专题01 与三角形有关的线段重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题01 与三角形有关的线段重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 三角形的相关概念 题型二 三角形的个数问题 题型三 构成三角形的条件 题型四 三角形第三边的取值范围 题型五 三角形三边关系的应用 题型六 三角形高线的画法 题型七 与三角形的高有关的计算问题 题型八 根据三角形中线求长度 题型九 根据三角形中线求面积 题型十 三角形角平分线的定义 题型十一 利用网格求三角形面积 题型十二 三角形的稳定性及应用 题型十三 与三角形有关的线段综合应用 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类： 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 【经典例题一 三角形的相关概念】 【例1】（23-24七年级下·天津南开·期中）已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）把两个都有一个锐角为30°的一样大小的直角三角形拼成如图所示的图形,两条直角边在同一直线上.则图中等腰三角形有 (　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·陕西安康·阶段练习）图中以为边的三角形共有 个． 3．（2023八年级·全国·专题练习）如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【经典例题二 三角形的个数问题】 【例2】（23-24八年级上·广东肇庆·期中）若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示的图形中，以BC为边的三角形共有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图共有 个三角形. 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【经典例题三 构成三角形的条件】 【例3】（22-23八年级上·湖南株洲·期中）以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．4，4，8 C．5，6，10 D．7，8，16 1．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图，的三边长均为整数，且周长为，是边上的中线，的周长比的周长大2，则长的可能值有（    ）个． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ． 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 【经典例题四 三角形第三边的取值范围】 【例4】（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，小贤将一根长度为的红色小棒分成两段，使它们可以和另一根绿色小棒首尾相接构成一个三角形．若绿色小棒长为（为正整数），则的最大值为（   ） A．10 B．9 C． D．7 1．（22-23八年级上·新疆和田·期末）已经有两根木条，长分别是2和6，现要用3根木条组成三角形，还要从下面4根木条中选一根，可以是（  ） A．4 B．7 C．8 D．9 2．（23-24七年级上·山东泰安·期中）已知三角形的两边长分别为和，则第三边a的长的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）装修店的王师傅将一根长为的钢筋条刚好切成三段，然后制作模具，且的三边长为整数，周长为奇数(不考虑其他因素)． （1）若，，求的值． （2）若，求的最小值． 【经典例题五 三角形三边关系的应用】 【例5】（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）若边为、、，则　　 A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（     ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）现有一长为102的均匀木条，现在需要把它截成若干小段，每段的长均为正整数，且任意三段都不能拼成三角形，则最多能截成 段． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知点O为内任意一点，证明：． 【经典例题六 三角形高线的画法】 【例6】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 1．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，中边上的高是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD中，BD边上的高是 cm． 3．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）如图，在正方形网格中有一个格点三角形（的各顶点都在格点上）．    (1)画出中边上的高； (2)将先向上平移3格，再向右平移4格，画出平移后的； (3)在图中画出一个锐角格点三角形，使得其面积等于的面积，并回答满足条件的点有多少个． 【经典例题七 与三角形的高有关的计算问题】 【例7】（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，梯形的面积为，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2，的长为5，那么三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 1．（2024八年级·全国·竞赛）已知的周长为，其三边上的高分别为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，三角形的面积，，，三角形的面积是( )． 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 【经典例题八 根据三角形中线求长度】 【例8】（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（    ）    A．16 B．18 C．20 D．22 1．（22-23七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，是的中线，是的中线，，，垂足分别为，．若的周长为43，，，，则的长为（　　）    A．5 B． C．9 D． 2．（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）在中，为边的中线．若与的周长差为，则 ． 3．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求AC的长． 【经典例题九 根据三角形中线求面积】 【例9】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知、分别为的边、的中点，线段为的中线，连接，若四边形的面积为，且，则中边上高的长为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点G是边上任意一点，点分别是的中点．若的面积为4，则的面积为（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为4，则的面积为 ． 3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 【经典例题十 三角形角平分线的定义】 【例10】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，，为的中点，连接并延长，交于点，过点作于点，延长交于点.下面说法错误的是（    ）    A．是的角平分线 B．是的边上的高线 C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线 1．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 3．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【经典例题十一 利用网格求三角形面积】 【例11】（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 1．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知A（-1，0），B（1，2），C是坐标轴上一点，且△ABC的面积为2，下列不是点C坐标的是（    ） A．(-3，0） B．（1，0） C．（0，-3） D．（0，3） 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为 ． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别是，，．三角形平移得到三角形，其中点A，B，C分别对应O，D，E点． (1)请画出三角形； (2)求三角形的面积． 【经典例题十二 三角形的稳定性及应用】 【例12】（23-24八年级上·广西南宁·期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【经典例题十三 与三角形有关的线段综合应用】 【例13】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是 ． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如果一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，对角线交于点，且，点在内部，下列说法：①；②；③；④，其中正确的有（   ）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2023·江西南昌·模拟预测）由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7个三角形．以下去掉3根的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·江西抚州·期中）一个三角形的三个内角度数之比为，那这个三角形一定是三角形 ． 7．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有 个 8．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是 ． 9．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）如图，厘米，厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米． 10．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为 ．    11．（23-24六年级上·山东青岛·阶段练习）一个三角形，三个内角度数的比是．已知其中的两条边分别长1分米和1.4分米，按角分，这个三角形是什么三角形？它的面积是多少平方分米？ 12．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）如图所示，，，平方厘米．求阴影部分的面积． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，的周长是，，中线分为两个三角形，且的周长比的周长大，求，． 14．（23-24七年级·全国·假期作业）如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？ 归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______； ②四边形木架的形状______说明四边形没有______． 15．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③分别是的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，所画点均在格点上． (1)在图①中，在右侧找到格点，使； (2)在图②中，画出，使； (3)在图③中，画射线，使平分四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 与三角形有关的线段重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 三角形的相关概念 题型二 三角形的个数问题 题型三 构成三角形的条件 题型四 三角形第三边的取值范围 题型五 三角形三边关系的应用 题型六 三角形高线的画法 题型七 与三角形的高有关的计算问题 题型八 根据三角形中线求长度 题型九 根据三角形中线求面积 题型十 三角形角平分线的定义 题型十一 利用网格求三角形面积 题型十二 三角形的稳定性及应用 题型十三 与三角形有关的线段综合应用 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类： 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 【经典例题一 三角形的相关概念】 【例1】（23-24七年级下·天津南开·期中）已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴是等边三角形，即锐角三角形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形的分类，解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，以及三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）把两个都有一个锐角为30°的一样大小的直角三角形拼成如图所示的图形,两条直角边在同一直线上.则图中等腰三角形有 (　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】等边三角形是特殊的等腰三角形,故等腰三角形有△EPQ,△BPR,△PAD. 【详解】解:已知两个直角三角形全等,且有一个角是30°, 则可知∠A=∠D=30°,∠B=∠E=60°, 则∠EQP=∠EPQ=∠BPR=∠BRP=60°, 故图中是等腰三角形的有:△EPQ,△BPR,△PAD, 所以C选项是正确的. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定,属于简单题,做题时,首选明显的、简单的,由易到难,不重不漏是解题关键. 2．（23-24八年级上·陕西安康·阶段练习）图中以为边的三角形共有 个． 【答案】 【分析】根据三角形的定义得出三角形的个数即可． 【详解】解；图中以为边的三角形有，，共个． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，数三角形时做到不重不漏是解答本题的关键． 3．（2023八年级·全国·专题练习）如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可； （2）直接写出以为内角的三角形即可； （3）直接写出以为边的三角形即可． 【详解】（1）解：以为顶点的三角形有：． （2）解：以为内角的三角形有：． （3）解：以为边的三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义、三角形的顶点、内角、边等知识点，理解三角形的定义是解答本题的关键． 【经典例题二 三角形的个数问题】 【例2】（23-24八年级上·广东肇庆·期中）若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据平角的定义求出与这个外角相邻的内角是钝角，然后作出判断即可． 【详解】∵三角形的外角中有一个角是锐角， ∴与这个外角相邻的内角是钝角， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的外角，根据平角定义求出与外角相邻的内角是钝角是解题的关键． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示的图形中，以BC为边的三角形共有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC，△BFC， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的定义，解题关键是注意：题目要求找“图中以BC为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”． 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图共有 个三角形. 【答案】24 【分析】在图形上标上字母，然后分三种情况统计后相加即可：（1）以A为顶点，被CI截得的三角形的个数；（2）以A为顶点，被BI截得的三角形的个数；（3）以I为顶点，分别被AF、AE、AD、AC截得的三角形的个数． 【详解】观察图形可知，（1）以A为顶点，被CI截得的三角形中小三角形有4个，所以一共有三角形4+3+2+1=10个； （2）以A为顶点，被BI截得的三角形中，小三角形有4个，所以一共有三角形4+3+2+1=10个； （3）以I为顶点，分别被AF、AE、AD、AC截得的三角形一共有4个； 故总的三角形个数为：10+10+4=24（个）． 故答案为24． 【点睛】本题考查了计数方法的应用，根据不同顶点被截得的三角形分别列举得出是解题的关键． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】 见解析． 【分析】直接利用三角形的定义得出答案． 【详解】图中有5个三角形，分别是△ABE，△ABC，△BEC，△BCD，△CDE. 【点睛】此题主要考查了三角形的定义，正确把握定义是解题关键． 【经典例题三 构成三角形的条件】 【例3】（22-23八年级上·湖南株洲·期中）以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．4，4，8 C．5，6，10 D．7，8，16 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不能组成三角形，则此项不符合题意； B、，不能组成三角形，则此项不符合题意； C、，能组成三角形，则此项符合题意； D、，不能组成三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 1．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图，的三边长均为整数，且周长为，是边上的中线，的周长比的周长大2，则长的可能值有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据的周长为22，的周长比的周长大2，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到，6，8，10． 【详解】解：的周长为22，的周长比的周长大2， ， 解得， 又的三边长均为整数，的周长比的周长大2， 为整数， 边长为偶数， ，6，8，10， 即的长可能值有4个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题的关键是掌握：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长，题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，解题的关键是验证能否组成三角形． 【详解】解：若3为腰长，7为底边长， ∵， ∴三角形不存在， 若7为腰长，3为底边长，则符合三角形的两边之各大于第三边， ∴这个三角形的周长， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)不可以，理由见解析． 【分析】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长； （2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可． 【详解】（1）解：∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a米 ∴第二条边长为米， 由题意可知：第三条边长为米； （2）若，则第二条边长为米，第三条边长为米 ∵ ∴此时不能构成三角形， ∴第一条边长不可以为7米． 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和三角形的三边关系，掌握实际问题中各个量之间的关系和用三边关系判断三条线段是否能构成三角形是解决此题的关键． 【经典例题四 三角形第三边的取值范围】 【例4】（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，小贤将一根长度为的红色小棒分成两段，使它们可以和另一根绿色小棒首尾相接构成一个三角形．若绿色小棒长为（为正整数），则的最大值为（   ） A．10 B．9 C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，设红色小棒分成的两段中的一段为，则另一段为，由三角形三边关系得出，由此即可得出答案，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键． 【详解】解：设红色小棒分成的两段中的一段为，则另一段为， 由三角形三边关系可得：，即， 为正整数， 的最大值为， 故选：B． 1．（22-23八年级上·新疆和田·期末）已经有两根木条，长分别是2和6，现要用3根木条组成三角形，还要从下面4根木条中选一根，可以是（  ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设第三根木条的长度为，根据三角形三边之间的关系列不等式组求出x的范围，然后选出满足条件的选项即可. 【详解】设第三根木条的长度为，则 ， 解得. 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键. 2．（23-24七年级上·山东泰安·期中）已知三角形的两边长分别为和，则第三边a的长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系即可解答．掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴，即． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）装修店的王师傅将一根长为的钢筋条刚好切成三段，然后制作模具，且的三边长为整数，周长为奇数(不考虑其他因素)． （1）若，，求的值． （2）若，求的最小值． 【答案】（1）17或19；（2）13 【分析】（1）根据三角形性质：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合题意，即可得到答案； （2）根据，可求得AB最小值为6；当BC等于1时，可得到的最小值． 【详解】（1）∵，且 ∴ ∴ ∵的三边长为整数 ∴AB取值为：7或8或9 ∴的值为：17或18或19 ∵周长为奇数 ∴的值为：17或19 （2）∵ 又∵ ∴ ∵的三边长为整数，周长为奇数 ∴当,时，取最小值 ∴． 【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质，从而完成求解． 【经典例题五 三角形三边关系的应用】 【例5】（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）若边为、、，则　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系得到，，根据绝对值的性质计算，得到答案． 【详解】解：、、是的三边， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、绝对值的性质，熟记三角形的两边之和大于第三边是解题的关键． 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解题的关键．先根据三角形的三边关系确定线段的取值范围，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴A选项符合题意． 故选：A． 2．（2024七年级·全国·竞赛）现有一长为102的均匀木条，现在需要把它截成若干小段，每段的长均为正整数，且任意三段都不能拼成三角形，则最多能截成 段． 【答案】9 【分析】本题主要考查了有理数规律探索以及三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．由于每段的长为不小于1的整数，所以设最小的是1，又由于其中任意三段都不能拼成三角形，所以每段长是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，最后每段的总和要不大于102即可． 【详解】解：为保证整个木条截得到的段数尽可能的多，那么每段的长必须尽可能的小， 又因为每段的长度均为正整数且任意三段均不能拼成三角形，那么这些小段的长度只可能为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…， 又因为， ， 所以，最多只能截成9段． 故答案为：9． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知点O为内任意一点，证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，延长交于点D，根据三角形三边关系可得，同理可得，和 ，将三式相加即可． 【详解】解：延长交于点D．如图， 在中，，① 在中，，② ①+②，得． ， ， ，③ 同理可证，④ ，⑤ ③+④+⑤，得， 即． 【经典例题六 三角形高线的画法】 【例6】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、中，是上的高，不是上的高，故本选项说法错误，符合题意； B、中，是上的高，说法正确，不符合题意； C、中，是上的高，说法正确，不符合题意；     D、中，是上的高，说法正确，不符合题意； 故选：A． 1．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，中边上的高是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：由图可得， ∵， ∴中边上的高是， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形高的定义，理解三角形高的概念是解题的关键． 2．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD中，BD边上的高是 cm． 【答案】4cm 【分析】从三角形的一个顶点向它对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的线段）,叫做三角形的高．这条边叫做底． 【详解】因为AC⊥BC， 所以三角形ABD中，BD边上的高是：AC=4cm 故答案为：4cm 【点睛】考核知识点：三角形的高．理解三角形的高的定义是关键． 3．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）如图，在正方形网格中有一个格点三角形（的各顶点都在格点上）．    (1)画出中边上的高； (2)将先向上平移3格，再向右平移4格，画出平移后的； (3)在图中画出一个锐角格点三角形，使得其面积等于的面积，并回答满足条件的点有多少个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，满足条件的点有4个 【分析】本题考查了作图—平移变换，作三角形的高，三角形面积，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）利用钝角三角形高的作法得出答案即可； （2）直接利用平移的性质得出对应点的位置，再顺次连接即可得到答案； （3）利用锐角三角形的定义结合三角形面积即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求，   ； （2）解：如图，即为所求，   ； （3）解：如图，即为所求，   ， 由图可得：满足条件的点有4个． 【经典例题七 与三角形的高有关的计算问题】 【例7】（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，梯形的面积为，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2，的长为5，那么三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了梯形、三角形的面积公式，平行线之间的距离处处相等，理解梯形、三角形的面积公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是梯形， ∴， ∴三角形边上的高三角形边上的高（平行线之间的距离处处相等）， 又∵三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2， ∴， ∵梯形的面积为，的长为5， ∴梯形的高， ∴和之间的距离，即三角形边上的高， ∴三角形的面积， 故选：A． 1．（2024八年级·全国·竞赛）已知的周长为，其三边上的高分别为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，掌握三角形面积公式是解题关键． 根据三角形的面积公式求得，根据比例关系可求，从而求出三角形面积． 【详解】解： ＝，即， ∴ ∵的周长为， ∴ ∴的面积为， 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，三角形的面积，，，三角形的面积是( )． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的面积，系找出三角形的面积关系是解答题目的关键．由图可知，三角形和三角形等高，且，则，三角形的面积是三角形面积的，三角形和三角形等高，且，则，三角形的面积是三角形面积的，由此求出三角形的面积占三角形面积的分率，最后用乘法求出三角形的面积． 【详解】因为，则，所以三角形的面积三角形面积； 因为，则，所以三角形的面积三角形面积； 由上可知，三角形的面积是． 故答案为：12 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 【答案】或或 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．分为两种情况讨论：当点在上时：当点在上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：如图1，当点在上， 中，，，，点是的中点， ，． 的面积等于10， ， ， 即， ． 如图2，当点在上， 是的中点， ． ， ， 当点Ｐ在点Ｅ的左边时，， 当点Ｐ在点Ｅ的右边时，． 综上所述，当或或时，的面积会等于10， 故答案为或或． 【经典例题八 根据三角形中线求长度】 【例8】（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（    ）    A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】点是边上的中点可得，再由的周长为20可得，从而得到，最后由三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：点是边上的中点， ， 的周长为20， ， ， ， 的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了与三角形的中线有关的计算，求出是解题的关键． 1．（22-23七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，是的中线，是的中线，，，垂足分别为，．若的周长为43，，，，则的长为（　　）    A．5 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】根据的周长和题中条件即可求出，再根据中线的性质即可求出，最后运用等面积法即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为43， ∴， ∵是的中线，是的中线， ∴，， ∵，即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何中求线段长度，能够想到等面积法是关键． 2．（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）在中，为边的中线．若与的周长差为，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由为边上的中线，得，根据题意，分类讨论进而即可求解，掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，    ∵与的周长差为3， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴, ②当时，同理可得，则 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求AC的长． 【答案】(1)16 (2)11 【分析】（1）根据三角形的中线的概念计算； （2）根据三角形的周长公式得到，，进而求出． 本题主要考查了三角形中线的定义和性质，熟练掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：是 的中线，， ， 是的中线， ； （2）解：是 的中线， ， 与的周长差为3， ， ， 的周长为37，， ， ， ． 【经典例题九 根据三角形中线求面积】 【例9】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知、分别为的边、的中点，线段为的中线，连接，若四边形的面积为，且，则中边上高的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线，熟练掌握等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．连接，设，四边形的面积为：，求出，中边上高的长为，根据等底同高的三角形的面积相等以及三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，设，中边上高的长为， 、分别为的边、的中点，线段为的中线， ， ， ， ， 四边形的面积为：， ， 的面积为，即的面积， 解得：． 故选：C． 1．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点G是边上任意一点，点分别是的中点．若的面积为4，则的面积为（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接， 点是的中点， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ，， ， ∴， ． 故选：A． 17． 2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为4，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，根据三角形面积等高模型得到是解题的关键．连接，根据中点可得，根据可得，设，可得，进而可得，求出的值，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 是的中点，， ，， 又， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：12． 3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形中线的性质，三角形面积公式，掌握三角形中线平分三角形面积是解题关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）由三角形中线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：为的中线，为中线， ， ， ， ， ， ． 【经典例题十 三角形角平分线的定义】 【例10】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，，为的中点，连接并延长，交于点，过点作于点，延长交于点.下面说法错误的是（    ）    A．是的角平分线 B．是的边上的高线 C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线 【答案】D 【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，则是的角平分线，故选项正确，不符合题意； B．于点，则是的边上的高线，故选项正确，不符合题意； C．，于点，则是的角平分线和高线，故选项正确，不符合题意； D．无法判断是的边上的中线，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的定义是解题的关键． 1．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中线的性质可得，由角平分线的定义可得；由是的高，可得． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A说法正确； ∵是角平分线， ∴，故B说法正确； ∵是的高， ∴，， ∵是角平分线， ∴， ∴ ，故C说法正确； ∵，， 且BD≠CD， ∴，故D说法错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握以上性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【详解】解： 是的中线 的面积等于的面积   故正确； ，是的高 ， 是的角平分线 ∴ 又 故正确；   故正确； 故错误； 故答案为：①②③． 3．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）根据的三条角平分线交于一点，即可得到结论； （）根据的三条高所在直线交于一点，即可得到结论； 本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握三角形的有关线段是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于点， ∴即为所求； （2）如图，延长交于点，延长交于点， ∵点，关于对称， ∴， ∴是三角形的高， ∴即为所求． 【经典例题十一 利用网格求三角形面积】 【例11】（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】解：如图， 这样的点共有6个． 故选：． 1．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知A（-1，0），B（1，2），C是坐标轴上一点，且△ABC的面积为2，下列不是点C坐标的是（    ） A．(-3，0） B．（1，0） C．（0，-3） D．（0，3） 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，C在x轴或在y轴，求出C的坐标即可． 【详解】解：当C在x轴上时，设， 则 ， 解得m=1或-3， ∴C（1，0）或（-3，0）； 当C在y轴上时，设， 可知AB与y轴的交点为（0，1）， 则， 解得m=-1或3， ∴C（0，-1）或（0，3）； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的问题，解题的关键是分类讨论． 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为 ． 【答案】10 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别是，，．三角形平移得到三角形，其中点A，B，C分别对应O，D，E点． (1)请画出三角形； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根据点坐标的平移确定平移方式，平移作图，利用网格求三角形面积等知识．熟练掌握根据点坐标的平移确定平移方式，平移作图，利用网格求三角形面积是解题的关键． （1）由题意可得，图形向右平移1个单位，向下平移4个单位，然后作图即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵平移到， ∴图形向右平移1个单位，向下平移4个单位， 由平移的性质作图如下，三角形即为所作； （2）解：由题意知，， ∴三角形的面积为． 【经典例题十二 三角形的稳定性及应用】 【例12】（23-24八年级上·广西南宁·期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可． 【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形． 故答案为3． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 【经典例题十三 与三角形有关的线段综合应用】 【例13】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 【答案】A 【分析】连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键． 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 【答案】A 【分析】如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得，进而得到，同理得出，进而得到即可解答． 【详解】解：如图：连接AF ∵BE=3，AE=6， ∴AB=9， ∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等， ∴，即 同理可得：，即 ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，正确作出辅助线、灵活运用等高的三角形的面积比等于对应边之比是解答本题的关键． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，连接，设，，，由，，可得，，进而可得，，由，可得，由，可得，即得，根据当取最大时，取最大，由当时，取最大值，可得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：连接， 设，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大， 当时，取最大值， ∴， 由得，， ∴与面积之和的最大值， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【答案】(1)① ② (2)① ②30 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如果一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设三角形的第三边长为， ∴三角形三边关系可得：， 解得：， ∴选项符合题意， 故选：． 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，对角线交于点，且，点在内部，下列说法：①；②；③；④，其中正确的有（   ）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形三边关系“两边之和大于第三边”、等底同高判断三角形的面积，理解三角形三边关系及应用是解题关键．根据等底同高可判断①正确，根据三角形三边关系可逐一判断②③④正确． 【详解】解：因为； 由等底同高可得； 故①正确； 延长交于Q，    因为，， 所以， 即， 所以， 所以； 故②正确； 因为，； 所以； 即； 故③正确； 因为，； 所以； 所以； 即； 故④正确； 所以正确的有4个； 故选：D． 3．（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，符合题意的有4个， 故选：C 5．（2023·江西南昌·模拟预测）由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7个三角形．以下去掉3根的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照选项依次分析即可求解． 【详解】解：A．去掉，如图： 图中共有6个三角形，该项不符合题意； B．去掉，如图： 图中共有4个三角形，该项不符合题意； C．去掉，如图： 图中共有7个三角形，该项符合题意； D．去掉，如图： 图中共有9个三角形，该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形计数，掌握三角形的定义是解题的关键． 6．（23-24七年级下·江西抚州·期中）一个三角形的三个内角度数之比为，那这个三角形一定是三角形 ． 【答案】直角 【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形． 【详解】解：设三角分别为2x，3x，5x， 依题意得2x+3x+5x＝180°， 解得x＝18°． 故三个角的度数分别为36°，54°，90°． 故答案为：直角． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键． 7．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有 个 【答案】3 【分析】根据三角形的构成条件：任意两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴2cm，3cm，4cm可以构成三角形； ∵， ∴2cm，3cm，5cm不可以构成三角形； ∵， ∴2cm，4cm，5cm可以构成三角形； ∵， ∴3cm，4cm，5cm可以构成三角形； ∴可以构成3个不同的三角形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 8．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是 ． 【答案】AE 【分析】根据三角形的高的概念即可得答案． 【详解】∵H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点， ∴BE⊥AC，即AE⊥BH， ∴△BHA中边BH上的高是AE， 故答案为：AE 【点睛】本题考查三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 9．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）如图，厘米，厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米． 【答案】8 【分析】此题主要考查的是三角形的面积．根据题意可以得到，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：阴影部分的面积是平方厘米， 故答案为：． 10．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为 ．    【答案】10 【解析】略 11．（23-24六年级上·山东青岛·阶段练习）一个三角形，三个内角度数的比是．已知其中的两条边分别长1分米和1.4分米，按角分，这个三角形是什么三角形？它的面积是多少平方分米？ 【答案】这个三角形是等腰直角三角形，它的面积是平方分米． 【分析】本题考查了三角形内角和及三角形的分类，解决此题的关键是先求出各角的度数，即可判定此三角形的类别，再确定出三角形的边长后，即可求其面积．三角形的内角和是，根据按比例分配的方法，运用乘法求出各角的度数，即可判定此三角形的类别；两个边长已知，再利用三角形面积公式即可求其面积． 【详解】解： 这个三角形三个角的度数分别为：、、，所以三角形是等腰直角三角形； 又因直角三角形的斜边一定大于直角边，故此三角形的直角边是1分米， 三角形的面积为：（平方分米） 答：这个三角形是等腰直角三角形，它的面积是平方分米． 12．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）如图所示，，，平方厘米．求阴影部分的面积． 【答案】9平方厘米 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键是掌握三角形的面积公式．连接，根据得出，再根据即可得出，进而得到，求出的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 平方厘米， 平方厘米， 平方厘米， 即阴影部分的面积为9平方厘米． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，的周长是，，中线分为两个三角形，且的周长比的周长大，求，． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形周长与三角形的中线性质．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由是中线可得，再结合的周长比的周长大可得，再根据，的周长是，可得，两式联立求解即可． 【详解】解：是中线， ， 的周长比的周长大， ， 的周长是，， ， 联立①②得：，． 14．（23-24七年级·全国·假期作业）如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？ 归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______； ②四边形木架的形状______说明四边形没有______． 【答案】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性； 图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定； 图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性； 归纳：①是三角形， 稳定性；②四边形， 稳定性 ． 【分析】①根据三角形的稳定性进行解答即可； ②根据四边形的不稳定性进行解答即可． 【详解】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性； 图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定； 图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性； 归纳： ①由三角形具有稳定性知， 三角形木架的形状不会改变， 这说明三角形具有稳定性 ． 故答案为： 是三角形， 稳定性； ②四边形木架的形状是四边形， 四边形具有不稳定性 ． 故答案为： 四边形， 稳定性 ． 【点睛】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单． 15．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③分别是的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，所画点均在格点上． (1)在图①中，在右侧找到格点，使； (2)在图②中，画出，使； (3)在图③中，画射线，使平分四边形的面积． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】（）取格点，连接，由网格可得，，即，故点即为所求； （）取格点，由网格可得，，即，故即为所求； （）取格点，画射线，由网格可得，即射线即为所求． 本题考查了网格作图，根据网格特点求出图形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，射线即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $$