小升初典型奥数：立体图形的表面积和体积 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

立体图形的表面积和体积 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、组合图形的体积 可以先把组合图形分解成独立的图形，然后相加减去重叠部分的体积． 二、规则立体图形的表面积 立体图形表面积公式： 1．圆柱体： 表面积：2πR2+2πRh 体积：πR2h （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） 2．圆锥体： 体积：πR2h （r为圆锥体低圆半径，h为其高） 3．长方体： 表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2 三、规则立体图形的体积 【知识点归纳】 公式： 正方体：V＝a3，（a表示正方体的边长） 长方体：V＝abh，（a表示长方体的长，b表示长方体的宽，h表示长方体的高） 圆柱：V＝πr2h，（r表示底面半径，h表示圆柱的高） 圆锥：Vπr2h，（r表示底面半径，h表示圆柱的高） 四、不规则立体图形的表面积和体积 实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算．一般我们称这样的图形为不规则图形．不规则图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了． 不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”合并使用才能解决． 方法：1、相加法：将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积． 2、相减法：将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差． 3、直接求法：根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积 4、重新组合法：将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可． 5、辅助线法：根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可． 6、割补法：把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决． 7、平移法：将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积． 8、旋转法：将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积． 9、对称添补法：作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形．原来图形面积就是这个新图形面积的一半． 10、重叠法：将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”解决． 第二部分 典型例题 例题1：4个棱长为30cm的正方体纸箱放在墙角（如图），有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为是放在墙角处，所以露在外部的有：正面2个正方形，右面2个正方形，上面4个正方形，一共有2+2+4＝8个，每个小正方形面的面积是30×30＝900平方厘米，据此再乘8就是露在外部的总面积． 【解答】解：露在外部的面有：2+2+4＝8（个） 30×30×8 ＝900×8 ＝7200（平方厘米） 答：有8个面露在外部，露在外部的面积是7200平方厘米． 【点评】考查了规则立体图形的表面积，明确露在外部的有哪几个面是解决此类问题的关键． 例题2：如图，用三个棱长5厘米的正方体，拼成这样的模型，表面积比原来三个正方体表面积的总和减少了多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】按如图3个小正方体拼成一个立体图形，拼组后表面积比原来三个正方体表面积的总和减少了4个小正方体的面的面积，据此即可解答． 【解答】解：5×5＝25（平方厘米） 25×4＝100（平方厘米） 答：表面积比原来三个正方体表面积的总和减少了100平方厘米． 【点评】抓住3个正方体拼组长方体的方法得出表面积减少部分是哪些面是解决此类问题的关键． 例题3：一个机器零件（如图），要在它的前后两面涂红色防锈漆，其它露出的面（底面不涂）涂绿色防锈漆．涂红色防锈漆和绿色防锈漆的面积各是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】通过图形可以看出，涂红色防锈漆的部分是前后两个面，两个长60cm，宽30cm的长方形；两个长（60﹣20）cm，宽30cm的长方形；两个长50cm，宽30cm的长方形；涂绿色防锈漆的部分有：左侧和右侧分别是长60cm宽30cm的长方形，长50cm宽30cm的长方形；上面是三个边长30cm的正方形；还有长30cm宽20cm的长方形；长30cm宽（50+20﹣60）cm的长方形；把它们按照长方形的面积公式S＝ab和正方形的面积公式S＝a2计算，即可得解． 【解答】解：[60×30+（60﹣20）×30+50×30]×2 ＝（1800+40×30+1500）×2 ＝（1800+1200+1500）×2 ＝4500×2 ＝9000（平方厘米） 60×30+50×30+30×30×3+30×20+30×（50+20﹣60） ＝1800+1500+2700+600+300 ＝6900（平方厘米） 答：涂红色防锈漆的面积是9000平方厘米，涂绿色防锈漆的面积是6900平方厘米． 【点评】解答此题的关键是，要弄清楚每个面的边长各是多少，进而求出每个面的面积． 例题4：一种组合连体高低柜是由一个长80cm、宽45cm、高60cm的长方体和一个长80cm、宽45cm、高100cm的长方体组合成的（如图）．油漆工要给这个高低柜刷油漆，前、后面刷浅黄色，其他露出部分都刷油绿色．刷浅黄色和油绿色的面积各是多少平方米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，前后面都是两个长方形：长80厘米、宽60厘米的长方形和长100厘米、宽80厘米的长方形，则刷浅黄色的面积为：80×60×2+100×80×2＝25600（平方厘米）．刷油绿色的部分为：两个长80厘米、宽45厘米的长方形和两个长100厘米、宽45厘米的长方形，其面积为：80×45×2+100×45×2＝16200（平方厘米）． 【解答】解：80×60×2+100×80×2 ＝160×80×2 ＝25600（平方厘米） 80×45×2+100×45×2 ＝180×45×2 ＝16200（平方厘米） 答：刷浅黄色的面积为25600平方厘米；油绿色面积为16200平方厘米． 【点评】本题主要运用长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，解决问题． 第三部分 高频真题 1．一个长方体容器长10厘米，宽10厘米，高20厘米，盛满水后，将容器绕着靠地面的一条棱倾斜45°，求容器内剩下水的体积。 2．在一个正方体的前、后以及左、右两侧面的中心各打通一个长方体的洞，并在上、下面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体棱长为10厘米，前、后以及左、右两侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下面的洞口是直径为4厘米的圆，求这个立体图形的体积． 3．6个棱长都是40厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如图），露在外面的面的面积是多少平方米？ 4．如图，有高度相同的A、B、C三只圆柱形杯子，A、B两只杯子已经盛满水，小颖把A、B两只杯子中的水全部倒进C杯中，C杯恰好装满，小颖测量得A、B两只杯子底面圆的半径分别是3厘米和4厘米，你能求出C杯底面的半径是多少吗？ 5．从一个棱长为10厘米的正方体木块上挖掉一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块（如图），求剩下木块的体积。 6．如图，把棱长为2cm的小正方体堆成如图所示的形状，求这个立体图形的表面积和体积． 7．如图表示一个正方体，它的棱长为4厘米，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体．问．此图的表面积是多少？ 8．在一个棱长为8厘米的正方体钢坯上下底面正中打一个对穿孔，制成一个机器零件，已知这个对穿孔是底面为边长2厘米的正方形，求这个零件的体积和表面积． 9．如果从一个体积为120cm3的正方体木块中挖去最大的圆锥，做成如图所示的工件模具，求这个模具的体积．（π取3.14） 10．古代的铜钱都是“外圆内方”，铜钱内正方形的边长是0.5厘米。小明把20枚相同的古代铜钱叠在一起的形状如图，每枚铜钱的体积是多少立方厘米？（π取值3.14） 11．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： ①一个碗的高度是多少厘米？ ②把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？ ③一个长方体木箱子内部高度是25cm，最高的一摞最多能摆下几个碗？ ④量得碗口的直径是6厘米，这个长方体木箱子的底面的长28厘米，宽22厘米，这个木箱最多可放下多少个这样的碗？ 12．计算下面物体的体积和表面积 13．如图的物体摆放在地面上（如图，单位：分米），露在外面的面积和是多少平方分米？ 14．如图是棱长为5厘米的正方体，如果在这个正方体中切去一个棱长为3厘米的小正方体，剩下几何体的表面积是多少平方厘米？请作具体分析． 15．如图，小正方体的棱长是2cm，求露在外面的面积是多少平方厘米？ 16．如图，一个棱长8厘米的正方体，在它的前面的正中间画一个边长2厘米的正方形，再由正方形向对面挖一个长方体洞，剩下物体的表面积是多少平方厘米？ 17．6个棱长都是20cm的正方体纸箱堆放在墙角处（如图），露出多少个面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 18．如图是一个机器零件，要在这个机器零件的表面涂上一层漆，涂漆的面积是多少？（单位：厘米） 19．如图，棱长为4cm的正方体木块的每个面的中心打上一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1cm的正方形，求挖洞后木块的体积及表面积. 20．如图，在长30cm、宽20cm、高15cm的长方体中挖去一个半径是5cm的半圆柱，求剩余几何体的表面积． 21．如图是一个机器零件，它由棱长为10cm的大正方体和棱长为5cm的小正方体拼成的。这个零件的表面积是多少cm2。 22．从一个棱长为2厘米的正方体的上面正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为0.5厘米棱长的小洞，接着再在小洞底面正中再向下挖一个棱长为0.25厘米的正方体小洞，求现在得到的立体图形的表面积． 23．把10个棱长为5dm的正方体纸箱堆在墙角（如图所示），露在外面的面积有多少平方米？ 24．如图，在一个棱长为5分米的正方体边上挖去一个棱长为2分米的小正方体，剩余部分的表面积是多少平方分米？ 25．下面的立体图形是由棱长3cm的小正方体搭成的，它的表面积和体积分别是多少？ 26．如图，把4个棱长为5cm的正方体放在墙角． （1）一共有多少个面露在外面？ （2）露在外面的面积是多少cm2？ 27．如图所示是一个用棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体。 （1）这个物体的表面积是多少平方厘米？ （2）要把这个物体补成一个大正方体，这个大正方体的表面积至少是多少平方厘米？ 28．有5个棱长是20cm的正方体纸盒放在墙角处（如图），有几个面露在外面？露在外面的面积一共有多少平方厘米？ 29．如图是从一个立体图形的正上面与正侧面看到的图形，从正面看到的圆的半径是2厘米。 （1）以每秒1毫升的速度，往容器内注水时，水面到离地面10厘米的地方，需要多少秒？ （2）这个立体图形的体积是多少？ （3）这个立体图形的表面积是多少？ 30．有5个棱长为4分米的立方体放置在墙角处，露在外面的面积是多少平方米？ 31．有一个棱长是3cm的正方体零件，从它的一个面的正中间挖去一个小长方体（如图），这个零件的表面积是增加了还是减少了？增加（或减少）了多少平方厘米？说说你的理由. 32．将8个棱长都是30cm的正方体纸箱堆放在墙角处（如图所示），露出多少个面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 33．如图所示的领奖台是由6个棱长是3分米的正方体组合而成的。 （1）如果要在领奖台的表面喷漆（底面不喷漆），需要喷漆的面积是多少？ （2）这个领奖台的体积是多少？ 34．有一个形状如图的零件．（单位：dm） （1）要在它的表面涂上油漆涂，油漆的面积有多少平方分米？ （2）它的体积是多少立方分米？ 35．从一个长方体木块中，挖掉一小长方体后（如图），它的表面积是多少平方厘米？ 36．看图回答问题． （1）如图中一共有多少个小正方体？有多少个面露在外面？ （2）如果每个小正方体的棱长均是5cm，那么露在外面的面积是多少平方厘米？ 参考答案与试题解析 1．一个长方体容器长10厘米，宽10厘米，高20厘米，盛满水后，将容器绕着靠地面的一条棱倾斜45°，求容器内剩下水的体积。 【答案】1000立方厘米。 【分析】这个长方体容器平放时，里面水的体积是10×10×20＝2000（立方厘米），当长10厘米靠着桌面倾斜45°时，流出水的体积是10×10×10÷2＝500（立方厘米），由此可知，当宽靠着桌面倾斜45°时，流出水的体积是10×10×10÷2＝500（立方厘米），由此可知，容器内剩下的水的体积。 【解答】解：10×10×20﹣10×10×10 ＝2000﹣1000 ＝1000（立方厘米） 答：容器内剩下水的体积1000立方厘米。 【点评】关键明白，当这个容器底面的一条棱长靠着桌面倾斜45°时，平放装满水时流出的水的体积是或靠着桌面倾斜45°时的空间是一个三棱体，体积是四棱体的一半。 2．在一个正方体的前、后以及左、右两侧面的中心各打通一个长方体的洞，并在上、下面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体棱长为10厘米，前、后以及左、右两侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下面的洞口是直径为4厘米的圆，求这个立体图形的体积． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，先求出前后、左右打通的长方体的体积，再求出上下圆柱的体积，最后用正方体的体积减去即可． 【解答】解：4×4×10×2一4×4×4 ＝320﹣64 ＝256（立方厘米） 10﹣4＝6（厘米） 4÷2＝2（厘米） 2×2×3.14×6+256 ＝75.36+256 ＝331.36（立方厘米） 10×10×10一331.36 ＝1000﹣331.36 ＝668.64（立方厘米） 答：这个立体图形的体积是668.64立方厘米． 【点评】此题考查立体图形的相关知识，注意立体图形之间的联系． 3．6个棱长都是40厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如图），露在外面的面的面积是多少平方米？ 【答案】露在外面的面的面积是2.08平方米。 【分析】观察图形知道，从上面看到5个正方形面，从前面看到4个正方形面，从右面看到4个正方形的面，所以露在外面的面一共是5+4+4＝13个，由此根据正方形的面积公式S＝a×a，求出一个正方形的面积，再乘13即可。 【解答】解：40×40×（5+4+4） ＝1600×13 ＝20800（平方厘米） 20800平方厘米＝2.08平方米 答：露在外面的面的面积是2.08平方米。 【点评】本题考查了运用正方体的表面积计算方法解答问题，解答本题的关键是要先找出每个正方体露在外面的有几个面，然后再求出露在外面的面积即可。 4．如图，有高度相同的A、B、C三只圆柱形杯子，A、B两只杯子已经盛满水，小颖把A、B两只杯子中的水全部倒进C杯中，C杯恰好装满，小颖测量得A、B两只杯子底面圆的半径分别是3厘米和4厘米，你能求出C杯底面的半径是多少吗？ 【答案】5厘米。 【分析】根据题意，A和B的体积的和等于C的体积，利用圆柱的体积公式：V＝Sh，根据A和B的底面半径，求C的半径即可。 【解答】解：（3.14×32×h+3.14×42×h）÷3.14÷h ＝9+16 ＝25（平方厘米） 因为25＝5×5 所以C杯的底面半径是5厘米。 【点评】本题主要考查规则立体图形的体积，关键根据A杯水和B杯水的体积的和等于C杯水的体积计算。 5．从一个棱长为10厘米的正方体木块上挖掉一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块（如图），求剩下木块的体积。 【答案】880立方厘米。 【分析】根据剩下木块的体积＝正方体的体积﹣长方体的体积，结合正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abc，依此代入数据计算即可求解。 【解答】解：10×10×10﹣6×5×4 ＝1000﹣120 ＝880（立方厘米） 答：剩下木块的体积是880立方厘米。 【点评】本题主要考查了规则立体图形的体积，解题的关键是熟记正方体和长方体的体积公式。 6．如图，把棱长为2cm的小正方体堆成如图所示的形状，求这个立体图形的表面积和体积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有16个面；从下面看有16个面；从前面看有10个面；从后面看有10个面；从左面看有10个面；从右面看有10个面．由此即可解决问题； （2）根据题干，这个几何体的体积就是这些小正方体的体积之和，棱长2厘米的正方体的体积是8立方厘米，由此只要数出有几个小正方体就能求得这个几何体的体积． 【解答】解：（1）图中几何体露出的面有：10×4+16×2＝72（个） 所以这个几何体的表面积是：2×2×72＝288（平方厘米） （2）这个几何体共有4层组成， 所以共有小正方体的个数为：1+4+9+16＝30（个） 所以这个几何体的体积为：2×2×2×30＝240（立方厘米） 答：这个立体图形的表面积是288平方厘米，体积是240立方厘米． 【点评】此题考查了观察几何体的方法的灵活应用；抓住这个几何体的体积等于这些小正方体的体积之和；几何体的表面积是露出的小正方体的面的面积之和是解决此类问题的关键． 7．如图表示一个正方体，它的棱长为4厘米，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体．问．此图的表面积是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】此题可先求出大正方体还剩下的表面积，然后求出一个小正方体的表面积就能求得六个小孔的表面积，由此即可解决问题． 【解答】解：大正方体的表面还剩的面积为： 4×4×6﹣1×1×6 ＝96﹣6 ＝90（平方厘米） 六个小孔的表面积为： 1×1×6×6﹣1×1×6 ＝36﹣6 ＝30（平方厘米） 此图的表面积为：90+30＝120（平方厘米） 答：此图的表面积为120平方厘米． 【点评】此题中大正方体要去掉小孔部分的面积，小正方体也要去掉小孔部分的面积，这是此题的关键． 8．在一个棱长为8厘米的正方体钢坯上下底面正中打一个对穿孔，制成一个机器零件，已知这个对穿孔是底面为边长2厘米的正方形，求这个零件的体积和表面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】这个空心图形的表面积就等于原正方体的表面积减去2个边长为2厘米的正方形的面积再加上挖出的长方体孔洞的4个侧面的侧面积；体积就等于原正方体的体积减去挖掉的长方体的体积，依据长方体和正方体的体积公式即可解答． 【解答】解：8×8×6﹣2×2×2+2×8×4 ＝384﹣8+64 ＝440（平方厘米） 8×8×8﹣8×2×2 ＝512﹣32 ＝480（立方厘米） 答：这个空心图形的表面积是440平方厘米，体积是480立方厘米． 【点评】本题考查长方体和正方体的表面积及体积公式，以及学生的空间想象能力． 9．如果从一个体积为120cm3的正方体木块中挖去最大的圆锥，做成如图所示的工件模具，求这个模具的体积．（π取3.14） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，模具体积为正方体体积减去圆锥体积．又正方题的体积公式V正＝a3，圆锥的体积公式V锥．本题中正方题的棱长a和圆锥的底面直径、高相等．所以有公式V锥，把数代入即可． 【解答】解：根据题意，模具体积为正方体体积减去圆锥体积，根据圆锥和正方体的关系可得： 1203.14×120 ＝120﹣31.4 ＝88.6（cm3） 答：求这个模具的体积为88.6cm3． 【点评】本题主要考查组合图形的体积及正方体体积和圆锥体积公式的应用． 10．古代的铜钱都是“外圆内方”，铜钱内正方形的边长是0.5厘米。小明把20枚相同的古代铜钱叠在一起的形状如图，每枚铜钱的体积是多少立方厘米？（π取值3.14） 【答案】0.578立方厘米。 【分析】根据图示可知，20枚相同的古代铜钱叠在一起的形状的体积等于圆柱的体积减去长方体的体积。利用圆柱的体积公式：V＝πr2h，长方体体积公式：V＝abh，计算体积，再除以20即可即可。 【解答】解：3.14×（2÷2）2×4﹣0.5×0.5×4 ＝12.56﹣1 ＝11.56（立方厘米） 11.56÷20＝0.578（立方厘米） 答：每枚铜钱的体积是0.578立方厘米。 【点评】本题主要考查组合图形的体积，关键利用圆柱、长方体的体积公式计算。 11．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： ①一个碗的高度是多少厘米？ ②把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？ ③一个长方体木箱子内部高度是25cm，最高的一摞最多能摆下几个碗？ ④量得碗口的直径是6厘米，这个长方体木箱子的底面的长28厘米，宽22厘米，这个木箱最多可放下多少个这样的碗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用15厘米减去10.5厘米就是（7﹣4）个碗增加的高度，由此即可求出1个碗增加的高度．再根据4个碗的高度或7个碗的高度即可求出1个碗的高度． 由题意，15﹣10.5＝4.5（厘米），这是增加3只碗增加的高度．说明每加上一只碗，则高度增加4.5÷3＝1.5厘米，那么一只碗本身的高度为10.5﹣1.5×3＝6（厘米）； （2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，是（4+7）个碗，是一个碗的高度加上（4+7﹣1）个碗增加的高度．由此即可求出这摞饭碗的高度是多少． （3）设最高的一摞最多能摆下x个碗，这x个碗增加的高度是1.5×（x﹣1）厘米，再加上1个碗的高度等于这个纸箱内部的高度，由此即可列方程解答． （4）用去尾法求近似值，28÷6≈4（个），22÷6≈3（个），用4乘3再乘每摞的个数（第3小题中已求出）就是这个木箱可以放下这种碗的个数． 【解答】解：（1）（15﹣10.5）÷（7﹣4） ＝4.5÷3 ＝1.5（厘米） 10.5﹣1.5×（4﹣1） ＝10.5﹣1.5×3 ＝10.5﹣4.5 ＝6（厘米） 答：一个碗的高度是6厘米． （2）6+1.5×（4+7﹣1） ＝6+1.5×10 ＝6+15 ＝21（厘米） 答：这摞饭碗的高度是21厘米． （3）设最高的一摞最多能摆下x个碗． 6+1.5×（x﹣1）＝25 6+1.5×（x﹣1）﹣6＝25﹣6 1.5×（x﹣1）＝19 1.5×（x﹣1）÷1.5＝19÷1.5 x﹣1 x﹣1+11 x＝13 用去尾法求近似数，13个≈13个． 答：最高的一摞最多能摆下13个碗． （4）28÷6≈4（个） 22÷6≈3（个） 4×3×13＝156（个） 答：这个木箱最多可放下156个这样的碗． 【点评】解答此题的关键是求出把这样的碗摞在一起时，一个碗所增加的高度．解答此类题时，若不能求精确值，只能用“去尾法”求近似值． 12．计算下面物体的体积和表面积 【答案】见试题解答内容 【分析】由图示可知：该组合图形的表面积为：圆柱的侧面积加上1个高为：1+1＝2（厘米）的长方体表面积．利用圆柱侧面积公式和长方体表面积公式计算即可．该组合图形的体积等于圆柱的体积加上高为2厘米的长方体的体积．利用圆柱体积公式和长方体体积公式计算即可． 【解答】解：表面积：1+1＝2（cm） （9×2+9×7+2×7）×2+3.14×5×4 ＝（18+63+14）×2+62.8 ＝95×2+62.8 ＝190+62.8 ＝252.8（平方厘米） 体积：3.14×（5÷2）2×4+9×7×2 ＝3.14×25+126 ＝78.5+126 ＝204.5（立方厘米） 答：这个物体的表面积为252.8平方厘米；体积为204.5立方厘米． 【点评】本题主要考查组合图形的表面积和体积的应用，关键把组合图形转化为规则立体图形，再计算． 13．如图的物体摆放在地面上（如图，单位：分米），露在外面的面积和是多少平方分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图示可知，该立体图形的表面积等于下面长方体的表面积，加上上面长方体的侧面积，根据长方体表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数代入计算即可． 【解答】解：[（2+6）×10+（2+6）×2+10×2]×2+（2×2+2×10）×2 ＝[8×10+8×2+20]×2+（4+20）×2 ＝116×2+24×2 ＝140×2 ＝280（平方分米） 答：这个物体露在外面的面积和是280平方分米． 【点评】本题主要考查规则立体图形的表面积，关键利用规则图形的表面积公式做题． 14．如图是棱长为5厘米的正方体，如果在这个正方体中切去一个棱长为3厘米的小正方体，剩下几何体的表面积是多少平方厘米？请作具体分析． 【答案】见试题解答内容 【分析】切去的这个小正方体的位置不同，剩下的几何体的表面积就不同；如果在顶点处，表面积是不变的；如果在棱长上且不在顶点处，则会比正方体增加2个小正方形的面；如果在每个面的中间，剩下的表面积会比正方体的表面积增加4个小正方形的面积． 【解答】解：若切去的小正方体位于八个顶角上，则表面积未变，为5×5×6＝150（平方厘米）； （2）若切去的小正方形位于棱上，且不在顶角上，则表面积为5×5×6+3×3×2＝168（平方厘米）； （3）若切去的小正方体在一个面内．则表面积为5×5×6+3×3×4＝186（平方厘米） 答：剩下的几何体的表面积是150平方厘米、168平方厘米或186平方厘米． 【点评】本题考查了立方体切拼问题，关键是分类讨论． 15．如图，小正方体的棱长是2cm，求露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】观察图形可知，露在外部的是三个面，据此求出大正方体的一个面的面积，再乘3即可解答问题． 【解答】解：2+2＝4（厘米） 4×4×3＝48（平方厘米） 答：露在外面的面积是48平方厘米． 【点评】解答此题关键是明确：露在外部的是大正方体的三个面，且大正方体的棱长是4厘米． 16．如图，一个棱长8厘米的正方体，在它的前面的正中间画一个边长2厘米的正方形，再由正方形向对面挖一个长方体洞，剩下物体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知：剩下物体的表面积为大正方体的表面积减去小长方体洞中2个小正方形的面，再加上小长方体的4个长方形面的面积即可． 【解答】解：8×8×6﹣2×2×2+8×2×4 ＝384﹣8+64 ＝440（平方厘米） 答：剩下物体的表面积是440平方厘米． 【点评】关键是分析图形是由哪几部分组成，表面积是指哪些面；然后根据相应的公式解答即可． 17．6个棱长都是20cm的正方体纸箱堆放在墙角处（如图），露出多少个面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】12个；5200平方厘米。 【分析】根据题意，漏出的面是这个组合图形的上面、前面和右面，数出对应的正方体面数即可；根据正方形面积等于边长乘边长求出一个面面积，再乘漏出的面数即可解答。 【解答】解：5+4+4＝13（个） 20×20×13 ＝400×13 ＝5200（平方厘米） 答：露出12个面；露在外面的面积是5200平方厘米。 【点评】掌握正方体的表面积特征是解题关键。 18．如图是一个机器零件，要在这个机器零件的表面涂上一层漆，涂漆的面积是多少？（单位：厘米） 【答案】150平方厘米。 【分析】根据图意可知，涂漆的面积等于长方体的表面积加上正方体4个面的面积，长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6；列式计算即可解答。 【解答】解：（8×3+8×3+3×3）×2+3×3×4 ＝（24+24+9）×2+36 ＝57×2+36 ＝114+36 ＝150（cm2） 答：涂漆的面积是150cm2。 【点评】此题考查长方体、正方体表面积计算，掌握长方体、正方体表面积计算公式是解答的关键。 19．如图，棱长为4cm的正方体木块的每个面的中心打上一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1cm的正方形，求挖洞后木块的体积及表面积. 【答案】54立方厘米；126平方厘米。 【分析】观察图形可知，挖洞后，体积减少了3个宽1厘米、高1厘米、长4厘米的小长方体的体积，因为中间的棱长是1厘米的小正方体被重复多减了2次，所以体积＝正方体的体积﹣3个小长方体的体积+2个棱长是1厘米的小正方体的体积；挖洞后，忽略正中间挖掉的小正方体，表面积可以看作是增加了12个宽1厘米、长4﹣1＝3厘米的长方形的面积，表面积＝正方体的外表面积+挖洞里面形成的表面积，再减去正中间减少的棱长1厘米的正方体的表面积，据此计算即可解答问题。 【解答】解：木块的体积：4×4×4﹣1×1×4×3+1×1×1×2 ＝64﹣12+2 ＝54（立方厘米） 木块的表面积：（4×4﹣1×1）×6 ＝15×6 ＝90（平方厘米） 1×（4﹣1）×12 ＝1×3×12 ＝36（平方厘米） 90+36＝126（平方厘米） 答：这个木块的体积是54立方厘米，表面积是126平方厘米。 【点评】解答此题的关键是掌握切割后的体积与表面积的计算方法，明确体积＝正方体的体积﹣3个小长方体的体积+2个棱长是1厘米的小正方体的体积；表面积＝正方体的外表面积+挖洞里面形成的表面积，再减去正中间减少的棱长1厘米的正方体的表面积。 20．如图，在长30cm、宽20cm、高15cm的长方体中挖去一个半径是5cm的半圆柱，求剩余几何体的表面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】几何体的表面积＝长方体的表面积+半个圆柱体的侧面积﹣长30cm宽5×2＝10cm长方形的面积﹣半径为5cm的圆的面积，根据长方体的表面积公式：S＝2（ab+ah+bh），圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch，长方体的面积公式：S＝ab，据此列式解答． 【解答】解：（30×20+30×15+20×15）×2+3.14×5×2×30÷2﹣30×（5×2）﹣3.14×52 ＝（600+450+300）×2+471﹣300﹣3.14×25 ＝1350×2+471﹣300﹣78.5 ＝2700+471﹣300﹣78.5 ＝2792.5（cm2） 答：剩余几何体的表面积为2792.5cm2． 【点评】此题主要考查长方体、圆柱体的表面积公式的灵活运用． 21．如图是一个机器零件，它由棱长为10cm的大正方体和棱长为5cm的小正方体拼成的。这个零件的表面积是多少cm2。 【答案】700cm2。 【分析】如图所示，把小正方体上面这个面移到下面，则零件的表面积等于大正方体的表面积加小正方体4个面的面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数据求解即可。 【解答】解：10×10×6+5×5×4 ＝600+100 ＝700（平方厘米） 答：这个零件的表面积是700cm2。 【点评】本题主要考查正方体表面积公式的应用，关键是能理解表面积的概念。 22．从一个棱长为2厘米的正方体的上面正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为0.5厘米棱长的小洞，接着再在小洞底面正中再向下挖一个棱长为0.25厘米的正方体小洞，求现在得到的立体图形的表面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但6个面看过去都还是面积不变的，特别是从上往下看是，3个正方体的下底面剩下的面积和等于原来的面积，这样就只增加了3个小正方体的各自的侧面；计算出原表面积再加上增加的3个小正方体的各自侧面的面积就是最后得到的立体图形的表面积． 【解答】解：原正方体的表面积是：2×2×6＝24（平方厘米）， 增加的面积：1×1×4+（0.5×0.5）×4+（0.25×0.25）×4 ＝4+1+0.25 ＝5.25（平方厘米） 总表面积为：24+5.25＝29.25（平方厘米） 答：最后得到的立体图形的表面积是29.25平方厘米． 【点评】立体图形中一定要学会想象，特别是这种面积分开时，我们仍可以看成相连的，这就要求学生必须学会如何看待面积的变化． 23．把10个棱长为5dm的正方体纸箱堆在墙角（如图所示），露在外面的面积有多少平方米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图形可知，前面外露6个正方形面，上面外露6个正方形面，右面外露6个正方形面，根据正方形的面积公式S＝a2计算出每一个面的面积乘总的面数即可． 【解答】解：5×5×6×3 ＝25×6×3 ＝450（平方分米） 450平方分米＝4.5平方米 答：露在外面的面积有4.5平方米． 【点评】从图中看出三个方向得出露出外面的总面数是解决问题的关键 24．如图，在一个棱长为5分米的正方体边上挖去一个棱长为2分米的小正方体，剩余部分的表面积是多少平方分米？ 【答案】158。 【分析】根据图示，正方体挖掉小正方体后，减少了小正方体的2个面，同时增加了小正方体的4个面，相当于多出小正方体的2个面；所以该几何体的表面积等于大正方体的表面积加上小正方体的2个面的面积。据此解得。 【解答】解：5×5×6+2×2×2 ＝150+8 ＝158（平方分米） 答：剩余部分的表面积是158平方分米。 【点评】本题主要考查规则图形的表面积，关键是利用正方体表面积公式：S＝6a2计算。 25．下面的立体图形是由棱长3cm的小正方体搭成的，它的表面积和体积分别是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图示可知，该立体图形的表面积等于边长是3厘米的小正方形的面积乘露在外面的小正方形的个数；因为这个立体图形是由5个小正方体拼成的，所以体积为5个小正方体体积的和． 【解答】解：3×3×（8+8+6） ＝9×22 ＝198（平方厘米） 3×3×3×5 ＝27×5 ＝135（立方厘米） 答：这个立体图形的表面积是198平方厘米；体积是135立方厘米． 【点评】本题主要考查规则立体图形的表面积和体积，关键利用正方体体积公式计算． 26．如图，把4个棱长为5cm的正方体放在墙角． （1）一共有多少个面露在外面？ （2）露在外面的面积是多少cm2？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图形可知，前面外露4个正方形面，上面外露1个正方形面，右面外露4个正方形面，根据正方形的面积公式计算出每一个面的面积乘总的面数即可． 【解答】解：（1）4+1+4＝9（个） 答：一共有9个面露在外面． （2）5×5×9＝225（平方厘米） 答：露在外面的面积是225平方厘米 【点评】从图中看出三个方向得出露出外面的总面数是解决问题的关键． 27．如图所示是一个用棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体。 （1）这个物体的表面积是多少平方厘米？ （2）要把这个物体补成一个大正方体，这个大正方体的表面积至少是多少平方厘米？ 【答案】54平方厘米。 【分析】（1）可以从上下、左右和前后观察各有几个正方形的面，然后用一个正方形的面的面积乘它的个数，即是这个图形的表面积，据此解答。 （2）把这个物体补成一个大正方体，大正方体的棱长为3厘米，根据正方体的表面积公式S＝6×a×a求解即可。 【解答】解：（1）1×1＝（平方厘米） 1×（7×2+6×2+7×2） ＝1×（14+12+14） ＝1×40 ＝40（平方厘米） 答：这个物体的表面积是20平方厘米。 （2）3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 答：这个大正方体的表面积至少是54平方厘米。 【点评】解答此题的关键是熟练掌握小正方体拼组大正方体的方法以及不规则图形的表面积的计算方法。 28．有5个棱长是20cm的正方体纸盒放在墙角处（如图），有几个面露在外面？露在外面的面积一共有多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】观察图形可知，前面和右面各有3个面露在外面，上面有4个面露在外面，所以共有3+3+4＝10个面露在外面，每个面的面积为20×20＝400平方厘米，用400乘露在外面的面数10，即可求得露在外面的面积一共有多少平方厘米． 【解答】解：露在外面的面共有：3+3+4＝10（个） 总面积：20×20×10 ＝400×10 ＝4000（平方厘米） 答：有10个面露在外面，露在外面的面积一共有4000平方厘米． 【点评】此题考查规则立体图形的表面积，解决此题的关键是求出露在外面的面的总个数． 29．如图是从一个立体图形的正上面与正侧面看到的图形，从正面看到的圆的半径是2厘米。 （1）以每秒1毫升的速度，往容器内注水时，水面到离地面10厘米的地方，需要多少秒？ （2）这个立体图形的体积是多少？ （3）这个立体图形的表面积是多少？ 【答案】（1）62.8秒；（2）834.4立方厘米；（3）733.6平方厘米。 【分析】（1）利用圆柱的体积公式，计算水柱离地面10厘米时的水的体积，再除以1毫升，就是时间。 （2）用长方体的体积减去圆柱的体积，就是整个立体图形的体积。 （3）这个立体图形的表面积等于长方体的表面积加上圆柱的侧面积。 利用圆柱的体积公式：V＝πr2h，长方体体积公式：V＝abh，长方形表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，计算即可。 【解答】解：（1）1毫升＝1立方厘米 3.14×22×（10﹣5）÷1 ＝3.14×4×5 ＝62.8（秒） 答：需要62.8秒。 （2）8×8×（10+5）﹣3.14×22×10 ＝960﹣125.6 ＝834.4（立方厘米） 答：这个立体图形的体积是834.4立方厘米。 （3）10+5＝15（厘米） （8×8+8×15+8×15）×2+2×3.14×2×10 ＝（64+240）×2+125.6 ＝608+125.6 ＝733.6（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是733.6平方厘米。 【点评】本题主要考查组合图形的表面积和体积，关键把组合图形转化为规则图形，再计算。 30．有5个棱长为4分米的立方体放置在墙角处，露在外面的面积是多少平方米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】每个小正方体一个面的面积是4×4＝16（平方分米），露在外面的有图形的上面，前面和右面，分别观察计数露出的面的个数即可解决问题． 【解答】解：露在外面的面有： 4+4+3＝10（个） 所以露在外面的面积为： 4×4×10＝160（平方分米） 答：露在外面的面的面积是160平方分米． 【点评】本题主要考查了学生观察问题的能力，这里要注意只数出露在外部的面． 31．有一个棱长是3cm的正方体零件，从它的一个面的正中间挖去一个小长方体（如图），这个零件的表面积是增加了还是减少了？增加（或减少）了多少平方厘米？说说你的理由. 【答案】增加了，增加了10立方厘米。 【分析】根据图示可知，从正方体的一个面的正中间挖去一个小长方体，该组合图形的表面积等于正方体的表面积减去长方体上下两个面的面积，再加上长方体的侧面积。比较变化前后表面积，求差即可。据此解答。 【解答】解：3×3×6＝54（立方厘米） 3×3×6﹣1×1×2+1×3×4 ＝54﹣2+12 ＝64（立方厘米） 64﹣54＝10（立方厘米） 答：这个零件的表面积是增加了，增加了10立方厘米。 【点评】本题主要考查组合图形的表面积，利用长方体和正方体表面积公式计算即可。 32．将8个棱长都是30cm的正方体纸箱堆放在墙角处（如图所示），露出多少个面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】有8个正方体露在外面，每个正方体有3个面露在外面，共有15个正方形露在外面，每个正方形的边长是30厘米，根据正方形的面积＝边长×边长，即可得解． 【解答】解：根据图示可知，有15个面露在外面， 30×30×15 ＝900×15 ＝13500（平方厘米） 答：露出15个面，露在外面的面积是13500平方厘米． 【点评】本题考查规则图形的表面积的计算，解决此题的关键是求出露在外面的面的总个数． 33．如图所示的领奖台是由6个棱长是3分米的正方体组合而成的。 （1）如果要在领奖台的表面喷漆（底面不喷漆），需要喷漆的面积是多少？ （2）这个领奖台的体积是多少？ 【答案】189平方分米，162立方分米。 【分析】（1）此图是由6个棱长3分米的小正方体搭成的，露在外面的：前、后面各有6个，左、右、上面各3个，下面的没有露在外面的面，所以6×2+3×3＝21个，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式求出一个小正方形的面积，乘上露在外面的个数解答即可。 （2）一共有6个正方体，这个领奖台的体积是由6个正方体的体积相加之和得到的。 【解答】解：（1）6×2+3×3 ＝12+9 ＝21（个） 3×3＝9（平方分米） 21×9＝189（平方分米） 答：需要喷漆的面积是189平方分米。 （2）3×3×3＝27（立方分米） 27×6＝162（立方分米） 答：这个领奖台的体积是162立方分米。 【点评】解答此题的关键是弄清楚每个图形露在外面的面的个数，再根据正方形的面积公式解答；体积可以看作是几个正方体的体积之和。 34．有一个形状如图的零件．（单位：dm） （1）要在它的表面涂上油漆涂，油漆的面积有多少平方分米？ （2）它的体积是多少立方分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）观察图形可知，要在它的表面涂上油漆涂，油漆的面积就是下面的长方体的表面积，再加上小正方体的4个面的面积之和，据此利用长方体和正方体的表面积公式计数即可解答问题； （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出它们的体积，再加起来就是这个零件的体积． 【解答】解：（1）（5×4+5×3+4×3）×2+2×2×4 ＝（20+15+12）×2+16 ＝47×2+16 ＝94+16 ＝110（平方分米） 答：油漆的面积有110平方分米． （2）5×4×3+2×2×2 ＝60+8 ＝68（立方分米） 答：零件的体积是68立方分米． 【点评】此题主要考查了长方体、正方体的表面积和体积公式的实际应用，熟记公式即可解答问题． 35．从一个长方体木块中，挖掉一小长方体后（如图），它的表面积是多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，从一个长方体木块中，挖掉一小长方体后，这个图形的表面积＝长方体的表面积﹣小长方体的前后两个面的面积+小长方体左右两个长方形的面积，据此回答． 【解答】解：根据题意得 （30×20+20×15+30×15）×2﹣8×8×2+20×8×2 ＝1350×2﹣128+320 ＝2892（平方厘米） 答：它的表面积为2892平方厘米． 【点评】本题考查了长方体的表面积，解决本题的关键是要找出小长方体需要计算表面积的面． 36．看图回答问题． （1）如图中一共有多少个小正方体？有多少个面露在外面？ （2）如果每个小正方体的棱长均是5cm，那么露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）该立方体共2层，从上向下数：一层有3个，二层有5个，共有3+5＝8个小正方体，露在外面的面：从上面看有5个，从前面看有5个，从右面看有4个，一共有5+5+4＝14个； （2）利用正方形的面积公式S＝a2求出每个小正方体的面的面积，再乘14就是露在外部的总面积． 【解答】解：（1）这个几何体共有2层组成， 所以共有小正方体的个数为：3+5＝8（个） 图中几何体露出的面有：5+5+4＝14（个） 答：一共有8个小正方体，有14个面露在外面． （2）5×5×14 ＝25×14 ＝350（平方厘米） 答：露在外面的面积是350平方厘米． 【点评】此题考查了规则立体图形的表面积；抓住几何体露在外面的面积是露出的小正方体的面积之和是解决此类问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$