精品解析：陕西省西安市临潼区华清中学2024-2025学年高一上学期开学摸底考试数学试题

华清中学2024-2025学年上学期开学摸底考试数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 3. 已知集合，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是（ ） A. 有两个正根 B. 有一正根一负根且正根的绝对值大 C. 有两个负根 D. 有一正根一负根且负根的绝对值大 5. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 6. 设集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 7. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 若集合，，则满足的实数a的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 25 D. 29 10. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 11. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知实数m、n满足m＋n＝4，，则以m、n为两根的一个一元二次方程可以是______. 14. 已知集合中含有两个元素，则实数的取值范围是________；若，则________． 15. 若集合，则_________． 16. 已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为_______. 三、解答题 17. 已知全集，集合或. （1）求； （2）求. 18. 选择适当方法表示下列集合： （1）由小于8的所有自然数组成的集合A； （2）自然数的平方组成的集合B； （3）方程组的解组成的集合C； （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 19. 已知集合. （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; （3）若中至多只有一个元素，求的取值范围; 20. 已知集合． （1）求，，； （2）若，求实数的取值范围． 21. 集合，集合， （1）若，求实数的取值范围. （2）若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华清中学2024-2025学年上学期开学摸底考试数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数幂运算分别计算判断各个选项即可. 【详解】,A选项正确; ,B选项正确; ,C选项错误; ,D选项正确. 故选:C. 2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中式子列出关于的不等式组，可得的取值范围. 【详解】解：根据题意，得，解得且. 故选：D. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及计算，考查基础的知识及计算，属于基础题. 3. 已知集合，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合，可得A正确；D错误；由元素与集合之间的符合可得B错误；由集合与集合之间的符号可得C错误； 【详解】由已知可得集合， 对于A，可知，故A正确； 对于B，元素与集合之间不能用，故B错误； 对于C，集合与集合之间不能用，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：A. 4. 一元二次方程中，若，则这个方程根的情况是（ ） A. 有两个正根 B. 有一正根一负根且正根的绝对值大 C. 有两个负根 D. 有一正根一负根且负根的绝对值大 【答案】B 【解析】 【分析】 根据判别式大于及韦达定理得有一正一负两根排除Ａ，Ｃ，由两根之和为负得Ｂ正确 【详解】由，可知，所以方程有两个不相等的实数根. 设方程的两个根为，，则，，由得方程的两个根为一正一负，排除Ａ，Ｃ 由和可知方程的两个根中，正数根的绝对值大于负数根的绝对值，Ｂ正确 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次方程的解，考查韦达定理的应用，是基础题 5. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 6. 设集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合对元素的要求，求得集合，即得其真子集个数. 【详解】由且可知，可以取，则可取， 即，故集合的真子集个数为. 故选：C. 7. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 8. 若集合，，则满足的实数a的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用，知，求出的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案． 【详解】因为，所以， 即或者，解之可得或或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，根据集合元素互异性可判断不成立。 所以实数a的个数为2个. 故选：B 9. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 25 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A. 10. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】确定阴影部分为，再结合交集补集运算即可求解. 【详解】阴影部分为：， ，所以. 故选：C. 11. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 12. 定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】计算可求得，可得结论. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故中的元素个数为3. 故选：C. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知实数m、n满足m＋n＝4，，则以m、n为两根的一个一元二次方程可以是______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据立方和公式，结合配方法，利用韦达定理，可得答案. 【详解】由，则，由，则， 利用配方法，可得，由，解得， 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知集合中含有两个元素，则实数的取值范围是________；若，则________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】根据集合的互异性求解即可. 【详解】对于①，由集合的互异性知，； 对于②，当时，即或， 由集合的互异性得满足条件，不满足； 当时，即或， 由集合的互异性得满足条件，不满足； 综上所述，或. 故答案为：①，②或. 15. 若集合，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利集合相等和集合中元素的性质，求得，进而得到答案. 【详解】因为，可得，所以， 当时，，显然不成立； 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 16. 已知非空集合，满足：若，则必有，若集合S是U的真子集，则集合S的数量为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】依题意，集合S中的元素，有1必有6，有2必有5，有3必有4，然后利用列举法列出所求可能即可. 【详解】因为非空集合，且若，则必有， 则有1必有6，有2必有5，有3必有4， 又集合S是U的真子集，那么满足上述条件的集合S可能为： ，，，，，，共6个. 所以满足条件的集合S共有6个. 故答案为：6. 三、解答题 17. 已知全集，集合或. （1）求； （2）求. 【答案】（1）或， 或； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用并集、补集、交集的定义直接求解即得. 【小问1详解】 集合，或， 所以或，或， 所以或. 【小问2详解】 由或得， 所以. 18. 选择适当方法表示下列集合： （1）由小于8的所有自然数组成的集合A； （2）自然数的平方组成的集合B； （3）方程组的解组成的集合C； （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 【答案】（1）或； （2）； （3）或； （4） 【解析】 【分析】（1）（3）利用列举法、描述法表示给定集合. （2）（4）利用描述法表示给定的集合. 【小问1详解】 列举法，描述法. 【小问2详解】 描述法. 【小问3详解】 列举法，描述法． 【小问4详解】 描述法. 19. 已知集合. （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; （3）若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【答案】（1） （2）时，元素为；时，元素为 （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得方程无解，利用即可求解. （2）由题意，对二次项系数分和讨论，时方程为一元一次方程，有且仅有一个根，满足题意，时，利用即可求解. （3）由题意得，为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论即可求解. 【小问1详解】 若是空集， 则方程无解， 此时， 即. 故的取值范围为. 【小问2详解】 若中只有一个元素， 则方程有且仅有一个实根， 当时，方程为，解得， 方程有且仅有一个实根，满足题意； 当时，， 解得， 此时， 或， 当时，，即该元素为； 当时，，即该元素为. 【小问3详解】 若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且仅有一个元素， 由（1）（2）的结论可得的取值范围是或. 20. 已知集合． （1）求，，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义结合已知条件求解即可； （2）由，得，从而可列出关于的不等式，进而可求得结果. 【小问1详解】 因为， 所以，， 所以， 因为， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以，解得． 所以实数a的取值范围是． 21. 集合，集合， （1）若，求实数的取值范围. （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论是否为空集，当时，根据子集关系列式，解不等式可得结果； （2）先求时，实数的取值范围，再求其补集即可得解. 【小问1详解】 ①当时，， 此时,解得， ②当时，为使，需满足，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 先求时，实数的取值范围，再求其补集， 当时，由（1）知， 当时，为使，需满足或， 解得， 综上知，当或时，， 所以若，则实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $