第12章 第18讲 全等三角形判定四-2024-2025学年人教版八年级数学上册点拨训练

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12章 第18讲 全等三角形判定四 学习目标 1、理解并记住HL这种判定方法； 2、会运用HL判定两个直角三角形全等； 3、提高推理能力，获得成功的体验，增强学习的自信心。 学习重点：理解并记住HL这种判定方法 学习难点：会运用HL判定两个直角三角形全等 老师告诉你 判定直角三角形全等的四种策略 1. 若已知条件中有一组直角边和一组斜边对应相等，则直接应用“HL”判定两个直角三角形全等。 2. 若有一组锐角和一组斜边对应相等，则利用“AAS”判定两个直角三角形全等。 3. 若有一组锐角和一组直角边对应相等，（1）若直角边是锐角的对边，则用“AAS”判定两个直角三角形全等。（2）若直角边是锐角的邻边，则用“ASA”判定两个直角三角形全等。 4. 若有两直角边对应相等，则用“SAS”判定两个直角三角形全等。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 直角三角形的判定（HL） 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. ①斜边和一条直角边对应相等（HL） ②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS. 【新知导学】 例1-1．如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF． 【对应导练】 1．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 2．如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AC=DE，试说明BC⊥CE的理由； 如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AD=DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由． 3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上． 知识点2 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 . 确定全等三角形对应元素的方法 （1） 符号对应法：用全等符号表示的，可根据对应字母的位置来找对应边，对应边所对的角就是对应角。 （2） 位置特征法：①公共边（角）是对应边（角）②对顶角是对应角③一对最长边（最大角）是对应边（角），一对最短边（最小角）是对应边（角） 【新知导学】 例2-1．如图，和中，，，，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N. （1）求证：； （2）求证：； （3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分；②MB平分，其中正确的一个是_______请写序号），并给出证明过程. 【对应导练】 1．如图所示，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F. （1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由； （2）若，判断BE与AF的位置关系，并说明理由. 2．如图，，，点D在边上，，交于点F. （1）求证：； （2）求证：平分. 3．已知：如图，在、中，，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接. (1)求证：； (2)请判断、有何大小、位置关系，并证明. 4．已知中，，、是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H. （1）求的度数； （2）求证：； （3）连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由. 2、 题型训练 1. 利用斜边直角边证明三角形全等 1 .如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)判断和的位置关系并证明． 2 .如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________． 2. 利用全等三角形的判定、性质证明线段和差关系 3 .如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：； (2)求证：． 4 .如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 3. 利用三角形全等的判定找全等三角形 5．[2023秋·八年级·河北邯郸·期中]如图，在中，，E，F分别是AB、AC上的点，且，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有( ) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 6．如图，，于D，于E.BD与CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 3、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．HL 2 .如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（　　） A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD 3 .如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF 4.如图，已知∠CAB＝∠DBA，若用“ASA”证明△ABC≌△BAD，还需要加上条件（　　） A．∠C＝∠D B．∠1＝∠2 C．AC＝BD D．BC＝AD 5 .如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 6 .如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（    ） A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD 7 .如图，在的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是（    ） A．ASA B．SAS C．AAS D．HL 8 .如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（    ） A．4 B． C．5 D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9 .如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 　 　． 10 .如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝　 　． 11.如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________． 12 .如图，已知，是的两条高线，，，则___________度． 13 .如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________． 三、解答题（共6小题，共48分） 14 .（8分）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 15 .（8分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，∠A＝51°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）求∠BOF． 16 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，延长BC至点F，过点F作EF∥CD交AC于点E，AB＝EF，且CB＝CE，过点C作CH∥AB． （1）求证：∠ACH＝∠BCD； （2）求证：CD＝CH． 17 .（8分）如图，四边形中，，，，，与相交于点F． (1) 求证： (2) 判断线段与的位置关系，并说明理由． 18 .（8分）如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F． （1）求证△ACD≌△CBE； （2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由． 19．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F． （1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF； （2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12章 第18讲 全等三角形判定四（解析版） 学习目标 1、理解并记住HL这种判定方法； 2、会运用HL判定两个直角三角形全等； 3、提高推理能力，获得成功的体验，增强学习的自信心。 学习重点：理解并记住HL这种判定方法 学习难点：会运用HL判定两个直角三角形全等 老师告诉你 判定直角三角形全等的四种策略 1. 若已知条件中有一组直角边和一组斜边对应相等，则直接应用“HL”判定两个直角三角形全等。 2. 若有一组锐角和一组斜边对应相等，则利用“AAS”判定两个直角三角形全等。 3. 若有一组锐角和一组直角边对应相等，（1）若直角边是锐角的对边，则用“AAS”判定两个直角三角形全等。（2）若直角边是锐角的邻边，则用“ASA”判定两个直角三角形全等。 4. 若有两直角边对应相等，则用“SAS”判定两个直角三角形全等。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 直角三角形的判定（HL） 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. ①斜边和一条直角边对应相等（HL） ②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS. 【新知导学】 例1-1．如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF． 【解析】连接BD，由直角三角形全等的“HL“判定定理证得Rt△ABD≌Rt△CBD，根据全等三角形的性质得到AD=CD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可证得Rt△ADE≌Rt△CDF． 解：连接BD， ∵∠BAD=∠BCD=90°， 在Rt△ABD和Rt△CBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）， ∴AD=CD， ∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F， ∴∠E=∠F=90°， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）． 【对应导练】 1．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 【解析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明． 证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE， ∵∠A=∠D=90°， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中，， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）． 2．如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AC=DE，试说明BC⊥CE的理由； 如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AD=DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由． 【解析】（1）根据SAS可得△ABC≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论． （2）根据SAS可得△ABD≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论． 解：（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠A=∠D=90°． 在△ABC和△DCE中， ∴△ABC≌△DCE（SAS）． ∴∠B=∠DCE． ∵∠B+∠ACB=90°， ∴∠ACB+∠DCE=90°． ∴∠BCE=90°， 即BC⊥CE； （2）∵AB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠A=∠CDE=90°． 在△ABC和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（SAS）． ∴∠B=∠DCE． ∵∠B+∠ADB=90°， ∴∠ADB+∠DCE=90°． BD⊥CE． 3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上． 【解析】可通过证明Rt△ABE≌Rt△DBE从而得到结论． 证明：连接BE， ∵ED⊥BC， ∴∠BDE=∠A=90°． 在Rt△ABE和Rt△DBE中 ∵， ∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）． ∴∠ABE=∠DBE． ∴点E在∠ABC的角平分线上． 知识点2 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 . 确定全等三角形对应元素的方法 （1） 符号对应法：用全等符号表示的，可根据对应字母的位置来找对应边，对应边所对的角就是对应角。 （2） 位置特征法：①公共边（角）是对应边（角）②对顶角是对应角③一对最长边（最大角）是对应边（角），一对最短边（最小角）是对应边（角） 【新知导学】 例2-1．如图，和中，，，，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N. （1）求证：； （2）求证：； （3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分；②MB平分，其中正确的一个是_______请写序号），并给出证明过程. 答案：（1）见解析 （2）见解析 （3）②，证明过程见解析 解析：（1）， ， 即， ， ， （2） ，BE＝BD， （3）结论：②，理由如下： 如图，作于K，于J， ，， ， ， MB平分 结论②成立 若①成立，同理可得， 则，根据已知条件不能判断， 则①不成立， 故答案为：②. 【对应导练】 1．如图所示，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F. （1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由； （2）若，判断BE与AF的位置关系，并说明理由. 答案：（1），理由见解析 （2），理由见解析 解析：（1）结论：. 理由：， ， E是CD的中点， ， 在与中， ， ， ； （2）结论：. 理由：由（1）知， ，， ， ， 即， ， ， . 2．如图，，，点D在边上，，交于点F. （1）求证：； （2）求证：平分. 答案：（1）见解析 （2）见解析 解析：（1）证明：，，且， ， 在和中，， . （2）证明：， ， ， ， ， 平分. 3．已知：如图，在、中，，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接. (1)求证：； (2)请判断、有何大小、位置关系，并证明. 答案：(1)见解析 (2)且，证明见解析 解析：（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）且，证明如下： 中，， ，即. 由（1）得， ，. . . 4．已知中，，、是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H. （1）求的度数； （2）求证：； （3）连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由. 答案：（1） （2）证明见解析 （3）存在， 解析：（1）证明：， ， 又、分别平分、， ， . （2），， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， . （3）存在.. 理由：连接，， ，， ，，， ， ， ， ， ， . 2、 题型训练 1. 利用斜边直角边证明三角形全等 1 .如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)判断和的位置关系并证明． ．(1)证明过程见详解；(2)和的位置关系是垂直，证明过程见详解 【分析】（1）根据直角三角形的全等的条件：斜边直角边即可求证； （2）延长与线段相交，根据全等，可找出线段与角的关系，由此即可求解． （1）解：在，中， ∵ ∴ （2）解：根据题意，画图如下， 延长交于点，由（1）可知，，， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴是直角三角形，即， ∵点、、在同一条线段上， ∴， 故和的位置关系是垂直． 【点拨】本题主要考查直角三角形的全等及线段的关系，理解三角形全等的条件，合理构造线段关系是解题的关键． 2 .如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________． 6或10/10或6 【分析】分两种情况：①当点C在线段上，证明，可得，证明，可得，则，②当点C在线段的延长线上时，同理可得． 解： ①如图1，当点C在线段上时，连接， ∵于E，于F， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵在和中，， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点C在线段的延长线上时， 同理可得，， ∴． 故答案为：6或10． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形是关键，分类讨论是解答的关键． 2. 利用全等三角形的判定、性质证明线段和差关系 3 .如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：； (2)求证：． (1)证明见分析；(2)证明见分析 【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解； （2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证． 解：（1）证明：， ， ， ， 在和中， ． （2）连接， 由证明可得， ， 在和中， ． ， ， ．    【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 4 .如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件； （2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数； （3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立． 【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（SAS）； （2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE， ∴∠E＝45°， 由（1）知△BAC≌△DAE， ∴∠BCA＝∠E＝45°， ∵AF⊥BC， ∴∠CFA＝90°， ∴∠CAF＝45°， ∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°； （3）延长BF到G，使得FG＝FB， ∵AF⊥BG， ∴∠AFG＝∠AFB＝90°， 在△AFB和△AFG中， ， ∴△AFB≌△AFG（SAS）， ∴AB＝AG，∠ABF＝∠G， ∵△BAC≌△DAE， ∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED， ∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA， ∴∠G＝∠CDA， ∵∠GCA＝∠DCA＝45°， 在△CGA和△CDA中， ， ∴△CGA≌△CDA（AAS）， ∴CG＝CD， ∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF， ∴CD＝2BF+DE． 3. 利用三角形全等的判定找全等三角形 5．[2023秋·八年级·河北邯郸·期中]如图，在中，，E，F分别是AB、AC上的点，且，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有( ) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 答案：D 解析：，， ，， 是公共边， ， ， ，， ， ， ，， ， ，，， ， ， ，， ， ，，OD是公共边， ， ，，， ， 一共7对 故选D. 6．如图，，于D，于E.BD与CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 答案：D 解析：由题意可得，，，共4对三角形全等. 故选：D. 3、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．HL 【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△CDB全等即可． 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， 故选：D． 2 .如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（　　） A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD 【分析】根据已知公共边为AB，根据HL只要找到对应的直角边AD＝BC或AC＝BD，即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC与Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， 故选：B． 3 .如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF 【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），故本选项不符合题意； B．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠DEF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），故本选项不符合题意； C．∵BA∥EF， ∴∠A＝∠ACF， 由AB＝DE，∠B＝∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF，故本选项不符合题意； D．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AC＝DF，AB＝DE，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故本选项符合题意． 故选：D． 4.如图，已知∠CAB＝∠DBA，若用“ASA”证明△ABC≌△BAD，还需要加上条件（　　） A．∠C＝∠D B．∠1＝∠2 C．AC＝BD D．BC＝AD 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：需要加上条件∠1＝∠2， 在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（ASA）， 故选：B． 5 .如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，判断出≌． 解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 在和中， ， ≌， 故选：． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题 6 .如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（    ） A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD 【答案】B 【分析】由“HL” Rt△ACE≌Rt△ADE，可得DE=CE，即可． 解：如图，连接AE， ∵DE⊥AB， ∴∠ADE=∠C=90°， 在Rt△ACE和Rt△ADE中， ∵AE=AE，AC=AD， ∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL）， ∴DE=CE． 故选：B 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 7 .如图，在的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是（    ） A．ASA B．SAS C．AAS D．HL 【答案】D 【分析】由垂线的定义可知和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据HL判定． 解：由题意可知，和都是直角三角形， 在和中， ， 满足斜边相等和一组直角边相等， 因此， 故选D． 【点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是能够依据HL判定两个直角三角形全等． 8 .如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】证明，，根据全等三角形对应边相等，得到，，由解得，继而解得，最后由解答． 解：，，， ，， ， 故选：B． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9 .如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 　 　． 【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC． 【解答】解：还需添加条件AB＝AC， ∵AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）， 故答案为：AB＝AC． 10 .如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝　7　． 【分析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE＝BC，则AB＝AD+BC． 【解答】解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ， ∴AB⊥MN， ∴∠DAE＝∠EBC＝90°， 在Rt△ADE和Rt△BCE中， ， ∴△ADE≌△BEC（HL）， ∴AE＝BC， ∵AD+BC＝7， ∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7． 故答案为7． 11.如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________． 【答案】2 【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解． 解： AB⊥AD，CE⊥BD， ， 在与中， ， ， AD＝5，CD＝7， ，BD=CD＝7， 故答案为：2 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键． 12 .如图，已知，是的两条高线，，，则___________度． 【答案】40 【分析】由，是的两条高线，得，证明，得，则，． 解：∵，是的两条高线， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 13 .如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________． 6或10/10或6 【分析】分两种情况：①当点C在线段上，证明，可得，证明，可得，则，②当点C在线段的延长线上时，同理可得． 解： ①如图1，当点C在线段上时，连接， ∵于E，于F， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵在和中，， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点C在线段的延长线上时， 同理可得，， ∴． 故答案为：6或10． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形是关键，分类讨论是解答的关键． 三、解答题（共6小题，共48分） 14 .（8分）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 【分析】根据全等三角形的判定定理HL证得Rt△ADC≌Rt△CBA，在该全等三角形的对应边相等：DC＝BA，然后再由HL来证得Rt△ABE≌Rt△CDF． 【解答】解：如图， 在Rt△ADC与Rt△CBA中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL）， ∴DC＝BA． 又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． 15 .（8分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，∠A＝51°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）求∠BOF． 【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论． 【解答】（1）证明：∵AE＝DB， ∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE， ∵∠C＝∠F＝90°， 在Rt△ACB和Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）； （2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣51°＝39°， 由（1）知：Rt△ABC≌Rt△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF， ∴∠DEF＝39°， ∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°， ∴∠BOF的度数为78°． 16 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，延长BC至点F，过点F作EF∥CD交AC于点E，AB＝EF，且CB＝CE，过点C作CH∥AB． （1）求证：∠ACH＝∠BCD； （2）求证：CD＝CH． 【分析】（1）由直角三角形的性质得∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°，则∠A＝∠BCD，再由平行线的性质得∠ACH＝∠A，即可得出结论； （2）证明Rt△ACB≌Rt△FCE（HL），得∠B＝∠CEH，再证明△BCD≌△ECH（ASA），即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵CH∥AB， ∴∠ACH＝∠A， ∴∠ACH＝∠BCD； （2）∵∠ACB＝90°， ∴∠FCE＝180°﹣90°＝90°， 在Rt△ACB和Rt△FCE中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△FCE（HL）， ∴∠B＝∠CEH， 在△BCD和△ECH中， ， ∴△BCD≌△ECH（ASA）， ∴CD＝CH． 17 .（8分）如图，四边形中，，，，，与相交于点F． (1) 求证： (2) 判断线段与的位置关系，并说明理由． (1)见分析；(2)，理由见分析 【分析】（1）根据即可证明． （2）根据得到，结合得到，即可得结论． （1）解：在和中， ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 18 .（8分）如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F． （1）求证△ACD≌△CBE； （2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由． 【分析】（1）根据小蚂蚁的速度相同求出AD＝CE，再利用“边角边”证明△ACD和△CBE全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠EBC＝∠ACD，然后表示出∠BFC，再根据等边三角形的性质求出∠ACB，从而得到∠BFC． 【解答】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同， ∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE， ∵在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）； （2）解：∵△ACD≌△CBE， ∴∠EBC＝∠ACD， ∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD， ∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD， ＝180°﹣∠ACB， ∵∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BFC无变化． 19．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F． （1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF； （2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长． 【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论； （2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了． 【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°， ∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°， ∴∠CAF＝∠EBA， 在△ABE和△AFC中， ∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC， ∴△BEA≌△AFC（AAS）． ∴EA＝FC，BE＝AF． ∴EF＝EB+CF． （2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°， ∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°， ∴∠CAF＝∠ABE， 在△ABE和△AFC中， ∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC， ∴△BEA≌△AFC（AAS）． ∴EA＝FC＝3，BE＝AF＝10． ∴EF＝AF﹣CF＝10﹣3＝7． 学科网（北京）股份有限公司 $$