精品解析：福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题

高三9月数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数的概念与性质、一元函数的导数及其应用、平面向量、三角函数与解三角形. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，且，则（ ） A. B. 8 C. D. 2 3. 已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是奇函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. “三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部在同一平面内的两个测量基点与．现测得，，在点测得雕塑顶端的仰角为，在点测得雕塑顶端的仰角为，则雕塑的高度（ ） A. 47.6m B. 35.7m C. 23.8m D. 11.9m 8. 已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 有3个零点 D. 直线与的图象仅有1个公共点 10. 记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 是的极大值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 13. 已知，，且，则______，的最小值为______． 14. 对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值； （2）求的单调区间与最大值． 16. 在中，角的对边分别为．已知． （1）求角的大小； （2）若，，求； （3）若，求的值． 17. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）若函数在上单调，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）将化成的形式； （2）求的单调区间； （3）若在上的值域为，求的取值范围． 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三9月数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数的概念与性质、一元函数的导数及其应用、平面向量、三角函数与解三角形. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 若向量，且，则（ ） A. B. 8 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量的坐标运算，结合垂直的坐标结论计算即可. 【详解】由题意得. 因为，所以，即. 故选：B. 3. 已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】当是正偶数时，显然，即其值域为． 当时，的值域为，但不是正偶数． 故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件． 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角余弦公式直接求解即可. 【详解】. 故选：D. 5. 已知是奇函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及单调性判定选项即可. 【详解】因为是奇函数， 所以，则，， 所以A，B均错误． 因为在上单调递减， 所以，则，得，C错误，D正确． 故选：D 6. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由周期求，由求，由求，得函数解析式，可求的值. 【详解】由，得周期，． 由图可知，则， 得，又，所以． 由图可知，得． 综上，，得． 故选：B 7. “三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部在同一平面内的两个测量基点与．现测得，，在点测得雕塑顶端的仰角为，在点测得雕塑顶端的仰角为，则雕塑的高度（ ） A. 47.6m B. 35.7m C. 23.8m D. 11.9m 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用两个直角三角形分别求出与，在中，由余弦定理列方程，求解即得. 【详解】设，在中，因,则， 在中，因,则， 在中，由余弦定理得，， 即，解得 故选：C. 8. 已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用导数含参讨论该函数的单调性计算即可. 【详解】令， 则. 若，则在上恒成立，则在上单调递减， 则，不符合题意. 若，则当时，，单调递减， 则，不符合题意. 若，则在上恒成立，则在上单调递增， 即，符合题意. 故的取值范围为. 故选：D 【点睛】思路点睛：通过构造函数，直接求导含参讨论函数的单调性，结合端点值，排除的情况即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 有3个零点 D. 直线与的图象仅有1个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数探讨单调性判断AB；求出函数的零点判断C；求出函数的极值，结合三次函数图象判断D. 【详解】依题意，函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，A正确，B错误； 由，得或，函数有3个零点，C正确； 函数的极大值为，极小值为，直线与的图象仅有1个公共点，D正确. 故选：ACD. 10. 记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理得，由三角形面积公式得，进而得出，再根据余弦定理求得或，即可求解． 【详解】由正弦定理得，得，则， 由，得，所以， 由余弦定理，得或17， 所以或， 所以的周长为8或， 故选：AB． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 是的极大值点 【答案】BD 【解析】 【分析】计算可判断A；计算可判断B；由判断C，求出函数的导函数，即可判断D. 【详解】对于A：函数的定义域为， 但是， 所以不是偶函数，则函数图象不关于轴对称，故A错误； 对于B：因为 ， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C：因为， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D：因为，所以， 则，且当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递增，所以在处取得极大值，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合两角差的正切公式，准确计算，即可求解. 【详解】由题意知：，， 可得． 故答案为：. 13. 已知，，且，则______，的最小值为______． 【答案】 ①. 1 ②. 8 【解析】 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：1，8 14. 对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用赋值法先判定的周期性，化，再利用赋值法计算即可. 【详解】令，得，则或（与矛盾舍去）. 令，得，则， 则，则，则. 又因为，所以，则， 从而. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：抽象函数的性质问题通常用赋值法，通过巧妙赋值先判定的周期性，再利用赋值法计算函数值即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值； （2）求的单调区间与最大值． 【答案】（1）， （2）单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，求出，并根据得到； （2）求出定义域，求导，解不等式，得到函数单调性，求出最大值. 【小问1详解】 ， 所以，切线方程为， 又，所以，则． 【小问2详解】 的定义域为． ，当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以的最大值为． 16. 在中，角的对边分别为．已知． （1）求角的大小； （2）若，，求； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形内角的范围即可求得； （2）由余弦定理计算即得； （3）方法一：利用正弦定理化边为角，再消去角，利用和角公式化简，解三角方程即得；方法二：由角的余弦定理推得，再用角的余弦定理求出，结合角的范围，即可求得的值. 【小问1详解】 由及正弦定理得，． 因为，所以，则，即． 因为，所以． 【小问2详解】 根据余弦定理得，即，解得或（舍去），故． 【小问3详解】 方法一：由和正弦定理，得，即． ，即，则得． 方法二：根据余弦定理得， 则． ,则角是锐角，故， 则． 17. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）若函数在上单调，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法求函数解析式； （2）分析每支函数的单调性，结合函数的单调性得出间断点处函数值的大小关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 令，得，则 得即 【小问2详解】 当时，在上不单调． 当在上单调递增时，得． 当在上单调递减时，得． 综上，的取值范围为． 18. 已知函数． （1）将化成的形式； （2）求的单调区间； （3）若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换化简整理即可； （2）以为整体，结合余弦函数的单调性分析求解； （3）根据的周期性和对称性，分类讨论在上是否单调，分析的最值，进而求的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得： ， 所以. 【小问2详解】 令，解得， 所以的单调递增区间为． 令，解得， 所以的单调递减区间为． 【小问3详解】 由题意得的最小正周期， 令，解得， 图象的对称轴为直线． 若在上单调，则，， 解得， 则 ． 因为，则， 可得，所以； 若在上不单调，则在上的图象上必定有一个最高点或最低点， 且在上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点，的取值范围均相同． 假设在上的图象的最高点为，则， 当，即时，，此时取得最小值，且最小值是． 又因为，则， 所以； 综上所述：的取值范围为． 【点睛】方法点睛：求解函数的性质问题的三种意识： 1.转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式； 2.整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“x”，采用整体代入求解； 3.讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论. 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） 函数是上的“双中值函数”．理由如下： 因为，所以. 因为，，所以 令，得，即，解得. 因为，所以是上的“双中值函数”. （2）①； ②不妨设， 则，，即，． 要证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 【解析】 【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可； （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，所以，所以，即的取值范围为； ②略 【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $