3.1.1 函数的概念（第一课时）-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修一）

第 3 章 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念（第一课时） 人教A版2019必修第一册 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用． 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 3．能够正确使用区间表示数集． 教学目标 情景导入 01 情景导入 客观世界中有各种各样的运动变化现象． 例如，天宫二号在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低；我国高速铁路营业里程逐年增加，已突破２万公里…… 所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述， 并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律． 情景导入 思考1.在初中我们学习了哪些基本函数？其解析式分别是什么？ 思考2.初中阶段对函数是怎样定义的？ 正比例函数： 反比例函数： 一次函数： 二次函数： 在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数. 本节我们将在集合的基础上，用新的观点进一步学习函数的概念. 现实中的函数关系 02 概念讲解 问题1.某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。 不正确。忽略了t的变化范围 数集A 数集B 一一对应 思考1：这段时间内列车行进的路程s（单位：km)，与运行时间t(单位:h)的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？ s=350t① 满足函数要求，是一个函数 思考2：如果有人说:“根据对应关系s=350t，这趟列车加速到350 km/h 后，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？ 思考3：你认为如何表述s与t的对应关系才是更为精确的？ 对应关系应为S=350t，其中， 概念讲解 问题2.某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。 思考：你认为该怎样确定一个工人的每周所得？一个工人的工资W是他工作天数的d的函数吗？w与d的对应关系是怎样的？ 数集A 数集B 一一关系 工资是一周工作天数的函数，对应关系为w=350d,其中， 概念讲解 问题3：图中是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图。 思考1：如何根据该图确定这一天内任意时刻t的空气质量指数（AQI）的值I？ 思考2：你认为这里的I是t的函数吗？如果是你能仿照前面的方法描述I与t的对应关系吗？ 对应关系可以由图象得出 I是t的函数，t的变化范围是 ，I的范围是 数集A 数集B 一一对应 概念讲解 问题4.国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。 y的取值范围是 恩格尔系数r是年份y的函数 数集A 数集B 一一对应 思考：你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？ r的取值范围是 概念讲解 思考：上述问题一至问题四中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特征吗？ 共同特征: (1)都包含两个非空数集用A,B来表示 (2)都有一个对应关系 (3)尽管对应关系的表示方法不同，但他们都有如下的特征，对于数集A中的任意，一个数x，按照对应关系在数集B中都有唯一确定的y值和它对应 函数的概念及特征 03 概念讲解 函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 定义 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集. 概念讲解 函数概念理解 (1)对数集的要求：集合A，B为非空数集． (2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性（即定义域中的每一个元素都有函数值），集合B中的数具有唯一性（每一个自变量都有唯一的函数值与之应）． (3)对符号“”的认识：它表示对应关系，它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格、也可以是文字描述，在不同的函数中的具体含义不一样． (4)一个区别：是一个符号，不表示与的乘积，而表示函数当自变量=时的一个函数值． 例如：y=3x+1可以写成 f(x)= 3x+1,当x=2时y=7可以写成f(2)=7 概念讲解 一、函数的三要素 (1)定义域A （2）对应关系 （3）值域{|} 二、函数的四个特征 ①非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空集合并且是数集 ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系.但是，从值域到定义域的话，新的对应关系就不一定是函数关系. 概念辨析 例1.下图中能表示函数关系的是______． 1 3 2 4 1 2 3 4 1 62 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 ① ② ③ ④ ①④ 解析：非空性、任意性、唯一性 每一个x，对应唯一一个y 概念辨析 例2.下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是______．(填序号) ④ ① ② ③ ④ 概念辨析 ◆定义法判断函数关系 判断对应关系是否为函数，主要看以下三个方面： 1.A，B必须是非空数集； 2.A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应； 3.A中任何一个元素在B中必须有唯一一个元素与其对应. 概念辨析 例3.若集合，，则下图给出的对应能构成从M到N的函数：的是(　　) D 概念辨析 ◆判断所给图形是否为函数图象的方法 过图形上任一点作x轴的垂线，若该垂线与图形无任何其他的公共点，则此图形是函数的图象，否则该图形一定不是函数的图象. 函数的应用 04 概念讲解 思考：对照函数的定义，试着写出一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域。 反比例函数 一次函数 二次函数 a > 0 a < 0 图像 定义域 值域 概念讲解 函数的解析式是舍弃问题的实际背景抽象而来的，它所反映的是两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例4.试着构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式描述 解：把看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B={|} 对应关系把R中的任意一个实数，对应到B中唯一确定的数 如果对的取值范围作出限制，例如，那么可以构建如下情景： 长方形的周长为20，设一边长为，面积为，那么。其中，的取值范围是A={}， 的取值范围是B={|}； 对应关系是把每一个长方形的边长，对应到唯一确定的面积 课堂小结 05 课堂小结 $$