河南省开封市杞县高中2024-2025学年高二宏志班上学期开学检测数学试卷

高二宏志班数学开学检测卷 时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 8 小题 40 分) 1、已知复数 ,则 ( ) A. B. C. D. 2、在 中,角 的对边分别为 ,已知 , ,则 ( ) A. B. C. D. 3、已知 , 是两条不同的直线, 是三个不同的平面,下列命题正确的是( ) A.若 , , ,则 B.若 , ,则 C.若 , , ,则 D.若 , ,则 4、向量 与 的夹角为( ) A. B. C. D. 5、数据 , , , , , , 的第 百分位数是( ) A. B. C. D. 6、已知两条不同的直线 , 和两个不同的平面 , ,下列四个命题中正确的为( ) A.若 , ,则 B.若 , ,则 C.若 , ,则 D.若 , ,则 7、某学校高一年级学生有 人,其中男生 人,女生 人,为了获得该校高一全体学生的身高信息,现采用样本量按比 例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为 的样本,经计算得男生样本的均值为 ,女生样本的均值为 ,则抽取的 样本的均值为是( ) A. B. C. D. 8、在如图所示的电路中,三个开关 , , 闭合与否相互独立,且在某一时刻 , , 闭合的概率分别为 , , ,则此时灯 亮的概率为( ) A. B. C. D. 二、多选题(每小题 6 分,共 3 小题 18 分) 9、已知向量 , 满足 ,则以下说法正确的是( ) A.若 , ,则 或 B.若 ,则 C.若 , ,则向量 在向量 上的投影数量为 D.向量 在向量 上的投影向量为 10、某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况,从 位员工中抽取了 名员工进行调查,根据这 人的服务时 长(单位:小时),得到如图所示的频率分布直方图.则( ) A. 的值为 B.估计员工平均服务时长为 小时 C.估计员工服务时长的中位数为 小时 D.估计本单位员工中服务时长超过 小时的有 人 11、如图,在正方体 中, , 分别为 , 的中点,则下列结论正确的是( ) A.直线 与 所成的角的大小为 B.直线 平面 C.平面 平面 D.直线 与平面 所成角的正弦值为 三、填空题(每小题 5 分,共 3 小题 15 分) 12、已知向量 的夹角为 ,且 ,则 __________. 13、某校为了解今年春季学期开学第一周,高二年级学生参加学校社团活动的时长,有关部门随机抽查了该校高二年级 名同学,统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长,并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这 名 同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长(单位:小时)范围是 ,数据分组为 . 这 名同学中,今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于 小时的人数为 __________人. 14、镇江西津渡的云台阁,是一座宋元风格的仿古建筑,始建于 年,目前已成为镇江市 的地标建筑之一.如图,在云台阁旁水平地面上共线的三点 , , 处测得其顶点 的仰角 分别为 , , ,且 米,则云台阁的高度为__________米. 四、解答题(15 小题 13 分,16-17 小题 15 分，18-19 小题 17 分，共 5 小题 77 分) 15、已知平面向量 , . (1)若 ,求 ; (2)若 ,求 . 16、已知 , , 分别为 三个内角 , , 的对边, . (1)若 , ,求 ; (2)若 ,求 周长的最大值. 17、某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度,针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛, 满分 分( 分及以上为.“消防之星”),共有 人荣获“消防之星”称号,将其按年龄分成以下五组:第一组 , 第二组 ,第三组 ,第四组 ,第五组 ,得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图,估计这些人的平均年龄和第 百分位数; (2)若从第三组,第四组,第五组三组中分层抽取 人,再从这 人中随机抽取 人,求抽取的 人年龄在不同组的概率; (3)若第三组的年龄的平均数与方差分别为 和 ,第四组的年龄的平均数与方差分别为 和 ,据此计算这 人中第三 组与第四组所有人的年龄的方差. 附: 18、如图,直三棱柱 中, 与 交于点 , 为线段 的中点, , . (1)求证: 平面 ; (2)求证:平面 平面 ; (3)求三棱锥 的体积. 19、如图,在四棱锥 中,侧棱 底面 ,四边形 为正方形,且 ,点 为棱 的中点, 点 为棱 上一点. (1)若点 为 中点,求证: 平面 ; (2)若点 满足 , (i)求证: ; (ii)求直线 与平面 所成角的正切值. 高二宏志班数学开学检测卷答案解析 第 1 题答案 D 第 1 题解析 因为 ,所以 , 所以 . 故选:D. 第 2 题答案 D 第 2 题解析 因为 , 所以 , 因为 ,所以 ,或 舍去,可得 , 因为 ,由正弦定理得 ,所以 , 因为 ,所以 ,可得 , ,所以 . 故选:D. 第 3 题答案 D 第 3 题解析 对于 A,如图当 , , 时, 与 相交,所以 A 错误, 对于 B,如图,当 , 时, ,所以 B 错误, 对于 C,如图当 , , 时, ,所以 C 错误, 对于 D,设 ,在平面 内作 ,因为 ,所以 , 因为 ,所以 , 因为 ,所以 ,所以 D 正确. 故选:D 第 4 题答案 A 第 4 题解析 因为 , 则 ,且 , 所以 . 故选:A. 第 5 题答案 C 第 5 题解析 这 个数从小到大排列为: , , , , , , , 因为 , 所以第 百分位数是第 个数 . 故选:C 第 6 题答案 D 第 6 题解析 对于 A,若 , ,则 可能相交,故 A 错误; 对于 B,若 , ,则可能 ,故 B 错误; 对于 C,若 , ,则可能 ,故 C 错误; 对于 D,若 ,在平面 内能找到直线 ,使得 , 由 ,可得 ,又因为 ,则 ,故 D 正确. 故选:D. 第 7 题答案 B 第 7 题解析 抽取的样本的均值近似于总体的均值, 由题意可得: , , 抽取的样本的均值为 . 故选:B. 第 8 题答案 D 第 8 题解析 此时灯亮由两个独立事件组成,即 开关同时闭合和 开关同时闭合, 由这两个独立事件至少有一组闭合,灯就一定亮, 而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合, 所以灯亮的概率为 . 故选:D. 第 9 题答案 A,B,D 第 9 题解析 A 选项, , 因为 ,所以 , 解得 或 ,A 正确; B 选项, 两边平方得, , 因为 ,所以 ,故 ,则 ,B 正确; C 选项,因为 ,所以 , ,故 , 则向量 在向量 上的投影数量为 ,C 错误; D 选项,由 C 选项知, , 向量 在向量 上的投影向量为 ,D 正确. 故选:ABD 第 10 题答案 A,C 第 10 题解析 对于 A,由频率分布直方图得 , 解得 ,所以 A 正确, 对于 B,员工平均服务时长为 小 时,所以 B 错误, 对于 C,因为前 组的频率和为 ,前 组的频率和为 , 所以中位数在第 组,设中位数为 ,则 , 解得 ,所以 C 正确, 对于 D,因为服务时长超过 小时的频率为 , 所以本单位员工中服务时长超过 小时的约有 人,所以 D 错误. 故选:AC 第 11 题答案 A,B,D 第 11 题解析 对于 A,连接 ,则 ,即 为正三角形,又 , 分别为 , 的中点,故 ,故直线 与 所成的角即为 所成角或其补角,而 ,故直线 与 所成的角的大小为 ,A 正确; 对于 B,由于 ,故四边形 为平行四边形, 故 ,而 ,故 , 又 平面 , 平面 ,故 平面 ,B 正确; 对于 C,取 中点为 ,连接 ,显然 ,故 , 假设平面 平面 ,而平面 平面 , 平面 ,则 平面 ,又 平面 , 则 ,这与二者交于 点矛盾,C 错误; 对于 D,不妨设正方体棱长为 ,点 到平面 的距离为 , 则 , 而 , 则 ,解得 ,设直线 与平面 所成角 为 ,则 ,D 正确,故选:ABD. 第 12 题答案 第 12 题解析 因为向量 , 的夹角为 , ,所以 , 所以 , 所以 . 故答案为: . 第 13 题答案 第 13 题解析 今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于 小时的频率为 , 故参加学校社团活动的时长不少于 小时的人数为 . 故答案为: 第 14 题答案 第 14 题解析 设 在 中, , . 在 中, , , 在 中, , . 在 中,由余弦定理得: , 在 中,由余弦定理得: , 因为 , 所以 , 即 , . 故答案为: 第 15 题答案 见解析 第 15 题解析 (1)因为 , 又因为 ,所以 ,解得 , 所以 . (2)因为 , 所以 ,解得 . 所以 , 所以 . 第 16 题答案 见解析 第 16 题解析 (1)由正弦定理知 ,所以 ,解得 , 因为 为钝角,所以 . (2)由余弦定理得 , 又由 , ,则 , 所以 , 所以 ,当且仅当 时,等号成立, 即 的最大值为 , 所以 周长的最大值为 . 第 17 题答案 见解析 第 17 题解析 (1)这些人的平均年龄为 (岁). 由频率分布直方图可知,年龄在 的频率为 , 在 的频率为 , 则第 百分位数为 ,由 ,解得 . 所以估计这些人的平均年龄为 岁,第 百分位数为 . (2)第三组,第四组,第五组的频率分别为 , , . 若从这三组中分层抽取 人,则从第三组抽取 人,记为 ;第四组抽取 人, 记为 ;第五组抽取 人,记为 ; 对应的样本空间 , , 所以 ; 设事件 为“从 人中随机抽取两人,所抽取的 人年龄在不同组”, 则 , ,所以 . 所以 . (3)设第三组、第四组的年龄的平均数分别为 ,方差分别为 .则 . 由第三组有 人,第四组有 人, 设第三组和第四组所有人的年龄平均数为 ,方差为 , 则 所以这 人中第三组与第四组所有人的年龄的方差为 . 第 18 题答案 见解析 第 18 题解析 (1) 连接 ,因为直三棱柱 , , ,又 ∴ 是正方形且 为线段 的中点,又 为线段 中点,∴ , 又 平面 , 平面 ,∴ 平面 ; (2)∵ , , 平面 平面 ,∴ 平面 , 又 平面 ,∴平面 平面 ; (3)∵ 为线段 中点,∴ , 即三棱锥 的体积为 . 第 19 题答案 见解析 第 19 题解析 (1) 中,点 , 分别为棱 , 的中点, ∴ 又四边形 是正方形,∴ , ∴ , 又 平面 , 平面 , ∴ //平面 . (2)(i)在四棱锥 中, 平面 ,四边形 为正方形, ∴ , , ∵ , 平面 , 平面 , ∴ 平面 ∵ 平面 ∴ ∵在 中, , 为 中点 ∴ ∵ , , 平面 , 平面 ∴ 平面 ∵ 平面 ∴ 又 , , 平面 , 平面 ∴ 平面 ,又 平面 ∴ . (ii)由(i)可知 即为直线 与平面 所成的角, 在 中, , ,则 又 ,∴ , ∴ 故直线 与平面 所成的角的正切值为