1.4.2 充要条件-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）原卷版

1.4.2　充要条件（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】充要条件的判断与探求 2 【题型二】充要条件的证明 4 【题型三】充要条件的应用 4 【当堂温习】 5 【分层练习】 6 考试要求： 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 素养要求： 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 自主预习 一、逆命题的概念 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 二、充要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题 推出关系 p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 三、条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 pq，且q p p是q的既不充分也不必要条件 题型研析 【题型一】充要条件的判断与探求 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·上海·期中）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（23-24高一上·山东菏泽·期中）下列四个命题中的假命题为（    ） A．集合与集合是同一个集合 B．“为空集”是“与至少一个为空集”的充要条件 C．对于任何两个集合A，B，恒成立 D．，，则 4．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）实数，满足“”是“”的 条件． 6．（24-25高一·上海·课堂例题）生活中，我们还常用“水滴石穿”“有志者，事竟成”“坚持就是胜利”等语句来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力.在这些语句里，“石穿”“事成”“胜利”分别是“水滴”“有志”“坚持”的 条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步. 解题策略： 判定条件关系： (1)分清楚条件是什么，结论是什么； (2)尝试用条件推结论，或用结论推条件(或举反例)； (3)下结论. 探求充要条件的两种方法： (1)等价法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的. (2)非等价法：先寻找必要条件，再找充分条件，从必要性和充分性两方面说明. 【题型二】充要条件的证明 一、解答题 1．（23-24高一·上海·课堂例题）下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若集合，．证明：集合与不可能相等． 5．（23-24高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 6．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 解题策略： 一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. 【题型三】充要条件的应用 一、单选题 1．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题，成立的充要条件是 D．“”是“”的充分必要条件 4．（23-24高一上·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 6．（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 解题策略： 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 当堂温习 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁鞍山·阶段练习）若，，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·广东深圳·期中）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 三、填空题 5．（2023高一·全国·专题练习）设，则“”是“”的 条件. 6．（22-23高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 4．（24-25高一·上海·课堂例题）设有非空集合A、B、C，若“”的充要条件是“且”，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 二、多选题 5．（22-23高一下·四川达州·期中）“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有 （    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·福建泉州·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 7．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高一上·上海·课后作业）若集合，，则“”是“”的 条件． 9．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 10．（23-24高一上·江苏·课前预习）四种条件关系： （1）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”为假命题，那么是的 条件. （2）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”为真命题，那么是的 条件. （3）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”也为真命题，那么是的 条件. （4）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”也为假命题，那么是的 条件. 四、解答题 11．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 12．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）“”是“等式”的（　　） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件 二、多选题 2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）下列叙述中正确的是（    ） A．“”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“有实数解”的充要条件 D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件 三、填空题 3．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 四、解答题 4．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【培优篇】 一、单选题 1．（21-22高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 二、多选题 2．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）下列说法正确的是（    ）． A．， B．，都有 C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 三、填空题 3．（23-24高一上·福建·期中）已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2　充要条件（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】充要条件的判断与探求 2 【题型二】充要条件的证明 5 【题型三】充要条件的应用 9 【当堂温习】 11 【分层练习】 14 考试要求： 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 素养要求： 针对充要条件问题，通过几个数学定义的研究比较，学生经历梳理知识、提炼定义、感悟思想的学习过程，提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 自主预习 一、逆命题的概念 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 二、充要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题 推出关系 p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 三、条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 pq，且q p p是q的既不充分也不必要条件 题型研析 【题型一】充要条件的判断与探求 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·上海·期中）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（23-24高一上·山东菏泽·期中）下列四个命题中的假命题为（    ） A．集合与集合是同一个集合 B．“为空集”是“与至少一个为空集”的充要条件 C．对于任何两个集合A，B，恒成立 D．，，则 4．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）实数，满足“”是“”的 条件． 6．（24-25高一·上海·课堂例题）生活中，我们还常用“水滴石穿”“有志者，事竟成”“坚持就是胜利”等语句来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力.在这些语句里，“石穿”“事成”“胜利”分别是“水滴”“有志”“坚持”的 条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步. 参考答案： 1．A 【分析】利用充分、必要条件的概念计算即可. 【详解】由可以得出，满足充分性， 而可得，不满足必要性，即A正确. 故选：A 2．B 【分析】根据给定条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】依题意，“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立， 所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B 3．ABD 【分析】根据集合、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，集合，集合， 所以两个集合不是同一个集合，所以命题是假命题. B选项，当“为空集”时，可能， 此时都不是空集，所以命题是假命题. C选项，根据交集和并集的定义可知，恒成立，命题是真命题. D选项，由于集合的元素不相同，所以两个集合不相等，所以命题是假命题. 故选：ABD 4．AB 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】依题，四个命题的关系图可化为：. 则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确； ，甲是丙的充分不必要条件，B正确； 若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件， C错误； ，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误. 故选：AB 5．充分不必要 【分析】根据两个方程的解集作判断即可. 【详解】由，得此时，充分性成立； 由，得或，此时不一定成立，必要性不成立. 故答案为：充分不必要. 6．必要非充分 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】由“石穿”、“事成”、“胜利”不能推出“水滴”、“有志”、“坚持”, 如“石穿”可能推出“化学腐蚀”； 由“水滴”、“有志”、“坚持”能推出“石穿”、“事成”、“胜利” 如“水滴”可以推出“石穿”； 综上所述, “石穿”、“事成”、“胜利”是“水滴”、“有志”、“坚持”必要非充分条件. 故答案为:必要非充分. 解题策略： 判定条件关系： (1)分清楚条件是什么，结论是什么； (2)尝试用条件推结论，或用结论推条件(或举反例)； (3)下结论. 探求充要条件的两种方法： (1)等价法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的. (2)非等价法：先寻找必要条件，再找充分条件，从必要性和充分性两方面说明. 【题型二】充要条件的证明 一、解答题 1．（23-24高一·上海·课堂例题）下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若集合，．证明：集合与不可能相等． 5．（23-24高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 6．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 参考答案： 1．(1)是的必要不充分条件； (2)是的充分不必要条件； (3)是的必要不充分条件； (4)是的充要条件； (5)是的必要不充分条件. 【分析】（1）举出菱形则正向无法推出，根据正方形性质可知反向可以推出，则得到与的关系； （2）根据全等的定义则得到正向可以推出，反向无法推出，则得到与的关系； （3）根据数的性质即可判断出与的关系； （4）根据集合之间的关系和充要条件的判断即可得到答案； （5）根据交集含义即可判断出与的关系. 【详解】（1）若四边形的四条边等长，四边形不一定是正方形，如菱形； 反之，若四边形是正方形，则其四条边等长，故是的必要不充分条件； （2）若与全等，则与的周长相等， 反之，若与的周长相等，两个三角形不一定全等； 故是的充分不必要条件； （3）若是2的倍数，则不一定是6的倍数，如； 反之，若是6的倍数，则一定是2的倍数，故是的必要不充分条件； （4）若，则，又由，则， 同理可得：，则有； 反之，若，一定有，，故是的充要条件； （5）当且时，有，但与不一定相等， 反之，若，一定有，故是的必要不充分条件. 2．证明见解析 【分析】利用充分必要条件的判断方法，结合初中几何知识即可得证. 【详解】①先证明充分性： 已知：四边形ABCD是平行四边形， 求证：四边形ABCD的对角线互相平分； 证明：设AC与BD交于点，如图示： 四边形ABCD是平行四边形， ，且，， ，， 四边形ABCD的对角线互相平分，即充分性得证； ②再证必要性： 已知：四边形ABCD的对角线互相平分， 求证：四边形ABCD是平行四边形； 证明：由已知可得，且，， ，，且，， 四边形ABCD是平行四边形，即必要性得证； 综上所述，"四边形ABCD是平行四边形"是"四边形ABCD的对角线互相平分"的充要条件. 3．证明见解析 【分析】由题意得，代入方程，因式分解可得方程有一个根为1，可证充分性；把代入方程，可得，可证必要性. 【详解】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 4．证明见解析 【分析】利用反证法，这两集合相等当且仅当两个端点相等，列出方程组导出矛盾即可得证. 【详解】假设集合，则且， 即且，这不可能． 故假设不成立，即集合与不可能相等． 5．证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 6．证明见解析 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解. 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 解题策略： 一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q. 【题型三】充要条件的应用 一、单选题 1．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题，成立的充要条件是 D．“”是“”的充分必要条件 4．（23-24高一上·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 6．（22-23高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 参考答案： 1．D 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 2．A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 3．BD 【分析】对A，先化简集合，然后根据条件来解即可； 对B， 根据充分必要条件的定义来判断即可； 对C， 问题转化为求在区间有解即可； 对D， 由化简即可判断. 【详解】对A， ，若，则， 当时，，当时，由或，或，故实数的集合为，故A不正确； 对B， “”不一定有“”，而“”一定有“”，“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对C，，成立，则化为：在区间有解，而在区间上的最小值为， ，故C不正确； 对D， ，且，“”是“”的充分必要条件，故D正确. 故选：BD 4．AB 【分析】由已知结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则. 故选：AB 5． 【分析】由命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集，再根据集合关系求解即可 【详解】因为p是q的必要而不充分条件， 所以命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集， 即或， 故或 故答案为：或 6．3 【分析】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值. 【详解】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 解题策略： 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 当堂温习 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁鞍山·阶段练习）若，，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·广东深圳·期中）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 三、填空题 5．（2023高一·全国·专题练习）设，则“”是“”的 条件. 6．（22-23高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 参考答案： 1．D 【分析】根据充分必要条件的定义一一判断求解. 【详解】对A，由，取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，A错误； 对B，由取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，B错误； 对C，由，取，则， 由，取，则， 所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 对D，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以是“”的一个充分不必要条件，D正确； 故选:D. 2．C 【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”， 所以，可得. 故选：C. 3．BD 【分析】先化简不等式，进而根据集合间的关系求解. 【详解】由可得， 设，则其必要不充分条件对应集合，则有是的真子集， 则BD选项符合． 故选：BD． 4．ACD 【分析】根据题意，可得或，再结合选项，即可得答案. 【详解】解：因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以  或 所以或， 即或. 故选：ACD. 5．充要 【分析】判断“”和“”之间的推出关系，即可得答案. 【详解】当时，可得，当时，也可得出， 故“”是“”的充要条件， 故答案为：充要 6． 【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）“” 是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 4．（24-25高一·上海·课堂例题）设有非空集合A、B、C，若“”的充要条件是“且”，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 二、多选题 5．（22-23高一下·四川达州·期中）“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有 （    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·福建泉州·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 7．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高一上·上海·课后作业）若集合，，则“”是“”的 条件． 9．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ． 10．（23-24高一上·江苏·课前预习）四种条件关系： （1）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”为假命题，那么是的 条件. （2）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”为真命题，那么是的 条件. （3）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”也为真命题，那么是的 条件. （4）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”也为假命题，那么是的 条件. 四、解答题 11．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）设集合． (1)，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 12．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 参考答案： 1．D 【分析】取特殊值，利用充分和必要条件的性质判断即可. 【详解】当时，满足，但不满足，故充分性不成立； 当时，满足，但不满足，故必要性不成立； 所以“” 是的既不充分又不必要条件， 故选：D. 2．D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 3．A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 4．B 【分析】根据集合关系，利用充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】解：若“”的充要条件是“且”， 则， 则，不一定， 但，一定得到， 则“”是“”的必要非充分条件． 故选：B． 5．CD 【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可. 【详解】若关于的不等式对恒成立， 当时，不等式为，满足题意； 时，则必有且 解得， 故的范围为， 故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合， 考查选项知满足条件. 故选： 6．ABD 【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；根据一元二次方程根的分布判断B的真假. 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件. 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B：“二次方程有一正根一负根”等价于“”，故B正确； 对C：由“且”可得“”，但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD 7．CD 【分析】由成立的充要条件求出对应的参数的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】当且仅当是的子集，当且仅当，即， 对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，. 故选：CD. 8．充分不必要 【分析】利用集合的性质证明充分性，举反例否定必要性即可. 【详解】由题意得，故充分性成立， 易得当时，满足，但不满足，故必要性不成立. 故答案为：充分不必要 9． 【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为一次函数的图像经过一、二、四象限， 则满足，解得， 即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是. 故答案为：. 10． 充分不必要 必要不充分 充分必要 既不充分也不必要. 【解析】略 11．(1)或 (2)或 【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案； （2）依题意可得，讨论集合是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果. 【详解】（1）当时，可得， 故可得或，而， 所以或 （2）由“”是“”的充分不必要条件可得； 当时，，解得，符合题意； 当时，需满足，且和中的等号不能同时取得， 解得； 综上可得，m的取值范围为或. 12．(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可； （2）利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】（1）∵是的必要不充分条件， ∴是A的真子集. ①当时，， ②当时，∴，解得. ∴实数的取值范围为. （2）由， 则①当时，， ②当时，可得或， 解得或. ∴实数的取值范围为. 【能力篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）“”是“等式”的（　　） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件 二、多选题 2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）下列叙述中正确的是（    ） A．“”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“有实数解”的充要条件 D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件 三、填空题 3．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 四、解答题 4．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 参考答案： 1．A 【分析】由题意，解得或，然后根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，即，解得或， 所以能推出，不能推出， 所以“”是“等式”的充分不必要条件， 故选：A. 2．ABD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合选项即可求解. 【详解】对于选项A，当时，不是反比例函数，当是反比例函数时，，所以“”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件，故A正确； 对于选项B，“”时，，当时，或，所以不能得出，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于选项C，“有实数解，等价于，故“”是“有实数解”的充分不必要条件，故C错误； 对于选项D，“方程有一个正根和一个负根”等价于， 解得，所以，“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件，故选项D正确. 故选：ABD. 3．②，③ 【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可. 【详解】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数，则不符合题意； ②“”是“”的充分不必要条件时，，，；解得，符合题意； ③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得； 当，需满足，，，解集为； 综上所述，实数的取值范围. 故答案为：②，③. 4．(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 【培优篇】 一、单选题 1．（21-22高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 二、多选题 2．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）下列说法正确的是（    ）． A．， B．，都有 C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 三、填空题 3．（23-24高一上·福建·期中）已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 参考答案： 1．C 【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 2．AD 【分析】根据特称命题真假判断判断A；全称命题真假判断和特殊值判断B；根据充分条件和必要条件的定义判断C、D. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B错误； 对于C，且则，则，则且能推出“”， 反之，当时，例，符合要求，不能推出且， 故“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，等价于且，所以不能推出， 反之能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确， 故选：AD. 3． 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$