3.1.1 函数的概念（第三课时）-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修一）

第 3 章 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念（第三课时） 人教A版2019必修第一册 教学目标 1.掌握函数的三要素，能够在一个函数中找到三要素的关系； 2.熟练掌握求函数定义域的方法，熟悉抽象函数的定义域； 3.能够根据定义域求值域，掌握常用的求值域的方法。 情景导入 01 情境导入 思考：一个任意的三角形3个内角之和等于180°，如果已知其中两个角的角度，能否得到第三个角的角度？ 角A=60° 角C=? 角B=60° 三角形内角关系是：知二求一 情景导入 1.函数的定义：设A、B是非空数集，如果对于集合A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合B中都有唯一确定的数y 和它对应，就称f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f(x) , x∈A 2.函数三要素：定义域、对应关系、值域 类似于三角形内角和关系 已知解析式求函数定义域 02 例1.函数(x)=的定义域为（ ） A． B． C．R D． 概念讲解 【解析】要使函数有意义，则 解得且， 故函数的定义域为 ， 故选B. 分母不为零 二次根号下代数式不小于零 B 概念讲解 归纳小结 已知的解析式，求的定义域的方法 （1）若为整式，则其定义域为实数集R. （2）若是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合. （3）若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合. （4）若是由几部分数学式子构成的，则其定义域是使各部分数学式子都有意义的实数的集合，即交集. （5）＝的定义域是{∈R｜≠0}. 概念讲解 概念讲解 抽象函数定义域 03 概念讲解 例2(1)若函数f(x)的定义域为[1,4]，求函数f(x+2)的定义域。 (2)已知函数f(1-x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域. 方法指导　(1)定义域是x的取值范围,f(x)中的x与f(x+2)中的2x+1是相对应的; (2)f(x)中的x与f(1-x)中的1-x对应. 概念讲解 解：（1）因为f (x)的定义域为[1,4]， 所以要使函数f (x+2)有意义，需满足 1≤x+2≤4， 即-1≤x≤2，所以函数f(x+2)的定义域为[-1,2]. 说明： ①定义域指的是自变量x的范围； ②同一道题中f（ )括号内整体的范围一致. 概念讲解 归纳总结 两类抽象函数的定义域的求法 (1)已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域:若f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))中a≤g(x)≤b,从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域.(2)已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域:若f(g(x))的定义域为[a,b],即a≤x≤b,求得g(x)的取值范围,g(x)的值域即为f(x)的定义域. 概念讲解 A 函数的值域 04 概念讲解 思考1:函数y=x+1,x∈{1,2,3,4,5}的值域是什么? 因为x∈{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}. 思考2：求y=x2+1的值域 根据二次函数的图象可知y≥1,所以值域为[1,+∞). 概念讲解 1.求下列函数的值域： ①y＝x＋1； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； ③y＝； ④y＝2x－. ①(观察法)∵x∈R，∴x＋1∈R，即函数值域是R.②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∵x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)． 概念讲解 概念讲解 常见的函数值域求法： (1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到; (2)图像法:对于简单基础函数，可结合图像研究值域; (3)分离常数法:将形如的有理分式变形转化为“反比例函数类”的形式或变形为后结合不等式的性质求值域; (4)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b±),通过换元令; (5)基本不等式法:函数解析式满足基本不等式的条件,可直接使用基本不等式求最值. 概念讲解 课堂小结 05 课堂小结 练习：求下列函数的定义域,并用区间表示. (1)y=; (2)y=; (3)y=; 解 (1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠-1,即函数定义域为(-∞,-1)∪(-1,1]. (2)要使函数有意义,须使-x2+2x+8≥0, 解得-2≤x≤4,因此函数的定义域为[-2,4]. (3)要使函数有意义,需 所以x2=1,从而函数的定义域为{1,-1}. (2) 因为函数f (1-x)的定义域为[1,3],所以x∈[1,3], ∴1-x∈[-2,0],所以函数f(x)的定义域为[-2,0]. ∴2x+1∈[-2,0],得-2≤2x+1≤0,解得-≤x≤-, ∴f (2x+1)的定义域为. 练习：已知f（x）＝ ，则f（3x-2）的定义域为 （　　） A. B. C.［-3，1］ D. 解：对于函数f（x）＝ ，-x2+2x+3≥0， 即x2-2x-3≤0， 解得-1≤x≤3，所以函数y＝f（x）的定义域为［-1，3］. 对于函数y＝f（3x-2），由-1≤3x-2≤3，解得 ≤x≤ . 因此，函数y＝f（3x-2）的定义域为 .故选A. 思考3:函数y=x+(x<0)的值域如何求? 利用基本不等式求解,∵x<0,∴-x>0, ∴y=x+=-≤-2=-2,即其值域为(-∞,-2]. ③(分离常数法)y＝eq \f(3x－1,x＋1)＝eq \f(3x＋3－4,x＋1)＝3－eq \f(4,x＋1). ∵eq \f(4,x＋1)≠0，∴y≠3， ∴值域为{y|y∈R且y≠3}． ④(换元法)设t＝eq \r(x－1)，则t≥0且x＝t2＋1， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2＋eq \f(15,8)，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)). 练习：求下列函数的值域. (1)y=x2-4x+6,x∈[1,5); (2)y=x+. 解：(1)配方,得y=(x-2)2+2. ∵x∈[1,5), ∴结合函数的图象，可知,函数的值域为{y|2≤y<11}. (2)(换元法)设t=,则x=t2-1,且t≥0, ∴y=t2+t-1=-, 由t≥0,再结合函数的图象,可得函数的值域为[-1,+∞). $$