4.5.1函数的零点与方程的解　课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

指数函数与对数函数 4.5.1函数的零点与方程的解 河北灵寿中学-吴紫鑫 【学习目标】 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系。（数学抽象） 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间。（逻辑推理） 3.能借助函数的单调性及图象判断零点的个数。（直观想象） 【情境导入】 问题1:什么是二次函数y=ax2+bx+c的零点？ P50 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 问题2:类比二次函数y=ax2+bx+c的零点，写出一般函数y=f(x)的零点？ 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 特殊 一般 追问:零点是点吗？ 零点不是点，是实数. 【任务一：函数零点的概念】 问题3:类比一元二次方程ax2+bx+c=0有实数解二次函数y=ax2+bx+c有零点一元二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有公共点”，写出一般函数y=f(x)对应三者之间的关系？ 例1：求下列函数的零点 1.f(x)=1+ 2. [解析] 1.令 ，解得 . 2.令 ，解得 . 观察二次函数 问题1:函数的零点是什么？ 问题2:观察到零点x=-1所在区间为(-2,0), 零点x=3所在区间为(2,4)。思考:区间端 点的函数值之间具有怎样的关系？ 问题3:在问题2的基础上，函数图象与x轴有什么关系？ 的图象，思考下列问题。 【任务二：探究零点存在定理】 问题4:通过上述问题的研究，思考我们怎样 判断二次函数在区间 （2，4）是否存在零点？ 问题5:由特殊到一般，思考我们怎样判断 函数f(x)在区间（a,b）上是否存在零点？ 0 y x 0 y x 思考：如果f(a)·f(b) ＜ 0，但图象是不连续的,函数f(x)在（a,b）上一定有零点吗?（画图分析） 端点函数值异号f(a)·f(b) ＜ 0 + 函数f(x)在[a,b]上连续 函数有零点 函数零点存在定理：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。 思考：由函数零点存在定理可以得到f(x)在区间(a，b)内存在零点，那么我们能不能确定存在多少个零点？ 函数零点存在定理：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。 探究：已知f(x)在[a,b]上连续，回答下列问题： 问题1：f(x)在(a,b)上有零点，是不是一定说明f(a)·f(b)＜0？ （画图分析） 问题2：f(a)·f(b)＜0是f(x)在(a,b)上有零点的（ ）？ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 例2：由下表判断函数f(x)=lnx+2x-6零点所在区间为（ ） A.(1，2） B.（2，3） C.（3，4） D（4，5） 【任务三：函数零点存在定理的应用】 探究：在零点存在定理的基础上再加上什么条件就可以判断出f(x)在区间(a,b)上只有一个零点？（画图分析） 函数f(x)在[a,b]上连续 f(a)·f(b) ＜ 0 函数f(x)在区间[a,b]内单调 函数f(x)在区间（a,b)有唯一零点 + + x y O b a 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b) ＜ 0,且f(x)是单调函数,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点，即存在唯一的c(a,b)，使得f(c)=0. 函数零点存在定理的推论 例2变式：求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数。 解析： 例2变式：求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数。 解析： 【巩固练习】 1.函数 的零点所在的大致区间是( @44@ ). A. B. C. D. [解析] 由题意知， 在定义域 上单调递增. ， ，∴在 内 无零点. 又 ， ， 在 内有零点. 同理可知 在 ， 内均无零点. 2.函数 的零点有____个. [解析] 根据 和 的图象交点情况可知,零点只有一个. 3.若函数f(x)=多少？ 【课堂小结】 本节课你有什么收获？（可以从知识、思想两方面考虑） 一个关系：函数零点与方程解的关系 两种思想：函数与方程思想、数形结合思想 三种题型：求函数的零点、求零点所在区间、确定零点的个数 【作业】 1.导学案：161页-163页 2.思考：例2得到函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在区间为（2，3），借助计算工具，你能进一步缩小零点所在的范围吗？ Lavf58.20.100 $$