精品解析：安徽省阜阳市亲情学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

2024秋季亲情学校高二年级开学考试卷 数学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. R B. C. D. {1} 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集运算直接计算即可. 【详解】因为，，所以， 故选：D 2. 设复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件求出复数z，得共轭复数，由几何意义知在复平面内对应的点所在象限. 【详解】因为，所以， ∴ ∴在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B 3. 已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得： 命题的否定是． 故选：D 4. 设， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数以及对数的性质，与中间值0和1比较，即可求解. 【详解】，，， ∴ 故选：A． 5. 已知，（ ） A. －2024 B. C. D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式计算得解. 【详解】由题意得：，则， ． 故选：D 6. 已知向量， ，设，的夹角为θ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用坐标计算向量的夹角后得到，再利用特殊角的三角函数值计算结果即可； 【详解】因为向量， ，且，的夹角为θ， 所以，∴， 则， 故选：C. 7. 已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，根据子集关系列式即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：B 8. 已知某随机试验中，事件A，B，C发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. ()与C是互斥事件，且是对立事件 B. 一定是必然事件 C. 的概率一定不超 D. 的概率一定等于0.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据A，B，C不一定互斥，利用和事件的一般概率公式计算可判断各选项得解. 【详解】由事件A，B，C不一定两两互斥， 所以， ，且， 所以不一定是必然事件，无法判断与C是不是互斥事件， 所以A、B、D中说法错误． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】利用周期公式计算即可判断A项，求出原函数的递增区间，再与B项中的区间对照即可判断；利用代入计算，结合正弦函数的图象的最值点和零点，即可判断C,D两项. 【详解】对于A，的最小正周期为，所以A正确； 对于B，由,，得，, 取，可得在上单调递增，则在上有增有减，故B错误； 对于C，因，故直线不为的一条对称轴，即C错误； 对于D，因，故点是图象的一个对称中心，所以D正确； 故选：AD. 10. 已知正方体的棱长为2，E是正方形的中心，F是棱CD(包含顶点)上的动点，则以下结论正确的是（ ） A. EF的最小值为 B. 存在点F，使EF⊥ C. 三棱锥的体积是定值 D. 直线EF与平面所成角的正切最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到F为CD中点时，EF取得最小值，由勾股定理求出最小值；B选项，当点F与点C重合时，证明线面垂直，得到⊥，⊥EF；C选项，根据的面积不变，点E到平面距离不变，得到三棱锥体积不变；D选项，取的中点，证明出当与重合时，平面，由对称性可知，当点F与点C或D重合时，直线EF与平面所成角最大，故正切值最大，求出各边长，得到正切最大值. 【详解】对于A，取的中点，连接，则⊥平面， 连接FM，显然F为CD中点时，EF取得最小值， 此时，故A不正确． B选项，当点F与点C重合时，因为⊥， 又⊥平面，平面，故⊥， 又，平面， 故⊥平面，又平面，所以⊥， 所以⊥EF，所以B正确； C选项，的面积不变，点E到平面(平面)的距离不变， 所以三棱锥的体积是定值，所以C正确； D选项，取的中点，连接，， 则，， 取的中点，连接，则，故四边形为平行四边形， 故，由于平面，平面， 故平面，故当与重合时，平面， 由对称性可知，当点F与点C或D重合时， 直线EF与平面所成角最大，故正切值最大， 最大值为，所以D正确. 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 11. 已知正实数、满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，解出的取值范围，可判断AB选项；由已知可得出，利用二次函数的基本性质结合的取值范围，可得出的取值范围，可判断CD选项. 【详解】因为正实数、满足， 则， 因为，解得，当且仅当时，取最大值，则A对B错； 因为， 所以，， 令，因为函数在上单调递减， 所以，，C对D错. 故选：AC. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校高一年级实验班有310名同学，培优班有630名同学，按比例分配分层随机抽样从该校高一年级实验班和培优班一共抽取94人组成样本，调查高一学生的期末数学考试成绩，则应从培优班抽取的学生人数为______． 【答案】63 【解析】 【分析】根据已知条件，结合分层抽样定义，列算式求解． 【详解】由题意可知，从培优班中抽取的人数为：人． 故答案为：63． 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，角A的平分线AD交BC于点D，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合面积关系可得，进而求面积. 【详解】如图所示， 由题意可知：， 因为， 则， 即，解得， 所以的面积为. 故答案为：. 14. 设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，，()，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，得到，，并解得，因为的两根为和，所以，，故，换元后求出取值范围. 【详解】画出函数的图象，如下图： 因为关于x的方程恰有3个不同的实数根()， 则，，， 所以或（舍去）， 又，即的两根为和，所以，， ， ， ， 令，则，因为，所以，即， ， 当时，取得最小值，最小值为， 又或3时，， 所以． 故答案为： 【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，， ，，且与的夹角为． （1）求和的值； （2）若与垂直，求λ的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义求出，再利用向量数量积的运算律计算； （2）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得. 【小问1详解】 ∵，，且与的夹角为， ∴, 故； 【小问2详解】 ∵与垂直， ∴， 即，解得：． 16. 某市教育局组织全市150名校园安全员参加校园安全知识竞赛，竞赛后对其成绩(满分100分)进行统计，将数据按，， ， ， 分为5组，其频率分布直方图如图所示． （1）试估计这150名安全员竞赛成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) （2）教育局拟对竞赛得分不低于85分的安全员进行表彰，试估计本次竞赛受表彰的安全员有多少位； （3）该教育局准备对本次安全知识竞赛成绩较差的15%的安全员开展校园安全知识讲座，则需要参加讲座的安全员的分数不超过多少分(结果四舍五入成整数). 【答案】（1）79.4 （2）54 （3）66 【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图计算平均数即可； （2）根据频率分布直方图计算不低于85分的概率乘以150计算； （3）根据频率分布直方图应用概率得即可求出分数. 【小问1详解】 ， 所以估计这150名安全员竞赛成绩的平均分为79.4． 【小问2详解】 因为这150位安全员得分不低于85分的频率为：，，所以估计本次竞赛受表彰的安全员有54位． 【小问3详解】 由频率分布直方图可得，第一组的频率为， 前两组的频率之和为． 设需要参加讲座的居民的分数不超过x，则． ． 故需要参加讲座的居民的分数不超过66分． 17. 已知一不透明袋子中有5个大小质地完全相同的围棋子，其中2个白棋子、3个黑棋子，从中不放回地依次随机摸出2个棋子，求下列事件的概率： （1）“第一次摸到的是白棋子”； （2）“两次摸到的都是白棋子”； （3）“两次摸到的棋子颜色不一样”． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件和包含的样本点，即可求解； （2）利用首先计算样本容量，再计算事件和包含的样本点，即可求解； （3）利用对立事件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 将两个白棋子编号为1,2，三个黑棋子编号为3,4,5，两次摸球的样本点用编号表示如下： (1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、 (2,1)、(2,3)、(2,4)、(2,5) (3,1)、(3,2)、(3,4)、(3,5)、 (4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,5)、 (5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4) 第一次摸到的是白棋子的样本点有8种，即 (1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)， (2,1)、(2,3)、(2,4)、(2,5) 所以 【小问2详解】 两次摸到的都是白棋子的样本点有2种，即(1,2)、(2,1)，所以； 【小问3详解】 两次摸到的棋子颜色不一样的样本点有 (1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)，(2,5)， (3,1)，(3,2)、(41,)、(4,2)，(5,1)，(5,2)， 所以. 18. 已知的内角的对边分别为． （1）若，求的取值范围； （2）若，设的中点为，若，求周长的值； （3）若，，且为锐角三角形，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边角转化得到，再利用余弦定理及重要不等式，得到，即可求解； （2）利用余弦定理及向量的中线公式得到，，即可求解； （3）利用正弦定理得到，，从而得到，再利用的范围，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， ， 因为即，当且仅当时，等号成立，又因为，所以. 【小问2详解】 因为，由余弦定理得：，又， 所以①，又中点为，所以， 得到，即②， 由①②得，，所以，得到， 所以周长等于. 【小问3详解】 因为，，由正弦定理，且, 得到， 所以，， 所以， 又为锐角三角形，所以有，得到， 所以，又由，解得， 所以，所以， 故的周长的取值范围为． 19. 如图，已知在矩形中，，，点是边中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：面； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）法一：利用线面平行判断定理，构造中位线，即可证明；法二：构造面面平行，即可证明线面平行； （2）由几何关系，证明，，即可证明线面垂直； （3）根据（2）的结果，再作，即可证明平面，同时构造二面角的平面角，即可求解余弦值. 【小问1详解】 法一：在矩形中，连接，交于点，则易知四边形为矩形， 所以与互相平分，即点为中点，又因为点为中点， 所以在三棱锥中，，平面，平面， 所以平面 法二：取线段的中点，连接、， 翻折前，在矩形中，为的中点，， 则，所以，， 翻折后，在三棱锥中，、分别为、的中点， 则，平面，平面，平面， 为的中点，且，则， 所以，为的中点，又因为为的中点，所以，， ∵平面，平面，所以，平面， ∵，所以，平面平面， 因为平面，∴平面； 【小问2详解】 在矩形ABCD中，，， ，， 因为，则， 因为，为的中点，所以，，则 所以，，所以，， 所以，即， 在三棱锥中，则有，， 因为，所以，平面． 【小问3详解】 在三棱锥中，，，， 所以，，， 过点作，垂足为点，连接， 平面，平面，， 因为，，平面， ∵平面，，所以，二面角的平面角为， 在中，，，， ，所以为直角三角形，，所以， 又因为，所以 故，因此，二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024秋季亲情学校高二年级开学考试卷 数学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. R B. C. D. {1} 2. 设复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知命题，则为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 4. 设， ， ，则a，b，c大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，（ ） A. －2024 B. C. D. －1 6. 已知向量， ，设，的夹角为θ，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知某随机试验中，事件A，B，C发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. ()与C是互斥事件，且是对立事件 B. 一定是必然事件 C. 的概率一定不超 D. 的概率一定等于0.5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象关于点对称 10. 已知正方体的棱长为2，E是正方形的中心，F是棱CD(包含顶点)上的动点，则以下结论正确的是（ ） A. EF的最小值为 B. 存在点F，使EF⊥ C. 三棱锥体积是定值 D. 直线EF与平面所成角的正切最大值为 11. 已知正实数、满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 的最大值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校高一年级实验班有310名同学，培优班有630名同学，按比例分配分层随机抽样从该校高一年级实验班和培优班一共抽取94人组成样本，调查高一学生的期末数学考试成绩，则应从培优班抽取的学生人数为______． 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，角A的平分线AD交BC于点D，，则的面积为______． 14. 设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，，()，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，， ，，且与的夹角为． （1）求和的值； （2）若与垂直，求λ的值． 16. 某市教育局组织全市150名校园安全员参加校园安全知识竞赛，竞赛后对其成绩(满分100分)进行统计，将数据按，， ， ， 分为5组，其频率分布直方图如图所示． （1）试估计这150名安全员竞赛成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) （2）教育局拟对竞赛得分不低于85分的安全员进行表彰，试估计本次竞赛受表彰的安全员有多少位； （3）该教育局准备对本次安全知识竞赛成绩较差的15%的安全员开展校园安全知识讲座，则需要参加讲座的安全员的分数不超过多少分(结果四舍五入成整数). 17. 已知一不透明袋子中有5个大小质地完全相同的围棋子，其中2个白棋子、3个黑棋子，从中不放回地依次随机摸出2个棋子，求下列事件的概率： （1）“第一次摸到的是白棋子”； （2）“两次摸到的都是白棋子”； （3）“两次摸到的棋子颜色不一样”． 18. 已知的内角的对边分别为． （1）若，求的取值范围； （2）若，设的中点为，若，求周长的值； （3）若，，且为锐角三角形，求周长取值范围． 19. 如图，已知在矩形中，，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：面； （3）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$