13.3 全等三角形的判定-2024-2025学年八年级上册数学冲冠同步卷(冀教版)

冀教新版八年级上学期《13.3 全等三角形的判定》2024年同步练习卷 一．选择题（共22小题） 1．如图，将两块相同的三角板（含30°角）按图中所示位置摆放，若BE交CF于点D，AC交BE于点M，AB交CF于点N，则下列结论中错误的是（　　） A．∠EAC＝∠FAB B．CM＝BN C．△ACN≌△ABM D．FN＝DN 2．如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB 3．如图，AB＝AC，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．∠AEB＝∠ADC D．AE＝AD 4．已知，△ABC，△DEF，△HIG的相关数据如图所示，则（　　） A．△ABC≌△DEF B．△DEF≌△HIG C．AB＝DE D．HI＝BC 5．如图，AE∥DF，AE＝DF，则添加下列条件能使△EAC≌△FDB的为（　　） A．AB＝CD B．∠A＝∠D C．∠E＝∠DBF D．AC＝BF 6．在△ABC和△DEF中，∠A＝50°，∠B＝70°，AB＝4，∠D＝50°，∠F＝60°，DE＝4，则△ABC，△DEF（　　） A．一定全等 B．不一定全等 C．一定不全等 D．以上都不对 7．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 8．如图，小马用高度都是2cm的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙AD与BE，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知AC＝BC，∠ACB＝90°，则两面木墙之间的距离为（　　） A．30cm B．24cm C．20cm D．18cm 9．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 10．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（　　）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃． A．① B．② C．③ D．①②③ 11．如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（　　） A．12 B．8 C．6 D．4 12．如图，在2×2的正方形网格中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．80° C．90° D．100° 13．小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为（　　） A．1m B．1.6m C．1.4m D．1.8m 14．用如图所示方法测小河宽度：AB⊥BC，OB＝OC，BC⊥CD，点A，O，D在同一条直线上，量出CD的长度即知小河AB的宽度．这里判断△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SAS或SSA B．SAS或ASA C．AAS或SSS D．ASA或AAS 15．如图，∠B＝∠D，DE＝BC，若AB＝8cm，AC＝3cm，则DC的长是（　　） A．5 B．4 C．3 D．5.5 16．在数学课上，老师给出三条边长分别为a，b，c的△ABC，其三个内角的度数如图所示．下面是4名同学用不同方法画出的三角形，则根据图中已知的条件判断，其中不一定与△ABC全等的是（　　） A． B． C． D． 17．根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD、CE交于点H，已知AE＝CE＝10，BE＝6，则CH的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 19．如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（　　） A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA 20．如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．只有（1） B．（1）和（2）可以 C．（1）和（3）可以 D．（1）、（2）、（3）都可以 21．如图，点A在DE上，点F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（　　） A．DC B．BC C．AB D．AE+AC 22．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，点E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．30 C．42 D．48 二．填空题（共2小题） 23．如图所示，AB与CD相交于点O，∠A＝∠B，AO＝BO，又因为 　 　＝　 　，所以△AOC≌△BOD，其依据是 　 　． 24．如图，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是　 　． 三．解答题（共19小题） 25．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C． （1）求证：BD＝CE； （2）若BE、CD交于点F，求证：△BDF≌△CEF； （3）在（2）的条件下连接AF，求证：AF平分∠BAC． 26．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE． 27．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD． （1）求证：△ABC≌△CDE； （2）请写出线段AB、DE、BD之间的数量关系，并说明理由． 28．如图，已知AD∥BC一点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F． （1）求证：△ABE≌△AFE； （2）求证：AD+BC＝AB． 29．如图1，CA⊥AB，DB⊥AB，AC＝BD，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． （1）若P为AB的中点，点Q与点D重合，试说明△ACP与△BDP全等； （2）如图2，若∠CPQ＝90°，CP＝PQ，求AC，BQ，AB之间的数量关系； （3）如图3，将“CA⊥AB，DB⊥AB”改为“∠A＝∠B＝α（α为锐角）”，其他条件不变．若∠CPQ＝α，CP＝PQ，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 30．如图，为了测量一个池塘的宽度CF，童童在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线l上，然后在直线l的两侧分别取点A，D，使得AB∥DE，测得∠A＝∠D，AC＝DF，若BE＝20m，BF＝5m，求池塘的长度． 31．如图，在△ABC中，∠B＝100°，∠C＝54°，点D在边AC上，AD＝BC，DE∥BC，∠EAB＝74°．求证：AE＝BA． 32．如图所示，已知AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，BE交CD于点O，连接AO． 求证：∠BAO＝∠CAO． 33．如图，点F在AB上，BC∥AD，AD＝AC，∠AED＝∠B．求证：△ABC≌△DEA． 34．如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若BC＝EF，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE＝180°．求证：AC＝DF． 35．如图，AB＝AE，∠B＝∠AED，∠1＝∠2，求证：BC＝ED． 36．如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求A'到BD的距离． 37．小玮想要测量公园的人工湖的宽度（以最宽处计算），如图，他首先在湖两岸相对的地方选取两点A、B，A、B两点之间的距离就是湖的宽度．然后在湖外AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与点A、C在同一条直线上．若想知道A、B两点之间的距离，只需要测量出线段DE的长度即可．请你用学过的数学知识来说明小玮的做法是否正确． 38．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F，试说明：△FBD≌△ABC． 39．如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，∠B＝∠D，求证：BC＝DE． 40．某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ACB≌△BED； （2）求两堵木墙之间的距离． 41．如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为边BC上一点，过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F． （1）请说明：△AFD≌△BED； （2）若AF＝3CE＝3，求BC的长． 42．如图，在△ABC中，高BD，CE交于点F，且BD＝CD， （1）判断AD，FD的数量关系，并说明理由； （2）若CE平分∠ACB，BE＝1.5，求CF的长． 43．如图，已知在△ABD中，AB＝AD，射线AF交BD于点O，∠BAC＜∠DAC，点E、F在射线AF上，且∠BCF＝∠DEF＝∠BAD．试判断AC与ED的数量关系，并说明理由． 冀教新版八年级上学期《13.3 全等三角形的判定》2024年同步练习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共22小题） 1．如图，将两块相同的三角板（含30°角）按图中所示位置摆放，若BE交CF于点D，AC交BE于点M，AB交CF于点N，则下列结论中错误的是（　　） A．∠EAC＝∠FAB B．CM＝BN C．△ACN≌△ABM D．FN＝DN 【答案】D 【分析】由△ABE≌△AFC，根据全等三角形的性质可得∠E A B＝∠C A F，A C＝A B，∠C＝∠B，继而可得∠EAC＝∠FAB，可判断A正确；利用ASA可证明△ACN≌△ABM，可判断C正确；根据全等三角形的性质可得AM＝AN，可判断B正确，无法得到FN＝DN，由此即可得答案． 【解答】解：∵△ABE≌△AFC， ∴∠EAB＝∠FAC，AC＝AB，∠C＝∠B， ∴∠EAB﹣∠CAB＝∠FAC﹣∠CAB， ∴∠EAC＝∠FAB，故选项A正确； 在△ACN与△ABM中 ， ∴△ACN≌△ABM（ASA），故选项C正确； ∴AM＝AN， ∵AC﹣AM＝AB﹣AN， ∴CM＝BN，故选项B正确； 无法得到FN＝DN，故选项D错误． 故选：D． 2．如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵BC＝CB，∠1＝∠2，AB＝CD， ∴△ABC和△DCB不一定全等， 故A符合题意； B、∵BC＝CB，∠1＝∠2，AC＝BD， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， 故B不符合题意； C、∵BC＝CB，∠1＝∠2，∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DCB（AAS）， 故C不符合题意； D、∵BC＝CB，∠1＝∠2，∠ABC＝∠DCB， ∴△ABC≌△DCB（ASA）， 故D不符合题意； 故选：A． 3．如图，AB＝AC，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．∠AEB＝∠ADC D．AE＝AD 【答案】B 【分析】利用AB＝AC，加上∠A为公共角，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD， ∴当添加∠B＝∠C时，△ABE≌△ACD（ASA）； 当添加BE＝CD时，不能判断△ABE≌△ACD； 当添加∠AEB＝∠ADC时，△ABE≌△ACD（AAS）； 当添加AE＝AD时，△ABE≌△ACD（SAS）． 故选：B． 4．已知，△ABC，△DEF，△HIG的相关数据如图所示，则（　　） A．△ABC≌△DEF B．△DEF≌△HIG C．AB＝DE D．HI＝BC 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定与性质，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵∠B＝∠E＝30°，∠C＝∠F＝80°，BC和EF不一定相等， ∴△ABC和△DEF不一定全等， 故A不符合题意； B、∵∠H＝70°，∠I＝30°， ∴∠G＝180°﹣∠H﹣∠I＝80°， ∵∠E＝30°，∠F＝80°， ∴∠E＝∠I，∠F＝∠G， ∵EF＝GI＝6， ∴△DEF≌△HIG（ASA）， 故B符合题意； C、∵△ABC和△DEF不一定全等， ∴AB和DE不一定相等， 故C不符合题意； D、∵∠H＝70°，∠I＝30°， ∴∠G＝180°﹣∠H﹣∠I＝80°， ∵∠B＝30°，∠C＝80°， ∴∠B＝∠I，∠C＝∠G， ∵BC和GI不一定相等， ∴△ABC和△HIG不一定全等， ∴HI和BC不一定相等， 故D不符合题意； 故选：B． 5．如图，AE∥DF，AE＝DF，则添加下列条件能使△EAC≌△FDB的为（　　） A．AB＝CD B．∠A＝∠D C．∠E＝∠DBF D．AC＝BF 【答案】A 【分析】判定三角形全等的方法主要有SAS、ASA、AAS、SSS、HL，根据所添加的条件判断能否得出△EAC≌△FDB即可． 【解答】解：∵AE∥DF， ∴∠A＝∠D， A．当AB＝CD时，AB+BC＝CD+BC，即AC＝DB， 根据SAS可以判定△EAC≌△FDB； 故A符合题意； B．当∠A＝∠D时，不能判定△EAC≌△FDB；故B不符合题意； C．当∠E＝∠DBF时，不能判定△EAC≌△FDB；故C不符合题意； D．当AC＝BF时，不能判定△EAC≌△FDB；故D不符合题意； 故选：A． 6．在△ABC和△DEF中，∠A＝50°，∠B＝70°，AB＝4，∠D＝50°，∠F＝60°，DE＝4，则△ABC，△DEF（　　） A．一定全等 B．不一定全等 C．一定不全等 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理，得到∠C＝60°，再根据三角形全等的判定定理进行判定即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣70°＝60°， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 故选：A． 7．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：C． 8．如图，小马用高度都是2cm的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙AD与BE，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知AC＝BC，∠ACB＝90°，则两面木墙之间的距离为（　　） A．30cm B．24cm C．20cm D．18cm 【答案】C 【分析】由题意易得∠ADC＝∠CEB＝90°，则有∠BCE＝∠DAC，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm． ∴DE＝DC+CE＝20（cm）， 即：两堵木墙之间的距离为20cm． 故选：C． 9．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】B 【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：如图，∠A、AB、∠B都可以测量， 即他的依据是ASA． 故选：B． 10．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（　　）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃． A．① B．② C．③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形， 只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的． 故选：C． 11．如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（　　） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】先由CE∥AB得∠B＝∠DCE，∠BAD＝∠E，由此可证明△ABD和△ECD全等，则AB＝CE，AD＝ED，AE＝2AD，然后由三角形三边之间的关系得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即7﹣5＜2AD＜7+5，由此得1＜AD＜6，据此即可得出答案． 【解答】解：∵CE∥AB， ∴∠B＝∠DCE，∠BAD＝∠E， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∵AB＝CE，AD＝ED， ∵AE＝2AD， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE， 即AC﹣CE＜2AD＜AC+CE， ∴AB＝5，AC＝7， ∴CE＝AB＝5， ∴7﹣5＜2AD＜7+5， 即2＜2AD＜12， ∴1＜AD＜6， 故选：D． 12．如图，在2×2的正方形网格中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．80° C．90° D．100° 【答案】C 【分析】利用“边角边”求出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，再根据直角三角形两锐角互余求解． 【解答】解：在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴∠AED＝∠1， ∵∠1+∠AED＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故选：C． 13．小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为（　　） A．1m B．1.6m C．1.4m D．1.8m 【答案】D 【分析】由AAS证明△OBD≌△COE得出OE＝BD，CE＝OD即可推出结果． 【解答】解：∵点B距离地面的高度为1.5m，点C距离地面的高度是1.6m， ∴点D距离地面的高度为1.5m，点E距离地面的高度是1.6m， ∴DE＝1.6﹣1.5＝0.1（m）， ∵∠BDO＝∠BOC＝90°， ∴∠OBD+∠BOE＝∠BOE+COD＝90°， ∴∠OBD＝∠COD， 又由题意可知，OB＝OC， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.7m，CE＝OD， ∴CE＝OD＝OE+DE＝1.7+0.1＝1.8（m）， ∴点C到OA的距离CE为1.8m， 故选：D． 14．用如图所示方法测小河宽度：AB⊥BC，OB＝OC，BC⊥CD，点A，O，D在同一条直线上，量出CD的长度即知小河AB的宽度．这里判断△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SAS或SSA B．SAS或ASA C．AAS或SSS D．ASA或AAS 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，即可解答． 【解答】解：方法一： ∵AB⊥BC，BC⊥CD， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（ASA）， 方法二： ∵AB⊥BC，BC⊥CD， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∵∠AOB＝∠COD，∠AOB+∠BAO＝90°，∠COD+∠CDO＝90°， ∴∠BAO＝∠CDO， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）， 故选：D． 15．如图，∠B＝∠D，DE＝BC，若AB＝8cm，AC＝3cm，则DC的长是（　　） A．5 B．4 C．3 D．5.5 【答案】A 【分析】证明△ADE≌△ABC（AAS），得到AB＝AD＝8cm，即可解答． 【解答】解：在△ADE和△ABC中， ， ∴△ADE≌△ABC（AAS）， ∴AB＝AD＝8cm， ∵AC＝3cm， ∴DC＝AD﹣AC＝8﹣3＝5cm． 故选：A． 16．在数学课上，老师给出三条边长分别为a，b，c的△ABC，其三个内角的度数如图所示．下面是4名同学用不同方法画出的三角形，则根据图中已知的条件判断，其中不一定与△ABC全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定一一判断即可； 【解答】解：选项A中，根据SAS可以判定两个三角形全等，本选项不符合题意； 选项B中，根据ASA可以判定两个三角形全等，本选项不符合题意； 选项C中，SSA不能判断三角形全等，本选项符合题意； 选项D中，根据SSS可以判定两个三角形全等，本选项不符合题意． 故选：C． 17．根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 【答案】D 【分析】根据SAS即可判断求解． 【解答】解：根据题意得，△ABC≌△HNM． 故选：D． 18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD、CE交于点H，已知AE＝CE＝10，BE＝6，则CH的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据ASA证明△AEH与△CEB全等，进而利用全等三角形的性质及线段的和差解答即可． 【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AEH＝∠HDC＝90°， ∵∠EHA＝∠DHC， ∴∠EAH＝∠ECB， 在△AEH与△CEB中， ， ∴△AEH≌△CEB（ASA）， ∴BE＝EH＝6， ∵CE＝10， ∴CH＝CE﹣EH＝10﹣6＝4， 故选：C． 19．如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（　　） A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA 【答案】C 【分析】根据图形找出公共边AB＝BA，再根据全等三角形的判定定理AAS得出即可． 【解答】解：A．AD＝BC，BA＝AB，∠1＝∠2不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ACB≌△BDA，故本选项不符合题意； B．AB＝BA，∠1＝∠2，AC＝BD，符合全等三角形的判定定理SAS，不符合AAS定理，故本选项不符合题意； C．∠D＝∠C，∠1＝∠2，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ACB≌△BDA，故本选项符合题意； D．∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，∠1＝∠2，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ACB≌△BDA，故本选项不符合题意； 故选：C． 20．如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．只有（1） B．（1）和（2）可以 C．（1）和（3）可以 D．（1）、（2）、（3）都可以 【答案】B 【分析】符合判断三角形全等的条件，就可以确定三角形的形状及大小． 【解答】解：理由如下：只要能够找到全等的条件画一个和原来三角形全等的就可以． 第（3）个不能画，（1）符合“角边角”的条件，（2）符合“边角边”的条件． 故选：B． 21．如图，点A在DE上，点F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（　　） A．DC B．BC C．AB D．AE+AC 【答案】C 【分析】先证△ABC≌△EDC，由全等的性质得到结论． 【解答】解：∵∠2＝∠3，∠AFD＝∠CFB， ∴∠D＝∠B， ∵∠1＝∠3， ∴∠1+∠ACD＝∠3+∠ACD， ∴∠ACB＝∠ECD， ∵AC＝CE， ∴△ABC≌△EDC（AAS）， ∴DE＝AB． 故选：C． 22．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，点E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．30 C．42 D．48 【答案】A 【分析】由AAS可证△ABF≌△DEF，可得S△ABF＝S△DEF，即可求解． 【解答】解：∵AB∥DC， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABF和△DEF中， ， ∴△ABF≌△DEF（AAS）， ∴S△ABF＝S△DEF， ∴阴影部分的面积＝S△ACDAC•AD＝24， 故选：A． 二．填空题（共2小题） 23．如图所示，AB与CD相交于点O，∠A＝∠B，AO＝BO，又因为 　∠AOC　＝　∠BOD　，所以△AOC≌△BOD，其依据是 　ASA　． 【答案】∠AOC；∠BOD；ASA． 【分析】在△AOC和△BOD中，∠A＝∠B，AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，即可证明△AOC≌△BOD，据此解题． 【解答】解：∵∠AOC和∠BOD是对顶角， ∴∠AOC＝∠BOD． ∵在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（ASA）． 故答案为：∠AOC；∠BOD；ASA． 24．如图，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是　AB＝DE或BC＝EF或AC＝DF或AF＝DC　． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，故添加一组对边相等后可根据AAS、ASA判定其全等． 【解答】解：∵∠A＝∠D，∠1＝∠2，AC＝DF ∴△ABC≌△DEF（ASA）； ∵∠A＝∠D，∠1＝∠2，AB＝DE ∴△ABC≌△DEF（AAS）； ∵∠A＝∠D，∠1＝∠2，BC＝EF ∴△ABC≌△DEF（AAS）； ∵AF＝DC，FC＝CF ∴AC＝DF ∵∠A＝∠D，∠1＝∠2 ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 故填AB＝DE或BC＝EF或AF＝DC． 三．解答题（共19小题） 25．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C． （1）求证：BD＝CE； （2）若BE、CD交于点F，求证：△BDF≌△CEF； （3）在（2）的条件下连接AF，求证：AF平分∠BAC． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE． （2）由BD＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠EFC，易证△BDF≌△CEF； （3）要证AF平分∠BAC，只要证△ABF≌△ACF即可． 【解答】证明：（1）在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD． ∴AD＝AE． ∴BD＝CE． （2）在△BDF和△CEF中， ， ∴△BDF≌△CEF； （3）连接AF，如图， ∵△BDF≌△CEF， ∴BF＝CF， 在△ABF和△ACF中， ， ∴△ABF≌△ACF， ∴∠BAF＝∠CAF ∴AF平分∠BAC． 26．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE． 【答案】见试题解答内容 【分析】要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE． 【解答】证明：在△ABE与△ACD中 ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． ∴AD＝AE． ∴AB﹣AD＝AC﹣AE， ∴BD＝CE． 27．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD． （1）求证：△ABC≌△CDE； （2）请写出线段AB、DE、BD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）BD＝AB+DE，理由见解析． 【分析】（1）根据ASA可证明△ABC≌△CDE； （2）由全等三角形的性质得出AB＝CD，BC＝DE，则可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°， ∴∠BAC+∠BCA＝90°＝∠BCA+∠DCE， ∴∠BAC＝∠DCE， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA）； （2）解：线段AB、DE、BD之间的数量关系为BD＝AB+DE， 理由：由（1）可知，△ABC≌△CDE， ∴AB＝CD，BC＝DE， ∴BD＝BC+CD＝AB+DE． 28．如图，已知AD∥BC一点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F． （1）求证：△ABE≌△AFE； （2）求证：AD+BC＝AB． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠F，然后求出∠1＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE和△AFE全等即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证． 【解答】（1）证明：如图，∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵AD∥BC， ∴∠2＝∠F，∠1＝∠F， 在△ABE和△AFE中， ， ∴△ABE≌△AFE（AAS）； （2）证明：∵△ABE≌△AFE， ∴BE＝EF， 在△BCE和△FDE中， ， ∴△BCE≌△FDE（ASA）， ∴BC＝DF， ∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB， 即AD+BC＝AB． 29．如图1，CA⊥AB，DB⊥AB，AC＝BD，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． （1）若P为AB的中点，点Q与点D重合，试说明△ACP与△BDP全等； （2）如图2，若∠CPQ＝90°，CP＝PQ，求AC，BQ，AB之间的数量关系； （3）如图3，将“CA⊥AB，DB⊥AB”改为“∠A＝∠B＝α（α为锐角）”，其他条件不变．若∠CPQ＝α，CP＝PQ，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）AB＝BQ+AC； （3）不会改变，理由见解析． 【分析】（1）根据题意应用SAS证明即可； （2）根据题意证明△ACP≌△BPQ，得到AC＝BP，AP＝BQ，则问题可证； （3）根据题意证明△ACP≌△BPQ，得到AC＝BP，AP＝BQ，则问题可证． 【解答】解：（1）由题意可知AC＝QB． ∵AC⊥AB，DB⊥AB， ∴∠A＝90°，∠B＝90°， ∴∠A＝∠B＝90°． 又∵P为AB的中点， ∴AP＝BP， ∵AC＝BD， ∴△ACP≌△BDP（SAS）； （2）由（1）可知∠A＝∠B＝90°． ∵∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠CPA＝90°﹣∠CPA， ∠BPQ＝180°﹣∠CPQ﹣∠CPA＝90°﹣∠CPA， ∴∠ACP＝∠BPQ． 又∵CP＝PQ， ∴△ACP≌△BPQ（AAS）， ∴AC＝BP，AP＝BQ， ∴AB＝AP+BP＝BQ+AC， 即AC，BQ，AB之间的数量关系为AB＝BQ+AC； （3）不会改变； 理由：∵∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠CPA＝180°﹣α﹣∠CPA， ∠BPQ＝180°﹣∠CPQ﹣∠CPA＝180°﹣α﹣∠CPA， ∴∠ACP＝∠BPQ． 又∵CP＝PQ，∠A＝∠B， ∴△ACP≌△BPQ（AAS）， ∴AC＝BP，AP＝BQ， ∴AB＝AP+PB＝BQ+AC， 即（2）中的数量关系不会改变． 30．如图，为了测量一个池塘的宽度CF，童童在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线l上，然后在直线l的两侧分别取点A，D，使得AB∥DE，测得∠A＝∠D，AC＝DF，若BE＝20m，BF＝5m，求池塘的长度． 【答案】池塘的长度为10m． 【分析】先证明∠ABC＝∠DEF，根据全等三角形的判定和性质即可解答． 【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， 在△ABC与△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴BC＝EF， ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BF＝EC， ∵BE＝20m，BF＝5m， ∴FC＝20﹣5﹣5＝10（m）， 答：池塘的长度为10m． 31．如图，在△ABC中，∠B＝100°，∠C＝54°，点D在边AC上，AD＝BC，DE∥BC，∠EAB＝74°．求证：AE＝BA． 【答案】证明见解析． 【分析】根据ASA证明△ADE与△BCA全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：∵∠B＝100°，∠C＝54°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣100°﹣54°＝26°， ∴∠DAE＝∠BAC+∠EAB＝26°+74°＝100°＝∠B， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠BCA， 在△ADE与△BCA中， ， ∴△ADE≌△BCA（ASA）， ∴AE＝BA． 32．如图所示，已知AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，BE交CD于点O，连接AO． 求证：∠BAO＝∠CAO． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先证得△BOD≌△COE，得到：OB＝OC，然后证明△AOB≌△AOC，从而证得． 【解答】证明：在△BOD和△COE中， ∵， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OB＝OC， 在△ABO和△ACO中， ∵， ∴△ABO≌△ACO（SAS）， ∴∠BAO＝∠CAO． 33．如图，点F在AB上，BC∥AD，AD＝AC，∠AED＝∠B．求证：△ABC≌△DEA． 【答案】见解答． 【分析】先根据平行线的性质得到∠C＝∠DAE，然后根据“AAS”可判断△ABC≌△DEA． 【解答】解：∵BC∥AD， ∴∠C＝∠DAE， 在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（AAS）． 34．如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若BC＝EF，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE＝180°．求证：AC＝DF． 【答案】见解析． 【分析】利用同角的补角相等得出∠ABC＝∠E，再利用AAS证明△ABC≌△DEF，即可得出结论． 【解答】证明：∵∠ABC+∠CBE＝180°，∠E+∠CBE＝180°． ∴∠ABC＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴AC＝DF． 35．如图，AB＝AE，∠B＝∠AED，∠1＝∠2，求证：BC＝ED． 【答案】证明见解析． 【分析】根据ASA只要证明∠BAC＝∠EAD，进而利用全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】证明∵∠1＝∠2， ∴∠BAC＝∠EAD， 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（ASA）， ∴BC＝ED． 36．如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求A'到BD的距离． 【答案】A'到BD的距离是1m． 【分析】作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：如图2，作A'F⊥BD，垂足为F． ∵AC⊥BD， ∴∠ACB＝∠A'FB＝90°； 在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°； 又∵A'B⊥AB， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3； 在△ACB和△BFA'中， ， ∴△ACB≌△BFA'（AAS）； ∴A'F＝BC ∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE， ∴CD＝AE＝1.5m； ∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m）， ∴A'F＝1（m）， 即A'到BD的距离是1m． 37．小玮想要测量公园的人工湖的宽度（以最宽处计算），如图，他首先在湖两岸相对的地方选取两点A、B，A、B两点之间的距离就是湖的宽度．然后在湖外AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与点A、C在同一条直线上．若想知道A、B两点之间的距离，只需要测量出线段DE的长度即可．请你用学过的数学知识来说明小玮的做法是否正确． 【答案】小玮的做法正确． 【分析】利用ASA证明△ABC≌△EDC，得到AB＝ED，即可判断说明． 【解答】解：小玮的做法正确． ∵AB⊥BF，DE⊥BF， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 又∵BC＝DC，∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED， 即测量出线段DE的长度即可知道A、B两点之间的距离， ∴小玮的做法正确． 38．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F，试说明：△FBD≌△ABC． 【答案】见解答过程． 【分析】根据EF⊥AC，得∠F+∠C＝90°，再由已知得∠A＝∠F，从而AAS证明△FBD≌△ABC． 【解答】证明：∵EF⊥AC， ∴∠F+∠C＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠F， 在△FBD与△ABC中， ， ∴△FBD≌△ABC（AAS）． 39．如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，∠B＝∠D，求证：BC＝DE． 【答案】见解答过程． 【分析】由垂直可得∠BAD＝∠CAE＝90°，从而可求得∠BAC＝∠DAE，利用ASA可证得△ABC≌△ADE，则有BC＝DE． 【解答】证明：∵AB⊥AD，AC⊥AE， ∴∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴BC＝DE． 40．某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ACB≌△BED； （2）求两堵木墙之间的距离． 【答案】（1）证明过程见解答部分； （2）两堵木墙之间的距离为50cm． 【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【解答】（1）证明：由题意得：AB＝BD，∠ABD＝90°，AC⊥CE，DE⊥CE， ∴∠BED＝∠ACB＝90°， ∴∠BDE+∠DBE＝90°，∠DBE+∠ABC＝90°， ∴∠BDE＝∠ABC， 在△ACB和△BED中， ， ∴△ACB≌△BED（AAS）； （2）解：由题意得：AC＝5×3＝15（cm），DE＝7×5＝35（cm）， ∵△ACB≌△BED， ∴DE＝BC＝35cm，BE＝AC＝15cm， ∴DE＝DC+CE＝50（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为50cm． 41．如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为边BC上一点，过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F． （1）请说明：△AFD≌△BED； （2）若AF＝3CE＝3，求BC的长． 【答案】（1）说明理由见解答； （2）BC的长为4． 【分析】（1）由D为AB的中点，得AD＝BD，由AF∥BC，得∠F＝∠DEB，而∠ADF＝∠BDE，即可根据“AAS”证明△AFD≌△BED； （2）由全等三角形的性质得AF＝BE，而AF＝3CE＝3，则BE＝3CE＝3，求得CE＝1，所以BC＝BE+CE＝4． 【解答】解：（1）∵D为AB的中点， ∴AD＝BD， ∵AF∥BC， ∴∠F＝∠DEB， 在△AFD和△BED中， ， ∴△AFD≌△BED（AAS）． （2）解：由（1）得△AFD≌△BED， ∴AF＝BE， ∵AF＝3CE＝3， ∴BE＝3CE＝3， ∴CE＝1， ∴BC＝BE+CE＝3+1＝4， ∴BC的长为4． 42．如图，在△ABC中，高BD，CE交于点F，且BD＝CD， （1）判断AD，FD的数量关系，并说明理由； （2）若CE平分∠ACB，BE＝1.5，求CF的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）CF的长为3． 【分析】（1）由BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，得∠ADB＝∠FDC＝∠AEC＝90°，则∠ABD＝∠FCD＝90°﹣∠A，而BD＝CD，即可根据“ASA”证明△ABD≌△FCD，则AD＝FD； （2）由∠ACE＝∠BCE，CE＝CE，∠AEC＝∠BEC，根据“ASA”证明△ACE≌△BCE，则AE＝BE＝1.5，所以BA＝CF＝3，则CF的长为3． 【解答】解：（1）AD＝FD， 理由：∵BD，CE是△ABC的高， ∴BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E， ∴∠ADB＝∠FDC＝∠AEC＝90°， ∴∠ABD＝∠FCD＝90°﹣∠A， 在△ABD和△FCD中， ， ∴△ABD≌△FCD（ASA）， ∴AD＝FD． （2）∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵CE⊥AB于点E， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°， 在△ACE和△BCE中， ， ∴△ACE≌△BCE（ASA）， ∴AE＝BE＝1.5， ∴BA＝AE+BE＝1.5+1.5＝3， 由（1）得△ABD≌△FCD， ∴BA＝CF＝3， ∴CF的长为3． 43．如图，已知在△ABD中，AB＝AD，射线AF交BD于点O，∠BAC＜∠DAC，点E、F在射线AF上，且∠BCF＝∠DEF＝∠BAD．试判断AC与ED的数量关系，并说明理由． 【答案】AC＝ED，理由见解答． 【分析】由∠ACB+∠BCF＝180°，∠DEA+∠DEF＝180°，且∠BCF＝∠DEF，推导出∠ACB＝∠DEA，由∠BAD＝∠DEF，且∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD，∠ADE＝∠DEF﹣∠CAD，推导出∠BAC＝∠ADE，而AB＝DA，即可根据“AAS”证明△BAC≌△ADE，则AC＝ED． 【解答】解：AC＝ED， 理由：∵∠ACB+∠BCF＝180°，∠DEA+∠DEF＝180°，且∠BCF＝∠DEF， ∴∠ACB＝∠DEA， ∵∠BAD＝∠DEF， ∴∠BAD﹣∠CAD＝∠DEF﹣∠CAD， ∵∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD，∠ADE＝∠DEF﹣∠CAD， ∴∠BAC＝∠ADE， 在△BAC和△ADE中， ， ∴△BAC≌△ADE（AAS）， ∴AC＝ED． 学科网（北京）股份有限公司 $$