1.4.1 充分条件与必要条件-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教A版2019专用）

1.4.1　充分条件与必要条件（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】命题真假的判断 2 【题型二】充分条件、必要条件的判断 4 【题型三】充分条件与必要条件的应用 5 【当堂温习】 5 【分层练习】 6 考试要求： 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 素养要求： 通过对必要条件、充分条件的学习和理解，体会必要条件、充分条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 自主预习 一、命题的概念 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. (3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 二、充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 题型研析 【题型一】命题真假的判断 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 2．（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 二、多选题 3．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列命题中为真命题的有（    ） A．所有的素数都是奇数. B．的个位数字不等于2. C．两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例. D．存在一个无理数，它的立方是有理数. 4．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 三、填空题 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，则命题“关于x的方程的解集为”是 命题（填“真”或“假”）. 6．（23-24高一上·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是 . 解题策略： 要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【题型二】充分条件、必要条件的判断 一、单选题 1．（21-22高二上·江西宜春·期末）已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 2．（23-24高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 二、多选题 3．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ，若是的必要条件，则的最小值为 ． 解题策略： 一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p. 【题型三】充分条件与必要条件的应用 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 二、多选题 3．（22-23高一上·安徽合肥·期末）若是的充分不必要条件，则实数a可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（22-23高一上·云南昆明·期中）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（    ） A． B． C．- D．0 三、填空题 5．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）设：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ． 6．（23-24高一上·上海崇明·阶段练习）已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 解题策略： 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解. 当堂温习 一、单选题 1．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 2．（2023高三·全国·专题练习）设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）如果命题“若则”是真命题，那么下列说法一定正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要条件 D．是的充分条件 4．（2023高一·江苏·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 三、填空题 5．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 6．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（21-22高一上·全国·课后作业）下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·全国·课后作业）设，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·江苏·假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 4．（2023高一·全国·课后作业）已知，则“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．，是无理数 D．任何实数都有算术平方根 6．（23-24高一·江苏·假期作业）（多选题）使成立的充分条件是（　　） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·湖南衡阳·期中）如果命题：是真命题，那么下列说法一定正确的是（    ） A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．q是p的必要条件 D．q是p的充分条件 三、填空题 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）α： β：．（填“”或“”） 10．（21-22高一·全国·课后作业）设集合，那么“”是“”的 条件．（填“充分”“必要”） 四、解答题 11．（23-24高一上·上海松江·期末）已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 12．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知集合，，若“” 是“” 成立的必要条件，求实数的取值范围. 【能力篇】 一、单选题 1．（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 二、多选题 2．（23-24高一上·河北衡水·期中）的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（23-24高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有 （1）若是无理数，则是无理数． （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． （3）若，则. （4）若和都是偶数，则是偶数． 四、解答题 4．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【培优篇】 一、单选题 1．（22-23高三上·上海浦东新·期中）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于，，的方程没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（    ） （1）存在至少一组正整数组是关于，，的方程的解； （2）关于，的方程有正有理数解； （3）关于，的方程没有正有理数解； （4）当整数时关于，，的方程有正实数解 A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 2．（21-22高一上·江苏南京·期中）下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（    ） A．p：中，，q：中，； B．p：， q：； C．p：，q：； D．p：，q：关于x的方程有两个实数解． 三、填空题 3．（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1　充分条件与必要条件（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】命题真假的判断 2 【题型二】充分条件、必要条件的判断 6 【题型三】充分条件与必要条件的应用 8 【当堂温习】 10 【分层练习】 13 考试要求： 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 素养要求： 通过对必要条件、充分条件的学习和理解，体会必要条件、充分条件等常用逻辑用语在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养. 自主预习 一、命题的概念 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. (3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 二、充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 题型研析 【题型一】命题真假的判断 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 2．（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 二、多选题 3．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列命题中为真命题的有（    ） A．所有的素数都是奇数. B．的个位数字不等于2. C．两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例. D．存在一个无理数，它的立方是有理数. 4．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 三、填空题 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，则命题“关于x的方程的解集为”是 命题（填“真”或“假”）. 6．（23-24高一上·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是 . 参考答案： 1．D 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 2．C 【分析】根据四人的描述可知，甲和丙的说法要么同时成立，要么同时不成立；若同时成立则可知丁的说法也对，这不合题意；所以甲和丙的说法都不成立，据此分情况讨论即可得出结论. 【详解】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 3．BCD 【分析】逐个判断命题即可. 【详解】对于A：2也是素数，但2不是奇数，所以A错误； 对于B：，则的末位数只能是0，1，4，5，6，9，所以B正确； 对于C：“两个三角形相似”，则三边成比例，“若三角形的三边成比例”，则这两个三角形是相似三角形，所以C正确； 对于D：当时，为无理数，则为有理数，所以存在一个无理数，他的立方是有理数，所以D正确， 故选：BCD 4．AB 【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【详解】对于，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即正确； 对于，因为，所以， 即与是相同的，所以，B正确； 对于，因为，所以， 所以，即错误； 对于，由于 , 而，故，即错误． 故选：AB． 5．假 【分析】结合一次方程解的性质判断命题的真假即可. 【详解】当时，方程无解，当时，方程的解为， 所以命题“关于x的方程的解集为”是假命题. 故答案为：假. 6．①③④ 【分析】由新定义的集合运算结合交集、子集等概念逐一判断每一个命题即可求解. 【详解】对于命题①，由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即，故命题①正确； 对于命题②，不妨设，由新定义，， 这表明了此时，故命题②不正确； 对于命题③，由新定义，若，则一定有且， 这表明了此时集合是集合的子集，即，故命题③正确； 对于命题④，若，则当且仅当，即若，则一定有， 由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即若，则，故命题④正确. 综上所述：所有正确命题的序号是①③④. 故答案为：①③④. 解题策略： 要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【题型二】充分条件、必要条件的判断 一、单选题 1．（21-22高二上·江西宜春·期末）已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 2．（23-24高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 二、多选题 3．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（     ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ，若是的必要条件，则的最小值为 ． 参考答案： 1．A 【分析】由题意先求出的充要条件，然后结合是的充分条件可得实数的范围，从而对比选项即可得解. 【详解】由题意， 若是的充分条件，则当且仅当， 对比选项可知实数可以是3. 故选：A. 2．A 【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 3．AB 【分析】根据充分条件的定义及集合间的关系判定即可. 【详解】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误. 故选：AB. 4．BCD 【分析】根据必要条件的定义求解. 【详解】“”成立的必要条件即不能比范围小， 观察选项，BCD符合， 故选：BCD. 5．（1）（2）（3） 【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】（1）由，可以推出，所以命题（1）符合题意； （2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意； （3）由，可以推出，所以命题（3）符合题意； （4）由，得或，所以不一定推出，所以命题（4）不符合题意. 故答案为：（1）（2）（3） 6． 1 4 【分析】先化简条件，再根据充分条件、必要条件的定义计算得解． 【详解】因为，所以 ①由是的充分条件，得， 解得，所以的最大值为1， ②由是的必要条件，得， 解得，所以的最小值为4． 故答案为：；. 解题策略： 一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p. 【题型三】充分条件与必要条件的应用 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 二、多选题 3．（22-23高一上·安徽合肥·期末）若是的充分不必要条件，则实数a可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（22-23高一上·云南昆明·期中）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（    ） A． B． C．- D．0 三、填空题 5．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）设：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ． 6．（23-24高一上·上海崇明·阶段练习）已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 参考答案： 1．C 【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意可得， 所以且，解得， 故选：C 2．A 【分析】根据给定条件，利用必要条件的定义求解即得. 【详解】由q是p的必要条件，得， 所以. 故选：A 3．BC 【分析】由充分不必要条件转化为两个集合的包含关系求解. 【详解】若是的充分不必要条件， 则. 故选：BC. 4．BCD 【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可. 【详解】设，, 因为p是q的必要条件，所以， 当时，由无解可得，符合题意； 当时，或，当时，由解得， 当时，由解得. 综上，的取值为0，，. 故选：BCD 5．1 【分析】设，若是的充分条件，则，从而得到范围，进而可求解. 【详解】设， 若是的充分条件，则，又， 所以，所以， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 6． 【分析】根据题意得到是的子集，从而得到不等式，求出答案. 【详解】因为是的必要条件，所以是的子集， 故，解得， 故答案为： 解题策略： 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解. 当堂温习 一、单选题 1．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 2．（2023高三·全国·专题练习）设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）如果命题“若则”是真命题，那么下列说法一定正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要条件 D．是的充分条件 4．（2023高一·江苏·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 三、填空题 5．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 6．（23-24高一上·天津河东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 参考答案： 1．B 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 2．B 【分析】用赋值法，取不同的x与y代入，可排除A、C、D. 【详解】对于A，当时，满足，但命题不成立； 对于C，D，当时，满足，，但命题不成立. 故选：B. 3．AC 【分析】由充分条件与必要条件的概念可得. 【详解】命题“若则”是真命题，是指由可以推出， 则是的充分条件，是的必要条件，故AC正确. 又不一定可以推出，故BD不正确. 故选：AC. 4．AB 【分析】根据命题的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误； 对于选项B：语句“当时，方程有实根”是陈述句， 当时，则，方程无实根， 即“当时，方程有实根”为假， 故该语句是命题，所以选项B错误； 对于选项C：由菱形的定义和性质可知：对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 即命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题，故C正确； 对于选项D：当时，， 所以“时，”是真命题，故D正确； 故选：AB 5．且 【分析】根据题意，由一次函数的意义，即可得到结果. 【详解】由一次函数可知，，图像过一，三象限，过二，四象限， 且，一次函数图像交于轴正半轴，，一次函数图像交于轴负半轴，，一次函数图像过原点，所以一次函数的图像不过第一象限的充分条件是，取且即可. 故答案为：且 6．充分 【分析】根据集合之间的关系，利用充分条件与必要条件的定义分析判断即可得解. 【详解】解：由题意，， ∴若，则；若，不一定有. ∴“”是“”的充分条件. 故答案为：充分. 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（21-22高一上·全国·课后作业）下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·全国·课后作业）设，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·江苏·假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 4．（2023高一·全国·课后作业）已知，则“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．，是无理数 D．任何实数都有算术平方根 6．（23-24高一·江苏·假期作业）（多选题）使成立的充分条件是（　　） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·湖南衡阳·期中）如果命题：是真命题，那么下列说法一定正确的是（    ） A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．q是p的必要条件 D．q是p的充分条件 三、填空题 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）α： β：．（填“”或“”） 10．（21-22高一·全国·课后作业）设集合，那么“”是“”的 条件．（填“充分”“必要”） 四、解答题 11．（23-24高一上·上海松江·期末）已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 12．（23-24高一上·宁夏固原·阶段练习）已知集合，，若“” 是“” 成立的必要条件，求实数的取值范围. 参考答案： 1．C 【分析】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤. 【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确; 对于②，菱形不一定有外接圆，故错误， 对于③，方程的判别式为，故正确， 对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误， 对于⑤，,故正确; 故选：C． 2．C 【分析】根据充分条件的判定即可得到答案. 【详解】设是的一个充分条件，则根据充分条件的判定得，则， 故选：C. 3．A 【分析】先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件． 【详解】因为关于的一元二次方程有实数解， 所以， 解得，而可以推出， 所以可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件， 故选：A． 4．D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由于可得，故“”是“”的必要条件， 由不能得到，，，比如， 故选：D 5．ABC 【分析】举例子即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，成立，故A正确， 对于B，1既不是合数也不是质数，故B正确， 对于C,当，是无理数，故C正确， 对于D,负数没有算术平方根，故D错误， 故选：ABC 6．AB 【分析】根据充分条件的判断即可由选项求解. 【详解】和 不可推出．所以使成立的充分条件是或 ， 故选：AB 7．AC 【分析】根据充分必要条件的概念即可得解. 【详解】因为命题“是真命题， 所以p是q的充分条件，q是p的必要条件，故AC正确，BD错误. 故选：AC 8． ③ ①④ 【分析】首先根据命题是可以判断真假的陈述句，来判断出是否为命题，如果判断为真，即为真命题，如果判断为假，即为假命题． 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 9． 【分析】根据集合的包含关系推理即可. 【详解】因为是的子集，所以. 故答案为：. 10．必要 【详解】由题可知：，所以“”是“”的必要条件 故答案为：必要 11．(1)， (2) 【分析】（1）根据集合交集和并集的概念直接计算求解即可； （2）将充分条件转化为集合包含关系进而列式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， （2）因为“”是 “”的充分条件， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以实数的取值范围为 12． 【分析】根据必要条件转化为即可求解. 【详解】由“” 是“” 成立的必要条件可得， 故，又，所以 【能力篇】 一、单选题 1．（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 C．存在一个实数，使得 D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 二、多选题 2．（23-24高一上·河北衡水·期中）的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（23-24高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有 （1）若是无理数，则是无理数． （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． （3）若，则. （4）若和都是偶数，则是偶数． 四、解答题 4．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 参考答案： 1．B 【分析】根据题意，对各选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误； 由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确； 因为对于任意实数，，故C错误； 所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误； 故选：B 2．BD 【分析】逐个分析或者举出反例即可. 【详解】对于A：当时，满足，此时， 所以不是的充分条件； 对于B：，则，所以， 所以是的充分条件； 对于C：当时，满足，此时， 所以不是的充分条件； 对于D：，则，所以，即， 所以是的充分条件， 故选：BD 3．（1）（2）（4） 【分析】根据必要条件的定义即可逐一求解. 【详解】（1）若是无理数，则是无限不循环小数，所以是无限不循环小数， 所以是无理数，所以，所以是的必要条件． （2）全等三角形面积相等，所以，所以是的必要条件． （3）若，则或； 所以，所以是的不必要条件． （4）两个偶数的乘积仍是偶数．所以，所以是的必要条件． 故答案为：（1）（2）（4）. 4．(1) (2) 【分析】 （1）根据交集定义直接求解即可； （2）根据必要条件定义可得，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，，. （2）“”是“”的必要条件，， 又，，解得：，即实数的取值范围为. 【培优篇】 一、单选题 1．（22-23高三上·上海浦东新·期中）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于，，的方程没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（    ） （1）存在至少一组正整数组是关于，，的方程的解； （2）关于，的方程有正有理数解； （3）关于，的方程没有正有理数解； （4）当整数时关于，，的方程有正实数解 A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 2．（21-22高一上·江苏南京·期中）下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（    ） A．p：中，，q：中，； B．p：， q：； C．p：，q：； D．p：，q：关于x的方程有两个实数解． 三、填空题 3．（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 . 参考答案： 1．C 【分析】当整数时方程没有正整数解，（1）错误，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确，当，满足条件，（4）正确，得到答案. 【详解】当整数时，关于，，的方程没有正整数解，故方程没有正整数解，（1）错误； 没有正整数解.即，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确； 方程，当，满足条件，故有正实数解，（4）正确. 故选：C 2．AD 【分析】利用充分条件和必要条件的定义依次判断各个选项. 【详解】对于A，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当时，有，当时，有，所以p是q的充要条件； 对于B，由，得，则一定成立，而当时，如，不成立，所以p是q的充分不必要条件； 对于C，由可知，当时，；当时，；而当时，若，则，若，则，所以p是q的既不充分也不必要条件； 对于D，当时，关于x的方程只有一个实根，若关于x的方程有两个实数解时，则，得且，所以p是q的必要不充分条件； 故选：AD 3． 【分析】条件，条件，根据p是q的必要条件，可得．因此，或，．分类讨论即可得出． 【详解】解：条件， 条件， 是的必要条件，． ，或，． 时，满足题意． 时，若，则，解得． 若，则，解得． 综上可得：的取值集合是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的解法、集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$