专题03 全等三角形的性质重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题03 全等三角形的性质重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优） 题型一 全等图形相关问题 题型二 全等三角形的概念 题型三 利用全等三角形的性质求角度 题型四 利用全等三角形的性质求长度 题型五 利用全等三角形的性质求面积 题型六 用SSS证明三角形全等 题型七 用SAS证明三角形全等 题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型九 用HL证明直角三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证明全等 题型十一 添加条件使三角形全等 题型十二 结合尺规作图的全等问题 题型十三 利用全等三角形的判定与性质求角度 题型十四 利用全等三角形的判定与性质求长度 题型十五 利用全等三角形的判定与性质求面积 题型十六 全等三角形中的动点问题 题型十七 全等三角形的综合问题 知识点一、全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点二、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三、全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点四、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【经典例题一 全等图形相关问题】 【例1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 1．（2023·浙江宁波·二模）百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）图中的全等图形共有 对． 3．（23-24七年级下·安徽·课后作业）找出七巧板中（如图）全等的图形． 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例2】（23-24八年级上·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期中）下列说法中不正确的是（     ） A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．有一边对应相等的两个等边三角形全等 D．面积相等的两个直角三角形全等 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    3．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形， （1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等； （2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等. 【经典例题三 利用全等三角形的性质求角度】 【例3】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在锐角中，分别是边上的点，，，且交于点F．若，则的大小是 ． AI 3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，，点在边上，与交于点．    (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【经典例题四 利用全等三角形的性质求长度】 【例4】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点A、B的坐标分别为，，点P为坐标轴上一点（P点异于O点），若以A、B、P为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 ． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【经典例题五 利用全等三角形的性质求面积】 【例5】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 2．（23-24八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）两个全等的直角三角形重叠在一起． 将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为2．则阴影部分面积为 ．    3．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)求、OB的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求t的范围； (3)过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 用SSS证明三角形全等】 【例6】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 1．（23-24八年级上·广西钦州·期末）如图，已知，观察图中尺规作图的痕迹，可以判定，其判定的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·浙江·单元测试）数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，其中的道理是作出△，根据全等三角形的性质，得到．△的依据是 ． 3．（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，，，与相交于点．    (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【经典例题七 用SAS证明三角形全等】 【例7】（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，与交于点，若，用“”证明，还需（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2 2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽，那么判定的理由是 ．    3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【经典例题八 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例8】（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（   ） A． B． C． D． 1．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，相交于点O，，，求证：． 【经典例题九 用HL证明直角三角形全等】 【例9】（23-24八年级下·湖北·课后作业）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，则图中全等的直角三角形共有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 1．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，在中，于点为上一点，连接交于点，且，. 若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP= 时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等． 3．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图①A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD． （1）如图①中有　　对全等三角形，并把它们写出来　　； （2）求证：BD与EF互相平分于G； （3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为如图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明． 【经典例题十 灵活选用判定方法证明全等】 【例10】（24-25八年级上·全国·单元测试）用尺规作图，下列条件中可能作出两个不同的三角形的是（   ） A．已知三边 B．已知两角及夹边 C．已知两边及夹角 D．已知两边及其中一边的对角 1．（23-24八年级上·北京·期末）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．°，， 2．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 3．（23-24八年级上·河北邢台·期中）在中，是的中点． (1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． (2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：． 【经典例题十一 添加条件使三角形全等】 【例11】（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，若只添加一个条件，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知，添加下列条件仍无法证明的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，已知，要使，则可以添加的一个条件是 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，与相交于点．若________________，求证：． 【经典例题十二 结合尺规作图的全等问题】 【例12】（23-24七年级上·山东淄博·期中）利用尺规作，根据下列条件作出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：的根据是（    ）    A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 2．（2023·江苏盐城·一模）锐角与锐角，若，，，则与是否全等．填是或否 ． 3．（2023八年级·湖北武汉·专题练习）求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，，AD是△ABC的中线． （1）求作的中线（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证： 【经典例题十三 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例13】（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在，，平分，，，下列结论中：，，，．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 3．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【经典例题十四 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例14】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ． 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，、相交于点，点、分别是线段、上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，，求． 【经典例题十五 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例15】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（    ）    A．12 B．14 C．24 D．48 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为 ． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，已知，，． (1)如图，求证：； (2)当三点在一条直线上时， 如图，已知，求的度数； 如图，过作交于点，若，的面积为，求的长． 【经典例题十六 全等三角形中的动点问题】 【例16】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 1．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，为高线，．点为上一点，，连接，交于点，若．    (1)猜想线段与的位置关系，并证明； (2)若动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为秒． ①当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值． 【经典例题十七 全等三角形的综合问题】 【例17】（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 3．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 1．（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，方格中的 3 个顶点分别在正方形的顶点（格点上）．这样的三角形叫格点三角 形，图中与全等的格点三角形共有（不含）（    ）个．    A．3 B．4 C．7 D．8 3．（22-23八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知，添加下列条件能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，桌面上竖直放置一等腰直角三角板，若测得斜边的两端点到桌面的距离分别为，．已知，，则点距离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，和是的高，交于点，且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级·全国·假期作业）有两边对应相等的两个直角三角形全等．( ) 7．（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，在中，，，，则 ． 8．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，已知， ，．若，则的度数为 ． 9．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ． 10．（23-24八年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，一动点C从点B出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点D在y轴上，D点随着C点运动而运动，且始终保持．当点C经过 秒时，△OAB与△OCD全等． 11．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 13．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法： （1）在OA和OB上分别截取． （2）分别以D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在的内部两弧交于点C． （3）作射线OC，则有．你能指出作法中的道理吗？ 14．（23-24七年级下·全国·假期作业）阅读材料： 已知，求作，使得． 作法：如图． ①作； ②分别以点为圆心，线段长为半径作弧，两弧相交于点； ③连接线段，则即为所求的三角形． 请你根据以上材料解答下列问题： (1)完成下面说明过程（将正确答案填在相应的空上）； 由作图可知，在和中， 所以______． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）． ①AAS      ②ASA      ③SAS      ④SSS 15．（22-23八年级上·贵州铜仁·期中）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)如图（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时， ①与是否全等，请说明理由； ②判断线段和线段的关系？ (2)如图（2），将图（1）中的“，”为改“”，其他条件不变，设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形的性质重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优） 题型一 全等图形相关问题 题型二 全等三角形的概念 题型三 利用全等三角形的性质求角度 题型四 利用全等三角形的性质求长度 题型五 利用全等三角形的性质求面积 题型六 用SSS证明三角形全等 题型七 用SAS证明三角形全等 题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型九 用HL证明直角三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证明全等 题型十一 添加条件使三角形全等 题型十二 结合尺规作图的全等问题 题型十三 利用全等三角形的判定与性质求角度 题型十四 利用全等三角形的判定与性质求长度 题型十五 利用全等三角形的判定与性质求面积 题型十六 全等三角形中的动点问题 题型十七 全等三角形的综合问题 知识点一、全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点二、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三、全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点四、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【经典例题一 全等图形相关问题】 【例1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意； B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意； C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意； D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键． 1．（2023·浙江宁波·二模）百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3个． 【详解】解：∵长为4、宽为3的长方形， ∴周长为2×（3+4）＝14 14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2， ∴能围出不全等的长方形有3个， 故选：A． 【点睛】此题考查了平面图形的规律变化，通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）图中的全等图形共有 对． 【答案】2 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】（2）和（7）是全等形； （3）和（8）是全等形； 共2对， 故答案为2． 【点睛】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形形状相同，大小相等． 3．（23-24七年级下·安徽·课后作业）找出七巧板中（如图）全等的图形． 【答案】见详解 【分析】本题考查的是全等形的概念；熟练掌握七巧板中各图形的特点是解答本题的关键． 能够完全重合的两个图形叫做全等形，做题时认真观察图形，根据是否重合去判断． 【详解】解：由图知：与与与， 四边形与四边形， 四边形与四边形是全等的图形． 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例2】（23-24八年级上·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期中）下列说法中不正确的是（     ） A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．有一边对应相等的两个等边三角形全等 D．面积相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，针对每一个选项进行分析，可得答案． 【详解】A、有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形可以用AAS证明两个三角形全等，故此选项不合题意； B、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，故此选项符合题意； C、有一边对应相等的两个等边三角形可以利用SSS证明两个三角形全等，故此选项不合题意； D、面积相等的两个直角三角形全等，说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 3．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形， （1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等； （2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）过A作AE//PQ，过E作EB//PR，再顺次连接A、E、B．（答案不唯一） （2）作一个与△PQR面积相等但不全等的三角形即可．（答案不唯一） 【详解】解：（1）如图所示： （2）如图所示： 【经典例题三 利用全等三角形的性质求角度】 【例3】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故选：B 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】解：，，， ，． 由三角形外角的性质可得， ． ． ，， ． 故选：B． 2．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在锐角中，分别是边上的点，，，且交于点F．若，则的大小是 ． AI 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的． 由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 则． ∵， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，，点在边上，与交于点．    (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质； （1）由，得到，而，即可得到的长； （2）由，得到，由三角形外角的性质得到，进而即可求解． 【详解】（1）解：解： ， ∴. （2）解： ， . 【经典例题四 利用全等三角形的性质求长度】 【例4】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点A、B的坐标分别为，，点P为坐标轴上一点（P点异于O点），若以A、B、P为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的性质，点的坐标，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分两种情况：当时，点在y轴上；当时，点在x轴上；分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 有两种情况：如图，    当时，点在y轴上， ∴ ∴； 当时，点在x轴上， ∴ ∴ ∴； 综上，点P的坐标为或． 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握了全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，可得，，由点，，在一条直线上，可求，则．．，进而可得． （2）由，可得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵点，，在一条直线上， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：∵，， ∴，，又， ∴． ∴． ∴的长为7． 【经典例题五 利用全等三角形的性质求面积】 【例5】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据，可知，，，． 【详解】①∵， ∴． 说法①错误． ②∵， ∴． ∴是的中线． 说法②正确． ③∵， ∴． ∴． 说法③正确． ④∵， ∴，且的边上的高与的边上的高相等． ∴与面积相等． 说法④正确． 综上所述，说法正确的有②③④，共3个． 故选：C 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出是解此题的关键．可以过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可． 【详解】解：过D作，交的延长线于F，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为， 故选：A． 2．（23-24八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）两个全等的直角三角形重叠在一起． 将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为2．则阴影部分面积为 ．    【答案】7 【分析】先根据全等三角形的性质可得，再根据平移的性质可得，，从而可得，然后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积即可得． 【详解】解：由题意得：，， ，， 四边形是直角梯形， 由平移的性质得：，， ， ， 则阴影部分面积为 ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键． 3．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)求、OB的长； (2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求t的范围； (3)过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)且 (3)3或9 【分析】（1）根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出m、n的值，即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论，用t表示出三角形的面积，然后分别求出t的取值范围即可； （3）根据时，一定要使，然后分两种情况：P在线段上时或P在线段的延长线上进行讨论，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：分为两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴的面积， ∵若的面积不大于3且不等于0， ∴， 解得：； 即t的范围是且； （3）解：∵， ∴， 分两种情况：①当P在线段上时，如图所示： ∵， ∴； ②当P在线段的延长线上时，如图所示： ∵， ∴； 即存在这样的点P，使，t的值是3或9． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性和算术平方根的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性和算术平方根的非负性，注意进行分类讨论． 【经典例题六 用SSS证明三角形全等】 【例6】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应用判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．用判定两三角形全等．认真观察图形可得答案． 【详解】解：如图示排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形： ，，，，，，，，，，．共11个. 故选：B． 1．（23-24八年级上·广西钦州·期末）如图，已知，观察图中尺规作图的痕迹，可以判定，其判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作法易得OD＝O1D1，OC＝O1C1，CD＝C1D1，根据SSS得到三角形全等． 【详解】解：在△COD和△C1O1D1中， ， ∴（SSS）． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法SSS的运用，熟练掌握三角形全等的判定是正确解答本题的关键． 2．（22-23八年级上·浙江·单元测试）数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，其中的道理是作出△，根据全等三角形的性质，得到．△的依据是 ． 【答案】SSS 【分析】根据SSS证明三角形全等即可解答． 【详解】解：在和△中， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，读懂图形信息得到证明三角形全等的条件是解题的关键． 3．（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，，，与相交于点．    (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了判定两个三角形全等，三角形外角的定义： （1）根据三个边长对应相等可得到两个三角形全等； （2）根据两个三角形全等得到对应角相等，再根据三角形外角的定义可求得结果； 找到角度之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）证明：在中， ， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴的度数为． 【经典例题七 用SAS证明三角形全等】 【例7】（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，与交于点，若，用“”证明，还需（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理成为解题的关键． 由，再加上隐含条件“对顶角相等”，还需即可根据“”证得；然后逐项判断即可． 【详解】解：A、AB=DC，不能根据“”证两三角形全等，故本选项错误； B、∵在和中，，可证，故本选项正确； C、由和，根据“”证得两三角形全等，故本选项错误； D、根据和，不能证两三角形全等，故本选项错误． 故选B． 1．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据题意得，，则，由于，根据全等三角形的判定方法，当，时可判断，即，；当，时可判断，即，，然后分别求出对应的的值即可． 【详解】解：根据题意得，，，则， ， 当，时，， 即，， 解得：，； 当，时，， 即，， 解得：，， 综上所述，当与全等时，的值是2或3． 故选：C． 2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽，那么判定的理由是 ．    【答案】两边及其夹角相等的两个三角形全等 【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一，只需要测量易测量的边上，进而得出答案． 【详解】解：连接，，如图，    点分别是、的中点， ，， 在和中， ， ． ． 答：需要测量的长度，即为工件内槽宽． 其依据是根据证明； 故答案为：两边及其夹角相等的两个三角形全等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】证明见解答过程 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 【经典例题八 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例8】（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据证明即可，解题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，． 【详解】∵为中点， ∴， ∵由点分别向、作垂线段、， ∴， 在与中， ， ∴， 故选：． 1．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，根据可证明． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵ ∴， 又， ∴ ∴选项D正确； 而选项A、B、C都无法证明三角形全等， 故选：D． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 在与， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，相交于点O，，，求证：． 【答案】见解答 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】证明：在和中， ， ． 【经典例题九 用HL证明直角三角形全等】 【例9】（23-24八年级下·湖北·课后作业）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，则图中全等的直角三角形共有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】C 【详解】E是CD中点，DE=EC，矩形ABCD，可得AD=BC，AB=CD， ∠DCB=∠DCF=90∘,AD∥BF，∠DAE=∠EFC， 图中全等的直角三角形有：∠DEA=∠CEF，∠DAE=∠EFC，DE=EC， 在△AED和△FEC中 则△AED≌△FEC(AAS)， ∴CF=AD=BC， 在△BDC和△FDC中 ,△BDC≌△FDC(SAS)， 同理,△BDC≌△DBA,即,△BDC≌△FDC≌△DBA， △AED≌△FEC,△BDC≌△FDC≌△DBA，共4对． 故选C. 1．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，在中，于点为上一点，连接交于点，且，. 若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解析】略 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP= 时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等． 【答案】3或6 【分析】AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，分别利用HL定理进行判定即可． 【详解】AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等， 理由是：∵，AQ⊥AC， ∴ ①当AP=3=BC时， 在Rt△ACB和Rt△QAP中 ∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)； ②当AP=6=AC时， 在Rt△ACB和Rt△PAQ中 ∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)， 故答案为3或6 【点睛】考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，注意分类讨论思想在解题中的应用. 3．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图①A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD． （1）如图①中有　　对全等三角形，并把它们写出来　　； （2）求证：BD与EF互相平分于G； （3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为如图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明． 【答案】（1）有3对全等三角形,它们是△AFB≌△DEC,△DEG≌△BFG,△AGB≌△CGD；（2）见解析；（3）成立，理由见解析； 【分析】（1）利用A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD可判断全等三角形的个数． （2）先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CDE，再求证△DEG≌△BFG，即可． （3）先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CED，再求证△BFG≌△DEG，即可得出结论． 【详解】(1)图①中有3对全等三角形,它们是△AFB≌△DEC,△DEG≌△BFG,△AGB≌△CGD. 理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB=∠CED=90° ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， 即AF=CE， 在Rt△ABF和Rt△CDE中,， ∴Rt△ABF≌Rt△CED(HL)， ∴ED=BF. 由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF， ∴∠EDG=∠GBF， ∵∠EGD和∠FGB是对顶角，ED=BF， ∴△DEG≌△BFG， ∴EG=FG，DG=BG， ∵∠AGB=∠CGD， ∴△AGB≌△CGD； (2)∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB=∠CED=90°， ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， 即AF=CE， 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△CED(HL)， ∴ED=BF. 由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF， ∴∠EDG=∠GBF， ∵∠EGD和∠FGB是对顶角，ED=BF， △DEG≌△BFG， ∴EG=FG，DG=BG， 所以BD与EF互相平分于G； (3)第(2)题中的结论成立， 理由：∵AE=CF， ∴AE−EF=CF−EF，即AF=CE， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB=∠CED=90°， 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△CED(HL)， ∴BF=ED. ∵∠BFG=∠DEG=90°， ∴BF∥ED， ∴∠FBG=∠EDG， ∴△BFG≌△DEG， ∴FG=GE，BG=GD， 即第(2)题中的结论仍然成立. 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理. 【经典例题十 灵活选用判定方法证明全等】 【例10】（24-25八年级上·全国·单元测试）用尺规作图，下列条件中可能作出两个不同的三角形的是（   ） A．已知三边 B．已知两角及夹边 C．已知两边及夹角 D．已知两边及其中一边的对角 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可判断求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：分别符合全等三角形的判定，故能作出唯一三角形； 、可能作出两个不同的三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形； 故选：． 1．（23-24八年级上·北京·期末）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．°，， 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的判定条件及存在性，根据三角形全等的判定方法逐项判断即可得到答案，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 、∵，，，不是，的夹角， ∴可以画出多个三角形，原选项符合题意； 、∵，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 、∵°，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 故选：． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．已知，，先根据“”证明，则，，再证明，即可根据“”证明，得，，然后根据“”证明，同样方法可得，，从而可判断图中的全等三角形共有5对． 【详解】解：在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 综上所述，图中的全等三角形共有5对． 故答案为：5． 3．（23-24八年级上·河北邢台·期中）在中，是的中点． (1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． (2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）运用证明即可解题； （2）如图，过点作交延长线于点，连接．推导，即可得到结论． 【详解】（1）是的中点， ． ， ， ， ． （2）如图，过点作交延长线于点，连接． 由（1）知． ． ， ， ． 在中，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的不等关系，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题十一 添加条件使三角形全等】 【例11】（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，若只添加一个条件，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据所添加的条件进行逐一判断即可求解；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 又， 添加，则（），故选项A不符合题意； 添加，无法证明，故选项B符合题意； 添加，则（），故选项C不符合题意； 添加，则（），故选项D不符合题意； 故选：B． 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知，添加下列条件仍无法证明的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法、、、和是解题的关键，注意和不能判定两个三角形全等． 由图形可知有一对公共角，再加上，结合全等三角形的判定方法，逐项判定即可． 【详解】解：A、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； B、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； C、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； D、根据，和不能推出和全等，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，已知，要使，则可以添加的一个条件是 ． 【答案】（或） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，判定全等三角形时需要添加什么条件，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边即可． 【详解】解：①添加， 在和中， ， ； ②添加， 在和中， ， ， 故答案为：（或）． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，与相交于点．若________________，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定条件进行证明即可． 【详解】解：选择条件①的证明： 在和中， ， ， ； 选择条件②的证明： 在和中， ， ， ； 选择条件③的证明：连接， 在和， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【经典例题十二 结合尺规作图的全等问题】 【例12】 （23-24七年级上·山东淄博·期中）利用尺规作，根据下列条件作出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法、、、和是解题的关键，注意和不能判定两个三角形全等． 由图形可知有一对公共角，再加上，结合全等三角形的判定方法，逐项判定即可． 【详解】解：A、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； B、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； C、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； D、根据，和不能推出和全等，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：的根据是（    ）    A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】根据题意和全等三角形判定的方法可以得到ABC≌△CDA的根据，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， AD=BC，AB=CD， 在△ADC和△CBA中， ， ∴△ADC≌△CBA（SSS）， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答． 2．（2023·江苏盐城·一模）锐角与锐角，若，，，则与是否全等．填是或否 ． 【答案】否 【分析】以E为圆心，EF长为半径画弧，交DF于，由图即可判定． 【详解】解：如图所示：以E为圆心，EF长为半径画弧，交DF于， 和中，，，， 由图可知和不全等， 故答案为：否． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 3．（2023八年级·湖北武汉·专题练习）求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，，AD是△ABC的中线． （1）求作的中线（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）做线段的垂直平分线，找到的中点，连接 与中点即可． （2）由已知全等三角形得到相关条件，从而证明，就可得出对应线段相等． 【详解】解：（1）如图：即为所求． （2）， ， ∵，分别是与的中线， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查线段中垂线的画法、三角形全等的证明等相关知识点，能够根据条件灵活选用定理是解题的关键． 【经典例题十三 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例13】 （23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在，，平分，，，下列结论中：，，，．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义以及余角的性质等知识点，根据平行线的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义以及余角的性质逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ，故①正确； 平分， ， ， ， ，故②正确； ， 和互余，和互余， ， ，故③正确； 和不一定全等，故和不一定相等，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：A． 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 2．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 设交于点G，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点G， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题十四 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例14】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作，根据角平分线可证明，，得到，，从而推算出四边形的周长等于． 【详解】解：如下图所示，过点作， 的平分线交于点E， ∴， ，， ， ∴， ∵，， ∴， 同理可得： ， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：C． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据，得出，进而得出，这样可得出桥长度． 【详解】解：由题意知：， ∵在和中， ， ∴， ∴， 故斜拉桥至少有（千米）． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】先根据证明，则可得，即可求出的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵、是 的高， ， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 又， ， ． 故答案为：5. 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，、相交于点，点、分别是线段、上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，得到是解题的关键． （1）利用，可得，即可推出，即可解答； （2）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【经典例题十五 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例15】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（    ）    A．12 B．14 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，，，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，与三角形高有关的计算，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E，先求出，再证明从而得到，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E， ，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：8． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，已知，，． (1)如图，求证：； (2)当三点在一条直线上时， 如图，已知，求的度数； 如图，过作交于点，若，的面积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)；． 【分析】（）证明即可得出； （）通过得出，通过角度和差得，最后由三角形内角和得出的度数； 过点作于点，通过底相等，高两倍得出，再通过面积换算得出的面积，从而求出的长度； 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形面积的求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）同理（）可得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点作于点， ∴ ∵， ∴，， ∵ ∴ ∴， 令，， ∵，， ∴， ∵的面积为， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十六 全等三角形中的动点问题】 【例16】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，， ∵， ∴， 当， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故选D． 1．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．设点Q的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵， ∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， 则， 解得：； ②，， 则，， 解得：，， 故选A． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）． 【答案】6或12或18 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质是解题关键． 此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， ∴的运动时间为秒； ②当在线段上，时，， 这时，因此时间为0秒（舍去）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为(秒)； ④当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为(秒)， ∴点的运动时间为6或12或18． 故答案为：6或12或18． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，为高线，．点为上一点，，连接，交于点，若．    (1)猜想线段与的位置关系，并证明； (2)若动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为秒． ①当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①存在t的值，理由见解析，；②t的值为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，即可求解； （2）①由全等三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，为高， ， 又， ， ，， ， ； （2）解：①存在的值，使得的面积为27，理由如下： ，， ， ， ，，    由（1）可知，， ， 在线段上， ， 解得：； ②， ， 、当点在线段延长线上时，如图3，   ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 、当点在线段上时，如图4，   ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或． 【经典例题十七 全等三角形的综合问题】 【例17】（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件可证明，从而可判断①、④正确；利用直角三角形的两锐角互余可判断②；利用角平分线的定义可判断③；利用线段垂直平分线的判定可判断⑤；从而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴平分 故①正确； ∵，且， ∴； 故④正确； ∵， ∴A、D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 故⑤正确； ∵， ∴， 故②正确； 若平分，则E应为中点，由条件无法得出， 故③不正确； 综上可知正确的结论有：①②④⑤，共四个， 故选：C． 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义；根据证明，再利用三角形全等的性质证明，，进而得出，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：平分交于， ， 在和中， ， ，故④正确； ，故②③正确； ，于， ，， ， ，故①正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，利用全等三角形的判定和性质，可以证明，由此即可一一判断． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ， ∴，故①②正确， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确， 在和中， ， ∴，故③正确， 故答案为：①②③④． 3．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 【答案】（1）见解析 ；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意，得，，利用余角的性质证明即可； （2）利用等腰直角三角形的性质，结合角的平分线定义，证明，结合三角形全等的判定定理即可证明； （3）根据，结合证明即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． （2）结论是正确的．理由如下： 证明：∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； B、两个图形属于全等图形， 故此选项符合题意； C、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； D、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，方格中的 3 个顶点分别在正方形的顶点（格点上）．这样的三角形叫格点三角 形，图中与全等的格点三角形共有（不含）（    ）个．    A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据在图中画出格点，使得，则可得出答案． 【详解】解：如图    所示，根据，可得， 即以大正方形的每个边为底边，都可作两个全等的三角形，所以共有八个全等三角形，除去外有七个与全等的三角形． 即：    故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 3．（22-23八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知，添加下列条件能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据，推出，根据添加的条件是否直接符合判定三角形全等的五种情况SSS，SAS，ASA，AAS，HL中的任一种，逐一分析判定即得． 【详解】∵， ∴， A. ，， 添加条件符合ASA，直接能使， 故符合题意； B. ，， ∵， ∴， 添加条件不能使， 故不符合题意； C. ，， 添加条件不能使， 故不符合题意； D. ，， ∵， ∴，即， 虽符合SAS，能使， 但添加条件本身不能直接使， 故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，逐项筛查所添加条件是否直接符合三角形全等的判定定理． 4．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，桌面上竖直放置一等腰直角三角板，若测得斜边的两端点到桌面的距离分别为，．已知，，则点距离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，，求出的长，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，和是的高，交于点，且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是找准全等三角形的对应边角． 先证明，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，根据全等三角形的对应边相等证明，则． 【详解】解：于点，于点， ， ， 在和中， ， ． ， ， ， 的长是． 故选：A． 6．（23-24八年级·全国·假期作业）有两边对应相等的两个直角三角形全等．( ) 【答案】错 【分析】结合直角三角形全等判定定理:“SSS”、“SAS”、 “AAS”、 “ASA”、 “HL”全面考虑即可解答. 【详解】如果一个直角三角形的斜边对应另一个直角三角形的直角边，而不是对应直角边和直角边相等，则两个直角三角形不全等. 故原题目错误. 【点睛】本题考查三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的各个判定定理是解题关键. 7．（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 先证明可得，然后根据平角的性质即可解答． 【详解】解：在和中，，，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，已知， ，．若，则的度数为 ． 【答案】70° 【分析】（1）证△BED≌△CDF； （2）利用AB=AC得到∠B与∠C （3）利用整体法求得∠EDF 【详解】∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵BD=CF，BE=CD ∴△BED≌△CDE，∴∠EDC=∠BED ∵∠A=40° ∴∠B=∠C=70° ∴在△BED中，∠BED+∠BDE=110° ∴∠EDB+∠FDC=110° ∴∠EDF=70° 【点睛】求角度，常见的方法有： （1）方程思想； （2）整体思想； （3）转化思想 本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度 9．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ． 【答案】AB=DC 【分析】根据直角三角形全等的判定定理HL即可推出答案． 【详解】解：添加条件是AB=CD． 理由是：∵∠A=∠D=90，AB=CD，BC=BC， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， 故答案为：AB=CD． 10．（23-24八年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，一动点C从点B出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点D在y轴上，D点随着C点运动而运动，且始终保持．当点C经过 秒时，△OAB与△OCD全等． 【答案】0秒或3秒或12秒或9秒 【分析】本题考查全等三角形，能够对题干中的全等三角形进行分类讨论是解题关键．根据已知条件得到当时，时，时进行计算即可． 【详解】解：点，， ， ， 如图1，当时，与全等， ， 秒； 当时，与全等， ， 秒； 如图2，当时，与全等， ， 秒． 时，也符合题意， 综上所述，当点C经过0秒或3秒或12秒或9秒时，与全等． 故答案为：0秒或3秒或12秒或9秒． 11．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论； （2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案． 【详解】（1）是边上的中线， ， ∵， ， 在和中， ， ∴； （2），， ， ∵， ， ， ． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 13．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）小刚自己研究了用直尺、圆规平分一个已知角的方法： （1）在OA和OB上分别截取． （2）分别以D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在的内部两弧交于点C． （3）作射线OC，则有．你能指出作法中的道理吗？ 【答案】见解析 【分析】利用画法得到OE=OD，CE=CD，加上OC为公共边，可根据“SSS”证明△COD≌△COE，据此可以得∠AOC=∠BOC． 【详解】解：由作法得： OE=OD，CE=CD， 而OC为公共边，即OC=OC， ∴△COD≌△COE（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC． 【点睛】本题考查了基本作图以及全等三角形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 14．（23-24七年级下·全国·假期作业）阅读材料： 已知，求作，使得． 作法：如图． ①作； ②分别以点为圆心，线段长为半径作弧，两弧相交于点； ③连接线段，则即为所求的三角形． 请你根据以上材料解答下列问题： (1)完成下面说明过程（将正确答案填在相应的空上）； 由作图可知，在和中， 所以______． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）． ①AAS      ②ASA      ③SAS      ④SSS 【答案】(1)，， (2)④ 【解析】略 15．（22-23八年级上·贵州铜仁·期中）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)如图（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时， ①与是否全等，请说明理由； ②判断线段和线段的关系？ (2)如图（2），将图（1）中的“，”为改“”，其他条件不变，设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①全等，理由见解析；②与的关系是垂直且相等 (2)存在或使得与全等 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透． （1）①当时，，，即可证得；②利用，得出，，进一步得出得出结论即可； （2）与全等，分两种情况：①，，②，，建立方程组求得答案即可． 【详解】（1）①全等，理由如下： 当时，，， 又， 在和中， ． ②由①得 ， ， 线段与线段垂直， 因此、与的关系是垂直且相等； （2）由题意可得：，，，， ①若，则，， ∴， 解得； ②， 则，， ∴， 解得， 综上所述，存在或使得与全等． 学科网（北京）股份有限公司 $$