作一个角等于已知角的步骤可知，选项A符合题意． 故选：A． 22．已知点P是直线l外一点，数学兴趣小组的同学用了4种不同的尺规作图方法想过点P作直线l的平行线，根据尺规作图痕迹，直线PQ不一定与直线l平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形的判定与性质对A选项进行判断；根据同位角相等两直线平行对B选项进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行对C选项进行判断，D选项的作图无法判断PQ平行直线l． 【解答】解：直线PQ不一定与直线l平行的是． 故选：D． 23．如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，按如下步骤作图． 第一步：作∠BAC的平分线AD交BC于点D； 第二步：作AD的垂直平分线EF，交AC于点E，交AB于点F； 第三步：连接DE． 则下列结论正确的是（　　） A．DE∥AB B．EF平分AC C．CD＝DE D．CD＝BD 【答案】A 【分析】根据等腰三角形及平行线的性质判定求解． 【解答】解： 设AD、EF相交于点O， ∵∠BAC的平分线AD交BC于点D； ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD的垂直平分线EF，交AC于点E， ∴AE＝DE， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠ADE ∴DE∥AB， 故A是正确的； ∵AB＞AC＞BC，∠BAC的平分线AD， ∴CD≠BD，AD与BC不垂直， ∴EF与BC不平行， ∵点O是AD的中点， ∴E不是AC的中点， 故B、D是错误的； ∵DE∥AB，AC＞BC， ∴CD≠DE， 故C是错误的； 故选：A． 24．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，，三条弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果AB＝3，那么这个曲边三角形的周长是（　　） A．π B．2π C． D．3π 【答案】D 【分析】由等边三角形的性质得到∠ACB＝60°，根据弧长公式求出的长即可求得结论． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AB＝AC＝BC＝3， ∴∠ACB＝60°， ∴的长π， ∴这个曲边三角形的周长是3π． 故选：D． 25．如图，过直线AB外的点P作直线AB的平行线，下列作法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理，结合尺规作图的意义理解判断即可． 【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行判定， 故不符合题意； B、根据同位角相等，两直线平行判定， 故不符合题意； C、是角的平分线作图，无法判定， 故符合题意； D、 ， 根据基本作图，以AB的点Q为圆心，以QP为半径画弧，交于点B，分别以P，B为圆心，以QP为半径画弧，二弧交于点Q，C，根据作图，得到QP＝QB＝PB＝QC＝PC，故△PQB，△PBC都等边三角形，得到∠PBQ＝∠BPC＝60°，根据内错角相等，两直线平行判定， 故不符合题意； 故选：C． 26．下列关于过直线l外一点P作直线l的平行线的尺规作图错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本作图、等腰三角形的性质和内错角相等两直线平行可对A选项进行判断；利用基本作图和同位角相等两直线平行可对B选项进行判断；利用基本作图和内错角相等两直线平行可对D选项进行判断，C选项的作图不能判断过P点的直线与l平行． 【解答】解：过直线l外一点P作直线l的平行线的尺规作图错误的是． 故选：C． 27．小明同学在平行四边形ABCD中用尺规作图作等腰三角形ABE，下列作图不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用作图痕迹得到AB＝AE，则根据等腰三角形的定义可对A选项进行判断；利用作图痕迹得BE平分∠ABC，则可证明∠ABE＝∠AEB得到AB＝AE，于是可对B选项进行判断；利用作图痕迹得AE＝DE，由于不能确定AB＝AE，从而可对C选项进行判断；利用作图痕迹得AF平分∠BAD，BE⊥AF，则利用等角的余角相等得到∠ABE＝∠AEB，从而可对D选项进行判断． 【解答】解：A．由作图痕迹得AB＝AE，则△ABE为等腰三角形，所以A选项不符合题意； B．由作图痕迹得BE平分∠ABC，则∠ABE＝∠CBE，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥BC，则∠ABE＝∠AEB，所以∠ABE＝∠AEB，所以AB＝AE，则△ABE为等腰三角形，所以B选项不符合题意； C．由作图痕迹得AE＝DE，只有当AD＝2AB时，AB＝AE，△ABE为等腰三角形，所以C选项符合题意； D．由作图痕迹得AF平分∠BAD，BE⊥AF，则∠ABE＝∠AEB，所以AB＝AE，则△ABE为等腰三角形，所以D选项不符合题意． 故选：C． 28．如图，⊙O是△ABC的外接圆，在弧BC上找一点M，使点M平分弧BC．以下是甲乙丙三种不同的作法：作法正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据垂径定理，圆周角定理一一判断即可． 【解答】解：甲、由作图可知AM平分∠ABC， ∴∠BAM＝∠CAM， ∴，故甲的方法正确． 乙、由作图可知OM平分∠BOC， ∵OB＝OC， ∴OM⊥CB， ∵OM经过圆心O， ∴，故乙的方法正确． 丙、由作图可知OM垂直平分线段BC，OM经过圆心O， ∴，故丙的方法正确． 故选：D． 29．如图，已知∠AOB的内部有两点C，D． （1）以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交OA于点E，交OB于点F； （2）分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点G； （3）作射线OG； （4）连接CD，分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； （5）作直线MN，交OG于点P． 根据以上信息，甲、乙两个同学分别写出了一个结论： 甲：点P到OA，OB的距离相等；乙：点P到点C，D的距离相等． 其中结论正确的是（　　） A．甲同学 B．乙同学 C．甲、乙两同学 D．甲、乙两同学都错误 【答案】C 【分析】根据作图可知OG是∠AOB的平分线，MN是CD的垂直平分线，再根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可对甲，乙的结论作出判断． 【解答】解：由作图步骤（1）（2）（3）可知：OG是∠AOB的平分线， ∵点P在∠AOB的平分线上， ∴点P到OA，OB的距离相等， 因此甲的结论正确； 由作图步骤（4）（5）可知：MN是CD的垂直平分线， ∵点P在CD的垂直平分线上， ∴点P到点C，D的距离相等， 因此乙的结论正确． 故选：C． 30．过直线AB外一点C作直线AB的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对四个选项逐个分析，不能判断出平行的就是错误的． 【解答】解：A．由作图可知：∠GCA＝∠BAC，∴GC∥AB，所以选项A不符合题意； B．由作图可知：CA＝CA， ∴∠CAD＝∠CDA， 又由作图可知：∠CAD＝∠BAD， ∴∠BAD＝∠CDA， ∴CD∥AB， 所以选项B不符合题意； C．由作图可知：EC和AB都和同一条直线垂直，∴EC∥AB，所以选项C不符合题意； D．由作图无法判断出平行线，所以选项D不正确，符合题意． 故选：D． 31．小明遇到这样一道试题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，请利用无刻度直尺作图．（1）在图1中，请过点E作AB的平行线交AD于点F．（2）在图1中，请过点E作AC的平行线交AB于点G．小明第（1）问的做法是：如图2，①连接BD交AC于点O；②连接EO并延长，交AD于点F，则EF即为所求．小明第（2）问的做法是：如图3，①连接BD交AC于点O；②连接EO并延长，交AD于点M：③连接AE、BM交于点N；④连接ON并延长，交AB于点G，连接EG，则EG即为所求．对小明的解答，下列说法正确的是（　　） A．两问都正确 B．两问都不正确 C．第（1）问正确，第（2）问错误 D．第（1）问错误，第（2）问正确 【答案】A 【分析】理由三角形中位线定理证明即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵CE＝EB， ∴OE∥AB，即EF∥AB，故小明的作法正确． ∵AM∥BE，AB∥EM， ∴四边形ABEM是平行四边形， ∴AN＝NE， ∵AO＝OC， ∴ON∥CE， ∴AG＝GB， ∵BE＝EC， ∴EG∥AC．故小明的作法正确． 故选：A． 二．填空题（共11小题） 32．如图，长方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，连接AE．按以下步骤作图：①分别以点A和点E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，且直线MN刚好经过点B，若DE＝2，则BC的长度是 　2　． 【答案】2． 【分析】连接BE，如图，利用矩形的性质得到AB＝CD＝4，再利用基本作图得到MN垂直平分AE，所以BE＝BA＝4，然后利用勾股定理可计算出BC的长． 【解答】解：连接BE，如图， ∵点E矩形ABCD的边CD的中点， ∴CE＝DE＝2， ∴AB＝CD＝4， 由作法得MN垂直平分AE， ∴BE＝BA＝4， 在Rt△BCE中，BC2． 故答案为：2． 33．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），连接AC，按照下列方法作图： （1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA、CD于点E、F； （2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点G； （3）作射线CG交AD于H，则线段DH的长为 　　． 【答案】． 【分析】过点H作HM⊥AC于点M，由作法可知，AH为∠ACD的平分线，结合矩形的性质可得HD＝HM，再由勾股定理可得AC＝5，证明Rt△CDH≌Rt△CMH，即可得CM＝CD＝3，AM＝AC﹣CM＝2，设DH＝MH＝x，则AH＝4﹣x，在Rt△AMH中，利用勾股定理可得（4﹣x）2＝x2+22，解方程即可． 【解答】解：过点H作HM⊥AC于点M， 由作法可知，CH为∠ACD的平分线， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD， ∴HD＝HM， ∵D（2，3），O为线段BC的中点， ∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝3， ∴AC5， 在Rt△CDH和Rt△CMH中， ， ∴Rt△CDH≌Rt△CMH（HL）， ∴CM＝CD＝3， ∴AM＝AC﹣CM＝2， 设DH＝MH＝x，则AH＝4﹣x， 在Rt△AMH中，由勾股定理得，（4﹣x）2＝x2+22， 解得x， 即线段DH的长为． 故答案为：． 34．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝　105°　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据要求先画出图形，利用等腰三角形的性质以及三角形外角定理求出∠DCB和∠ACD即可． 【解答】解：如图所示： ∵MN垂直平分BC， ∴CD＝BD， ∴∠DBC＝∠DCB ∵CD＝AC，∠A＝50°， ∴∠CDA＝∠A＝50°， ∵∠CDA＝∠DBC+∠DCB， ∴∠DCB＝∠DBC＝25°，∠DCA＝180°﹣∠CDA﹣∠A＝80°， ∴∠ACB＝∠DCB+∠ACD＝25°+80°＝105°． 故答案为：105°． 35．已知如图，在△ABC中，∠A＝70°，且AC＝BC，根据图中的尺规作图痕迹，计算∠α＝　5　°． 【答案】5． 【分析】根据等边对等角，以及三角形内角和定理，求出∠ABC，∠ACB的度数，根据作图可知，两条线分别为∠ABC的角平分线，BC的中垂线，根据角平分线平分角，中垂线的性质进行角的转化，求解即可． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，且AC＝BC， ∴∠ABC＝∠A＝70°，∠ACB＝180°﹣2×70°＝40°， 如图： 由作图痕迹可知：BE是∠ABC的角平分线， ∴，EF为线段BC的中垂线， ∴BE＝CE， ∴∠BCE＝∠EBC＝35°， ∴∠α＝∠ACB﹣∠BCE＝5°； 故答案为：5． 36．如图，在半径为6cm、圆心角为120°的扇形OAB中，分别以点O、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与相交于点C，连接BC，则由、AB、BC围成的阴影部分的面积为 　6π　cm2． 【答案】6π． 【分析】由题意知，MN为线段OB的垂直平分线，如图，连接OC交AB于D，证明△AOD≌△BCD（SAS），根据S阴影＝S扇形AOC计算求解即可． 【解答】解：由题意知，MN为线段OB的垂直平分线，如图，连接OC交AB于D， ∴OC＝BC＝OB， ∴∠COB＝60°＝∠AOC， 由题意知，∠OBA＝∠OAB＝30°， ∴∠BDO＝90°， ∴AD＝BD，OD＝CD， 在△AOD和△BCD中， ， ∴△AOD≌△BCD（SAS）， ∴（cm2）． 故答案为：6π． 37．如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．若AD＝2a，则BE的长为 　a　（用含a的代数式表示）． 【答案】a． 【分析】根据题干的步骤作图即可；由题干的作图步骤可知，此作法为作线段的垂直平分线，可知AE⊥DC，DE＝CEDC，即∠AED＝∠BAE＝90°，则可利用勾股定理求得AE，从而求得BE． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a， 依题意．题中作图为作DC边垂直平分线， ∴DE＝CE＝a，AE⊥DC， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AEa， ∵AB∥DC， ∴AE⊥AB， ∴∠BAE＝90° 由勾股定理得： BEa， 故答案为：a． 38．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及线段DE上的点D，E均在格点上． （1）线段DE的长等于 　　； （2）圆上有一个动点F，若点M为线段DF的中点，在线段DE上有一点K，当MK取得最大值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点K，并简要说明点K的位置是如何找到的（不要求证明） 　E即为所求，首先找圆心，连接AC，交网格线于点O； 连接 OD，找到OD的中点N， 在圆上找任意一点F，连接 OF，确定DF中点M， 连接MN，则在△OFD 中，点 M，N均为边DF，DO的中点，故 ， 根据点F的轨迹为圆，则点M的运动轨迹也为以点N为圆心，MN为半径的圆，点K在线段DE上，当MK取得最大值时，即连接EN，并延长与圆N交于一点，该点即为MK取得最大值时M点的位置，此时点K在点E上，故点E即为所求　． 【答案】（1）； （2）E即为所求，说明见解答． 【分析】（1）根据勾股定理计算即可求得； （2）根据点F的轨迹为圆，则点M的运动轨迹也为圆，确定点M的运动的圆心，即可推得． 【解答】解：（1）在方格中找到以DE为斜边的直角三角形， 用勾股定理求解为：， （2）如图：点E即为所求， 说明：首先找圆心，连接AC，交网格线于点O； 连接 OD，找到OD的中点N， 在圆上找任意一点F，连接 OF，确定DF中点M， 连接MN，则在△OFD 中，点 M，N均为边DF，DO的中点，故 ， 根据点F的轨迹为圆，则点M的运动轨迹也为以点N为圆心，MN为半径的圆，点K在线段DE上，当MK取得最大值时，即连接EN，并延长与圆N交于一点，该点即为MK取得最大值时M点的位置，此时点K在点E上，故点E即为所求． 39．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC，以点B为圆心，以BC长度为半径作弧，交BA于点D，以点C为圆心，以大于CD为半径作弧，接着再以点D为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交CA于点F，以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点G，则阴影部分的面积为 　　． 【答案】． 【分析】根据S阴＝S△ABF﹣S扇形BGF，求解即可． 【解答】解：由作图可知，BE平分∠ABC， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠CBA＝90°﹣30°＝60°， ∴∠CBF＝∠FBA＝30°， ∵BC， ∴CF＝BC•tan30°＝1，AC＝BC•tan60°＝3，BF＝2CF＝2， ∴S阴＝S△ABF﹣S扇形BGF2． 故答案为：． 40．如图所示，分别以线段AB的端点A和B为圆心，大于的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线l，在直线l上取一点C，使得∠CBA＝25°，延长AC至M，∠BCM的度数为 　50°　． 【答案】50°． 【分析】利用作法得到CN垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质得到CA＝CB，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求∠BCM的度数． 【解答】解：由作法得CN垂直平分AB， ∴CA＝CB， ∴∠CAB＝∠CBA＝25°， ∴∠BCM＝∠CAB+∠CBA＝25°+25°＝50°． 故答案为：50°． 41．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝5，b＝3，则矩形ABCD的面积是 　30　． 【答案】30． 【分析】根据第一个矩形的左上角的三角形面积＝第二个矩形左上角的长方形的面积求解即可． 【解答】解：由题意得第一个矩形的左上角的三角形面积＝第二个矩形左上角的长方形的面积＝5×3＝15， 所以原矩形面积为30， 故答案为：30． 42．图1是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下： 游戏规则 a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点； b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点； c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上； d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜． 如图2，甲先画出线段AB，乙随后画出线段BC．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是　乙　（填“甲”，“乙”或“不确定”）． 【答案】乙． 【分析】如图2中，甲只能画2次线段，甲不能画线段了，乙能获胜． 【解答】解：如图2中，甲只能画2次线段，甲不能画线段了， 所以，乙一定能获胜． 故答案为：乙． 三．解答题（共18小题） 43．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC． （1）求证：△ABC≌△CDA； （2）尺规作图：作AC的垂直平分线EF，分别交AB、CD于点E、F（不写作法，保留作图痕迹）； （3）连接CE、AF，若∠ECA＝25°，求∠BEC的度数． 【答案】（1）见解答； （2）见解答； （3）50°． 【分析】（1）由AB∥CD，∠B＝∠D，得到∠BAC＝∠DCA，即可证明结论； （2）按照垂直平分线的作图方法作出图形即可； （3）由EF垂直平分AC得到EA＝EC，由∠ECA＝25°得到∠EAC＝∠ECA＝25°，即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∠B＝∠D， ∴∠BAC＝∠DCA， 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（AAS）； （2）解：如图所示：EF就是所要求作的直线． （3）解：由（2）结论可知，EF垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴△ACE是等腰三角形， ∵∠ECA＝25°， ∴∠EAC＝∠ECA＝25°， ∴∠BEC＝∠EAC+∠ECA＝25°+25°＝50°． 44．如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC，AD于点E，O，F． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若CE＝5，，求菱形AECF的面积． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）24． 【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）求出对角线AC，EF的长，可得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∴∠FAO＝∠ECO， ∵EF垂直平分线段AC， ∴OA＝OC，FA＝FC， 在△AFO和△CEO中， ， ∴△AFO≌△CEO（ASA）， ∴AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵FA＝FC， ∴四边形AEFC是菱形； （2）解：在Rt△OCE中，sin∠ECO，CE＝5， ∴OE＝3，OC＝4， ∴EF＝2OE＝6，AC＝2OC＝8， ∴菱形AECF的面积•AC•EF8×6＝24． 45．下面是小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：边BC上的高AD． 作法：如图1， ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P（不同于点A）； ③作直线AP交BC于点D． 所以线段AD就是所求作的△ABC的边BC上的高． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AM，AN，PM，PN． ∵AM＝　AN　，PM＝　PN　， ∴AP是线段MN的垂直平分线（ 　到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上　）（填推理的依据）， ∴AD⊥BC于点D， 即线段AD为△ABC的边BC上的高． 【答案】（1）补充图见解答过程； （2）AN；PN；到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）利用线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求． （2）连接AM，AN，PM，PN， ∵AM＝AN，PM＝PN， ∴AP是线段MN的垂直平分线（到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）， ∴AD⊥BC于点D， 即线段AD为△ABC的边BC上的高． 故答案为：AN；PN；到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 46．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，CD＝BC，∠ABD＝90°． （1）请用尺规作图作边AD的垂直平分线MN，交AD于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接BE，试判断四边形BCDE的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【分析】（1）利用基本作图，作AD的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝DE，再根据斜边上的中线性质得到BE＝DE＝AE，由于CD＝BC，AD∥BC，可判断四边形BCDE为平行四边形，接着判断四边形BCDE为菱形． 【解答】解：（1）如图，MN为所作； （2）四边形BCDE为菱形． 理由如下：∵MN垂直平分AD， ∴AE＝DE， ∵∠ABD＝90°， ∴BE＝DE＝AE， ∵CD＝BC，AD∥BC， ∴四边形BCDE为平行四边形， 而BE＝DE， ∴四边形BCDE为菱形． 47．如图，已知△ABC． （1）实践与操作：利用尺规分别作∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CD，交点为D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）计算：若∠A＝76°，求∠BDC的度数． 【答案】（1）见解答； （2）128°． 【分析】（1）根据作角的平分线的基本做法作图； （2）根据角平分线的意义及三角形的内角和定理求解． 【解答】解：（1）如图，射线BD，射线CD即为所求． （2）∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴． ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝76°， ∴∠ABC+∠ACB＝104°． ∴， ∵∠CBD+∠BCD+∠BDC＝180°． ∴∠BDC＝128°． 48．如图，直线l1∥l2，直线m分别交直线l1、l2于点A、B． （1）使用尺规完成基本作图：作线段AB的垂直平分线交l1于点C，交l2于点D，交线段AB于点O，连接BC，AD．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形ACBD是菱形．（填写下面的证明依据） 证明： ∵l1∥l2 ∴∠CAB＝∠DBA ∵CD垂直平分AB，垂足为O ∴OB＝OA，∠AOC＝∠DOB＝90° ∴△AOC≌△BOD ∴AC＝DB ∴四边形ACBD是平行四边形．（ 　一组对边平行且相等的四边形为平行四边形　） ∵CD垂直平分AB ∴AC＝CB．（ 　线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等　） ∴四边形ACBD是菱形．（ 　邻边相等的平行四边形为菱形　） 【答案】（1）见解答； （2）一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，邻边相等的平行四边形为菱形． 【分析】（1）利用基本作图作线段AB的垂直平分线即可； （2）先证明△AOC≌△BOD得到AC＝DB，则可判断四边形ACBD是平行四边形，再根据线段垂直平分线的性质得到AC＝CB，然后根据菱形的判定方法可得到四边形ACBD是菱形． 【解答】（1）解：如图，DC为所作； （2）证明：∵l1∥l2， ∴∠CAB＝∠DBA， ∵CD垂直平分AB，垂足为O， ∴OB＝OA，∠AOC＝∠DOB＝90°， ∴△AOC≌△BOD（ASA）， ∴AC＝DB， ∴四边形ACBD是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形） ∵CD垂直平分AB， ∴AC＝CB．（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ∴四边形ACBD是菱形．（ 邻边相等的平行四边形为菱形） 故答案为：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，邻边相等的平行四边形为菱形． 49．如图，已知四边形ABCD是平行四边形． （1）尺规作图：作∠A的平分线交BC于点E； （保留作图痕迹，不用写作法） （2）在（1）中，若AD＝6，EC＝2，求AB的长． 【答案】（1）作图见解答； （2）4． 【分析】（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AD，BC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，在△ABC内交于一点O，作射线BO，交BC于点E即可； （2）根据在平行四边形ABCD中，AD∥CB，∠DAE＝∠BEA，由（1）知，∠DAE＝∠BAE，∠BEA＝∠BAE，得到AB＝EB，在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝6，由EC＝2，所以AB＝EB＝BC﹣EC＝6﹣2＝4． 【解答】解：（1）如图所示，AE为所求． （2）在平行四边形ABCD中，AD∥CB， ∴∠DAE＝∠BEA， 由（1）知，∠DAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴AB＝EB， 在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝6， ∵EC＝2， ∴AB＝EB＝BC﹣EC＝6﹣2＝4． 50．如图，D，E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接FC，其中DE＝5，BD＝4，∠B＝30°． （1）求证：四边形BCFD是平行四边形； （2）过点D作DH⊥BC于点H（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并求出四边形BCFD的面积． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）10． 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）求出DH，可得结论． 【解答】（1）证明：∵AD＝DB，AE＝EC， ∴DE∥BC，DEBC， ∵DE＝EF， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∴四边形BCFD是平行四边形； （2）解：图形如图所示． ∵DE＝5，DEBC， ∴BC＝10， ∵DH⊥BC．∠B＝30°， ∴DH＝BD•sin30°＝2， ∴四边形BCFD的面积＝BC•DH＝10×2＝10． 51．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，BM⊥AB （1）尺规作图：求作AB的中点O，连CO并延长，交BM于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求∠BDC的余弦值． 条件①：△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1：S2＝3：5； 条件②：△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1﹣C2＝AC． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 【答案】（1）见解析； （2）条件①：；②． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的画法及线段的画法解答； （2）条件①：根据直角三角形斜边中线的性质得到AO＝CO＝BO，推出S△BOC：S2＝3：5，即，设OB＝3a，OD＝5a，勾股定理求出BD，根据余弦定义求值；条件②：根据C1﹣C2＝AC，推出BC＝2AC，设AC＝m，勾股定理求出AB，过点D作DE⊥CB于点E，证明△ACB∽△BED，得到，设BE＝x，则DE＝2x，证得△ACB∽△DEC，得到，列得，求出，勾股定理求出BD，OD即可． 【解答】解：（1）如图，即为所求； （2）条件①：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB中点， ∴AO＝CO＝BO， ∴S△AOC＝S△BOC， ∵△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1：S2＝3：5， ∴S△BOC：S2＝3：5 ∴， 设OB＝3a，OD＝5a， ∵BM⊥AB， ∴在Rt△BOD中，， ∴； 条件②：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB中点， ∴AO＝CO＝BO， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1﹣C2＝AC， ∴OC+OB+BC﹣（OC+OA+AC）＝AC，即BC＝2AC， 设AC＝m，则， ∴， 过点D作DE⊥CB于点E， 则∠BDE+∠DBE＝90°， ∵BM⊥AB， ∵∠ABC+∠DBE＝90°， ∴∠ABC＝∠BDE， ∵∠E＝∠ACB＝90°， ∴△ACB∽△BED， ∴， 设BE＝x，则DE＝2x， ∵∠ABC＝∠DCE，∠E＝∠ACB＝90°， ∴△ACB∽△DEC ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 52．如图，点D，E分别是AB，AC的中点，且AB⊥AC于点A，请你仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中，点A，B，C在圆上，画出圆心O； （2）在图2中，点A，B在圆上，点C在圆内，画出圆心O． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）连接BE，CD交于点F，连接BC，连接AF并延长，交AB于点O，则点O即为所求； （2）同（1）到△ABC的重心，延长AC交⊙于点H，连接BH，连接DG并延长交BH于点O，如图所示，点O即为所作． 【解答】解：（1）在图1中，点O即为所作； 理由如下，∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°，即BC是⊙O的直径， 根据作图可得F为△ABC的重心， 连接AF并延长，交AB于点O，则O为BC的中点，即为⊙O的圆心； （2）同（1）到△ABC的重心，延长AC交⊙于点H，连接BH，连接DG并延长交BH于点O，如图所示，点O即为所作． 理由如下：∵F为△ABC的重心， ∴DG是△ABC的中位线， ∴DG∥AH， ∴DO是△ABH的中位线， ∴O是直径BH的中点，即O为⊙O的圆心． 53．已知：如图，∠MAN＝α（0°＜α＜45°）． 求作：△ABC，使得∠ABC＝2∠BAC， 作法：①在射线AN上取点O，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线AM于点C； ②连接CO； ③以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线AN于点B；连接CB，△ABC就是所求作的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）请写出证明过程． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【分析】（1）根据题目中的作法，直接作图即可； （2）根据等边对等角以及三角形外角的性 质进行解答即可． 【解答】（1）解：根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示， （2）证明：连接BO，BC， 由作图知：OA＝OC，OC＝BC， ∴∠BAC＝∠ACO，∠ABC＝∠BOC， 又∵∠BOC＝∠BAC+∠ACO， ∴∠ABC＝∠BOC＝2∠BAC． 54．作图并证明： （1）如图，在△ABC的边AC的上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，证明：CD∥AB． 【答案】（1）作图见解析过程； （2）证明见解析过程． 【分析】对于（1），以点C为圆心，任意长为半径画弧，再以点A为圆心，CF为半径画弧，然后以点G为圆心，FP为半径画弧，交于点H，作射线AH，再截取AD＝BC，连接CD； 对于（2），根据（1）可知∠EAC＝∠ACB，进而得出AD＝BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得出答案． 【解答】（1）解：图中的∠CAE，AD，CD为所求作的图形； （2）证明：∵∠EAC＝∠ACB， ∴AD∥CB， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB． 55．如图是一张矩形纸片ABCD，对角线AC与BD相交于点O． （1）如图1中，在BC边上求作一点E，使得△CDE沿着DE折叠后，点C落在线段OC上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2中，在（1）的条件下，点C的对应点为点F，若OF＝AB，求的值． 【答案】（1）见详解； （2）． 【分析】（1）D点的对应点为F，则有DF＝DC，以D为圆心，CD长为半径画弧，交线段AC于F，折痕是对应点的连线段的垂直平分线，作CF的垂直平分线即可求解； （2）可证△OCD∽△DCF，从而可得，设CF＝x，CD＝y，可得x2+xy﹣y2＝0，从而可求解． 【解答】（1）解： 如图，E是所求作的点． （2）解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝OD，AB＝CD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵OF＝AB， ∴CD＝OF， 由折叠得：DC＝DF， ∴∠DCF＝∠DFC， ∴∠OCD＝∠DCF＝∠ODC＝∠DFC， ∴△OCD∽△DCF， ∴， 设CF＝x，CD＝y，则有 OC＝x+y， ∴， 整理得：x2+xy﹣y2＝0， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 56．已知M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点． （1）如图①，OM≠ON，P为∠AOB角平分线上的一点，若∠AOB+∠MPN＝180°，求证：PM＝PN． （2）如图②，若P为∠AOB外一点，求作点M，N，使得∠PMO为锐角，PM＝MN，且∠PMN＝90°．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）证明见解析部分； （2）作图见解析部分． 【分析】（1）如果1中，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥PB于点F，证明△PEM≌△PFN（ASA），推出PM＝PN； （2）如图2中，过点P作PK⊥OB于点K，作∠PKB的角平分线交OA于点M，连接PM，过点M作MN⊥PM，交OB于点N． 【解答】 （1）证明：如果1中，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥PB于点F， ∵OP平分∠AOB，PE∥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF， ∵∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴∠AOB+∠EPF＝180°， ∵∠AOB+∠MPN＝180°， ∴∠MPN＝∠EPF， ∴∠MPE＝∠NPF， ∵∠PEM＝∠PFN＝90°， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴PM＝PN； 2）解：图形如图2所示：作PK⊥OB，KM平分∠PKB，类似（1）作PM⊥MN，可得PM＝PN 57．已知：如图，点P和⊙O． 求作：直线PA，使得PA与⊙O相切于点A． 作法：（1）连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于C，D两点； （2）作直线CD，交OP于点B； （3）以点B为圆心，以OB长为半径作⊙B，与⊙O相交，其中一个交点为点A； （4）作直线PA． 直线PA即为所求作． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：由作法可知，点B为线段OP的中点．连接OA． ∵OP为⊙B的直径， ∴∠OAP＝　90　°（ 　直径所对圆周角为直角　）（填推理的依据）． ∴OA⊥PA． ∵点A在⊙O上， ∵PA是⊙O的切线（ 　过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线　）（填推理的依据）． 【答案】（1）如图所示；（2）90，直径所对圆周角为直角，过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线． 【分析】（1）依照题中所提供步骤作图即可； （2）利用圆周角定理推论即切线判定定理证明即可． 【解答】解：（1）依作法所作图形如图所示： （2）由作法可知，点B为线段OP的中点．连接OA． ∵OP为⊙B的直径， ∴∠OAP＝90°（直径所对圆周角为直角）（填推理的依据）． ∴OA⊥PA． ∵点A在⊙O上， ∵PA是⊙O的切线（过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）． 故答案为：90，直径所对圆周角为直角，过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线． 58．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线； （2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的内角∠ABD的角平分线． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【分析】（1）连接DE，CE，CE交BD于F，利用BE＝CD，BE∥CD，则可判断四边形BCDE为平行四边形，所以BF＝DF，则AF满足条件； （2）连接DE，CE，CE交BD于F，连接AF交DE于O点，再延长BO交AD于G，通过证明OA＝OD可得到AG垂直平分AD，利用等腰三角形的性质可判断BG满足条件． 【解答】解：（1）如图1，AF为所作； （2）如图2，BG为所作． 59．如图，海沧大桥是中国国内第一座系统地进行桥梁景观研究与设计的特大型桥梁．从总体线形、结构造型、景观色彩等多方面保证了大桥与自然环境的和谐，地平面（AB）是水平且笔直的，此时一个高1.6m的人（CD）站在C点望该桥的主塔BF，此时测得点D关于点F的俯角为35°，关于点E的俯角为75°，已知主塔AE＝BF＝114.3m，为该桥的主缆，与线段DF交于的中点G．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） （1）请在图中作出关于所对应圆心O（尺规作图，保留作图痕迹且无需说明作图过程）； （2）若关于所对应圆的半径为R，求的长（用含有π，R的代数式表示）； （3）利用已知信息，求海沧大桥两座主塔之间EF的距离（结果取整数）． 【答案】（1）见解答； （2）Rπ； （3）EF的距离约为192米． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质作图； （2）根据弧长公式求解； （3）根据三角函数的意义求解． 【解答】解：（1）作图如下：点O即为所求； （2）∵OH、OG分别是GF、EF的中垂线， ∴，OH⊥GF，OE＝OF＝OG， ∵∠OGH+∠GOH＝∠OGH+∠GFE＝90°， ∴∠GOH＝35°，∠GOF＝70°，∠EOF＝140°， ∴； （3）延长CD，交EF于P， ∵∠PEA＝∠EAC＝∠ACP＝90°， ∴四边形ACPE是矩形， ∴CP＝AE＝114.3m， PD＝PC﹣CD＝114.3﹣1.6＝112.7（m）， ∠PDE＝90°﹣75°＝15°， ∠PDF＝90°﹣35°＝55°， ∴EF＝PD（tan15°+tan55°） ≈112.7×（0.27+1.43） ＝191.59 ≈192（米） 答：EF的距离约为192米． 60．在数学课上，爱动脑筋的小孙同学提出了一个问题：已知∠MAN，求作一个以∠A为内角的菱形．经过课堂讨论，有的学习小组提出了如下尺规作图方案： ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，与AM，AN分别交于P，Q两点，再分别以P，Q两点为圆心，以相同的长度为半径（大于）画两条弧，两弧交于∠MAN内一点C； ②以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧交于H，K两点； ③连接HK交AM于点B，交AN于点D，连接BC，CD． 请你根据上述尺规作图方案，完成下列问题： （1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹） （2）证明四边形ABCD是菱形． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【分析】（1）根据题中步骤作图； （2）根据四条边都相等的四边形是菱形进行证明． 【解答】解：（1）如图：四边形ABCD即为所求； （2）由作图得：∠BAC＝∠DAC，BD垂直平分AC， ∴AB＝BC，AD＝CD，∠AOB＝∠AOD＝90°， 又∵AO＝AO， ∴△AOB≌△AOD（ASA）， ∴AB＝AD， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/6 21:08:55；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 学科网（北京）股份有限公司 $$