2.5 逆命题和逆定理 同步课后练习2024-2025学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册2.5 逆命题和逆定理 同步课后练习 班级： 姓名： 同学们： 练习开始了，希望你认真审题，细致做题，运用所学知识解决本练习。祝你收获满满，学习进步，榜上有名！ 一、单选题 1．下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（　　） ⑴全等三角形的对应边相等； ⑵对顶角相等； ⑶等角对等边； ⑷全等三角形的面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题中，逆命题错误的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．对顶角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 3．以下命题的逆命题为真命题的是（　　） A．邻补角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．若 ，则 D．若 ，则 4．下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．若 ，则 ． D．若 ，则 5．“对顶角相等”的逆命题是（　　） A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等 D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角 6．下列定理中没有逆定理的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．对顶角相等 D．在同一个三角形中，等边对等角 7．下列命题：①成轴对称的两个三角形是全等三角形；②当a＞b时，若c＞0，则ac＞bc；③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；④内错角相等，其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．对于下列命题：①若a2＞b2，则|a|＞|b|；②若a+b＝0，则|a|＝|b|；③等边三角形的三个内角都相等；其中原命题与逆命题均为真命题的是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 9．下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．直角三角形的两个锐角互余 B．有两边相等的三角形是等腰三角形 C．相等的两个角是对顶角 D．如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0 10．下列命题的逆命题一定成立的是（　　） A．在三角形中，等边对等角 B．全等三角形的对应角相等 C．若 ，则 D．若 ，则 二、填空题 11．“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是　 　．这个逆命题是　 　命题．（真、假） 12．“全等三角形的对应边相等”的逆命题是：　 　． 13．命题“如果ab＝0，那么a+b＝0”的逆命题为 　 　． 14．写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题：　 　． 15．写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题：　 　． 16．写出命题“全等三角形的周长相等”的逆命题：　 　． 17．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.”写出它的逆命题：　 　，该逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）. 18．把命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是　 　；该命题是　 　命题（填“真”或“假”）. 19．“对顶角相等”这个命题的逆命题是　 　. 20．命题“若a2＞b2则a＞b”是　 　命题（填“真”或“假”），它的逆命题是　 　． 三、解答题 21．写出命题：“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并证明其逆命题是真命题.（要求写出已知、求证和证明过程） . 22．写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由． 23．已知命题：“P 是等边△ABC 内的一点，若 P 到三边的距离相等，则 PA=PB=PC．” （1）写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明． （2）进一步证明：点 P 到等边△ABC 各边的距离之和为定值． 24．按要求完成下列各小题． （1）请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果a+b＞0，那么ab＞0； （2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否为逆定理． 25．写出以下命题的逆命题，判断逆命题的真假．若为假命题，请举反例；若为真命题，请给予证明． （1）一次函数y=kx+b，若k＞0，b＜0，则它的图象不经过第二象限； （2）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等． 四、综合题 26．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是真命题，还是假命题． （1）两直线平行，同位角相等 （2）如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等． 27． （1）写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假； （2）若该命题的逆命题为真命题，请证明；若该命题的逆命题为假命题，请举出反例. 28．写出下列两个定理的逆命题，并判断真假 （1）在一个三角形中，等角对等边． （2）四边形的内角和等于360°． 29．写出下列命题的逆命题： （1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行； （2）角平分线上的点到角的两边的距离相等； （3）若r²=a，则r叫a的平方根； （4）如果a≥0，那么 =a． 30．综合题。 （1）证明：“三角形内角和是180°”； （2）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，判断这一逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题给出证明，如果是假命题，说明理由． 1．【答案】B 【解析】【解答】（1）逆命题是：对应边相等的两个三角形全等，符合题意； （2）逆命题是：相等的角是对顶角，不符合题意； （3）逆命题是：等边对等角，符合题意； （4）逆命题是：面积相等，两三角形全等，不符合题意． 故答案为：B． 【分析】根据全等三角形的性质、对顶角的性质和等边对等角的性质逐项判断即可。 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，符合题意，故本选项不符合题意； B、逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故本选项符合题意； C、逆命题是：若一个三角形两锐角互余，则为直角三角形，符合题意，故本选项不符合题意； D、逆命题是：若一个三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方则为直角三角形，符合题意，故本选项不符合题意． 故答案为：B． 【分析】先求出各选项的逆命题，再判断即可。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A、邻补角相等的逆命题是：互补的两个角相等，是假命题，不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，符合题意； C. 若a=b，则 的逆命题为若 ，则a=b，此逆命题为假命题，故不符合题意； D. 若a>0，b>0，则 的逆命题为若 ，则a>0，b>0，此逆命题为假命题，故不符合题意． 故答案为：B． 【分析】根据命题的定义对每个选项一一判断即可。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：A. 对顶角相等的逆命题：相等的角是对顶角，是假命题； B. 全等三角形的对应角相等的逆命题：对应角相等的三角形全等，是假命题； C. 若 ，则 的逆命题：若 ，则 ，是真命题； D. 若 ，则 的逆命题：若 ，则 ，∵ ， ，∴是假命题 故答案为：C 【分析】先求出各项的逆命题，再根据真命题的定义逐项判断即可。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”. 故答案为：B. 【分析】命题“对顶角相等”可改写为：如果两个角为对顶角，那么它们相等，将条件与结论互换就可得到逆命题. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：A、两直线平行，内错角相等的逆定理是内错角相等，两直线平行，故A不符合题意； B、角平分线上的点到这个角两边的距离相等的逆命题是到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，故B不符合题意； C、对顶角相等没有逆定理，故C符合题意； D、在同一个三角形中，等边对等角的逆命题是在同一个三角形中，等角对等边，故D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】利用平行线的判定和性质是互逆定定理，可对A作出判断；角平分线的判定和性质是互逆定理，可对B作出判断；对顶角相等没有逆定理，可对C作出判断；利用等腰三角形的判定）等角对等边和性质（等边对等角）是互逆定理，可对D作出判断. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：①成轴对称的两个三角形是全等三角形为真命题，其逆命题为假命题，不符合题意； ②当a＞b时，若c＞0，则ac＞bc为真命题，其逆命题也为真命题，符合题意； ③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半为真命题，其逆命题为真命题，符合题意； ④内错角相等为假命题，其逆命题也为假命题，不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：①若a2＞b2，则|a|＞|b|成立，故此命题是真命题；其逆命题：若|a|＞|b|，则a2＞b2成立，故此逆命题是真命题，故①符合题意； ②若a+b=0，则|a|=|b|是真命题，但逆命题若|a|=|b|，则a=b或a+b=0，是假命题； ③等边三角形的三个内角都相等原命题是真命题；其逆命题为三个角相等的三角形是等边三角形，也是真命题，故③符合题意； 故答案为：C. 【分析】若a2＞b2，则|a|＞|b|的逆命题为：若|a|＞|b|，则a2＞b2，据此判断①；若a+b=0，则|a|=|b|的逆命题为：若|a|=|b|，则a+b=0，据此判断②；根据等边三角形的判定与性质可判断③. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题； B、有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形有两边相等，是真命题； C、相等的两个角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题； D、如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0的逆命题是如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0，是假命题； 故答案为：D． 【分析】根据假命题的定义对每个选项一一判断即可。 10．【答案】A 【解析】【解答】解：A、此选项的逆命题是在三角形中，等角对等边，一定成立，故符合题意； B、此选项的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，对应角相等的三角形也有可能是相似三角形，故不符合题意； C、此选项的逆命题是若 ，则 ，若 ，a和b也可能互为相反数，故不符合题意； D、此选项的逆命题是若 ，则 ，而 时，解得 或0，故不符合题意. 故答案为：A. 【分析】A、根据等腰三角形的判定“等角对等边”可知逆命题成立； B、对应角相等的三角形可以是全等三角形，也有可能是相似三角形，于是可知逆命题不成立； C、若 ，可得a和b可能相等也可能互为相反数，于是可知逆命题不成立； D、因为方程的解有两个，分别为2和0，于是可知逆命题不成立. 11．【答案】一边上的中线与高线重合的三角形是等腰三角形；真 【解析】【解答】解：等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是一边上的中线与高线重合的三角形是等腰三角形，这个逆命题是命题. 故答案为：一边上的中线与高线重合的三角形是等腰三角形，真. 【分析】将原命题的题设和结论互换，可得到原命题的逆命题；再利用等腰三角形的判定定理，可知此逆命题的真假. 12．【答案】三边对应相等的三角形是全等三角形 【解析】【解答】命题“全等三角形的对应边相等”的题设是：如果两个三角形是全等三角形，结论是：这两个三角形的对应边相等 则此命题的逆命题是：三边对应相等的三角形是全等三角形 故答案为：三边对应相等的三角形是全等三角形． 【分析】根据逆命题的判断方法可得出答案。 13．【答案】如果 ，那么 【解析】【解答】解：“如果ab＝0，那么a+b＝0”的逆命题为：如果 ，那么 ， 故答案为：如果 ，那么 ， 【分析】根据逆命题的定义，再结合题意求解即可。 14．【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形 【解析】【解答】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形. 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 【分析】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，据此可写出已知命题的逆命题. 15．【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】【解答】解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题有两个角相等的三角形是等腰三角形. 故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 【分析】利用逆命题就是原命题的题设和结论互换，由此可得到此命题的逆命题. 16．【答案】周长相等的两个三角形全等 【解析】【解答】解：全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的两个三角形全等. 故答案为：周长相等的两个三角形全等. 【分析】求一个命题的逆命题就是将原命题的题设和结论互换即可. 17．【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假 【解析】【解答】解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题， 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假. 【分析】命题是由题设和结论组成，逆命题将原命题的题设和结论互换，据此填空即可. 18．【答案】如果两个角是内错角，那么这两个角相等；假 【解析】【解答】解：命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是内错角，那么这两个角相等， 该命题是假命题， 故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；假. 【分析】命题是由题设和结论组成，如果后面是题设，那么后面是结论，据此解答即可. 19．【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角 【解析】【解答】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角. 故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角. 【分析】“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，然后将条件、结论互换就可得到原命题的逆命题. 20．【答案】假；若a＞b，则a2＞b2 【解析】【解答】解：当a=-2，b=1时 a2＞b2，a＜b， ∴“若a2＞b2则a＞b” 是假命题； 它的逆命题为：若a＞b，则a2＞b2. 故答案为：假，若a＞b，则a2＞b2. 【分析】利用举例法可以判断原命题的真假；一个命题的逆命题就是原命题的题设和结论互换，即可求解. 21．【答案】逆命题是：一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD＝CE， 求证：△ABC是等腰三角形. 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB. ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， 又∵BD＝CE，BC＝CB， ∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL)， ∴∠BCD＝∠CBE， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形 【解析】【分析】（1）交换命题的题设和结论即可写出其逆命题；（2）通过HL证得Rt△BCD≌Rt△CBE得到∠ABC=∠ACB，则等角对等边：AB=AC，即△ABC是等腰三角形. 22．【答案】解：命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题． 如图，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD=BE， ∵BC=BC， ∴△CBD≌△BCE（HL）， ∴∠DBC=∠ECB， ∴△ABC为等腰三角形． 【解析】【分析】根据命题与逆命题的性质判断即可. 23．【答案】（1）解：逆命题：P 是等边三角形 ABC内的一点，若PA=PB=PC，则P到三边的距离相等． 该逆命题成立．已知：如图：P是等边△ABC内的一点，若PA=PB=PC，PD⊥AB于D，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，求证：PD=PE=PF.证明：∵PA=PB，∴P 在 AB 的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C 在 AB 的垂直平分线上，∴CP 是 AB 的垂直平分线，∴CP 平分∠ACB，同理，BP 平分∠ABC，AP 平分∠BAC，∴P 是△ABC 三个角的角平分线的交点，又∵PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，∴PD=PE=PF． （2）证明：设AB边上的高为h， ∵AB=BC=AC 且 S△ABC=S△ABP +S△PBC +S△APC， ∴AB.h=AB.PD+BC.PE+AC.PF， ∴h=PD+PE+PF， ∴点P到等边△ABC各边的距离之和为定值．定值为该三角形任意边上的高长. 【解析】【分析】（1）由垂直平分线的判定得出点P、点C均在 AB 的垂直平分线上，即CP 是 AB 的垂直平分线；再根据等腰三角形的性质得出CP 平分∠ACB； 同理，BP 平分∠ABC，AP 平分∠BAC，根据角平分线的性质得出PD=PE=PF． （2）设AB边上的高为h，由 S△ABC=S△ABP +S△PBC +S△APC，从而得出h=PD+PE+PF，即为定值. 24．【答案】解：（1）①相等的角是内错角的逆命题是：如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②如果a+b＞0，那么ab＞0的逆命题是：如果ab＞0，那么a+b＞0． （2）因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题，故（1）中①的原命题和逆命题不是逆定理． 【解析】【分析】（1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设． （2）首先明确什么是定理，定理必须是真命题，而（1）中①原命题就不是真命题，故①中的原命题与逆命题不是逆定理． 25．【答案】解：（1）逆命题：一次函数y=kx+b，若它的图象不经过第二象限，则k＞0，b＜0， 是假命题，k＞0，b=0也可以； （2）逆命题，一边上的中点到其余两边的距离相等的三角形是等腰三角形； 已知：如图，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF， 求证：三角形ABC为等腰三角形； 证明：如图，∵DE=DF，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等角对等边） ∴△ABC为等腰三角形． 【解析】【分析】（1）把命题的题设与结论交换，再根据一次函数的图象的性质判断即可； （2）把题设与结论交换，然后作出图形，根据中点性质可得BD=CD，利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，再利用等角对等边证明AB=AC即可． 26．【答案】（1）解：逆命题：同位角相等，两直线平行； 它是是真命题； （2）解：逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．； 它是假命题 【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 27．【答案】（1）解：逆命题是：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形；是真命题 （2）解：已知:如图△ABC中AD⊥BC，BD=DC 求证:△ABC是等腰三角形 证明：∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵BD=DC ，AD=AD ∴△ACP≌△BCE． ∴AB=AC即△ABC是等腰三角形 【解析】【分析】（1）原命题的条件是“ 如果一个三角形是等腰三角形 ”，结论是“ 底边上的高线与中线互相重合 ”，根据逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件解答即可； 如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合， 那么这边上的高就是垂直平分线，根据垂直平分线的性质定理得三角形的两边相等，则这个三角形是等腰三角形； （2）根据已知条件，利用边角边定理即可证明 △ACP≌△BCE，则对应边AB=AC，可得△ABC是等腰三角形 . 28．【答案】（1）解：逆命题：在一个三角形中，等边对等角．真命题 （2）解：内角和等于360°的多边形是四边形．真命题 【解析】【分析】将原命题改写成若果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题；两个命题的逆命题： （1）在一个三角形中，等边对等角，根据已有的定理可以判断出此命题是真命题； （2）内角和等于360°的多边形是四边形．根据已有的定理可以判断出此命题是真命题。 29．【答案】（1）解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 （2）解：到角的两边的距离相等的点在角平分线上 （3）解：若r是a的平方根，那么r²=a （4）解：如果. =a，那么a≥0 【解析】【分析】将原命题改写成若果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题；故可得出各个命题的逆命题 （1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； （2）到角的两边的距离相等的点在角平分线上； （3）若r是a的平方根，那么r²=a； （4）如果=a，那么a≥0. 30．【答案】（1）证明：已知：△ABC， 求证：∠BAC+∠B+∠C=180°， 证明：过点A作EF∥BC， ∵EF∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°． 即知三角形内角和等于180° （2）解：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是一个三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，是真命题． 已知，如图，△ABC中，D是AB边的中点，且CD= AB 求证：△ABC是直角三角形， 证明：∵D是AB边的中点，且CD= AB， ∴AD=BD=CD， ∵AD=CD， ∴∠ACD=∠A， ∵BD=CD， ∴∠BCD=∠B， 又∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B=180°， ∴2（∠ACD+∠BCD）=180°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质、平角的定义证明；（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$