12.4 分式方程-2024-2025学年八年级上册数学冲冠同步卷(冀教版)

冀教新版八年级上学期《12.4 分式方程》2024年同步练习卷 一．选择题（共18小题） 1．下列方程中，不是整式方程的是（　　） A． B． C．x2﹣7＝0 D．x5x2＝0 2．已知关于x的分式方程1的解是负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞1且a≠2 C．a＜3 D．a＜3且a≠2 4．关于x的方程有增根，则a＝（　　） A．﹣10或6 B．﹣2或﹣10 C．﹣2或6 D．﹣2或﹣10或6 5．如果分式方程无解，则a的值为（　　） A．﹣4 B． C．2 D．﹣2 6．已知：，则x的值是（　　） A．﹣2或﹣1 B．2或1 C．﹣2或1 D．2或﹣1 7．若分式方程去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，则实数a的取值是（　　） A．4或8 B．4 C．8 D．0或2 8．如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（　　） A．13 B．15 C．20 D．22 9．若a使关于x的分式方程1的解为整数，且使关于y的不等式组有解且最多有3个整数解，则所有符合条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣3 B．6 C．18 D．21 10．已知关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（　　） A．m≤1且m≠0 B．m≤1 C．m≥﹣1 D．m≥﹣1 且m≠0 11．已知x2＝2+x，则代数式2x2+2x的值是（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2或6 12．关于x的分式方程5有增根，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 13．若分式方程有增根，则增根可能是（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 14．关于x的方程2有增根，则k的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．2 15．若关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 16．关于x的分式方程3有增根，则增根为（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3 17．若分式方程3有增根，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 18．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4 二．填空题（共5小题） 19．已知等式成立，则a的取值范围是　 　． 20．当x＝　 　时，分式与分式的值互为相反数． 21．已知实数a满足a21＝0，则a的值为　 　． 22．已知方程2，如果设，那么原方程可以变形成关于y的方程为　 　． 23．“换元法”是解方程的一种方法，例如，解方程：（）2﹣5（）﹣6＝0，若设y，原方程可变为y2﹣5y﹣6＝0；用换元法解方程：1，如果设y，则原方程可变为　 　． 三．解答题（共32小题） 24．若关于x的分式方程（x≠±2）有任意解，试求a2+b2的值． 25．已知关于x的分式方程，回答下列问题： （1）原方程去分母后，整理成关于x的整式方程得：　 　； （2）若原分式方程无解，求a的值． 26．若数a使关于x的分式方程4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，求符合条件的所有整数a的和 27．已知关于x的分式方程1的解是负数，求m的取值范围． 28．老师在黑板上书写了一个正确的等式，随后用一张纸挡住了一个实数，其形式如下： □ （1）求被挡住的实数； （2）若这个实数是方程m的根，求m的值． 29．，若方程无解，求m的值． 30．已知：不等式组 （1）解这个不等式组，并把它在数轴上表示出来． （2）关于x的分式方程的解是不是这个不等式组的整数解． 31．①分解因式：（p﹣4）（p﹣1）+p ②解方程：1 32．阅读理解： 关于x的方程：xc的解为x1＝c，x2 xc（可变形为xc）的解为x1＝c，x2 xc的解为x1＝c，x2，xc的解为x1＝c，x2 （1）归纳结论：根据上述方程与解的特征，得到关于x的方程xc（m≠0）的解为　 　． （2）应用结论：解关于y的方程y﹣a 33．观察下列各式，， （1）请用含字母m（m为正整数）的等式表示如上的一般规律； （2）仿照以上方法可推断　 　； （3）仿照以上方法解方程：． 34．（1）解方程： （2）若分式方程无解，求a的值． 35．整体思想就是通过研究问题的整体形式从而对问题进行整体处理的解题方法． 如此题设“a，b”得方程解得∴ 利用整体思想解决问题：采采家准备装修一厨房，若甲，乙两个装修公司，合做需6周完成，甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，求甲、乙公司单独完成装修任务各需多少周？ 36．用换元法解方程：（）26＝0 37．解方程：． 38．用换元法解方程：0． 39．解方程：3x25x20 40．已知关于x的分式方程 （1）若方程的增根为x＝1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 41．若关于x的方程有增根，试求k的值． 42．关于x的方程：1． （1）当a＝3时，求这个方程的解； （2）若这个方程有增根，求a的值． 43．关于y的方程：1有增根，求m的值． 44．解关于x的方程时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值． 45．计算 （1）已知：，且2a﹣b+3c＝23，求a，b，c的值． （2）关于x的分式方程有增根，求k的值． 46．若方程2有增根，求m的值． 47．（1）当m为何值时，方程会产生增根． （2）当m为何值时，方程无解． （3）已知关于x的方程2的解为正数，求m的取值范围． 48．（1）如表，方程1，方程2，方程3，…，是按照一定规律排列的一列方程．解方程1，并将它的解填在表中的空白处； 序号 方程 方程的解 1 x1＝ x 2＝ 2 x1＝4 x 2＝6 3 x1＝5 x2＝8 … … … … （2）若方程（a＞b）的解是x1＝6，x2＝10，求a、b的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ （3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程． 49．解方程：． 50．解下列分式方程（组）： （1）； （2）． 51．先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程： 的解为； 的解为； 的解为；… （1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是　 　； （2）根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是　 　； （3）把关于x的方程变形为方程的形式是　 　，方程的解是　 　． 52．阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　； （3）模仿上述换元法解方程：． 53．阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：0． 解：设y，则原方程化为：y0， 方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程y0的解， ∴当y＝2时，2，解得：x＝﹣1；当y＝﹣2时，2，解得：x， 经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题：（1）若在方程0中，设y，则原方程可化为：　 　； （2）模仿上述换元法解方程：1＝0． 54．已知实数x满足x23x8＝0，求x的值． 55．Ⅰ．解不等式组并把解集在数轴上表示出来． Ⅱ．解方程x2﹣2x8． 冀教新版八年级上学期《12.4 分式方程》2024年同步练习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共18小题） 1．下列方程中，不是整式方程的是（　　） A． B． C．x2﹣7＝0 D．x5x2＝0 【答案】B 【分析】找到分母中或根号下含有未知数的方程即可． 【解答】解：A、C、D的分母中或根号下均不含未知数，是整式方程； B、分母中含有未知数，不是整式方程， 故选：B． 2．已知关于x的分式方程1的解是负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞1且a≠2 C．a＜3 D．a＜3且a≠2 【答案】D 【分析】先求得分式方程的解，然后再解不等式即可，需要注意分式方程的分母不为0． 【解答】解：去分母得：a﹣2＝x+1． 解得：x＝a﹣3． ∵方程的解为负数，且x+1≠0， ∴a﹣3＜0且a﹣3+1≠0． ∴a＜3且a≠2． ∴a的取值范围是a＜3且a≠2． 故选：D． 4．关于x的方程有增根，则a＝（　　） A．﹣10或6 B．﹣2或﹣10 C．﹣2或6 D．﹣2或﹣10或6 【答案】A 【分析】根据分式方程的增根的意义即可求解． 【解答】解：原方程去分母得： 5（x+5）+ax＝3（x﹣5） 因为分式方程的增根为x＝±5， 所以50+5a＝0或﹣5a＝﹣30 得a＝﹣10或a＝6． 故选：A． 5．如果分式方程无解，则a的值为（　　） A．﹣4 B． C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】关于x的分式方程2无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x＝4，据此即可求解． 【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a 解得：x＝a+8 根据题意得：a+8＝4 解得：a＝﹣4． 故选：A． 6．已知：，则x的值是（　　） A．﹣2或﹣1 B．2或1 C．﹣2或1 D．2或﹣1 【答案】B 【分析】去分母，化分式方程为整式方程，解整式方程并检验，得分式方程的解． 【解答】解：等式的两边都乘以（x+1）（2x﹣1），得 2（2x﹣1）＝x（x+1） 整理，得x2﹣3x+2＝0， （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x1＝1，x2＝2 当x＝1或x＝2时，（x+1）（2x﹣1）≠0 ∴x＝1或2都是原方程得解． 故选：B． 7．若分式方程去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，则实数a的取值是（　　） A．4或8 B．4 C．8 D．0或2 【答案】A 【分析】方程的两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程，求解整式方程，由于整式方程的解不是分式方程的解，即整式方程的解满足最简公分母为0，求出a即可． 【解答】解：去分母，得3x﹣a+x＝2（x﹣2）， 整理，得2x＝a﹣4， 解得x 当x（x﹣2）＝0时，x＝0或x＝2， 当x＝0时，0， 所以a＝4； 当x＝2时，2， 所以a＝8． 故选：A． 8．如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（　　） A．13 B．15 C．20 D．22 【答案】B 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【解答】解：原不等式组的解集为x， 因为不等式组有且仅有四个整数解， 所以01， 解得2≤m＜7． 原分式方程的解为y， 因为分式方程有非负数解， 所以0，解得m＞1，且m≠5，因为m＝5时y＝2是原分式方程的增根． 所以符合条件的所有整数m的和是2+3+4+6＝15． 故选：B． 9．若a使关于x的分式方程1的解为整数，且使关于y的不等式组有解且最多有3个整数解，则所有符合条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣3 B．6 C．18 D．21 【答案】C 【分析】分别求解分式方程和不等式组，由分式方程的解x＝1a为整数，确定a是3的倍数；再由不等式组的解集为最多有3个整数解，确定3a≤6，进而求出满足条件a的值即可． 【解答】解：方程1两边同时乘以（x﹣2），可得 4x﹣a﹣5＝x﹣2， ∴x＝1a， ∵分式方程的解为整数， ∴a是3的倍数； 由不等式组可求解得， ∵有解且最多有3个整数解， ∴3a≤6， ∴﹣9＜a≤12； ∴a的取值为﹣6，﹣3，0，3，6，9，12； 当a＝3时，分式方程有增根， ∴所有符合条件的整数a的值之和是18； 故选：C． 10．已知关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（　　） A．m≤1且m≠0 B．m≤1 C．m≥﹣1 D．m≥﹣1 且m≠0 【答案】B 【分析】去分母，得mx2﹣2x+1＝0，因为方程有解，所以Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4m≥0，则m≤1． 【解答】解：去分母，得 mx2﹣2x+1＝0， ∵方程有解， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4m≥0， ∴m≤1， 故选：B． 11．已知x2＝2+x，则代数式2x2+2x的值是（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2或6 【答案】A 【分析】设x2+x＝a，再把原方程化为关于a的分式方程，求出a的值，代入代数式即可得出结论． 【解答】解：设x2+x＝a，则原方程可化为a﹣2＝0， 去分母得，﹣a2﹣2a+3＝0，解得a＝1或a＝﹣3． 当a＝1时，x2+x﹣1＝0，△＝1+4＝5＞0，此时x有解，原式＝2（x2+x）＝2a＝2； 当a＝﹣3时，x2+x+3＝0，△＝1﹣12＝﹣11＜0，此时x无解． 故选：A． 12．关于x的分式方程5有增根，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【解答】解：方程两边都乘（x﹣1）， 得7x+5（x﹣1）＝2m﹣1， ∵原方程有增根， ∴最简公分母（x﹣1）＝0， 解得x＝1， 当x＝1时，7＝2m﹣1， 解得m＝4， 所以m的值为4． 故选：C． 13．若分式方程有增根，则增根可能是（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 【答案】A 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先让最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，得到增根x＝1或﹣1，即可求解． 【解答】解：原方程整理得：x ∵原方程有增根， ∴最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0， 解得x＝﹣1或1， ∴增根可能是：±1， 当x＝1时，k＝4； 当x＝﹣1时，k＝0，此时方程无解， 故增根可能是x＝1． 故选：A． 14．关于x的方程2有增根，则k的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．2 【答案】D 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣3）＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出k的值． 【解答】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣3＝0， 解得x＝3， 方程两边都乘（x﹣3）， 得：x﹣1＝2（x﹣3）+k， 当x＝3时，k＝2，符合题意， 故选：D． 15．若关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【答案】D 【分析】方程无解，说明方程有增根，只要把增根代入方程然后解出m的值． 【解答】解：∵方程无解， ∴x＝4是方程的增根， ∴m+1﹣x＝0， ∴m＝3． 故选：D． 16．关于x的分式方程3有增根，则增根为（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3 【答案】A 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣1）＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程，检验是否符合题意． 【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得7+3（x﹣1）＝m， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣1＝0， 解得x＝1， 当x＝1时，m＝7，这是可能的，符合题意． 故选：A． 17．若分式方程3有增根，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据分式方程有增根可得出x＝2是方程1+3（x﹣2）＝a+x的根，代入x＝2即可求出a值． 【解答】解：∵分式方程3有增根， ∴x＝2是方程1+3（x﹣2）＝a+x的根， ∴a＝﹣1． 故选：A． 18．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4 【答案】C 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可． 【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）＝x﹣2， 解得：x， 由题意得：0且2， 解得：a≥1且a≠4， 故选：C． 二．填空题（共5小题） 19．已知等式成立，则a的取值范围是　a≠0　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【解答】解：∵等式成立， ∴a≠0． 故答案为：a≠0． 20．当x＝　2.4　时，分式与分式的值互为相反数． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可得到x的值． 【解答】解：根据题意得：0， 去分母得：2﹣3x+10﹣2x＝0， 解得：x＝2.4， 经检验x＝2.4是分式方程的解， 故答案为：2.4． 21．已知实数a满足a21＝0，则a的值为　3　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据完全平方公式进行变形，整理后分解因式，即可求出答案． 【解答】解：a21＝0， （a）2﹣2a•2（a）﹣1＝0， （a）2﹣2（a）﹣3＝0， （a3）（a1）＝0， a3＝0，a1＝0（此时方程无解）， 所以a3， 故答案为：3． 22．已知方程2，如果设，那么原方程可以变形成关于y的方程为　y2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据y，把原方程变形成关于y的方程即可． 【解答】解：设y， 原方程变形为：y2， 故答案为：y2． 23．“换元法”是解方程的一种方法，例如，解方程：（）2﹣5（）﹣6＝0，若设y，原方程可变为y2﹣5y﹣6＝0；用换元法解方程：1，如果设y，则原方程可变为　y1　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据引例，将y，替换方程中相应的量即可． 【解答】解：根据已知可得，设y， 则1可化为y1； 故答案为y1． 三．解答题（共32小题） 24．若关于x的分式方程（x≠±2）有任意解，试求a2+b2的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】方程去分母转化为整式方程，即可确定出所求式子的值． 【解答】解：去分母得：4x＝a（x﹣2）﹣b（x+2）， 整理得：（a﹣b）x﹣2a﹣2b＝4x， 可得a﹣b＝4，﹣2a﹣2b＝0，即a+b＝0， 解得：a＝2，b＝﹣2， 则原式＝4+4＝8． 25．已知关于x的分式方程，回答下列问题： （1）原方程去分母后，整理成关于x的整式方程得：　（a+2）x＝3﹣a　； （2）若原分式方程无解，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据等式的性质即可求出答案； （2）根据分式方程的解法即可求出答案． 【解答】解：（1）∵， ∴x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x2﹣x+a ∴（a+2）x＝3﹣a． 故答案为：（a+2）x＝3﹣a． （2）当a+2＝0时， 此时a＝﹣2，该方程无解； 当a+2≠0时， 此时将x代入x（x﹣1）＝0， ∴（1）＝0， ∴或1， ∴a＝3或a； 综上所述，a＝﹣2或3或． 26．若数a使关于x的分式方程4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，求符合条件的所有整数a的和 【答案】见试题解答内容 【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜﹣2，即可得出a≥﹣2，找出﹣2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论． 【解答】解：分式方程4的解为x且x≠1， ∵关于x的分式方程4的解为正数， ∴0且1， ∴a＜6且a≠2． ， 解不等式①得：y＜﹣2； 解不等式②得：y≤a． ∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2， ∴a≥﹣2． ∴﹣2≤a＜6且a≠2． ∵a为整数， ∴a＝﹣2、﹣1、0、1、3、4、5， （﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5＝10． 故符合条件的所有整数a的和是10． 27．已知关于x的分式方程1的解是负数，求m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】表示出分式方程的解，由解为负数确定出m的范围即可． 【解答】解：分式方程1， 去分母得：m﹣2＝x+1， 解得：x＝m﹣3， 由分式方程的解为负数，得到m﹣3＜0且m﹣3≠﹣1， 解得：m＜3且m≠2． 28．老师在黑板上书写了一个正确的等式，随后用一张纸挡住了一个实数，其形式如下： □ （1）求被挡住的实数； （2）若这个实数是方程m的根，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据乘法与除法的互逆性可求遮挡实数； （2）把x＝3代入解方程即可． 【解答】解：（1）33， ∴被挡住的实数是3； （2）当x＝3时， 化为m， m． 29．，若方程无解，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1）得：2（x+2）+mx＝x﹣1， 整理得：（m+1）x＝﹣5， 当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1； 当m+1≠0时，若方程无解，则原方程有增根， ∵原分式方程有增根， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， 解得：x＝﹣2或x＝1， 当x＝﹣2时，m；当x＝1时，m＝﹣6， ∴m的值为﹣1或﹣6或． 30．已知：不等式组 （1）解这个不等式组，并把它在数轴上表示出来． （2）关于x的分式方程的解是不是这个不等式组的整数解． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先求出不等式组的解集，然后在数轴上表示不等式组的解集； （2）先求出分式方程的解，再判断即可． 【解答】解：（1）解不等式0，可得：x＞﹣1， 解不等式2（x+5）≥6（x﹣1），可得：x≤4， 所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤4． 解集在数轴上表示为： 所以原不等式组的解集为：﹣1＜x≤4； （2）去分母，得：x（x﹣3）+6＝x+3， 整理，得：x2﹣4x+3＝0， 解这个整式方程，得：x1＝1，x2＝3， 经检验：x＝3是方程的增根，x＝1是原方程的根． x＝1是不等式组的整数解． 31．①分解因式：（p﹣4）（p﹣1）+p ②解方程：1 【答案】见试题解答内容 【分析】①先做乘法，再合并同类项后用完全平方公式因式分解； ②按解分式方程的步骤求解即可． 【解答】解：①原式＝p2﹣5p+4+p ＝p2﹣4p+4 ＝（p﹣2）2 ②方程两边同乘（x﹣1）（x+2）， 得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3 化简，得x+2＝3 解得x＝1 检验：x＝1时（x﹣1）（x+2）＝0， x＝1不是分式方程的解， 所以，原分式方程无解． 32．阅读理解： 关于x的方程：xc的解为x1＝c，x2 xc（可变形为xc）的解为x1＝c，x2 xc的解为x1＝c，x2，xc的解为x1＝c，x2 （1）归纳结论：根据上述方程与解的特征，得到关于x的方程xc（m≠0）的解为　x1＝c，x2　． （2）应用结论：解关于y的方程y﹣a 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可； （2）方程变形后，利用得出的结论求出解即可． 【解答】解：（1）仿照题意得：方程解为x1＝c，x2； 故答案为：x1＝c，x2； （2）方程变形得：y﹣1a﹣1， ∴y﹣1＝a﹣1或y﹣1， 解得：y1＝a，y2． 33．观察下列各式，， （1）请用含字母m（m为正整数）的等式表示如上的一般规律； （2）仿照以上方法可推断　　； （3）仿照以上方法解方程：． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）观察已知等式得到一般性规律，写出即可； （2）仿照以上方法作出推断即可； （3）仿照以上方法求出分式方程的解即可． 【解答】解：（1）根据题意得：（m≥2的正整数）； （2）根据题意得：； （3）方程整理得：，即， 去分母得：x﹣1＝2x﹣8， 解得：x＝7， 经检验x＝7是分式方程的解． 故答案为： 34．（1）解方程： （2）若分式方程无解，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，确定出a的值即可． 【解答】解：（1）去分母得：3x+9＝5x+5， 解得：x＝2， 经检验是方程的根； （2）去分母得（3﹣a）x＝4﹣2a， 分两种情况讨论： ①当分式有增根时，即x（x﹣2）＝0，得x＝0或2，当x＝0时，a＝2，当x＝2时得6＝4，不成立，即x不能等于2； ②当方程（3﹣a）x＝4﹣2a无解时，即3﹣a＝0，a＝3； 所以原方程无解时a＝2或3． 35．整体思想就是通过研究问题的整体形式从而对问题进行整体处理的解题方法． 如此题设“a，b”得方程解得∴ 利用整体思想解决问题：采采家准备装修一厨房，若甲，乙两个装修公司，合做需6周完成，甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，求甲、乙公司单独完成装修任务各需多少周？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，依题意得分式方程组，换元后得关于a和b的二元一次方程组，解得a和b，再根据倒数关系可得x和y的值，从而问题得解． 【解答】解：设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，依题意得： 设a，b，原方程化为： ②×3﹣①×2得： 27b﹣12b＝1 ∴b ③ 将③代入②得： 4a+91 ∴a ∴ 经检验，x＝10，y＝15是原方程的解． ∴甲公司单独完成需10周，乙公司单独完成需15周． 36．用换元法解方程：（）26＝0 【答案】见试题解答内容 【分析】设y，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0，解得y1＝2，y2＝3，解分式方程即可得到原方程的解． 【解答】解：， 设y，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0， 解得y1＝2，y2＝3， 当y1＝2时，2， 解得x， 经检验，x是原方程的解； 当y2＝3时，3， 解得x， 经检验，x是原方程的解； ∴原方程的解为：，，，． 37．解方程：． 【答案】见试题解答内容 【分析】因为3，所以可设y，然后对方程进行整理变形． 【解答】解：设y，则原方程化为：y2＝0， 整理，得y2+2y﹣3＝0， 解得：y1＝﹣3，y2＝1． 当y1＝﹣3时，3，得：3x2+2x+3＝0，则方程无实数根； 当y2＝1时，1，得：x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1； 经检验x＝1是原方程的根， 所以原方程的根为x＝1． 38．用换元法解方程：0． 【答案】见试题解答内容 【分析】设x2+3x＝y， 则原方程化为：y+70，求出y1＝﹣2，y2＝﹣5，当y1＝﹣2时，x2+3x＝﹣2，求出方程的解；当y2＝﹣5时，x2+3x＝﹣5，根据b2﹣4ac＜0，求出此时方程无解；最后把求出的x代入原方程进行检验即可． 【解答】解：设x2+3x＝y， 则原方程化为：y+70， 解得：y2+7y+10＝0， y1＝﹣2，y2＝﹣5， 当y1＝﹣2时，x2+3x＝﹣2， x2+3x+2＝0， （x+1）（x+2）＝0， x1＝﹣1，x2＝﹣2； 当y2＝﹣5时，x2+3x＝﹣5， x2+3x+5＝0， b2﹣4ac＝32﹣4×1×5＜0， 此时方程无解； 经检验x1＝﹣1，x2＝﹣2都是原方程的解， 即原方程的解是x1＝﹣1，x2＝﹣2． 39．解方程：3x25x20 【答案】见试题解答内容 【分析】设xy，方程变形后求出y的值，即可确定出x的值． 【解答】解：3x25x3（x）2+18+5（x）＝20， 设xy， 方程变形得：3y2+5y﹣2＝0， 解得：y1＝﹣2，y2， ∴x或x2， 解得：x或x＝﹣3，x＝1， 经检验：x或x＝﹣3，x＝1是分式方程的根． 40．已知关于x的分式方程 （1）若方程的增根为x＝1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】方程去分母转化为整式方程， （1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可； （2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值； （3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可． 【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1）， 去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1， 移项合并得：（m+1）x＝﹣5， （1）∵x＝1是分式方程的增根， ∴1+m＝﹣5， 解得：m＝﹣6； （2）∵原分式方程有增根， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， 解得：x＝﹣2或x＝1， 当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6； （3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1； 当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m， 综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5． 41．若关于x的方程有增根，试求k的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣3＝0，所以增根是x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值． 【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得 k+2（x﹣3）＝4﹣x， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣3＝0，即增根为x＝3， 把x＝3代入整式方程，得k＝1． 42．关于x的方程：1． （1）当a＝3时，求这个方程的解； （2）若这个方程有增根，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把a的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值． 【解答】解：（1）当a＝3时，原方程为1， 方程两边同时乘以（x﹣1）得：3x+1+2＝x﹣1， 解这个整式方程得：x＝﹣2， 检验：将x＝﹣2代入x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0， ∴x＝﹣2是原方程的解； （2）方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4， 当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0， 解得：x＝1， 将x＝1代入整式方程得：a+1+2＝0， 解得：a＝﹣3， 综上，a的值为﹣3． 43．关于y的方程：1有增根，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出m的值即可． 【解答】解：分式方程变形得：1， 两边同时乘以（y﹣2）得：﹣3＝4+m+y﹣2， 整理得：m+y＝﹣5， ∵方程有增根，∴y＝2， ∴m+2＝﹣5， ∴m＝﹣7． 44．解关于x的方程时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据方程的增跟适合整式方程，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：方程去分母后得：（k+2）x＝﹣3，分以下两种情况： 令x＝1，k+2＝﹣3，∴k＝﹣5 令x＝﹣2，﹣2（k+2）＝﹣3，∴k， 综上所述，k的值为﹣5，或． 45．计算 （1）已知：，且2a﹣b+3c＝23，求a，b，c的值． （2）关于x的分式方程有增根，求k的值． 【答案】（1）a，b，c； （2）k为任何实数． 【分析】（1）根据已知得出ab﹣2，cb﹣5，代入2a﹣b+3c＝23，求出b即可； （2）去分母得出方程x+2+k（x﹣2）＝4，求出方程x+2＝0，x﹣2＝0的解，代入以上方程求出即可． 【解答】解：（1）∵， ∴a+2b，c+5b， ∴ab﹣2，cb﹣5， 代入2a﹣b+3c＝23得：2（b﹣2）﹣b+3（b﹣5）＝23， 解得：b， ∴a，c； （2） ， 去分母得：x+2+k（x﹣2）＝4， ∵关于x的分式方程有增根， ∴x+2＝0，x﹣2＝0， ∴x＝2或x＝﹣2， ①当x＝2时，代入x+2+k（x﹣2）＝4得：2+2+k（2﹣2）＝4，由于k的系数为0，等式恒成立，故k∈R； ②当x＝﹣2时，代入x+2+k（x﹣2）＝4得：﹣2+2+k（﹣2﹣2）＝4，解得：k＝﹣1， 综合上述：k为任何实数． 46．若方程2有增根，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）2）＝0，得到x＝﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【解答】解：方程的两边都乘以（x+1）2，得 m+2x（x+1）＝2（x+1）2． 化简，得 m＝2x+2 ∵原方程有增根， ∴最简公分母（x+1）2＝0， 解得x＝﹣1， 当x＝﹣1时，m＝2×（﹣1）+2＝0． 47．（1）当m为何值时，方程会产生增根． （2）当m为何值时，方程无解． （3）已知关于x的方程2的解为正数，求m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据分式方程增根的定义进行解答即可； （2）根据分式方程无解的两种进行解答即可； （3）先解分式方程，再根据解为正数，得出m的取值范围． 【解答】解：（1）∵方程会产生增根， ∴x2﹣1＝0， ∴x＝±1， 分式方程化为整式方程后得，2（x﹣1）﹣5（x+1）＝m， 当x＝1时，m＝﹣10； 当x＝﹣1时，m＝﹣4； ∴当m＝﹣10或﹣4时，方程会产生增根； （2）分式方程化为整式方程后得，3（x+2）+m（x﹣2）＝12，整理得，（3+m）x＝2m+6， 当3+m≠0时，x＝2，经检验x＝2是分式方程的增根， 当m＝﹣3时，方程有无数个解， ∴当m≠﹣3时，方程无解； （3）分式方程化为整式方程后得，x﹣2（x﹣3）＝m， 整理得，﹣x＝m﹣6， ∴x＝6﹣m， ∵关于x的方程2的解为正数， ∴6﹣m＞0且6﹣m≠3， m＜6，且m≠3， ∴m的取值范围m＜6，且m≠3； 48．（1）如表，方程1，方程2，方程3，…，是按照一定规律排列的一列方程．解方程1，并将它的解填在表中的空白处； 序号 方程 方程的解 1 x1＝ x 2＝ 2 x1＝4 x 2＝6 3 x1＝5 x2＝8 … … … … （2）若方程（a＞b）的解是x1＝6，x2＝10，求a、b的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ （3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）两边同时乘最简公分母x（x﹣2），可把分式方程化为整式方程来解答． （2）先将x1＝6，x2＝10分别代入方程，求得a、b的值．因此得到方程为，发现它是（1）中所给一列方程中的一个，是第4个． （3）先按照规律列出方程的第n个方程，再求解并检验． 【解答】解：（1）1，整理，得x2﹣7x+12＝0．解得x1＝3，x2＝4 经检验知，x1＝3，x2＝4是原方程的根． （2）将x1＝6，x2＝10分别代入1， 得， 消去a，整理得b2﹣17b+60＝0， 解得b1＝5，b2＝12． 当b1＝5时，a1＝12； 当b2＝12时，a2＝5． ∵a＞b， ∴． 经检验知，适合分式方程组． 所得方程为． 它是（1）中所给一列方程中的一个，是第4个． （3）这个方程的第n个方程为．（n≥1，n为整数） 它的解为x1＝n+2，x2＝2（n+1） 检验：当x1＝n+2时，左边 ＝2﹣1＝1＝右边 当x2＝2（n+1）时，左边1＝右边 所以，x1＝n+2和x2＝2（n+1）是方程的解． 49．解方程：． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察每一个分式的特点可以发现一定的规律，从而把分式化简，得到一个分式方程． 【解答】解：∵，， ∴原方程可化为： 即：，解得：x，经检验：x是原方程的解． 50．解下列分式方程（组）： （1）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【分析】若直接通分去分母，则使问题复杂化，对于（1）拆分、分步运算，化简后再解分式方程；对于（2）取倒数，逆用加法法则，关键是得出④． 【解答】解：（1）原式可化为 （5）+（1）＝（4）+（2）， 即， ∴， ∴（x﹣6）（x﹣8）＝（x﹣9）（x﹣19）， 即14x＝123， ∴x， 经检验x是原方程的解， 故x； （2）原方程可化为 ①，4②，5③， ①+②+③得 ④， ④﹣①得 c， ④﹣②得 a， ④﹣③得 b＝1， 经检验a，b＝1，c是原方程的解， ∴． 51．先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程： 的解为； 的解为； 的解为；… （1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是　　； （2）根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是　　； （3）把关于x的方程变形为方程的形式是　　，方程的解是　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）观察所给材料的规律方程解有两个，一般是一个整数，另一个是它的倒数，所以此方程的解就可以确定． （2）根据（1）的结论容易确定方程一个是x＝c，另一个是它的倒数； （3）首先把方程变形为，此时（x﹣1）相当于原来方程中的x，根据（1）就可以确定方程的解． 【解答】解：（1）； （2）； （3）∵方程变形为：1＝a﹣1 再变形为：， ∴， ∴x﹣1＝a﹣1，x﹣1， ∴． 52．阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （3）模仿上述换元法解方程：． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可． 【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为； （2）将代入方程，则原方程可化为； （3）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0 解得：y＝±1， 经检验：y＝±1都是方程的解． 当y＝1时，，该方程无解； 当y＝﹣1时，，解得：； 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 53．阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：0． 解：设y，则原方程化为：y0， 方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程y0的解， ∴当y＝2时，2，解得：x＝﹣1；当y＝﹣2时，2，解得：x， 经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题：（1）若在方程0中，设y，则原方程可化为：　y0　； （2）模仿上述换元法解方程：1＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据换元法，可得答案； （2）根据分式的加减，可得：0，根据换元法，可得答案． 【解答】解：（1）y0； （2）原方程化为：0， 设y，则原方程化为：y0， 方程两边同时乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1， 经检验：y＝±1都是方程y0的解． 当y＝1时，1，该方程无解； 当y＝﹣1时，1，解得：x． 经检验：x是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x． 54．已知实数x满足x23x8＝0，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】将x2变形为2，然后设xt，得到关于t的方程，最后解方程即可． 【解答】解：∵x22， ∴原方程可变形为． 设，则原方程可变形为t2﹣3t﹣10＝0， 解得：t1＝5，t2＝﹣2． ∴或． 55．Ⅰ．解不等式组并把解集在数轴上表示出来． Ⅱ．解方程x2﹣2x8． 【答案】见试题解答内容 【分析】Ⅰ．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，得到不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将解集在数轴上表示出来； Ⅱ．采用换元法，首先设x2﹣2x＝y，然后解此分式方程求y，再解关于x的一元二次方程．结果需检验． 【解答】解：Ⅰ．， 解不等式①，得：x≥﹣1， 解不等式②，得：x＜2． 所以原不等式组的解集为﹣1≤x＜2． 在数轴上表示如下： Ⅱ．设y＝x2﹣2x，则原方程可化为y8， 方程的两边都乘以y，约去分母，并整理，得y2﹣8y+7＝0． 解这个方程，得y1＝1，y2＝7． 当y＝1时，由x2﹣2x＝1，得x＝1±； 当y＝7时，由x2﹣2x＝7，得x＝1±2． 经检验，x＝1±和x＝1±2都是原方程的根． 所以原方程的解为x1＝1，x2＝1，x3＝1+2，x4＝1﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 $$