4.5.1函数的零点与方程的解 教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1 《函数的零点与方程的解》教学设计 河北灵寿中学-吴紫鑫 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 课题 4.5.1 《函数的零点与方程的解》 教材分析 1、教材来源：2019年人教A版新教材《普通高中教科书》数学必修第一册第四章第五节函数的应用(二)第一小节。 2、地位与作用：函数零点存在定理提供了判断方程是否存在实数解的一个新工具，为下一小节建立求方程的近似解提供理论依据;同时教材编排上进一步采用从特殊到一般的方式，帮助学生从函数的观点认识方程。 学情分析 学生在第二章时就初步接触了零点的概念，为本节课打下基础，学生通过对二次函数，指数函数，对数函数等函数的学习，已经具备观察图象简单特征的能力.本节通过与定理有关的一些正例、反例的图象来帮助学生加深对定理的理解。 教学目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系，培养学生数学抽象的核心素养。 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间，培养学生逻辑推理的能力。 3.能借助函数的单调性及图象判断零点个数，培养学生直观想象的核心素养。 4.在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方程思想，数形结合思想；把从特殊函数零点存在的判定方法上升到一般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。 教学重难点 教学重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用。 教学难点：函数零点存在定理的探究过程。 教学过程 教学环节 教学内容 师生活动，设计意图 情境导入 观看关于中外历史上解方程的视频。 带领学生了解中外历史上的方程解法，在课堂中融入数学历史，帮助学生认识数学，形成正确的数学观。 任务一：函数零点的概念 问题1:什么是二次函数y=a+bx+c的零点？ 问题2:类比二次函数y=a+bx+c的零点，写出一般函数y=f(x)的零点？ 追问:零点是点吗？ 问题3:类比一元二次方程a+bx+c=0有实数解 二次函数y=a+bx+c有零点 一元二次函数y=a+bx+c图象与x轴有公共点”，写出一般函数y=f(x)对应三者之间的关系？ 通过问题探究，使学生深入理解函数零点的概念，由特殊到一般，由具体到特殊，培养数学抽象的核心素养。 例1：求下列函数的零点 1.f(x)=1+ 2.f(x)=log2x 通过例题，巩固对函数的零点及方程的解的关系的理解，使学生掌握求函数零点的方法，强化数学抽象，数学运算的核心素养。 任务二：探究零点存在定理 观察二次函数f(x)=−2x−3的图象，思考下列问题。 问题1:函数的零点是什么？ 问题2:观察到零点x=-1所在区间为(-2,0),零点x=3 所在区间为(2,4)。思考:区间端点的函数值之间具有怎样的关系？ 问题3:在问题2基础上，函数图象与x轴有什么关系？ 问题4:通过上述问题的研究，思考我们怎样判断二次函数f(x)=−2x−3在区间（2，4）是否存在零点？ 问题5:由特殊到一般，思考我们怎样判断函数f(x)在区间（a,b）上是否存在零点？ 思考：如果f(a)·f(b) ＜ 0，但图象是不连续的,函数f(x)在（a,b）上一定有零点吗?（画图分析） 函数零点存在定理：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。 思考：由函数零点存在定理可以得到f(x)在区间(a，b)内存在零点，那么我们能不能确定存在多少个零点？ 探究：已知f(x)在[a,b]上连续，回答下列问题： 问题1：f(x)在(a,b)上有零点，是不是一定说明f(a)·f(b)＜0？（画图分析） 问题2：f(a)·f(b)＜0是f(x)在(a,b)上有零点的（）？A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 通过探究二次函数在区间端点上的函数值之积的特点，引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法，在此基础上给出函数零点存在定理。培养学生逻辑推理的核心素养。 通过探究理解f(a)·f(b)＜0是f(x)在(a,b)上有零点的充分不必要条件 任务三：函数零点存在定理的应用 例2：由下表判断函数f(x)=lnx+2x-6零点所在区间为（ ）A.(1，2） B.（2，3） C.（3，4） D（4，5） 探究：在零点存在定理的基础上再加上什么条件就可以判断出f(x)在区间(a,b)上只有一个零点？（画图分析） 函数零点存在定理的推论 例2变式：求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数。 通过例题及其变式，巩固对函数零点存在定理及推论的理解。通过探究函数零点存在定理的推论，增强学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。 巩固练习 1. 函数 f(x)=ln x−的零点所在的大致区间( ). A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (e,+∞) 2.函数 f(x)=− 的零点有____个. 3.若函数f(x)=x^2+ax+b的两个零点是−1，4，则函数g(x)=bx−a的零点是多少？ 通过练习，巩固本节课所学知识，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 课堂小结 本节课你有什么收获？（可以从知识、思想两方面考虑） 作业 1.导学案：161页-163页2.思考：函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在区间为（2，3），借助计算工具，你能进一步缩小零点所在的范围吗? 学科网（北京）股份有限公司 $$