4.5.1函数的零点与方程的解导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

《4.51函数的零点与方程的解》导学案 河北灵寿中学-吴紫鑫 【学习目标】 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系。（数学抽象） 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间。（逻辑推理） 3.能借助函数的单调性及图象判断零点的个数。（直观想象） 【任务一：函数零点的概念】 问题1:什么是二次函数y=a+bx+c的零点？ 问题2:类比二次函数y=a+bx+c的零点，写出一般函数y=f(x)的零点？ 追问:零点是点吗？ 问题3:类比一元二次方程a+bx+c=0有实根 二次函数y=a+bx+c有零点 一元二次函数y=a+bx+c图象与x轴有公共点”，写出一般函数y=f(x)对应三者之间的关系？ 例1：求下列函数的零点 1.f(x)=1+ 2.f(x)=log2x 【任务二：探究零点存在定理】 观察二次函数f(x)=−2x−3的图象，思考下列问题. 问题1:函数的零点是什么？ 问题2:观察到零点x=-1所在区间为(-2,0),零点x=3所在区间为(2,4)。思考:区间端点的函数值之间具有怎样的关系？ 问题3:在问题2的基础上，函数图象与x轴有什么关系？ 问题4:通过上述问题的研究，思考我们怎样判断二次函数f(x)=−2x−3在区间（2，4）是否存在零点？ 问题5:由特殊到一般，思考我们怎样判断函数f(x)在区间（a,b）上是否存在零点？ 思考：如果f(a)·f(b) 但图象不连续,函数f(x)在（a,b）上一定有零点吗?（画图分析） 函数零点存在定理：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。 思考：由函数零点存在定理可以得到f(x)在区间(a，b)内存在零点，那么我们能不能确定存在多少个零点？ 探究：已知f(x)在[a,b]上连续，回答下列问题： 问题1：f(x)在(a,b)上有零点，是不是一定说明f(a)·f(b)＜0？（画图分析） 问题2：f(a)·f(b)＜0是f(x)在(a,b)上有零点的（ ）？ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 【任务三：函数零点存在定理的应用】 例2：由下表判断函数f(x)=lnx+2x-6零点所在区间为（ ） A.(1，2） B.（2，3） C.（3，4） D（4，5） 探究：在零点存在定理的基础上再加上什么条件就可以判断出f(x)在区间(a,b)上只有一个零点？（画图分析） 函数零点存在定理的推论 例2变式：求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数。 【巩固练习】 1.函数 f(x)=ln x−的零点所在的大致区间是( ). A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (e,+∞) 2.函数 f(x)=− 的零点有____个. 3.若函数f(x)=+ax+b的两个零点是−1，4，则函数g(x)=bx−a的零点是多少？ 【课堂小结】 本节课你有什么收获？（可以从知识、思想两方面考虑） 【作业】1.导学案：161页-163页 2.思考：例2中函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在区间为（2，3），借助计算工具，你能进一步缩小零点所在的范围吗? 学科网（北京）股份有限公司 $$