精品解析：山东省滨州市邹平市第一中学2023届高三下学期4月月考数学试题

山东省滨州市邹平市第一中学2023届高三下学期4月月考 2023.5 一、单选题 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若，其中，则（ ） A. B. C. D. 3. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据、、、，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法不正确的是（ ） A. 变量与具有负的相关关系 B. 由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，故模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C. 若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D. 当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为，则残差为 4. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫做三角数，它有一定的规律性，则第100个数是（ ） A. 4950 B. 4949 C. 5050 D. 5151 5. 若，则（ ）． A. B. 32 C. D. 80 6. 若中，，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 2 7. 若函数存在单调递减区间，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作C的渐近线的垂线，垂足为点P，，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题 9. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格： 潜伏期（单位：天） ［0，2］ (2，4］ (4，6］ (6，8］ (8，10］ (10，12］ (12，14］ 人数 85 205 310 250 130 15 5 已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层随机抽样，若从上述1000名患者中抽取200人，得到下表． 潜伏期≤6天 潜伏期>6天 总计 50岁以上（含50岁） a b 100 50岁以下 55 c 100 则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，若，分别为，的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 直线平面 C 平面平面 D. 平面平面 11. 设是数列前项和，且，，则（ ） A. 数列为等差数列 B. C. D. 12. 已知椭圆C：，圆O1：x2＋y2＝，圆O2：x2＋y2＝，则（ ） A. 圆O1，O2与C均有交点 B. 过圆O2任一点作C的两条切线，两条切线均互相垂直 C. C上一点到圆O1上点的最大距离为2＋ D. 过圆O1上任一点作其切线交C于A，B两点，交圆O2于P，Q两点(其中点A，P相邻，点B，Q相邻)，则∠AOP＋∠BOQ为定值 三、填空题 13. 已知是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则_______． 14. 现有同样的电子词典2台，同样的图形计算器3台，从中取出4台赠送给4位学生，每位学生1台，则不同的赠送方法共有_____________种． 15. 在四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，PA=1，AB=，AD=4，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，满足MA等于M到边CD的距离.当三棱锥P－ABM的体积最小时，三棱锥P－ABM的外接球的表面积为______． 四、双空题 16. 已知函数，则______________；若关于的方程在内有唯一实根，则实数的取值范围是_____________. 五、解答题 17. 为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图： （1）试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量； （2）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率． 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． （1）求的值； （2）求值； （3）若，求． 19. 如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，是的重心，，分别为，上的点，且． （1）求证：平面平面； （2）求证：与直线与都垂直． 20. 已知数列满足，. （1）求； （2）求数列通项公式； （3）证明： 21. 如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方． （1）求椭圆的标准方程； （2）记，的面积分别为，，若，求的值； （3）设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值． 22 已知函数． （Ⅰ）当，求函数的图像在处的切线方程； （Ⅱ）若函数在上单调递增，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省滨州市邹平市第一中学2023届高三下学期4月月考 2023.5 一、单选题 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合，，可得，从而可得. 【详解】因为，， 所以，所以. 故选：B 2. 若，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过复数的运算及复数相等，求得，计算复数的模可得结果. 【详解】. 故选：C. 3. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据、、、，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法不正确的是（ ） A. 变量与具有负的相关关系 B. 由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，故模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C. 若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D. 当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为，则残差为 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中所给散点图，根据正负相关的概念即可判断A选项；根据水温的变化情况，以及指数函数的单调性，即可判断B选项；根据最小二乘法可求出的回归方程一定经过，即可判断C选项；根据残差的定义可判断D选项． 【详解】对于A选项，观察散点图，变量与具有负的相关关系，A对； 对于B选项，由于函数模型二中的函数， 在时，函数单调递减，且递减速度越来越慢， 所以，模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况，B对； 对于C选项，若选择函数模型二，利用最小二乘法求出的回归方程一定经过，C错； 对于D选项，根据残差的定义可知，残差真实值预测值，故残差为，D对. 故选：C. 4. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫做三角数，它有一定的规律性，则第100个数是（ ） A. 4950 B. 4949 C. 5050 D. 5151 【答案】C 【解析】 【分析】设该三角数为数列，通过规律可得到，即可求解 【详解】设该三角数为数列，则，，，，， 所以根据规律可得第100个数是 故选：C 5. 若，则（ ）． A. B. 32 C. D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】将等式左边变形，再根据二项展开式的通项公式即可求出． 【详解】因为，所以其二项展开式的通项公式为 ， 令，所以． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，根据条件将二项式进行适当变形是解答本题的突破口，意在考查学生的转化能力，属于基础题． 6. 若中，，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据向量数量积运算，将原式变形为，再根据化简，变形为，再求函数的最值. 【详解】 ， ， ， 原式， ，， , 原式 , ， 的最大值是2. 故选：D 【点睛】本题向量数量积和三角函数恒等变形和性质，重点考查转化与变形和计算能力，属于中档题型. 7. 若函数存在单调递减区间，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意转化为有解，进而得到有解，构造函数，根据单调递增，转化为有解，设，利用导数求得函数单调性与最值，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数存在单调递减区间，即有解，即， 即，即有解， 构造函数，可得，所以单调递增， 因此不等式转化为，即有解， 设，可得，令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，即， 又因为，所以. 故选：B. 【点睛】方法规律总结：对于已知函数的单调性求参数问题： （1）已知可导函数在区间上单调递增，转化为区间上恒成立； （2）已知可导函数在区间上单调递减，转化为区间上恒成立； （3）已知可导函数在区间上存在增区间，转化为在区间上有解； （4）已知可导函数在区间上存在减区间，转化为在区间上有解. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作C的渐近线的垂线，垂足为点P，，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的性质与余弦定理求解 【详解】由题意得到一条渐近线的距离为， 则，，在中，由余弦定理得， 即，得， 则离心率， 故选：D 二、多选题 9. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格： 潜伏期（单位：天） ［0，2］ (2，4］ (4，6］ (6，8］ (8，10］ (10，12］ (12，14］ 人数 85 205 310 250 130 15 5 已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层随机抽样，若从上述1000名患者中抽取200人，得到下表． 潜伏期≤6天 潜伏期>6天 总计 50岁以上（含50岁） a b 100 50岁以下 55 c 100 则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出潜伏期≤6天的人数，即可求出答案. 【详解】由分层随机抽样可知，从这1000名患者中抽取200人， 其中潜伏期≤6天的人数为， 所以a＝120－55＝65，b＝100－65＝35，c＝100－55＝45， b＋c＝35＋45＝80． 故选：ACD． 10. 在正方体中，若，分别为，的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用反证法思想说明A与C错误；证明直线与平面垂直判断B;再由平面与平面垂直的判定判断D. 【详解】如图，取的中点G，连接， 可证，得四边形为平行四边形，则， 若直线平面，则//平面ACD或平面，与平面矛盾，故A错误； 由正方体的结构特征可得平面，连接A1D，则， 又平面 ，得， 同理可证，又， 直线平面ACD1，故B正确; 而B1D平面，平面平面ACD1，故D正确; 连接， 由，可得四边形 AA1C1C为平行四边形， 则平面A1BC1，AC平面A1BC1，平面A1BC1， 同理AD1平面A1BC1，又AC∩AD1=A，平面A1BC1//平面ACD1， 若平面A1EF平面ACD1，则平面A1EF与平面A1BC1重合， 则EF 平面A1BC1，与EF平面A1BC1矛盾，故C错误． 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，掌握线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，正方体中的线线，线面，面面关系是解题关键，属于中档题. 11. 设是数列的前项和，且，，则（ ） A. 数列为等差数列 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题设可得，应用等差数列的定义判断，并写出其通项公式，再由关系求的通项公式，即可判断各项的正误. 【详解】由题设，则，故， 又，则是首项、公差均为的等差数列， 故，则， 当时，，而不满足， 所以， 由且，则， ， 综上，A、B、C正确，D错误. 故选：ABC 12. 已知椭圆C：，圆O1：x2＋y2＝，圆O2：x2＋y2＝，则（ ） A. 圆O1，O2与C均有交点 B. 过圆O2任一点作C的两条切线，两条切线均互相垂直 C. C上一点到圆O1上点的最大距离为2＋ D. 过圆O1上任一点作其切线交C于A，B两点，交圆O2于P，Q两点(其中点A，P相邻，点B，Q相邻)，则∠AOP＋∠BOQ为定值 【答案】CD 【解析】 【分析】对四个选项一一验证： 对于A：把椭圆C和圆O1联立解方程，把椭圆C和圆O2联立解方程，即可判断； 对于B：取圆O2任与x轴正半轴的交点作出C的两条切线，求出其斜率.判断出不垂直，即可否定结论； 对于C：利用几何法求出最大值，即可判断结论； 对于D：设切线与圆O1：x2＋y2＝的切点为H.先判断切线的斜率不存在时，为定值；切线的斜率存在时,设直线方程为.根据直线与圆O1相切,求得.利用两圆的半径关系求出；用“设而不求法”求出.即可求出. 【详解】对于A：把椭圆C和圆O1联立：解得：无意义，故椭圆C和圆O1无公共点； 把椭圆C和圆O2联立：解得：无意义，故椭圆C和圆O2无公共点； 故A错误； 对于B：取圆O2任与x轴正半轴的交点作出C的两条切线，如图示： 显然的斜率均存在，设其为.设切线方程为，与椭圆C联立，，消去y可得： 因为相切，所以， 解得：. 因，所以不垂直.故B错误； 对于C：任取C上一点为D，任取圆O1上一点为E，则 由椭圆与圆的几何性质可知，要求的最大值，只需D位于O1处，E位于E1处，此时 . 对于D：椭圆C：＋＝1，圆O1：x2＋y2＝，圆O2：x2＋y2＝ 设切线与圆O1：x2＋y2＝的切点为H. 当切线的斜率不存在时,此时直线l方程为或.不妨设直线方程为. 此时,,.由，可得：.同理可得：. 所以. 同理: . 所以为定值. 当切线的斜率存在时,不妨设直线方程为. 因为直线与圆O1：x2＋y2＝相切,所以即. 因为,所以,所以,即. 联立直线方程与椭圆方程,消去y可得：. 设，则 所以 因为，所以，所以,即. 所以. 综上所述：为定值. 故选：CD. 【点睛】（1）距离的计算方法有两类：①几何法：利用几何图形求最值；②代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. （2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. 三、填空题 13. 已知是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先由得到的最小正周期为2，再由函数为奇函数，结合题中解析式，即可求出结果. 【详解】因为满足， 所以， 因此的最小正周期为2； 又是定义域为的奇函数，当时，， 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，熟记函数的奇偶性与周期性即可，属于常考题型. 14. 现有同样的电子词典2台，同样的图形计算器3台，从中取出4台赠送给4位学生，每位学生1台，则不同的赠送方法共有_____________种． 【答案】 【解析】 【分析】分22和13两类讨论即可. 【详解】分两类：第一类，选出电子词典台，图形计算器台，则赠送方法有种； 第二类，选出电子词典台，图形计算器台，则赠送方法有种． 所以不同的赠送方法共有种， 故答案为：10． 15. 在四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，PA=1，AB=，AD=4，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，满足MA等于M到边CD的距离.当三棱锥P－ABM的体积最小时，三棱锥P－ABM的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线位于矩形内的一部分，找到三棱锥P－ABM的体积最小时的点F，然后利用补体法求出外接球的半径，即可求出表面积. 【详解】由抛物线定义可知：点位于底面矩形内以点A为焦点，为准线的抛物线上， 记点的轨迹为曲线，在矩形内以点为坐标原点，为轴，过点作垂线为轴 建立如图示平面直角坐标系， 由AD=p=4知抛物线的标准方程为：， 又AB=，所以，所以， 当点位于时，面积最小， 又平面ABCD，此时三棱锥的体积最小， 三棱锥的外接球与以PA，AB，BF为长宽高的长方体的外接球相同， 由长方体外接球模型可知，三棱锥外接球球心为的中点， 此外接球的半径为：， 所以． 故答案为： 四、双空题 16. 已知函数，则______________；若关于的方程在内有唯一实根，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出，再代入对应解析式求出，作出函数的图象，求出与x轴的从左向右的前两个交点，根据与的平移关系数形结合可求得t的取值范围. 【详解】，. 作出函数的图象如图所示： 已知函数的图象与x轴的交点从左向右第一个交点为，第二个交点为， 与为平移关系， 因为关于的方程在内有唯一实根， 所以数形结合知. 故答案为：2；. 【点睛】本题考查分段函数的图象与性质、方程的根与函数的零点、函数图象的平移规则，属于中档题. 五、解答题 17. 为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图： （1）试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量； （2）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率． 【答案】（1）26 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意频率分布直方图中的矩形面积和为得样本落在的频率为，再根据频率，频数关系求解即可； （2）根据古典概型列举基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【小问1详解】 解：由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23， 落在，，，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01． 因此，样本落在的频率为： 所以样本中用电量在的用户数为． 小问2详解】 解：由题可知，样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4； 在的用户有2户，设编号分别为，， 则从6户中任取2户的样本空间为： ，共有15个样本点．设事件“走访对象来自不同分组”， 则， 所以，从而． 所以走访对象来自不同的组的概率为. 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． （1）求的值； （2）求值； （3）若，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系得、，应用余弦定理求； （2）由（1）得，结合倍角正余弦公式、和角正弦公式求值即可； （3）由三角形内角和、和角正切公式得，再由（2）得及倍角正切公式求，代入即可求值. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系知：，则，又，故， 又. 【小问2详解】 由B为内角且，则，故，， 所以. 【小问3详解】 由，而， 所以，由（2）知：，则， 综上，. 19. 如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，是的重心，，分别为，上的点，且． （1）求证：平面平面； （2）求证：与直线与都垂直． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）如图．以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，求出两个法向量的数量积为0，即可得证； （2）分别求出与直线与的方向向量，求出对应的数量积，即可得出结论. 【详解】证明：（1）如图．以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，，，， 于是，． 设平面的法向量是，则， ∴，令，得． 显然是平面的一个法向量． 又，∴． ∴平面平面． （2）由（1），知，，， ∴，， ∴，， ∴与直线与都垂直． 20. 已知数列满足，. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）证明： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式推导即可求得； （2）由递推关系式可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到； （3）利用可求得，通过放缩法得和，进而整理得到结论. 【小问1详解】 由得：；； 小问2详解】 由得：，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， ； 【小问3详解】 由（2）知：； ， ； 又， ， 综上所述：. 21. 如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方． （1）求椭圆的标准方程； （2）记，的面积分别为，，若，求的值； （3）设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意由，BF=求解； （2）设点，，，，根据，得到，设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解； （3）由（2）得到D的坐标，进而得到直线的方程，再令，得到点E的坐标，然后由，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 解：设椭圆的焦距为． 依题意可得，， 解得，． 故． 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 设点，，，． 若，则，即有，① 设直线的方程为，与椭圆方程， 可得， 则，，② 将①代入②可得，解得， 则； 【小问3详解】 由（2）得 ，， 所以直线的方程为， 令，得，即． 所以． 所以， ， ， . 22. 已知函数． （Ⅰ）当，求函数的图像在处的切线方程； （Ⅱ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意求导得，进而得，，再求切线方程即可； （Ⅱ）由题知在上无解，故，再根据在上恒成立得在上恒成立，进而构造函数，研究函数值域并结合即可得答案. 【详解】（Ⅰ）当时，，则， ∴ ，∴， ∴ 函数的图像在处的切线方程为. （Ⅱ）∵函数在上单调递增，∴在上无解， 当时，在上无解，满足， 当时，只需，∴， 所以① ∵函数上单调递增，∴在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则， ∵，∴，∴在上单调递增， ∴在上的值域为， ∴在上恒成立，∴② 综合①②得实数的取值范围为. 【点睛】本题考查导数的几何意义，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于先根据函数特征得在上无解，进而得到，再根据函数单调性与导数的关系转化求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$