专题03 解直角三角形及其应用重难点题型专训重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题03 解直角三角形及其应用重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 解直角三角形的相关计算 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 仰角俯角问题 题型五 方位角问题 题型六 坡度坡比问题 题型七 解直角三角形的其他应用 知识点1：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点5：解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【经典例题一 解直角三角形的相关计算】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则此三角形解的情况是（    ） A． 一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 1．（2024·安徽亳州·一模）如图，在中，，，，则的长为（    ） A．9 B．12 C． D． 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，，若，则 ． 3．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，是边上的中线，过点D作于点E，且，． 求： (1)的长； (2)的余切值． 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】（2023·陕西西安·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 1．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 2．（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 3．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】（23-24九年级上·湖南株洲·期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 1．（2023·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 2．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于 ． 3．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 【经典例题四 仰角俯角问题】 【例4】（2024·上海杨浦·一模）如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是米，那么教学大楼的高是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（        ） A．a米 B．米 C．米 D．米 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，某人在一个建筑物（）的顶部A观察另一个建筑物（）的顶部的仰角为，底部的俯角为，两建筑物间的间距为60米（即），那么建筑物的高度为 米．    3．（2024·上海·模拟预测）小张同学用无人机测量教学楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面100米的P点，测得楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行米到达点Q，测得楼底端B的俯角为，求教学楼的高度（保留4位有效数字，参考数据：，，） 【经典例题五 方位角问题】 【例5】（22-23九年级下·全国·课后作业）王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地（    ）． A． B． C． D． 1．（2023·上海徐汇·一模）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔5海里的点处，如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离的长是（    ） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 2．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处 海里． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，点、点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离点正东方向的处有一海岸瞭望塔，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向． (1)试求出小岛码头点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离；（注：，两题结果都精确到） 【经典例题六 坡度坡比问题】 【例6】（2024·广东深圳·二模）如图，在坡比为的斜坡上有一电线杆．某时刻身高1.7米的小明在水平地面上的影长恰好与其身高相等，此时电线杆在斜坡上的影长为30米，则电线杆的高为（    ）米． A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，斜坡，坡顶B离地面的高度为，如果坡比，那么这个斜坡的长度 m． 3．（2024·上海普陀·一模）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：    第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 【经典例题七 解直角三角形的其他应用】 【例7】（2023·上海虹口·一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 1．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点F距地面的高度约为(   ) ．（参考：，，） A．143 B．77 C．62 D．158 2．（2024九年级上·上海·专题练习）一款闭门器按如图1所示安装，支点，分别固定在门框和门板上，门宽，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变．如图2，当门闭合时，，则的长为 cm．如图3，门板绕点旋转，当时，点到门框的距离，则的长为 cm． 3．（2024·上海青浦·模拟预测）图是某折叠式靠背椅实物图，图是椅子打开时的侧面示意图，椅面与地面平行，支撑杆，可绕连接点转动，且，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，点是的中点，，均与地面垂直，测得，，． (1)求椅面的长度为 ； (2)如图，椅子折叠时，连杆绕着支点带动支撑杆，转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，求，两点间的距离（结果精确到）．（参考数据：） 1．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如果是的斜边上的高，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（    ） A．400米 B．米 C．米 D．米 4．（24-25九年级上·全国·单元测试）重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 5．（2024·山西大同·一模）中考新考法：真实问题情境·实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆，且，连杆与底坐的夹角为，则该椭圆机的机身高度（点到地面的距离）为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，若，，，则 ． 7．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了 米． 8．（23-24九年级上·上海青浦·期中）小明在山坡顶向下看一座农舍的俯角为，如果农舍与山坡底部相距50米，那么山坡的高为 米． 9．（2024·上海·模拟预测）将绕直角顶点C逆时针旋转，点A对应点D落于边上，点B的对应点E与点D的连线交于F，则 10．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，一段东西向的限速公路长米，在此公路的南面有一监测点，从监测点观察，限速公路的端点在监测点的北偏西方向，端点在监测点的东北方向，那么监测点到限速公路的距离是 米（结果保留根号）． 11．（2023九年级·上海·专题练习）已知：如图，在△中，，，．求的长． 12．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中．．是边上一点，且． (1)求的值； (2)求的面积． 13．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 14．（2024·上海嘉定·二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距千米（），有一艘船在这两个码头附近航行．    (1)当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图，求码头与船的距离（的长），其结果保留位有效数字； （参考数据∶，，，） (2)当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即），如图，求的长，其结果保留根号． 15．（2024·上海金山·二模）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）： 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（）高度，分别在教学楼的楼顶（点A）和楼底地面（点B），分别测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D，先量得的长度，再分别在点C、D测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度．测量并通过计算得：米，． (1)教学楼（）的高度为 米； (2)请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦（）的高度（精确到1米）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解直角三角形及其应用重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 解直角三角形的相关计算 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 仰角俯角问题 题型五 方位角问题 题型六 坡度坡比问题 题型七 解直角三角形的其他应用 知识点1：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点5：解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【经典例题一 解直角三角形的相关计算】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则此三角形解的情况是（    ） A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题意求出的值并画出图形，与的值进行比较即可得到此三角形解的情况. 【详解】由题意得： ， ， 如图， ∴此三角形解的情况有两种， 故选： B. 1．（2024·安徽亳州·一模）如图，在中，，，，则的长为（    ） A．9 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，正确合理添加辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，先解得出，再解，求出即可． 【详解】解：过点A作于点D． 在中，，， ∴，设， 则由勾股定理得：，解得， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，根据题意可设，，利用勾股定理表示出，进而求出结果． 【详解】解：如图， 中，， ， 设，， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，是边上的中线，过点D作于点E，且，． 求： (1)的长； (2)的余切值． 【答案】(1)7； (2)． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，勾股定理的应用； （1）先求解，再求解，即可； （2）作，垂足为．求解，，可得，在中，利用余切的定义求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 在中，，， ∴，则， ， ． （2）解：作，垂足为． 是边上的中线，， ， ， ， ， 即在中，． 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】（2023·陕西西安·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【答案】B 【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】如图， 作于，作于， 在Rt中，， 在Rt中，，， ， 在Rt中，设， 在Rt中，， ， 由得， ， ， ， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 1．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 2．（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又， ， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】（23-24九年级上·湖南株洲·期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积． 【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，∠B＝45°， ∴BD＝AD． 在Rt△ACD中，∠C＝30°， ∴CD＝AD． ∵BD＋CD＝BC， ∴AD＋AD＝1＋． 即AD＝1． ∴S△ABC＝×BC×AD ＝（1＋）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决. 1．（2023·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判断． 【详解】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c， 过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB； 过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB； ∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB； 当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB， ∴运动过程中，阴影部分的面积不变， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 2．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于 ． 【答案】16 【分析】如图作BM⊥AD于M，DE⊥AB于E，BF⊥CD于F．易知四边形BEDF是矩形，理由面积法求出DE，再利用等腰三角形的性质，求出DF即可解决问题． 【详解】连接BD，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥DC于点N， ∵梯形ABCD是等距四边形，点B是等距点， ∴AB=BD=BC=10， ∵= ， ∴AM=，∴BM==3， ∵BM⊥AD，∴AD=2AM=2， ∵AB//CD， ∴S△ABD=， ∴BN=6， ∵BN⊥DC，∴DN==8， ∴CD=2DN=16， 故答案为16. 3．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 【答案】200mm 【分析】本题考查余角的性质，解直角三角形的应用．通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决． 求的周长就是求和的长，可分别过、作垂线垂直于，通过构造直角三角形根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽等条件来求出、的长． 【详解】解：，， ． 根据题意，得，． 在中，， ． 在中，， ． 矩形的周长． 【经典例题四 仰角俯角问题】 【例4】（2024·上海杨浦·一模）如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是米，那么教学大楼的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了仰角问题，过作于点，则四边形是矩形，根据性质和三角函数即可求解，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练掌握三角函数的应用． 【详解】如图，过作于点， 则有四边形是矩形， ∴米，米，， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 1．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（        ） A．a米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】过作，垂足为，在和中分别求得的值，然后由即可获得答案． 【详解】解：过作，垂足为，如下图， 由题意有：，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴米． 故选：D． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的实际应用，正确理解俯仰角是解题关键． 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，某人在一个建筑物（）的顶部A观察另一个建筑物（）的顶部的仰角为，底部的俯角为，两建筑物间的间距为60米（即），那么建筑物的高度为 米．    【答案】81 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形并正确解直角三角形成为解题的关键．如图：过点A作，垂足为C，可知四边形是矩形，即；然后再解直角三角形可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，垂足为，可知四边形是矩形， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴米．    故答案为：81． 3．（2024·上海·模拟预测）小张同学用无人机测量教学楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面100米的P点，测得楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行米到达点Q，测得楼底端B的俯角为，求教学楼的高度（保留4位有效数字，参考数据：，，） 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，交的延长线于，用三角函数解和即可． 【详解】解:延长交的延长线于,则， 由题意得，米， 在中， ， ， 在中， ， ， ， 答:教学楼的高度约为米. 【经典例题五 方位角问题】 【例5】（22-23九年级下·全国·课后作业）王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，过点作，交于点．在中，，，，． 【易错点分析】不会画图，“地沿北偏西方向”应该在地建立方向坐标，“地向正南方向”应该在地建立方向坐标，要根据需要建立方向坐标． 1．（2023·上海徐汇·一模）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔5海里的点处，如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离的长是（    ） A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出，海里，，再由，根据平行线的性质得出．然后解，得出海里． 【详解】解：如图，由题意可知， ， ， 在中， ，，海里， 海里． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题关键正确理解方向角的定义． 2．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处 海里． 【答案】 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，（海里），（海里），进而得出（海里），计算即可．此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数解答． 【详解】解：如图 根据题意，得，海里， ∴（海里），（海里）， （海里）， （海里）， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，点、点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离点正东方向的处有一海岸瞭望塔，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向． (1)试求出小岛码头点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离；（注：，两题结果都精确到） 【答案】(1)小岛码头点到海岸线的距离约为 (2)点到点的距离约为 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据题意可得，，，然后由列式计算即可； （2）过C作于N，先求出，再解直角三角形求出，然后根据含直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：过A作于M， 由题意得：，，， ∴，， ∴， 解得：， 答：小岛码头点到海岸线的距离约为； （2）过C作于N， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：点到点的距离约为． 【经典例题六 坡度坡比问题】 【例6】（2024·广东深圳·二模）如图，在坡比为的斜坡上有一电线杆．某时刻身高1.7米的小明在水平地面上的影长恰好与其身高相等，此时电线杆在斜坡上的影长为30米，则电线杆的高为（    ）米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键，作，由坡比得到，在中，应用三角函数，求出、的长，根据题意求出的长度，根据即可求解． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ∵坡比为， ∴， ∴， ∵， ∴（米），（米）， ∵某时刻身高1.7米的小明在水平地面上的影长恰好与其身高相等， ∴（米）， ∴（米）， 故选：． 1．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，勾股定理，先由勾股定理得出，再由坡度的定义即可得出答案，熟练掌握坡度的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，，， ， 斜坡的坡度， 故选：C． 2．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，斜坡，坡顶B离地面的高度为，如果坡比，那么这个斜坡的长度 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握，坡度等于铅直高度除以水平距离，是解题的关键． 根据坡度等于铅直高度除以水平距离，可得的长，再由勾股定理，进行求解即可． 【详解】坡顶B离地面的高度为，坡比， ， 由勾股定理得 ． 故答案为：． 3．（2024·上海普陀·一模）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：    第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 【答案】山坡AB的坡度 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点A作，交的延长线于点H，根据正切的定义用表示出，进而出去，再求出，根据坡度的概念计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，    在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴， ∴山坡的坡度为：． 【经典例题七 解直角三角形的其他应用】 【例7】（2023·上海虹口·一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念， 当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差． 【详解】解：如图：过作于， 中，厘米，， ． （厘米）． 故选：D． 1．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点F距地面的高度约为(   ) ．（参考：，，） A．143 B．77 C．62 D．158 【答案】A 【分析】通过作垂线或平行线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，过点作于点， 在中，，， ， 在中，，， ， 机器人的最高点距地面的高度为， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 2．（2024九年级上·上海·专题练习）一款闭门器按如图1所示安装，支点，分别固定在门框和门板上，门宽，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变．如图2，当门闭合时，，则的长为 cm．如图3，门板绕点旋转，当时，点到门框的距离，则的长为 cm． 【答案】 18 8 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构建直角三角形，熟练利用勾股定理及三角函数是解题的关键．过作，为垂足，利用三角函数和勾股定理求出、即可求解；连接，作，为垂足，为的对应点，设，分别表示出、、、，用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作，为垂足， ， ， ， ， ， ， ． 故答案：． 解：如图，连接，作，为垂足，为的对应点， ， ∴， ， ， ， 设，则， ， 由题空1得：，， ， 又 ， ， 即：， 整理得：， 解得：，（舍去）， ． 故答案：． 3．（2024·上海青浦·模拟预测）图是某折叠式靠背椅实物图，图是椅子打开时的侧面示意图，椅面与地面平行，支撑杆，可绕连接点转动，且，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，点是的中点，，均与地面垂直，测得，，． (1)求椅面的长度为 ； (2)如图，椅子折叠时，连杆绕着支点带动支撑杆，转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，求，两点间的距离（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）延长交于点，则，根据相似三角形的性质求出长度，则； （）根据图可得，对应图中求出长度，列比例求即可； 本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于点， ∵椅面与地面平行， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （2）在图中， ∵，椅面与地面平行， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵椅面与地面平行， ∴， ∴， 图中，过点作的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 答：，两点间的距离为． 1．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如果是的斜边上的高，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，再由锐角三角函数的定义及三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 在中，是斜边上的高，，， ，， ， ，， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 2．（2023·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（    ） A．400米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案． 【详解】解：点作于点， ， 由题意可得：，， ∴，， 在中，米， ∴米， 米， ∴米， ∵， ∴（米）， 故选：B． 4．（24-25九年级上·全国·单元测试）重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，作于， 根据矩形的性质得到，根据坡度的概念和勾股定理求出，根据正切的概念求出，计算即可. 【详解】解：作于，则四边形为矩形， ∴，设米， 则米， 由勾股定理得 解得， ， 即米， ∴米， 在中， 即米， ∴(米) ， 故选： A. 5．（2024·山西大同·一模）中考新考法：真实问题情境·实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆，且，连杆与底坐的夹角为，则该椭圆机的机身高度（点到地面的距离）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质等知识，作垂足分别为点E和点H，作于点F，证明四边形是矩形，同时得到，求得，的值，即可得到答案． 【详解】解：如图，作垂足分别为点E和点H，作于点F， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴，， ∴, ∴， 故选：D 6．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，若，，，则 ． 【答案】1或13 【分析】过点作于点，分高在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解． 【详解】解：过点作于点，分两种情况讨论： ①当在的外部时，如图：    ∵， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在的内部时，如图：    同法可得：， ∴； 综上：1或13； 故答案为：1或13． 【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解． 7．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了 米． 【答案】 【分析】本题考查了坡度与坡比，勾股定理； 根据题意画图，过点作于，由坡度得到，设，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，由题意得米， ∵坡度， ∴， ∴设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴他距离地面的垂直高度升高了米， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·上海青浦·期中）小明在山坡顶向下看一座农舍的俯角为，如果农舍与山坡底部相距50米，那么山坡的高为 米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意画出图形，根据含的直角三角形的性质以及勾股定理解得即可． 【详解】解：根据题意画出图形，点代表山坡，点代表农舍， 由题意知，， ， ， 在中，， ， 解得． 故答案为：米． 9．（2024·上海·模拟预测）将绕直角顶点C逆时针旋转，点A对应点D落于边上，点B的对应点E与点D的连线交于F，则 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，先根据旋转的性质，推导出，再根据正切值的定义，进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵将绕直角顶点C逆时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作，作，交与点，连接，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，一段东西向的限速公路长米，在此公路的南面有一监测点，从监测点观察，限速公路的端点在监测点的北偏西方向，端点在监测点的东北方向，那么监测点到限速公路的距离是 米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角，正确作辅助线，构造直角三角形是解答本题的关键． 过点作于点，则，设米，通过证明是等腰直角三角形，得到米，再由勾股定理得到米，再由，求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 设米， 由题意得： ，， 是等腰直角三角形， 米， 在中， ， ， 又， （米）， ， ， 解得：， 即监测点到限速公路的距离是米， 故答案为：． 11．（2023九年级·上海·专题练习）已知：如图，在△中，，，．求的长． 【答案】． 【分析】过A作AD⊥BC于D，在直角△ABD与直角△ACD中，设，BD与CD都可以用含有k的式子表示出来，根据BD＋CD＝BC即可得到一个关于k的方程，即可求得AC． 【详解】解：过点作于． 在△中，，， 设，则． 在△中，，， ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解非直角三角形，解题的关键是利用辅助线构造直角三角形，将一般三角形的问题转化为直角三角形来解决． 12．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中．．是边上一点，且． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用锐角三角形的定义和勾股定理解直角三角形是解题关键 （1）作于E，利用等腰三角形的性质得，然后利用余弦的定义求解； （2）作于F，先在中利用正切的定义得到，设，则，利用勾股定理求出的长，得到，于是得到，然后利用，解出x的值，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，作于E， ， ， 在中， ； （2）如图，作于F， 在中，， 设，则， 在中，， ， 而， ， ，即， ， ， ． 13．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)电线塔的高度． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 14．（2024·上海嘉定·二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距千米（），有一艘船在这两个码头附近航行．    (1)当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图，求码头与船的距离（的长），其结果保留位有效数字； （参考数据∶，，，） (2)当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即），如图，求的长，其结果保留根号． 【答案】(1)码头与船的距离为千米 (2)船到海岸线的距离为千米 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角形函数的定义． （1）根据题意可得，，进而得到，根据三角函数即可求解； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，，进而得到，根据，求出，推出，从而求出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ， 在中， 又，千米， （千米）， 千米 答：码头与船的距离为千米； （2）， ， ， ， 又， ∴， 过点作，垂足为， 在中，，， （千米），（千米）， 在中， （千米）， （千米）， 在中，， （千米）， 答：船到海岸线的距离为千米． 15．（2024·上海金山·二模）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）： 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（）高度，分别在教学楼的楼顶（点A）和楼底地面（点B），分别测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D，先量得的长度，再分别在点C、D测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度．测量并通过计算得：米，． (1)教学楼（）的高度为 米； (2)请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦（）的高度（精确到1米）． 【答案】(1)30 (2)上海中心大厦（SH）的高度为632米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设教学楼（）的高度为x米，根据题意列方程即可得到结论； （2）方案1，设米，过点A作，垂足为点E，根据矩形的性质得到（米），解直角三角形得到上海中心大厦（）的高度为632米；方案2，设米，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：设教学楼（）的高度为x米， 根据题意得， 解得， 答：教学楼（）的高度为30米， 故答案为：30； （2）解：方案1，设米，过点A作，垂足为点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（米） 在中，， ， 在中，， ， ∴， 解得：， ∴上海中心大厦（）的高度为632米； 方案2，设米， 在中，， , 在中，， , ∴， 解得， ∴上海中心大厦（）的高度为632米． 学科网（北京）股份有限公司 $$