专题02 与三角形有关的角重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题02 与三角形有关的角重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 三角形内角和定理的证明 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四 三角形折叠中的角度问题 题型五 三角形内角和定理的应用 题型六 三角形的外角的定义及性质 题型七 三角形外角的性质 题型八 三角形外角与内角的综合 题型九 三角形中翻折问题综合 题型十 三角形中旋转问题综合 知识点 1 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点2 直角三角形： ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点3 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【经典例题一 三角形内角和定理的证明】 【例1】（23-24七年级下·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（     ）． A．∠A=2∠B-3∠C B．∠A+∠B=2∠C C．∠A-∠B=30° D．∠A=∠B=∠C 2．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知交于点，且，则 ． 3．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）证明的内角和为．    【经典例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 1．（2023·山东·一模）如图，在中，．若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 2．（2024·山西运城·模拟预测）如图，直线，，，则 ． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 【经典例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例3】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）如图，在中，、分别为、的角平分线，两线交于点D，．则 ． 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）如图，的和的平分线交于点， (1)求证：； (2)若，则的度数是多少？ 【经典例题四 三角形折叠中的角度问题】 【例4】（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，点D，E分别是边，上的点，将沿翻折，使得点 A落在边上的点处．若，则 °． 3．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【经典例题五 三角形内角和定理的应用】 【例5】（23-24七年级上·河南安阳·开学考试）在一个三角形中最小的角是，按角分这是一个（    ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 1．（22-23八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在中，，点在上，将沿折叠，点落在边的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·云南昭通·阶段练习）在中，，是边上的高，若，则的度数为 ． 3．（23-24八年级上·江西·阶段练习）如图1，在同一平面内，四条线首尾顺次相接，相交于点O，分别是和的平分线，，．如图2，、相交于点． (1)当时，判断与的大小关系，并说明理由． (2)当时，请直接写出与，的数量关系． 【经典例题六 三角形的外角的定义及性质】 【例6】（2024·陕西西安·模拟预测）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（ ） A． B． C． D． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的，则比大（　　）． A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，直线，，若，则 度． 3．（24-25八年级上·河南开封·开学考试）如图，锐角，点B，C分别在，上． (1)如图1，若，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则______． (2)若点Q在 内部（点Q不在线段上），连接，，，，，分别平分和，且与交于点，求的度数； (3)如图2，点G是线段延长线上一点，过点G作于点H，与 的平分线交于点O，请直接写出 与的数量关系． 【经典例题七 三角形外角的性质】 【例7】 （23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，高、交于点O，则为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则 ． 3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，点分别在边上，与交于点． (1)若，，则_____； (2)若，求证：． 【经典例题八 三角形外角与内角的综合】 【例8】 （23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，2，3．，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，点P是射线边上的动点，连接交于M，若，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中、，，点是边上一点，连接，将沿着折叠，点落在点处、若，则的度数为 °．    3．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图1，，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．    【特殊探究】 (1)若，则______； 【推理论证】 (2)随着点的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 (3)如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与重合），平分平分交直线于点，当时，求的度数． 【经典例题九 三角形中翻折问题综合】 【例9】（23-24七年级上·重庆开州·期末）如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接，分别将，对折，使、分别落在直线上的点和处，折痕分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °． 3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处． (1)如图1，若，则___________°； (2)利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数． 【经典例题十 三角形中旋转问题综合】 【例10】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），给出下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，．其中正确的说法的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，分别将三角板与的一边与放置在直线l上，边与所在直线重合．现将三角板绕点A逆时针旋转，三角板绕点A顺时针旋转．当与第一次重合时，三角板停止运动． 在旋转过程中，下列说法不正确的是（   ） A．当与垂直时， B．当与平行时， C．当与垂直时， D．当与平行时， 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．    3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 在一副三角板和（顶点C重合）中，， ， ． 【问题发现】 （1）如图1，当时，求的度数． 【问题探究】 （2）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图2，将三角板绕点C按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，当与三角板的直角边重合时，请直接写出两个三角板斜边所夹的锐角的度数． 1．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）在中，，按图中虚线将剪去后，等于（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）如图，在四边形中，，延长至点E，连接交于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·山东青岛·期末）中，和的平分线交于点，若, 则 ． 7．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，则 ． 8．（22-23七年级下·广东深圳·期末）如图，，，，，则 ．    9．（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图，将一张长方形纸片与一张直角三角形纸片（）按如图所示的位置摆放，使直角三角形纸片的一个顶点E恰好落在长方形纸片的一边上，已知，则 ． 10．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点分别是边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为 ． 11．（22-23七年级下·山东滨州·期中）如图，直线经过点A，，，．    (1)分别求、及的度数； (2)通过这道题，你能说明为什么三角形的内角和是吗？ 12．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，点在直线上，与交于点，. (1)求证：； (2)若，，求的度数. 13．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图：、的平分线相交于点，试找出，，的关系，并加以证明． 14．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 15．（22-23八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，为的高，，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与三角形有关的角重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 三角形内角和定理的证明 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四 三角形折叠中的角度问题 题型五 三角形内角和定理的应用 题型六 三角形的外角的定义及性质 题型七 三角形外角的性质 题型八 三角形外角与内角的综合 题型九 三角形中翻折问题综合 题型十 三角形中旋转问题综合 知识点 1 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点2 直角三角形： ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点3 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【经典例题一 三角形内角和定理的证明】 【例1】（23-24七年级下·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，有同位角相等，即 ，进而求出 ，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】如图： 故答案选A 【点睛】本题考查平行线的性质、两角互补与三角形内角和定理，找到为关键． 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（     ）． A．∠A=2∠B-3∠C B．∠A+∠B=2∠C C．∠A-∠B=30° D．∠A=∠B=∠C 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断． 【详解】解：A、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C，则∠A= °，所以A选项错误； B、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=2∠C，则∠C=60°，不能确定△ABC为直角三角形，所以B选项错误； C、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=30°，则∠C=150°，所以B选项错误； D、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=∠C，则∠C=90°，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】此题考查三角形内角和定理，直角三角形的定义，解题关键在于掌握三角形内角和是180°． 2．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知交于点，且，则 ． 【答案】64° 【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案； 【详解】解：：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD=∠COB ∴∠A+∠D=∠C+∠B， ∴∠D=∠C+∠B-∠A=64°； 故答案为：64°； 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 3．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）证明的内角和为．    【答案】见解析 【分析】可过三角形的一个顶点作另一边的平行线，把三个内角转移到该顶点处构成平角，证得结论． 【详解】过点作，    则，（两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 即的内角和为． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理的证明，利用平行线的性质把三个内角平移到一个顶点处构成一个平角是解题的关键． 【经典例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 1．（2023·山东·一模）如图，在中，．若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA=90°，根据平行线的性质得出∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°，即可求出答案． 【详解】解：∵在△ACB中，∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∵BD∥AE， ∴∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°， ∴∠DBC=180°-90°-70°=20°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 2．（2024·山西运城·模拟预测）如图，直线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先根据平行线的性质求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①，；② 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， （1）首先得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，表示出，然后在中，根据两锐角互余得到，进而求解即可； （3）①设，根据题意得到①，②，联立求解即可； ②与①同理的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 在中，； （2）解：设， ， ， ， ； ， ， 在中，， ， ． （3）解：①如图3，设，则， ， ， ， ， 即①， ， ， ， 又， 即②， 由①，②解得：， ，． ②与①同理可得，． 【经典例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例3】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识点，三角形内角和定理的应用是解题的关键．根据是的角平分线，所以，由，得，故，在中，由，即可得出答案． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， 又， ， ， 即， 又，， ， 即， ， 故选：． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．根据题意求出，根据角平分线的定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 和分别平分和， ， ， ． 故选C． 2．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）如图，在中，、分别为、的角平分线，两线交于点D，．则 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，，进而可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别为、的角平分线， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）如图，的和的平分线交于点， (1)求证：； (2)若，则的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了角平分线有关计算、三角形内角和定理等知识， （1）由角平分线和三角形内角和定理得到，则，整理即可得到结论； （2）利用（1）的结论进行解答即可. 【详解】（1）证明：和的平分线交于点， ， ， ， ∴ ∴ （2）∵， ∴ 解得 【经典例题四 三角形折叠中的角度问题】 【例4】（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与三角形内角和有关的折叠问题，根据折痕是角平分线，结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵把纸片沿着折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 1．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可得：，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，点D，E分别是边，上的点，将沿翻折，使得点 A落在边上的点处．若，则 °． 【答案】88 【分析】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 先由三角形内角和定理得出，再由折叠的性质得出，，即可由求解． 【详解】解：∵， ∴． 由折叠的性质， 知，， ∴． 故答案为：88． 3．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、三角形面积等知识： （1）由折叠可得，，，再根据，即可得出； （2）在中，得出，再计算出，由三角形面积公式可得结论． 【详解】（1）由折叠可得，，， 又， ， 即； （2）由折叠，得，． ． ． ． ． 【经典例题五 三角形内角和定理的应用】 【例5】（23-24七年级上·河南安阳·开学考试）在一个三角形中最小的角是，按角分这是一个（    ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断 【答案】A 【分析】分类解答，当一个角是直角时，则第三个角为，这与三角形中最小的角是，故不可能有大于等于直角的角，判定解答即可． 本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的分类，熟练掌握分类是解题的关键． 【详解】解：当一个角是直角时，则第三个角为， 这与三角形中最小的角是， 故不可能有大于等于直角的角， 只能是锐角三角形． 故选A． 1．（22-23八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在中，，点在上，将沿折叠，点落在边的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及翻折变换，根据各角之间的关系，求出及的度数是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合折叠的性质，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合折叠的性质，可得出的度数，再将其代入中，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质，可知：，， ． 在中，，， ， ． 点，，共线， ． 故选：C． 2．（22-23八年级上·云南昭通·阶段练习）在中，，是边上的高，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，能画出符合题意的两种图形是解此题的关键． 根据题意画出图形，高在的内部时，高在的外部时，根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：有两种情况： 高在的内部时，如图， 是高， ， ， ， ， ； 高在的外部时，如图， ； 所以的度数是或． 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·江西·阶段练习）如图1，在同一平面内，四条线首尾顺次相接，相交于点O，分别是和的平分线，，．如图2，、相交于点． (1)当时，判断与的大小关系，并说明理由． (2)当时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理得出，，从而得出，再由角平分线的定义得出，即可得解； （2）由三角形内角和定理得出，，从而得出，，即可得解． 【详解】（1）解：如图2，当时，理由如下： 在和中，， 在和中，， ∵， ∴， ∵、分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∵，， ∴，， 所以． 【经典例题六 三角形的外角的定义及性质】 【例6】（2024·陕西西安·模拟预测）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 直接运用三角形外角的性质列式计算即可． 【详解】解：由图可知，， ， ． 故选：B． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的，则比大（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两内角之和成为解题的关键． 由平角的定义可得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ， ∵是的外角， ∴， ∴． 故选：C． 2．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，直线，，若，则 度． 【答案】49 【分析】本题考查了三角形外角与内角的关系及平行线的性质．先根据三角形外角与内角的关系，求出，再利用平行线的性质求出． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ． 故答案为：49． 3．（24-25八年级上·河南开封·开学考试）如图，锐角，点B，C分别在，上． (1)如图1，若，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则______． (2)若点Q在 内部（点Q不在线段上），连接，，，，，分别平分和，且与交于点，求的度数； (3)如图2，点G是线段延长线上一点，过点G作于点H，与 的平分线交于点O，请直接写出 与的数量关系． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定义即可求的度数； （2）分两种情况，两种情况均根据角平分线性质以及邻补角定义求的度数，根据三角形内角和定义即可求解． （3）由三角形外角性质可知，再由角平分线性质可得，由三角形内角和定义以及对顶角相等可得，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：点在上方时，如图， ， ， ，分别平分，， ， ，， ； 点在下方时，如图， ， ∴ ∴ 即， ∴， ，分别平分和， ∴ 综上所述，的度数为或． （3）解：，理由如下： ，分别是和的平分线， ，， ， ， 即， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，邻补角的性质，角平分线性质，三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线性质，三角形外角性质. 【经典例题七 三角形外角的性质】 【例7】 （23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，高、交于点O，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质． 由垂直的定义可得，在中根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵和为的高， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． 故选：D 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质得出，由对顶角相等得出，最后由三角形外角的定义及性质即可得出答案． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则 ． 【答案】/52度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．利用角平分线的定义结合三角形外角的性质，可得，由，利用三角形内角和定理可得，即可得到，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ，即， , 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，点分别在边上，与交于点． (1)若，，则_____； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）由内角和定理可得，再根据可计算出结果； （2）根据三角形外角性质可得，利用角度间的关系得出，推出，再利用外角性质得到，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：70． （2）证明：是的外角， ． 又，， ． ， ． ， ． ． ． 是的外角， ． 又， ． 【经典例题八 三角形外角与内角的综合】 【例8】 （23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，2，3．，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理以及三角形的外角性质， 图1：根据三角形内角和定理求出的度数，继而得出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数；图2：利用三角形的外角性质并结合，，得出及，即可求出的度数；图3：利用三角形外角的性质并结合，，得出的度数，根据三角形内角和定理即可求出的度数，即可求出结论．利用三角形内角和定理及三角形的外角性质求出，，的度数是解题的关键． 【详解】解：图1： ∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 图2： ∵是的外角，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 图3： ∵是的外角，是的外角，， ∴，， ∴ ， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，点P是射线边上的动点，连接交于M，若，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质；根据点P是射线边上的动点分类讨论并计算即可；准确地画出图形并根据相关性质计算是关键． 【详解】解：当点P在边上时， 的平分线交于点D， ， 是的一个外角 当点在的延长线上时， 是的一个外角 的度数是或 故选：D． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中、，，点是边上一点，连接，将沿着折叠，点落在点处、若，则的度数为 °．    【答案】35 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形外角的性质，平行线的性质．熟练掌握轴对称的性质和三角形外角的性质是解题的关键． 先由轴对称的性质得出，，再由平行线的性质得，从而求得，然后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：35． 3．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图1，，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．    【特殊探究】 (1)若，则______； 【推理论证】 (2)随着点的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 (3)如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与重合），平分平分交直线于点，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)的大小不会变， (3)的度数为或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质并分情况求解是解题的关键． （1）由题意可得，，由平分，平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同理（1）求解即可； （3）由平分平分，可得，，设，，则，，由题意知，分点在上方，点在下方两种情况，利用三角形外角的性质，三角形内角和定理求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴的大小不会变，度数为； （3）解：∵平分平分， ∴，， 设，，则，， 由题意知，分点在上方，点在下方两种情况求解； 当点在上方时，如图2，    ∴，即， 解得，， ∴； 当点在下方时，如图3，              图3 由题意知，， ∵， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的度数或． 【经典例题九 三角形中翻折问题综合】 【例9】（23-24七年级上·重庆开州·期末）如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接，分别将，对折，使、分别落在直线上的点和处，折痕分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，设，由折叠的性质得：，，则，，再由平角的定义得，则，由此解出即可得出的度数． 【详解】解：设， 由折叠的性质得：，， ，， ， ， 解得：， ． 故选：C． 1．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，    依题意，， ∴ ， 即， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 根据三角形外角的性质及，求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，由折叠的性质得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：如图进行标注： 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：92． 3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处． (1)如图1，若，则___________°； (2)利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）可求，可得，，即可求解； （2）设，可得，可求，，即可求解； （3）可得，可求，由即可求解． 【详解】（1）解：， ， 由折叠得：，， ， ， ； 故答案：． （2）解：，理由如下： 设， ， 由折叠得：，， ， ， ， ； ； （3）解：由（2）得 ， ， ，恰好分别是与的平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键． 【经典例题十 三角形中旋转问题综合】 【例10】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），给出下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，．其中正确的说法的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形内角和定理，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键．先证明，然后求出当时，，由此按照图①求解即可判断①；当时，求得，，则，即可判断②；当时，先求出，则，，即可判断③． 【详解】解：当三角板旋转角度小于度时，如题干图②， 设直线与直线交于F， ∴， ∴， 当时，即，如图①所示， ∴， ∴； 当三角板旋转角度大于时，如图②所示， ∴， ∴当时，即， ∴， ∴此时在图中的位置， ∴，故①正确； 当三角板旋转角度小于度时，如图③所示， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当三角板旋转角的大于时，如图④所示， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； 如图⑤所示，当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确． 故选：C． 1．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，分别将三角板与的一边与放置在直线l上，边与所在直线重合．现将三角板绕点A逆时针旋转，三角板绕点A顺时针旋转．当与第一次重合时，三角板停止运动． 在旋转过程中，下列说法不正确的是（   ） A．当与垂直时， B．当与平行时， C．当与垂直时， D．当与平行时， 【答案】B 【分析】画出各选项对应的图形，然后根据平行线的性质，三角形内角和定理进行求解判断即可． 【详解】解：当与垂直时，如图1， 由题意知， ∴， ∴， ∴A正确，故不符合要求； 当与平行时，如图2，过作，则， ∴，， ∴， ∴B错误，故符合要求； 当与垂直时，如图3， ∴， ∴， ∴C正确，故不符合要求； 当与平行时，如图4， ∴， ∴D正确，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于正确的作图求解． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．    【答案】25或65 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，过点E作，延长，先求出，设运动时间为t，则，，分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：过点E作，延长，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设运动时间为t，则，， 当点P在点B的左侧时，如图所示：   ， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点P在点B的右侧时，如图所示：    此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：射线旋转了25秒或65秒． 故答案为：25或65． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 在一副三角板和（顶点C重合）中，， ， ． 【问题发现】 （1）如图1，当时，求的度数． 【问题探究】 （2）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图2，将三角板绕点C按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，当与三角板的直角边重合时，请直接写出两个三角板斜边所夹的锐角的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析； （3）或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的判定和性质，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据，得到，即可得解； （2）若与交于点，利用， ，求得，再得到，，即得证； （3）当与三角板的直角边和直角边重合时，分别讨论两种情况即可得解； 【详解】解：（1） ， ， ， ． （2），理由如下， 若与交于点，如图， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ． （3）当与三角板的直角边重合时，与交于点，如图所示， ，， ， 此时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为． 当与三角板的直角边重合时，和延长线交于点，如图所示 ，， ， ， ． 此时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为 综上，当与三角板的直角边重合时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为或． 1．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）在中，，按图中虚线将剪去后，等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补角的定义可知：，，由三角形内角和定理可知： ，代入即可求出． 【详解】解：假设虚线为DE， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题考查补角的定义，三角形内角和定理，理解补角的定义，找出是解题的关键． 2．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）如图，在四边形中，，延长至点E，连接交于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角与外角，平行线的性质，设，则，利用三角形的内角和运算出x的值，再利用平行线的性质求解即可 【详解】解：设，则， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 故选：C. 4．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠，三角形的内角和定理，根据折叠的性质，结合角的和差关系求出，，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵，且∠1=100°， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．设，根据角平分线的定义得，由三角形的外角定理得，则，同时，由此得，则，进而得，，然后再根据可得的度数． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点D， ∴． 故选：D． 6．（22-23七年级下·山东青岛·期末）中，和的平分线交于点，若, 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握三角形内角和定理及角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，则 ． 【答案】100°/100度 【分析】根据邻补角和为180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度数，根据∠2与∠1的比例可求出∠1的度数，进而可求出∠4的度数． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴ 故答案为：100°． 【点睛】本题考查三角形的内角和，利用比例求各部分的角的值，补角的性质，能够熟练应用比例求出各部分的具体值是解决本题的关键． 8．（22-23七年级下·广东深圳·期末）如图，，，，，则 ．    【答案】74 【分析】根据，算出，由得出，根据三角形内角和即可求解； 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质并能够熟练运用． 9．（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图，将一张长方形纸片与一张直角三角形纸片（）按如图所示的位置摆放，使直角三角形纸片的一个顶点E恰好落在长方形纸片的一边上，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质等知识点，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图：延长交于H，得出，再根据三角形外角性质可求得的度数，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图：延长交于H，则， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点分别是边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，理解题意是解题关键．由折叠可知，，，根据题意求得，可知，进而可得，，再根据即可求解． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵，则， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为： 11．（22-23七年级下·山东滨州·期中）如图，直线经过点A，，，．    (1)分别求、及的度数； (2)通过这道题，你能说明为什么三角形的内角和是吗？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】由平行线的性质可得到，，由平角的定义可求得， 结合可得出结论． 【详解】（1）解：， ； ， ； 直线过点， ， ， ； （2）， ，， ， ， 即三角形内角和为． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和的证明，掌握平行线的性质是解题的关键． 12．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，点在直线上，与交于点，. (1)求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理. （1）根据两直线平行，内错角相等，推出，利用已知条件，通过等量代换求证，最后根据同位角相等，两直线平行求证. （2）利用垂直性质和平行线的性质推出，根据三角形内角和即可求出度数. 【详解】（1）证明：， ， ， ， . （2）解：， ， ， . ， ， . 13．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图：、的平分线相交于点，试找出，，的关系，并加以证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．延长交于点，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可知，，进而可得；连接，由三角形内角和定理可得，，易得，进一步可知，然后证明，可得，即可证明结论． 【详解】解：，，的关系为， 证明如下： 如图，延长交于点， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 15．（22-23八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，为的高，，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）先求出，，则， 进而推出，再得出，即可解答． 根据，求出即可解决问题． （2）分两种情况：①当时．②当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：分两种情况： ①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴； 综上所述：的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$