精品解析：北京市海淀区中国人民大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024-2025学年度第一学期初三年级数学练习1 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，26道题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，直线与分别交于点，过点作于点．若，则大小为（ ） A. B. C. D. 3. a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C D. 6. 如图，在点中，一次函数的图象可能经过的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 当时，下列各式中有意义的是（ ） A. B. C. D. 8. 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录“配速”，即每行进所用的时间（单位：）．小宇参加的公路自行车骑行训练，他骑行的“配速”情况如图所示，下列说法 ①第所用的时间最长； ②第的平均速度最大； ③前的平均速度大于最后的平均速度； 所有正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共12分，每题2分） 9. 计算：______． 10. 正五边形的外角和等于 _______◦． 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 12. 某工厂加工了一批共360个工件，质检员小字从中随机抽取了12个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 当一个工件的质量x（单位：g）满足：时，评定该工件为一等品，根据以上数据，估计这一批工件中一等品的个数是______． 13. 如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_____． 14. 某乡镇下设有六个村庄，村庄之间有道路相通，如图所示，图中的黑线即代表村庄间连通的道路，道路上标志的数字为该道路的长度（单位：千米），小宇要为该乡镇设计自来水管道线路，为了铺设及检修方便，所有的自来水管道均要沿着村庄间的道路铺设，且要求六个村庄都能通过管道相连． 请回答：所铺设自来水管道总长度的最小值为______千米． 三、解答题（共72分，第15-16题，每题5分，第17题6分，第18题5分，第19-22题，每题6分，第23题5分，第24题7分，第25题8分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15. 如图，在中，且，点在上，且，连接．求证：． 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求方程的根； （2）当时，求证：方程有两个不相等的实数根． 17. 平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求此抛物线的解析式； （2）在坐标系中画出这条抛物线（不用列表）； （3）过点作x轴的垂线，分别交抛物线于点M，交直线于点N，记点M的纵坐标为，点N的纵坐标为，若，结合图象，直接写出n的取值范围． 18. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 19. 如图1是一个轨道的示意图，其中四边形为菱形，边长，对角线与交于点O，在此菱形的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点B处安装了一台观测仪．小宇操作机器人以的速度沿轨道匀速运动，机器人从点B出发，依照设定的顺序分别经过O，C，D三点各一次并最终到达点A．记机器人运动的时间为，机器人到观测仪的距离为，机器人在轨道中转弯所用时间忽略不计． 在机器人运动结束后，小宇发现观测仪出现故障，只得到了部分观测结果．经整理后，观测仪中所记录的y与x的函数关系的部分对应值如表1所示，其部分函数图象如图2所示． 0 1 2 4 5 6 a 0 1 2 2 1 b 2 表1 根据上述信息回答： （1）机器人的运动路线是：B→______→______→______→A（请选填“O”，“C”，“D”）； （2）补全图2中的函数图象； （3）______，______． 20. 巴黎奥运会男子50米步枪三姿决赛于当地时间8月1日上午结束，中国运动员刘宇坤不负众望，最终夺冠，小宇观看了比赛的直播，并记录和分析了比赛数据，得到如下信息： a．决赛共有8名选手参加，先后进行跪姿、卧姿、立姿三种姿势的射击，具体规则为： ·每位选手先进行40发子弹的基础射击（依次为跪姿15发、卧姿15发、立姿10发），按选手所获得的总环数从高到低依次排名； ·在基础射击环节结束后，排名最后两位的选手被淘汰，其余选手进行单发淘汰赛，淘汰赛为立姿，每轮射击1发子弹后，淘汰赛与基础射击总环数之和最低的1名选手被淘汰，直到5轮淘汰后最终决出冠军； ·在淘汰赛进行过程中，当排名最后的若干位选手总环数相同时，将进行加枪决胜，加枪的环数不计入总环数中； ·选手每一次射击的环数最低为，最高为，且均为的整数倍． b．基础射击结束后8名选手的三种姿势平均成绩如下表所示 选手 A B C D E F G H 跪姿（15发） 卧姿（15发） 立姿（10发） 是否淘汰 淘汰 淘汰 c．决赛结束后，最终获得前三名的选手恰好是基础射击中立姿平均成绩排名前三的选手，且他们最终的排名顺序与他们跪姿的排名顺序一致．这三人单发淘汰赛的成绩如下表所示 决赛排名 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 1 m 2 3 —— d．中国选手刘宇坤在决赛中全部15发立姿射击的总环数为环． 根据上述信息回答： （1）从基础射击的平均成绩来看，在这三种姿势中，平均成绩最好的姿势是______，选手之间成绩差异最大的姿势是______；（两空均选填“跑姿”，“卧姿”或“立姿”） （2）在基础射击中，这8名选手立姿平均成绩的中位数为______； （3）在决赛中最终获得前三名的选手分别是：第一名______，第二名______，第三名______；（三空均从中选填） （4）m的值为______． 21. 有这样一个问题： 如图1，在矩形中，，点E，F在对角线上，满足，点M，N分别在线段，上，连接，，，，设，当a取何值时，存在M、N，使得四边形是正方形？ 小宇为了解决这个问题，进行了如下探究，请补充完整： 假设符合题意的正方形存在， （1）画出示意图，如图2，由于四边形是正方形，那么它一定是平行四边形，由平行四边形的性质①______（填依据），可知，结合是矩形，可得，于是，因此，四边形的对角线交点恰好是的中点，如图3所示． （2）在图3的基础上，由于是正方形，那么它还同时是菱形和矩形．于是由菱形的性质②______（填依据），可得于O，于是垂直平分；又由矩形的性质可得，这样就能够确定点E，F，M，N的位置了． （3）根据（1）（2）的分析，在图4中作出正方形（尺规作图，保留作图痕迹）； （4）结合上述的探索，小宇发现符合题意的正方形是唯一的，此时a的值为______； 解决问题后，小宇又有了进一步的思考： （5）若将原问题改为：当a取何值时，存在M，N，使得四边形为矩形？请参照上面思考，直接写出a的最小值． 22. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，直线与轴交于点． （1）求点的坐标（用含的代数式表示）； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．将内（不含边界）的整点个数记为， ①当时，结合函数图象，直接写出的值； ②若，直接写出的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过不重合的三点，其对称轴为直线． （1）若，则a______0（填“>”或“<”）； （2）若，求此时二次函数的解析式； （3）当时，对于某个n，若存在，使得成立，结合图象，直接写出n的取值范围． 25. 如图，四边形是平行四边形，为对角线，，过点作的垂线，分别交直线于，连接． （1）设，求度数（用含的式子表示）； （2）过点作的垂线，分别交直线于点， ①依题意补全图形； ②用等式表示的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，对于相交的直线，和图形W，给出如下定义：如果在图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点M到直线的距离与点N到直线的距离相等，则称图形W是直线，的“相合图形”． 如图1，直线，交于点P，三角形W是直线，的“相合图形” （1）已知点，线段上任一点到x轴的距离为______，若线段是x轴，y轴的“相合图形”，写出一个m的值为______； （2）点C，D在直线上，点C在点D左侧且，若线段是直线，x轴的“相合图形”，直接写出点C的横坐标的取值范围； （3）直线与x轴，y轴分别交于E，F两点，边长为2的正方形的四条边分别与两坐标轴垂直，其中心T在直线上，若在线段上存在点，使得正方形是直线的“相合图形”，直接写出点T的横坐标t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期初三年级数学练习1 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，26道题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴，根据正方形有四条对称轴即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵图标中间是一个正方形，而正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴， ∴这个图案的对称轴条数为， 故选：． 2. 如图，直线，直线与分别交于点，过点作于点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由对顶角可得，再由平行线的性质可得，从而可求的度数． 【详解】解：如图， ∵直线l与a，b分别交于点A，B，， ∴， ∵于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3. a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴及数轴上点的特征来判断即可． 【详解】解：通过观察数轴可知：，故A错误，不符合题意； ，，故B错误，不符合题意； ，，故C错误，不符合题意； ，，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了数轴及数轴上点的特征，运用数形结合的方法是本题的关键． 4. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：D． 5. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 6. 如图，在点中，一次函数的图象可能经过的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据，可得一次函数图象经过第一、三、四象限，且经过点，再结合平面直角坐标系上的各点位置即可判断求解，掌握一次函数的图象特征是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限，且经过点， ∴一次函数的图象可能经过的点是点， 故选：． 7. 当时，下列各式中有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，0次幂，分式的除法，解题的关键是掌握分式分母不为0，二次根式被开方数为非负数，0次幂底数不为0，．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、当时，，则无意义，不符合题意； B、当时，，则无意义，不符合题意； C、当时，，有意义，符合题意； D、当时，，则无意义，不符合题意； 故选：C． 8. 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录“配速”，即每行进所用的时间（单位：）．小宇参加的公路自行车骑行训练，他骑行的“配速”情况如图所示，下列说法 ①第所用的时间最长； ②第平均速度最大； ③前的平均速度大于最后的平均速度； 所有正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象解答即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知第所用的时间最长，故①正确； 由函数图象可知第的平均速度最大，故②正确； 由函数图象可知前的平均速度小于最后的平均速度，故③错误； ∴正确说法的序号是①②， 故选：． 第二部分 非选择题 二、填空题（共12分，每题2分） 9. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂公式、绝对值的性质分别化简，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 10. 正五边形的外角和等于 _______◦． 【答案】360 【解析】 【详解】∵任何n边形的外角和都等于360度 ∴正五边形的外角和也为360° 故答案为360 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 12. 某工厂加工了一批共360个工件，质检员小字从中随机抽取了12个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 当一个工件的质量x（单位：g）满足：时，评定该工件为一等品，根据以上数据，估计这一批工件中一等品的个数是______． 【答案】270 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键． 先计算出12个工件中为一等品的频率，再乘以总数360即可求解． 【详解】解：12个工件中为一等品的有，，，，，，，，，这9个， ∴这360个工件中一等品的个数为个， 故答案为：270． 13. 如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【详解】解：连接AB，AD，如图所示： ∵AD＝AB＝， ∴DE＝， ∴CD＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，由勾股定理求出AB、DE是解题的关键． 14. 某乡镇下设有六个村庄，村庄之间有道路相通，如图所示，图中的黑线即代表村庄间连通的道路，道路上标志的数字为该道路的长度（单位：千米），小宇要为该乡镇设计自来水管道线路，为了铺设及检修方便，所有的自来水管道均要沿着村庄间的道路铺设，且要求六个村庄都能通过管道相连． 请回答：所铺设自来水管道总长度的最小值为______千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数加法运算的应用，根据图形找到所铺设自来水管道的最短路径，再列式计算即可求解，根据图形找到所铺设自来水管道的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，所铺设自来水管道总长度的最小值为千米， 故答案为：． 三、解答题（共72分，第15-16题，每题5分，第17题6分，第18题5分，第19-22题，每题6分，第23题5分，第24题7分，第25题8分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15. 如图，在中，且，点在上，且，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，证明可得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即． 16. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求方程的根； （2）当时，求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据判别式判断根的情况，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）将m和n的值代入，得出方程，再用公式法求解即可； （2）求出判别式，把代入化简，即可求证． 【小问1详解】 解：当时，原方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，原方程有两个不相等的实数根． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求此抛物线的解析式； （2）在坐标系中画出这条抛物线（不用列表）； （3）过点作x轴的垂线，分别交抛物线于点M，交直线于点N，记点M的纵坐标为，点N的纵坐标为，若，结合图象，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2）见详解 （3）或 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象结合等知识点，解题的关键是数形结合． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）中解析式画出图象即可； （3）画出图象，根据图象即可求解； 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ， 解得：， ∴此抛物线的解析式为． 小问2详解】 解：如图： 【小问3详解】 解：如图，∵，， ∴当时， 根据图象可得：或． 18. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 【答案】装裱后左右两边的边宽为4厘米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设装裱后左右两边的边宽为，则天头长与地头长为，根据“原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的”结合长方形的面积公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设装裱后左右两边的边宽为，则天头长与地头长为， ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：装裱后左右两边的边宽为4厘米． 19. 如图1是一个轨道的示意图，其中四边形为菱形，边长，对角线与交于点O，在此菱形的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点B处安装了一台观测仪．小宇操作机器人以的速度沿轨道匀速运动，机器人从点B出发，依照设定的顺序分别经过O，C，D三点各一次并最终到达点A．记机器人运动的时间为，机器人到观测仪的距离为，机器人在轨道中转弯所用时间忽略不计． 在机器人运动结束后，小宇发现观测仪出现故障，只得到了部分观测结果．经整理后，观测仪中所记录的y与x的函数关系的部分对应值如表1所示，其部分函数图象如图2所示． 0 1 2 4 5 6 a 0 1 2 2 1 b 2 表1 根据上述信息回答： （1）机器人的运动路线是：B→______→______→______→A（请选填“O”，“C”，“D”）； （2）补全图2中的函数图象； （3）______，______． 【答案】（1）C，D．O （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题属于函数综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用表格中的数据结合函数图象，可得结论； （2）分别求出当时，当时及当时，函数关系式，再利用描点法画出函数图象即可； （3）先求出，再利用路程速度，求出的值，再求出当时的函数关系式，再将代入求解即可． 【小问1详解】 解：从函数图像上看，函数图象共分为四段，第一段的取值范围为，此时机器人从点B运动到点C，第二段的取值范围为，此时机器人从点C运动到点D，第三段的取值范围为，此时机器人从点D运动到点O，第四段的取值范围为，此时机器人从点O运动到点A， 所以机器人的运动路线是：， 故答案为：C、D、O： 【小问2详解】 解：如图，过点B作， 四边形为菱形，， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， 当时，此时机器人从点C运动到点H， ， 当时，此时机器人从点H运动到点D， ， 当时，此时机器人从点D运动到点O， ， 补全的函数图象如下图： 小问3详解】 ， 当时，此时机器人从点O运动到点A， ， 当时，， ， 故答案为：， 20. 巴黎奥运会男子50米步枪三姿决赛于当地时间8月1日上午结束，中国运动员刘宇坤不负众望，最终夺冠，小宇观看了比赛的直播，并记录和分析了比赛数据，得到如下信息： a．决赛共有8名选手参加，先后进行跪姿、卧姿、立姿三种姿势的射击，具体规则为： ·每位选手先进行40发子弹的基础射击（依次为跪姿15发、卧姿15发、立姿10发），按选手所获得的总环数从高到低依次排名； ·在基础射击环节结束后，排名最后两位的选手被淘汰，其余选手进行单发淘汰赛，淘汰赛为立姿，每轮射击1发子弹后，淘汰赛与基础射击总环数之和最低的1名选手被淘汰，直到5轮淘汰后最终决出冠军； ·在淘汰赛进行过程中，当排名最后的若干位选手总环数相同时，将进行加枪决胜，加枪的环数不计入总环数中； ·选手每一次射击环数最低为，最高为，且均为的整数倍． b．基础射击结束后8名选手的三种姿势平均成绩如下表所示 选手 A B C D E F G H 跪姿（15发） 卧姿（15发） 立姿（10发） 是否淘汰 淘汰 淘汰 c．决赛结束后，最终获得前三名的选手恰好是基础射击中立姿平均成绩排名前三的选手，且他们最终的排名顺序与他们跪姿的排名顺序一致．这三人单发淘汰赛的成绩如下表所示 决赛排名 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 1 m 2 3 —— d．中国选手刘宇坤在决赛中全部15发立姿射击的总环数为环． 根据上述信息回答： （1）从基础射击的平均成绩来看，在这三种姿势中，平均成绩最好的姿势是______，选手之间成绩差异最大的姿势是______；（两空均选填“跑姿”，“卧姿”或“立姿”） （2）在基础射击中，这8名选手立姿平均成绩的中位数为______； （3）在决赛中最终获得前三名的选手分别是：第一名______，第二名______，第三名______；（三空均从中选填） （4）m的值为______． 【答案】（1）卧姿，立姿 （2） （3）F，B，D （4） 【解析】 【分析】本题考查了统计相关的知识，解题的关键是熟练掌握相关知识，仔细阅读题目，根据题目得出需要的信息和数据． （1）根据表格即可得出平均成绩最好的姿势是卧姿，算出三种姿势平均成绩的极差，即可解答； （2）根据中位数的定义，即可解答； （3）根据题意可得最终获得前三名的选手为B、D、F，再将三人跪姿成绩进行比较，即可解答； （4）根据冠军刘宇坤的成绩即可解答． 【小问1详解】 解：由表可知，在这三种姿势中，平均成绩最好的姿势是卧姿； 跪姿的极差为， 卧姿的极差为， 立姿的极差为， ∵， ∴选手之间成绩差异最大的姿势是立姿； 故答案为∶ 卧姿，立姿； 【小问2详解】 解：将这8名选手立姿平均成绩按大小排序为： ，，，，，，， ∴中位数； 【小问3详解】 解：∵最终获得前三名的选手恰好是基础射击中立姿平均成绩排名前三的选手， ∴最终获得前三名的选手为B、D、F， ∵他们最终的排名顺序与他们跪姿的排名顺序一致，， ∴第一名为F，第二名为B，第三名为D； 故答案为：F，B，D； 【小问4详解】 解：根据题意可得：刘宇坤夺冠，则F为刘宇坤， ∵刘宇坤在决赛中全部15发立姿射击的总环数为环，且基础射击中立姿平均成绩为环， ∴， 故答案为：． 21. 有这样一个问题： 如图1，在矩形中，，点E，F在对角线上，满足，点M，N分别在线段，上，连接，，，，设，当a取何值时，存在M、N，使得四边形是正方形？ 小宇为了解决这个问题，进行了如下探究，请补充完整： 假设符合题意的正方形存在， （1）画出示意图，如图2，由于四边形是正方形，那么它一定是平行四边形，由平行四边形的性质①______（填依据），可知，结合是矩形，可得，于是，因此，四边形的对角线交点恰好是的中点，如图3所示． （2）在图3基础上，由于是正方形，那么它还同时是菱形和矩形．于是由菱形的性质②______（填依据），可得于O，于是垂直平分；又由矩形的性质可得，这样就能够确定点E，F，M，N的位置了． （3）根据（1）（2）的分析，在图4中作出正方形（尺规作图，保留作图痕迹）； （4）结合上述的探索，小宇发现符合题意的正方形是唯一的，此时a的值为______； 解决问题后，小宇又有了进一步的思考： （5）若将原问题改为：当a取何值时，存在M，N，使得四边形为矩形？请参照上面的思考，直接写出a的最小值． 【答案】（1）平行四边形对角线互相平分 （2）对角线互相垂直 （3）见解析 （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查了四边形综合，解题的关键是熟练掌握矩形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形的方法和步骤． （1）根据平行四边形的性质即可解答； （2）根据菱形的性质即可解答； （3）先作出的垂直平分线，交于点M，交于点N，以点O为圆心，为半径画圆，交于点E和点F，连接，则正方形即为所求； （4）根据含30度角直角三角形的特征，得出，则，根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，即可解答； （5）根据矩形的性质得出，则当时，最小，通过证明时，四边形为矩形，得出，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题可得：由平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，可知， 故答案为：平行四边形的对角线互相平分； 【小问2详解】 解：由菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，可得于O，于是垂直平分； 故答案为：菱形的对角线互相垂直； 【小问3详解】 解：如图所示，正方形即为所求； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∵点O为矩形对角线交点， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， 即， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 即； 【小问5详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， 当时，最小，即最小， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即； 22. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理． （1）先证明四边形是平行四边形，根据三角形的中位线定理得出，则，即可求证四边形是菱形； （2）连接交于点G，得出，根据菱形的性质得出，，，则，先求出，最后根据勾股定理得出即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵D，E分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接交于点G， ∵，D，E分别是，的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，直线与轴交于点． （1）求点的坐标（用含的代数式表示）； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．将内（不含边界）的整点个数记为， ①当时，结合函数图象，直接写出的值； ②若，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①，②或 【解析】 【分析】（1）代入，即可求解， （2）①当时，列出直线解析式，根据描点法画图，即可求解，②根据找到内整数点为1时，所对应的值的临界点，即可求解， 本题考查了一次函数的图像与系数的关系，解题的关键是，找到临界点． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，直线分别为和， 画图如下： 由图象可得，的整点个数有个， ∴， ②当时，直线分别为，，此时内恰好没有整点， 当时，直线分别为，，此时内恰好有一个整点， ∴， 当时，直线分别为，， 此时内恰好有一个整点， 故答案为：①，②或． 24. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过不重合的三点，其对称轴为直线． （1）若，则a______0（填“>”或“<”）； （2）若，求此时二次函数的解析式； （3）当时，对于某个n，若存在，使得成立，结合图象，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）< （2） （3）或 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的解析式求解等知识点，解题的关键是数形结合． （1）根据题意得出抛物线过点，根据增减性即可解答； （2）根据题意得出二次函数图象的顶点为点，且过点，即可求解； （3）根据题意得出抛物线解析式为，将代入，解得，根据，即可求得，根据存在，使得成立，即可求出的范围，结合图象即可求解； 【小问1详解】 解：∵， 抛物线过点， 则随着x的增大，y的值先增大后减小， 故． 【小问2详解】 解：当时，依题意，点， 二次函数图象的对称轴为． ∵图象还过点， ∴二次函数图象的顶点即为点． 设二次函数的解析式为， 将点代入，得，解得：． ∴二次函数的解析式为． 【小问3详解】 解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线过点， 关于对称轴对称点为． 设抛物线解析式为， 将代入，得，即， ， ， ∵， ， ∵存在，使得成立， ∴，即． ∵越小，抛物线开口越大，则有最大值， ∴当时， ∴， 同理， 如图，当确定时，由图象知，（对称轴右侧）随增大而减小， 如图，当m确定时，由图象知，n（对称轴右侧）随t增大而减小． 综上所述，或． 25. 如图，四边形是平行四边形，为对角线，，过点作的垂线，分别交直线于，连接． （1）设，求的度数（用含的式子表示）； （2）过点作的垂线，分别交直线于点， ①依题意补全图形； ②用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角性质得到，根据平行四边形性质得到，，根据，推出，=45°，得到，，推出，推出，得到，根据三角形内角和定理得到； （2）①过点B作直线于点N，交射线于点M；②设，根据等腰直角三角形性质得到，根据平行四边形性质得到，过点B作于点G，证明，得到，得到，根据，证明， 根据， ，得到，得到，得到，即得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，=45°， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，补全图形： ②．证明： 设， 则， ∵， ∴， 过点B作于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形与全等三角形综合．熟练掌握平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，是解决问题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，对于相交的直线，和图形W，给出如下定义：如果在图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点M到直线的距离与点N到直线的距离相等，则称图形W是直线，的“相合图形”． 如图1，直线，交于点P，三角形W是直线，的“相合图形” （1）已知点，线段上任一点到x轴的距离为______，若线段是x轴，y轴的“相合图形”，写出一个m的值为______； （2）点C，D在直线上，点C在点D左侧且，若线段是直线，x轴的“相合图形”，直接写出点C的横坐标的取值范围； （3）直线与x轴，y轴分别交于E，F两点，边长为2的正方形的四条边分别与两坐标轴垂直，其中心T在直线上，若在线段上存在点，使得正方形是直线的“相合图形”，直接写出点T的横坐标t的取值范围． 【答案】（1）2， （2） （3），或 【解析】 【分析】（1）根据轴，到x轴的距离为2，线段是x轴，y轴的“相合图形”，得到，可以取（答案不唯一）； （2）根据，点C在点D左侧且，得到，当，得到，当，得到；根据线段是直线，x轴的 “相合图形”，上面两点不重合，即得； （3）设正方形为，直线交坐标轴于，根据点在直线上，得到，作直线、，根据正方形特点得到，得到， 过点F、E作与x轴成最小角为的射线，当点Q在直线上，且到直线的距离相等时，， ，得到；当点M在直线上，且到直线的距离相等时，，，得到；当点N在直线上，且到直线的距离相等时，，，得到；当点P在直线上，且到直线的距离相等时，，，得到，根据正方形的四个顶点到直线的距离相等时，在边上可以找到另外的点到直线的距离与之相等，即得，或 ． 【小问1详解】 ∵点， ∴轴，到x轴的距离为2， ∵线段是x轴，y轴的“相合图形”， ∴线段上异于点A的另一点到y轴的距离为2， ∴， ∴， ∵， ∴，， 取（答案不唯一）， 故答案为：2，； 【小问2详解】 设直线分别交x轴、y轴于点E、F， 中，令，则， ∴； 令，则 ∴， ∴， ∵点C，D在直线上， ∴， ∵点C在点D左侧且， ∴， ∴C，D的水平距离和竖直距离都是1， ∴， ∵线段是直线，x轴的“相合图形”， ∴当点C到直线，x轴的距离相等时， ， 解得，；　 当点D到直线，x轴的距离相等时， ， 解得，， ∵线段上两个点不重合， ∴； 故点C的横坐标的取值范围是：； 【小问3详解】 设正方形为，如图，在中，令，则，令，则，∴， ∵点在直线上， ∴为， 过点作直线、， ∵正方形边长为2，四条边分别与两坐标轴垂直，中心T在直线上，点T的横坐标为t， ∴， ∴， 过点F、E作与x轴成最小角为的射线， ∵正方形是直线的“相合图形”， ∴当点Q在直线上，且到直线的距离相等时，，∵此时， ∴， ∴； 当点M在直线上，且到直线的距离相等时，， ∵此时， ∴， ∴； 当点N在直线上，且到直线的距离相等时，， ∵此时， ∴， ∴； 当点P在直线上，且到直线的距离相等时，， ∵此时， ∴， ∴， ∵当点P在直线上，到直线的距离等于16时，点N到直线的距离等于16，点Q到直线的距离等于16, ∴可以找到不同两点到直线的距离等于16， 同理，点Q，M，N到直线的距离相等时，也可以找到另外一点到直线的距离与之相等， 故t的取值范围是：，或 ． 【点睛】本题主要考查了新定义——“相合图形”．熟练掌握新定义性质，两点间的距离计算方法，点到坐标轴的距离，点到平行坐标轴的直线的距离，等腰直角三角形性质，正方形性质，分类讨论，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$