22.1 二次函数的图像和性质（9大题型）-2024-2025学年九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

22.1 二次函数的图像和性质（第一课时） 【考点归纳】 · 考点一、二次函数的定义 · 考点二、根据二次函数的定义求参数 · 考点三、二次函数y=ax2的图象和性质 · 考点四、二次函数y=ax2+k的图象和性质 · 考点五、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 · 考点六、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 · 考点七、二次函数图像与一次函数的交汇问题 · 考点八：二次函数的图像平移问题 · 考点九：二次函数图像和性质综合问题 【知识梳理】 知识点一 二次函数的定义 （1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做）二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数． （2）一般式：y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式． （3）二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0． 知识点二 二次函数y=ax2的图象和性质 函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0） 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0，0） （0，0） 对称轴 y轴 y轴 增减性 x>0时，y随x的增大而增大； x<0时，y随x的增大而减小 x>0时，y随x的增大而减小； x<0时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大． 知识点三 二次函数y=ax2+k的图象和性质 函数 y=ax2+k（a>0） y=ax2+k（a<0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0，k） （0，k） 对称轴 y轴 y轴 增减性 x>0时，y随x的增大而增大； x<0时，y随x的增大而减小. x>0时，y随x的增大而减小； x<0时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当x=0时，y最小值= k 当x=0时，y最大值= k 知识点四 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 函数 y=a（x-h）2（a>0） y=a（x-h）2（a<0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 对称轴 x=h x=h 增减性 x> h时，y随x的增大而增大； x<h时，y随x的增大而减小 x> h时，y随x的增大而减小； x<h时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x=h时，y最小值= 0 当x= h时，y最大值= 0 知识点五 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 函数 y=a（x-h）2+k（a>0） y=a（x-h）2+k（a<0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 对称轴 x=h x=h 增减性 x> h时，y随x的增大而增大； x<h时，y随x的增大而减小 x> h时，y随x的增大而减小； x<h时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x= h时，y最小值= k 当x= h时，y最大值= k 【题型探究】 题型一、二次函数的定义 1．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）下列y关于x的函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东青岛）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．是二次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024九年级上·全国）下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二、根据二次函数的定义求参数 4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知函数是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．6 5．（22-23九年级上·四川凉山·期中）已知是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．0 6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 题型三、二次函数y=ax2的图象和性质 7．（23-24九年级上·山东日照·期末）在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，它们图象的共同特点是（    ） A．都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点 8．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y的值随x值得增大而减小 B．y有最大值，最大值为0 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．y的值随x值得增大而减小 9．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型四、二次函数y=ax2+k的图象和性质 10．（23-24九年级上·湖北·期末）关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 11．（23-24九年级上·广东湛江·期末）若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 题型五、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 13．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 14．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列对二次函数的图像描述不正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．与轴相交于点 D．当时，函数值随的增大而减小 题型六、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 16．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）对于抛物线 ，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，随的增大而增大. 17．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·四川成都·期末）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y有最大值 C．图象的顶点坐标为 D．图象经过一、二、四象限 题型七、二次函数图像与一次函数的交汇问题 19．（24-25九年级上·全国·）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 20．（23-24九年级下·河南南阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ）    A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 21．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）已知二次函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A．B． C． D． 题型八：二次函数的图像平移问题 22．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 23．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·山东济宁·期末）已知抛物线，下列哪种平移方式可使该抛物线的顶点平移到原点（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移4个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移4个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移4个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移4个单位 题型九：二次函数图像和性质综合问题 25．（24-25九年级上·全国）把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． (1)试确定a、h、k的值； (2)指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 26．（2024九年级下·江苏·）已知二次函数的图象与直线的图象如图所示．    (1)判断的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标； (2)设直线与抛物线的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标； (3)连接，，求的面积． 27．（23-24九年级上·新疆巴音郭楞）将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线 (1)求的函数解析式； (2)设抛物线的对称轴交直线于点P，求点P的坐标； (3)设直线与抛物线交于A、B两点，求A、B两点的坐标． (4)Q点是直线下方抛物线上一动点，求面积最大是多少？此时点Q坐标是多少？ 【高分演练】 一、单选题 28．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）下列是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 30．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值 D．当时，随的增大而减小 31．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．y的最大值是1 B．图象的顶点坐标为，对称轴为直线 C．它的图象可以由向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而减小． 32．（2024·甘肃陇南·模拟预测）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·全国·假期作业）对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 34．（2024·广东河源·一模）将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 35．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中： ①当或时，；     ②当或时，； ③当时随x的增大而增大；    ④使的x的值有3个． 其中正确的个数有（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 36．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 37．（23-24九年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A．B． C． D． 38．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象与一次函数的图象交于和两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 39．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线的顶点坐标是 ． 40．（2024·江苏扬州·模拟预测）点在抛物线上，则的大小关系是 （用“<”连接）． 41．（23-24九年级下·全国·）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 42．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时， ． 三、解答题 43．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）已知函数． (1)当____________时，抛物线有最大值，是____________． (2)当x____________时，y随x的增大而增大． (3)该函数可以由函数的图象经过怎样的平移得到？ (4)该抛物线与x轴交于点____________，与y轴交于点____________．（写坐标） (5)在下面的坐标系中画出该抛物线的图象． 44．（2024·广西南宁·一模）已知二次函数． (1)写出该函数图象的对称轴 ． (2)求出该函数图象与x轴的交点坐标． (3)当时，求的取值范围． 45．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 46．（23-24九年级上·全国）如图所示，直线过和两点，它与二次函数的图像在第一象限内交于点，若的面积为． (1)求点的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)能否将抛物线上下平移，使平移后的抛物线经过点？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1 二次函数的图像和性质（第一课时） 【考点归纳】 · 考点一、二次函数的定义 · 考点二、根据二次函数的定义求参数 · 考点三、二次函数y=ax2的图象和性质 · 考点四、二次函数y=ax2+k的图象和性质 · 考点五、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 · 考点六、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 · 考点七、二次函数图像与一次函数的交汇问题 · 考点八：二次函数的图像平移问题 · 考点九：二次函数图像和性质综合问题 【知识梳理】 知识点一 二次函数的定义 （1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做）二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数． （2）一般式：y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式． （3）二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0． 知识点二 二次函数y=ax2的图象和性质 函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0） 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0，0） （0，0） 对称轴 y轴 y轴 增减性 x>0时，y随x的增大而增大； x<0时，y随x的增大而减小 x>0时，y随x的增大而减小； x<0时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大． 知识点三 二次函数y=ax2+k的图象和性质 函数 y=ax2+k（a>0） y=ax2+k（a<0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0，k） （0，k） 对称轴 y轴 y轴 增减性 x>0时，y随x的增大而增大； x<0时，y随x的增大而减小. x>0时，y随x的增大而减小； x<0时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当x=0时，y最小值= k 当x=0时，y最大值= k 知识点四 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 函数 y=a（x-h）2（a>0） y=a（x-h）2（a<0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 对称轴 x=h x=h 增减性 x> h时，y随x的增大而增大； x<h时，y随x的增大而减小 x> h时，y随x的增大而减小； x<h时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x=h时，y最小值= 0 当x= h时，y最大值= 0 知识点五 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 函数 y=a（x-h）2+k（a>0） y=a（x-h）2+k（a<0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 对称轴 x=h x=h 增减性 x> h时，y随x的增大而增大； x<h时，y随x的增大而减小 x> h时，y随x的增大而减小； x<h时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x= h时，y最小值= k 当x= h时，y最大值= k 【题型探究】 题型一、二次函数的定义 1．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）下列y关于x的函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的一般形式：形如，，为常数且，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，是二次函数，故A不符合题意； B、，不是二次函数，故B符合题意； C、，是二次函数，故C不符合题意； D、，是二次函数，故D不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．是二次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：（1）是一次函数，故不符合题意； （2）是二次函数，故符合题意； （3）的分母含自变量，不是二次函数，故不符合题意； （4）当时，不是二次函数，故不符合题意； （5）是一次函数，故不符合题意； （6）是二次函数，故符合题意； （7）当时，不是二次函数，故不符合题意． 故选B． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不符合题意； （3）是二次函数，故符合题意； （4）不是二次函数，故不符合题意； （5）不是二次函数，故不符合题意； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意； 综上所述，二次函数有2个． 故选：B． 题型二、根据二次函数的定义求参数 4．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知函数是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（a、b、c是常数，）也叫做二次函数的一般形式．根据二次函数的定义，令且，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 且， ． 故选：B． 5．（22-23九年级上·四川凉山·期中）已知是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：，是关于x的二次函数， 且， ， 故选：B． 6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c为常数，且）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键． 二次函数中，自变量最高此项的次数的值是2．二次函数中，自变量最高此项的系数不为0． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解得或． ， ， 当时，这个函数是二次函数． 故选：A． 题型三、二次函数y=ax2的图象和性质 7．（23-24九年级上·山东日照·期末）在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，它们图象的共同特点是（    ） A．都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，在同一平面直角坐标系中，画出三个函数的图象，根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，如图， A、三个函数的图象都是关于轴对称，函数和的图象开口向上，函数的图象开口向下，故此选项说法错误，不符合题意； B、三个函数的图象都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点，故此选项说法正确，符合题意； C、函数和，当时，随的增大而增大；函数，当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意； D、三个函数的图象的顶点都是原点，函数和的图象的顶点是最低点，函数的图象的顶点是最高点，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 8．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y的值随x值得增大而减小 B．y有最大值，最大值为0 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．y的值随x值得增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐选项判断即可． 【详解】解： ， 时，y的值随x值得增大而增大；A不正确； 当时，y有最大值，最大值为0，B正确； 当时，y的值随x值得增大而增大； 当时，y的值随x值的增大而减小，C不正确；D不正确； 故选：B． 9．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的性质．根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为y轴 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 点关于抛物线的对称轴的对称点为 ∵ ∴ 故选：C． 题型四、二次函数y=ax2+k的图象和性质 10．（23-24九年级上·湖北·期末）关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数中， ， 抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； 函数对称轴是y轴，故选项C正确，不符合题意； 把代入中，得， ∴图象的顶点坐标为，故选项B错误，符合题意； ∵图象开口向上，对称轴是y轴， ∴时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 11．（23-24九年级上·广东湛江·期末）若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为y轴，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， 而离y轴的距离最远，离y轴的距离最近， ∴． 故选：C． 12．（23-24九年级上·广东江门·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解，解题关键是熟练掌握二次函数图象与性质． 【详解】、的对称轴为轴，此选项说法错误，不符合题意； 、的顶点坐标为，此选项说法正确，符合题意； 、中，开口向下，则函数有最大值，此选项说法错误，不符合题意； 、中，开口向下，则函数有最大值，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 题型五、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 13．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 14．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵函数， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大， ，，， ∵， ∴， 故选：C． 15．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列对二次函数的图像描述不正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．与轴相交于点 D．当时，函数值随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解本题的关键是熟练掌握二次函数的性质与各系数的关系． 根据二次函数的对称轴为．顶点坐标为时，函数开口向下，在对称轴左边，y随的增大而增大，在对称轴右边，y随的增大而减小；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大． 逐个进行分析即可． 【详解】解：A、，开口向下，故A选项正确，不符合题意； B、二次函数的顶点坐标是，故B选项正确，不符合题意； C、当时，，与y轴交于点，故C选项不正确，符合题意； D、二次函数的对称轴为，函数开口向下，当时，函数值y随x的增大而减小，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 题型六、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 16．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）对于抛物线 ，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，随的增大而增大. 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小；即可得． 【详解】解：A、对于抛物线，对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意； B、对于抛物线，函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 17．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 18．（23-24九年级上·四川成都·期末）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y有最大值 C．图象的顶点坐标为 D．图象经过一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．根据二次函数的开口方向，顶点坐标，增减性及最值等性质，即可判断答案． 【详解】选项A，， 抛物线开口向上， 当时，y随x的增大而增大， 所以选项A错误，不符合题意； 选项B，， 抛物线开口向上， 当时，y有最小值－1， 所以选项B错误，不符合题意； 选项C，图象的顶点坐标为， 所以选项C错误，不符合题意； 选项D，令，则， 所以抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， 又抛物线开口向上，顶点在第四象限， 所以图象经过一、二、四象限，所以选项D正确，符合题意； 故选D． 题型七、二次函数图像与一次函数的交汇问题 19．（24-25九年级上·全国·）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确； C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选B． 20．（23-24九年级下·河南南阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ）    A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据抛物线顶点坐标的位置求得，，据此可得一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 【详解】解：由题意可知，二次函数的图象的顶点坐标为， 由图象可知，此拋物线的顶点在第四象限， ∴，， ∴，， ∴一次函数的图象必经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限， 故选：C． 21．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）已知二次函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，关键是由二次函数的图象判断出和的符号．由二次函数（其中）可得，，再判断出一次函数的图象经过一、三、四象限即可． 【详解】由已知二次函数图象，可得抛物线与轴的交点为和 ∵ ， 一次函数中随的增大而增大，与轴的负半轴相关． 故选：C． 题型八：二次函数的图像平移问题 22．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，已知点平移前后的坐标判断平移方式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 点向右平移个单位可得到点， 将抛物线向右平移个单位可得到抛物线， 故选：． 23．（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定出抛物线的顶点坐标，再确定出平移前的顶点坐标，根据平移不改变图象的大小与形状即可确定平移后的函数表达式． 【详解】抛物线的顶点坐标为 图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位后的顶点坐标为，由于平移不改变图形的形状与大小，则平移前的抛物线表达式为； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，关键是抓住顶点的平移，问题便迎刃而解． 24．（23-24九年级上·山东济宁·期末）已知抛物线，下列哪种平移方式可使该抛物线的顶点平移到原点（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移4个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移4个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移4个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移4个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，点在平移中的变化规律，掌握点的平移规律：“横坐标左减右加，纵坐标上加下减．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 抛物线的顶点为， 将向左平移3个单位， 再向下平移4个单位得， 故选：D． 题型九：二次函数图像和性质综合问题 25．（24-25九年级上·全国）把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． (1)试确定a、h、k的值； (2)指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． （1）根据平移规律“上加下减，左加右减”，可得答案； （2）根据二次函数的图象性质，可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）解：二次函数，即 ∵， ∴图象开口向下， 二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 26．（2024九年级下·江苏·）已知二次函数的图象与直线的图象如图所示．    (1)判断的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标； (2)设直线与抛物线的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标； (3)连接，，求的面积． 【答案】(1)抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 (2)A点坐标为，B点坐标为 (3)3 【分析】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标与二次函数解析式的关系是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）联立二次函数和一次函数解析式求解即可； （3）首先得到与y轴交点的坐标为，进而求解即可． 【详解】（1）抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）由题意得，即， 解得或， 则或， ∴A点坐标为，B点坐标为； （3）∵与y轴交点的坐标为， ∴的面积． 27．（23-24九年级上·新疆巴音郭楞）将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线 (1)求的函数解析式； (2)设抛物线的对称轴交直线于点P，求点P的坐标； (3)设直线与抛物线交于A、B两点，求A、B两点的坐标． (4)Q点是直线下方抛物线上一动点，求面积最大是多少？此时点Q坐标是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， (4)有最大值，此时点Q的坐标为： 【分析】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，以及和一次函数的结合． （1）根据二次函数平移的性质求解即可． （2）先求出抛物线的对称轴为，即点P的横坐标为2，由P点在上即可得出点P的坐标． （3）联立和方程组求解即可得出A、B两点的坐标． （4）根据抛物线解析式设点，过点Q作轴交与点N，则，求得，即可列出关于m的方程，利用二次函数的性质求最值和点坐标即可． 【详解】（1）解：将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线， 则 （2）∵ ∴抛物线的对称轴为， ∵抛物线的对称轴交直线于点P， ∴． （3）根据题意联立方程， 解得：，， ∴，， ∴， （4）， 设点，， 过点Q作轴交与点N，则， ∴， ∴ ， 故当时，有最大值， 当，则 此时点Q的坐标为：． 【高分演练】 一、单选题 28．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）下列是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键； 根据二次函数的定义：一般地，把形如 ，（a、b、c是常数）的函数叫作二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．等号右边自变量的最高次数是2，逐项解答即可 【详解】解：A． ，符合二次函数的定义，故该选项符合题意； B．，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； C． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； D． ，不是整式，不符合二次函数的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 29．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选C． 30．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据二次函数各项系数，顶点坐标，对称轴等知识即可求解，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 31．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．y的最大值是1 B．图象的顶点坐标为，对称轴为直线 C．它的图象可以由向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而减小． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据函数解析式的性质判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：二次函数，， ∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为，当时，y有最大值1，当时，y的值随x值的增大而减小，当时，y的值随x值的增大而增大； 故选项A、B的说法正确，D的说法错误； 根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到； 故选项C的说法正确， 故选：D． 32．（2024·甘肃陇南·模拟预测）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，距离对称轴越远函数值越小是解答本题的关键．根据点距离对称轴越远函数值越小判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，根据点距离对称轴越远函数值越小， 距离对称轴6， 距离对称轴2， 距离对称轴1， ， ， 故选：A 33．（24-25九年级上·全国·假期作业）对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的增减性，由，抛物线开口向上，而对称轴为直线，可得答案； 【详解】解：∵二次函数， 由于，抛物线开口向上， 而对称轴为直线， 所以当时，y随x的增大而增大． 故选D 34．（2024·广东河源·一模）将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 把点向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 故选：A． 35．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中： ①当或时，；    ②当或时，； ③当时随x的增大而增大；     ④使的x的值有3个． 其中正确的个数有（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由图知：抛物线与直线交于和，由此可判断①正确；求出，将和代入求值即可判断②正确；由，根据二次函数的增减性可判断③错误；由得，则可得或．根据一元二次方程根的判别式即可判断④错误． 【详解】由图知：抛物线与直线交于和， 当或时，； 故①正确； 当时，， 当时， ， 故②正确； ，开口向下，对称轴为， ∴当时随x的增大而减小；    故③错误； 由得， ∴或． 由得， ∵， ∴此方程无解； 由得， ∵， ∴此方程由两个不相等的实数根． ∴使的x的值有2个， 故④错误； 综上，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数综合以及函数增减性等知识，正确利用数形结合得出是解题关键． 36．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 37．（23-24九年级下·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误． 解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意． 故选：B． 38．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象与一次函数的图象交于和两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线，由函数图象与系数的关系讨论和两点中与的关系． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线， 若，， 抛物线开口向下，一次函数中随增大而减小， 设，则， ， ． 故选：C． 二、填空题 39．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要靠考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 40．（2024·江苏扬州·模拟预测）点在抛物线上，则的大小关系是 （用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中变化时，抛物线的开口方向以及对称轴的位置对的影响是解题的关键．根据可求出函数的对称轴，点、在对称轴右侧，函数图形开口向上，随增大而增大，可以判断的大小，而点点离对称轴最远，故的值最大，据此即可判断． 【详解】解：∵的开口向上，且对称轴为， ∵、点在抛物线右侧，， ∴， ∵离对称轴最远，值最大，离对称轴最近，值最小， ∴ 故答案为：． 41．（23-24九年级下·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键，根据函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式； 【详解】根据A的描述可设二次函数关系式为， 根据C的描述可知，则， 再结合B的描述可得出，且， 所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是， 故答案为： (答案不唯一)． 42．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时， ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的性质以及正方形的性质，根据“美丽抛物线”的定义，得出D的坐标为，再运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． 【详解】解：依题意，∵ ∴抛物线的顶点A的坐标为，点C的坐标为 ∵“美丽抛物线”的定义 ∴点D的坐标为 将代入， 得 解得（舍去）或． 故答案为：8 三、解答题 43．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）已知函数． (1)当____________时，抛物线有最大值，是____________． (2)当x____________时，y随x的增大而增大． (3)该函数可以由函数的图象经过怎样的平移得到？ (4)该抛物线与x轴交于点____________，与y轴交于点____________．（写坐标） (5)在下面的坐标系中画出该抛物线的图象． 【答案】(1)1；4 (2) (3)见解析 (4)和； (5)见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与轴的交点坐标、二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标，再根据二次项系数为得出抛物线开口向下，由此即可得出结论； （2）根据抛物线开口方向结合抛物线的对称轴，即可找出单增区间； （3）找出函数的顶点坐标，结合函数的顶点坐标，即可找出平移的方法； （4）令可得出关于的一元二次方程，解方程求出值，由此得出抛物线与轴的交点坐标；令求出值，由此即可得出抛物线与轴的交点坐标； （5）列表，描点，连线即可画出该抛物线的图象． 【详解】（1）解：函数解析式为， 抛物线的开口向下，顶点坐标为． 当时，抛物线有最大值，是4． 故答案为：1；4； （2）解：抛物线的开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大． 故答案为：； （3）解：函数的顶点坐标为， 将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得出函数的图象． （4）解：令，则有， 解得：，， 该抛物线与轴的交点坐标为和． 当时，， 该抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：和；． （5）解：列表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 描点，连线，该抛物线的图象如图： ． 44．（2024·广西南宁·一模）已知二次函数． (1)写出该函数图象的对称轴 ． (2)求出该函数图象与x轴的交点坐标． (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)该函数图象与x轴的交点坐标， (3) 【分析】（1）根据顶点式可确定对称轴即可； （2）将代入函数解析式可确定抛物线与轴的交点； （3）根据顶点坐标，可确定时，的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线； （2）解：当时，即 解得，， ∴该函数图象与x轴的交点坐标，． （3）解：∵顶点坐标为．抛物线开口向下， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值 7， 又， ∴当时取得最小值，最小值， ∴当时，． 【点睛】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：，顶点坐标为，对称轴．解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围． 45．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系； （1）由图像过点，得，即可求解； （2）可得，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解； （3）由根的判别式和根于系数的关系得，，即可求解； 掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】（1）解：图像过点，， ； 故答案：； （2）解：由（1）得 ， ， ， ， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 到对称轴距离越小的点，纵坐标越大， ； （3）解：由（1）得 ， 整理得：， 方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根， ， 令，画出图象如图所示： 由图象得：或， ∵方程有一个正根和一个负根， ∴， 则有 同理由图象求得， 或， 综上：a的取值范围为：或． 46．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示，直线过和两点，它与二次函数的图像在第一象限内交于点，若的面积为． (1)求点的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)能否将抛物线上下平移，使平移后的抛物线经过点？ 【答案】(1) (2) (3)故能将抛物线向下平移个单位长度，使平移后的抛物线经过点 【分析】此题考查二次函数图像与几何变换，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积是解题的关键； （1）有题意直线过点和两点，根据待定系数法求出直线的解析式，再根据的面积为求出点的纵坐标，然后将其代入直线的解析式，即可求出点坐标； （2）把点的坐标代入，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）设将抛物线上下平移后抛物线为，把点坐标代入，求出的值即可； 【详解】（1）设直线的解析式为： 直线过和两点， ，， ，， ， 的面积为， ， ， ， 解得：， 点的坐标为： （2）把点代入， 得， 解得：， 故二次函数解析式为： （3）设将抛物线上下平移后解析式为：， 把点代入，得， 解得：， 故能将抛物线向下平移个单位长度，使平移后的抛物线经过点 2 学科网（北京）股份有限公司 $$