第二章 有理数的运算 2.2有理数的乘法与除法-2024-2025学年七年级上学期《七年级上册数学题型大全精讲》

人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第二章 有理数的运算 2.2有理数的乘法与除法 学习目标 1.掌握有理数的乘法法则，会进行有理数的乘法运算； 2.理解有理数乘法交换律、结合律和分配律，能运用乘法运算律简化运算； 3.感受有理数乘法法则的合理性及分类讨论的数学思想； 4.理解有理数的除法法则，能熟练利用法则进行运算； 5.能将有理数的乘除混合运算统一成乘法运算，熟练地进行有理数的加减乘除混合运算。 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——直接利用乘法法则计算 题型2——利用乘法运算律计算 题型3——有理数乘法与数轴综合 题型4——有理数乘法的实际应用 题型5——直接利用除法法则计算 题型6——有理数的乘除混合计算 题型7——有理数除法的实际应用 题型8——加减乘除混合运算 题型9——乘除法规律探究问题 题型10——乘除法新定义问题 知识详解 知识点1：有理数的乘法法则 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； （2）任何数与0相乘，都得0． 名师点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来，如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 名师点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等， 即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 名师点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 4.倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 名师点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点2：有理数的除法法则 1. 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 名师点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 2.有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 3.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 典例大全 题型1 直接利用乘法法则计算 例题1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】4．计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型2 利用乘法运算律计算 例题2．简便计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】1．简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】2．简便计算： (1) (2) (3) (4) 【变式训练】3．简便计算 (1) (2) 【变式训练】4．简便计算： (1) (2) (3) (4) 题型3 有理数乘法与数轴综合 例题3．已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】1．如图，A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】3．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式训练】4．在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】5．已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，，．若，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（  ） A．   B．   C．   D．   题型4 有理数乘法的实际应用 例题4．某市出租车的收费标准如下（不足1千米按1千米计算）： 里程 收费 3千米及3千米以内 元 3千米以上，单程，每增加1千米 元 3千米以上，往返，每增加1千米 元 (1)小明乘出租车从家到外婆家，相距千米，应付车费多少钱？ (2)王老师从学校去相距6千米的教育局取一份资料后立即回到学校，他怎样坐车比较合算？算一算需付多少元出租车费． 【变式训练】1．天气渐渐热了，又到了饮料的销售旺季，济南 A、B、C三个超市都进了一批相同的料，同一规格的饮料定价相同．大瓶 10元，小瓶 2.5元．为了抢占市场，分别推出不同的优惠措施：A超市买大瓶送小瓶； B超市一律打九折； C超市购买满  30元就能全部打八折．下表是四位顾客的购买情况，请你帮助这些顾客计算去哪家超市购买花钱最少，并把结果填入下面的表格中． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10 小瓶 5 大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 所花钱数 (元) 【变式训练】2．某检修小组乘一辆汽车沿检修路约定向东走为正，某天从A地出发到收工时行走记录（单位：，，，，，，，，，，，求： (1)问收工时检修小组在A，地的哪一边，距A地多远？ (2)若每千米汽车耗油3升，开工时储存180升汽油，回到收工时中途是否需要加油？若加油，最少加多少升？若不需要加油，到收工时还剩多少升汽油？ 【变式训练】3．随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也将自己家果园的苹果梨在某直播平台进行销售，经过一段时间的销售，小李发现每天能销售左右的苹果梨．下表为小李月份第一周销售苹果梨的情况（以为标准，超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容回答下列问题： (1)小李在第一周星期一到星期三这三天共卖出苹果梨_______； (2)这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________苹果梨； (3)若苹果梨的售价为元，不考虑其他因素，求小李这周直播销售苹果梨的总收入． 【变式训练】4．某蛋糕店在某一时段的销售情况如下，请分别完成下列问题： (1)该蛋糕店在一周的销售中，盈亏情况如表盈利为正，亏损为负，单位：元． 星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日 合计 350 1900 4600 表中星期四的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期四的盈亏数，并说明星期四是盈还是亏，盈亏是多少． (2)该蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，月平均每月亏损2万元，月平均每月亏损1万元，月平均每月盈利5万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何． 题型5 直接利用除法法则计算 例题5．计算： (1) (2) (3) (4) 【变式训练】1.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】2．计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 【变式训练】3．计算： (1)； (2)． 【变式训练】4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6 有理数的乘除混合计算 例题6．计算： (1) (2)； 【变式训练】1．计算： (1)； (2)． 【变式训练】2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】3．计算： (1)． (2)． 【变式训练】4．计算： (1)； (2)． 题型7 有理数除法的实际应用 例题7．一辆国产新能源汽车的标价是22万元．今年“618”商家搞促销活动：购车立减2万元，在此基础上一次性付款再打九八折． (1)湛湛家一次性付款购得这辆汽车，实际支付购车款多少万元？ (2)《中华人民共和国车辆购置税法》规定：在中华人民共和国境内购置汽车应当缴纳车辆购置税（购置税购车款）．为支持新能源车的发展，国家对购置日期在2024年1月1日至2025年12月31日期间的新能源汽车免征车辆购置税．请你算一算，湛湛家又可以节省多少万元？（得数保留两位小数） 【变式训练】1．我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20平方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 4 16 33.60 5 28 70.80 (1)请你算一算该市水费的“调节价”每立方米多少钱？ (2)若该户居民6月份用水量为32立方米，请你第一算，6月份的水费是多少元？ 【变式训练】2．有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【变式训练】3．某班抽查了10名同学的期中数学成绩，以85分为基准，超出的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录的结果如下：，0，． (1)这10名同学期中数学成绩的最高分是多少分？最低分是多少分？ (2)这10名同学期中数学成绩的平均成绩是多少分？ 【变式训练】4．“十一”黄金周，蒙商家电部大力促销，收银情况一直看好．下表为当天与前一天的营业额的涨跌情况（单位：万元）．已知9月30日的营业额为万元： 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 4 3 2 0 (1)黄金周内收入最低的是哪一天？为什么？ (2)黄金周内平均每天的营业额是多少？ 题型8 加减乘除混合运算 例题8．计算题 (1) (2) (3) (4) 【变式训练】1．（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式训练】2．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式训练】3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型9 乘除法的规律探究问题 例题9．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【变式训练】1．阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现： ①；②；③；……． (1)通过观察，计算的值为________； (2)探究上述的运算规律，试计算的值． 【变式训练】2．探究规律，完成相关题目 沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；；； ：； 智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了，” 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，___________得正，___________得负，再将它们的___________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果为这个数的___________． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道乘法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请分别作出判断并举例验证．（若成立则举一例即可，若不成立则举一个不成立的例子即可）· 【变式训练】3．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【变式训练】4．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式： ； (2)用含有的式子表示第个等式： （为正整数）； (3)求的值． 题型10 乘除法的新定义问题 例题10．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练】1．定义新运算“※”为，则当时，计算． 【变式训练】2．对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【变式训练】3．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【变式训练】4．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 题型检测 一、选择题（本大题共10小题） 1．的倒数是（    ） A． B． C．3 D． 2．已知：，，，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，用到的乘法运算律是（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算． 5．下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ）             ①           ②            ③ A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 6．如果，，，那么的值是（       ） A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9 7．下列各式计算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 8．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．已知，化简（  ） A． B．3或1 C．3或 D． 10．已知a，b，c，d都是负数，且，则的值（　　） A．负数 B．0 C．正数 D．负数或0 二、填空题（本大题共10小题） 11． ． 12．定义一种新运算“☆”，规定：，则 ． 13．数轴上点D、E、F和原点如图所示，已知有理数a、b、c分别与其中的一个点对应(对应顺序暂不确定），若a、b、c满足，，，那么有理数b在数轴上对应的点是 ， 14．计算的结果是 ． 15．小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 16． ． 17．计算： ． 18．已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 19．对于算式，下面几种算法： ①原式；②原式；③原式；④原式．其中正确的算法有 ．(写序号) 20．已知为非等有理数，且，则的值为 ． 三．解答题（本大题共8小题） 21．计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 22．用简便方法计算： (1) (2)． 23．计算： (1) (2) (3) (4) 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 26．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 27．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 28．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第二章 有理数的运算 2.2有理数的乘法与除法 学习目标 1.掌握有理数的乘法法则，会进行有理数的乘法运算； 2.理解有理数乘法交换律、结合律和分配律，能运用乘法运算律简化运算； 3.感受有理数乘法法则的合理性及分类讨论的数学思想； 4.理解有理数的除法法则，能熟练利用法则进行运算； 5.能将有理数的乘除混合运算统一成乘法运算，熟练地进行有理数的加减乘除混合运算。 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——直接利用乘法法则计算 题型2——利用乘法运算律计算 题型3——有理数乘法与数轴综合 题型4——有理数乘法的实际应用 题型5——直接利用除法法则计算 题型6——有理数的乘除混合计算 题型7——有理数除法的实际应用 题型8——加减乘除混合运算 题型9——乘除法规律探究问题 题型10——乘除法新定义问题 知识详解 知识点1：有理数的乘法法则 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； （2）任何数与0相乘，都得0． 名师点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来，如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 名师点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等， 即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 名师点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 4.倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 名师点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点2：有理数的除法法则 1. 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 名师点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 2.有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 3.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 典例大全 题型1 直接利用乘法法则计算 例题1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果； （2）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果； （3）原式利用同号两数相乘的法则计算即可得到结果； （4）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【变式训练】1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3(2)(3)(4)0 【分析】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答． 根据有理数的乘法法则解答即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式训练】2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)13 【分析】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答． （1）根据有理数乘法运算法则即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式训练】3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0(2)(3)7(4) 【分析】本题考查了有理数的乘法．解题的关键是掌握有理数的乘法法则，特别要注意积的符号． （1）零乘以任何数都等于零，由此即可求解； （2）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数的乘法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解：． 【变式训练】4．计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0(2)35(3)(4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可． （1）结合几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0，即可作答． （2）先把小数化为分数，再相乘，即可作答． （3）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，然后把带分数化为假分数，再进行计算，即可作答． （4）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，再相乘，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型2 利用乘法运算律计算 例题2．简便计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)8 【分析】本题考查有理数乘法，有理混合运算，熟练掌握有理数乘法法则与运算律是解题的关键． （1）根据乘法交换律、结合律和有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）把小数化为分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （3）逆运用乘法分配律进行计算即可得解； （4）利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练】1．简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)60(4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法交换律，结合律计算即可； （2）利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式训练】2．简便计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4)4 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是运用乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律等运算法则较为简便． （1）根据有理数的乘法的结合律进行简算即可； （2）根据有理数的乘法的交换律与结合律计算即可； （3）利用乘法分配律进行简便计算即可； （4）逆用乘法分配律计算较为简便． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） ． 【变式训练】3．简便计算 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了有有理数的乘法运算： （1）利用有理数乘法运算律进行求解即可； （2）逆用有理数的乘法运算律即可求解； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式训练】4．简便计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算律和运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律，同分母的相结合，能凑整的相结合，再进行计算； （2）运用乘法分配律进行计算即可； （3）将原式写成，再根据乘法分配律进行计算即可； （4）倒用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型3 有理数乘法与数轴综合 例题3．已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则的应用，主要考查学生对法则的理解能力，难度不是很大． 根据数轴得出，再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可． 【详解】解：从数轴可知：， A、，故原式不正确；     B、，故原式不正确；     C、，故原式正确；     D、，故原式不正确；     故选：C． 【变式训练】1．如图，A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴的特点，根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可．根据、两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：、两点在数轴上的位置可知：，， ，，故、错误； ，， ，，，， ∴， 故正确，错误． 故选：． 【变式训练】3．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数加法、乘法的法则，熟悉有理数加法、乘法的符号法则是解决本题的关键． 根据数a、b在数轴上的位置可确定数a、b与1及的大小关系，从而可确定、、、及的符号，进而确定式子的符号，逐一作出判断． 【详解】①，，则，故该项不正确； ②，，则，故该项正确； ③，，则，，即，故该项正确； 则只有②③正确． 故选：B． 【变式训练】4．在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法加法，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．由数轴上表示的，，得出的结论，再根据已知条件，，判断字母，，表示的数的正负性即可． 【详解】解：由图可知， ， ，， ， 故D正确； ，， 当时，， 当时，， 故A错误； 由得，， 当，0离近时，，0离远时，； 当时，， 故B错误； ， ，， 当0离近时，； 0离远时，， 故C错误； 故选：D． 【变式训练】5．已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，，．若，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】先由，，，得出，再分别判定即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符不合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 题型4 有理数乘法的实际应用 例题4．某市出租车的收费标准如下（不足1千米按1千米计算）： 里程 收费 3千米及3千米以内 元 3千米以上，单程，每增加1千米 元 3千米以上，往返，每增加1千米 元 (1)小明乘出租车从家到外婆家，相距千米，应付车费多少钱？ (2)王老师从学校去相距6千米的教育局取一份资料后立即回到学校，他怎样坐车比较合算？算一算需付多少元出租车费． 【答案】(1)应付车费元 (2)王老师应该坐同一辆出租车往返比较划算，要付出租车费元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据小明家到外婆家，相距（不足1千米按1千米计算）千米，结合表格中的相关数据列式计算即可； （2）分两种情况：从学校到教育局，然后再从教育局到学校，按照单程计算出需要的花费；按照往返计算出需要的花费，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解： （元）， 答：应付车费元； （2）解：按照单程： （元）， 按照往返： （元）， ， 答：王老师应该坐同一辆出租车往返比较划算，要付出租车费元。 【变式训练】1．天气渐渐热了，又到了饮料的销售旺季，济南 A、B、C三个超市都进了一批相同的料，同一规格的饮料定价相同．大瓶 10元，小瓶 2.5元．为了抢占市场，分别推出不同的优惠措施：A超市买大瓶送小瓶； B超市一律打九折； C超市购买满  30元就能全部打八折．下表是四位顾客的购买情况，请你帮助这些顾客计算去哪家超市购买花钱最少，并把结果填入下面的表格中． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10 小瓶 5 大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 所花钱数 (元) 【答案】见解析 【分析】题目主要考查打折运算及有理数的乘法应用，理解题意，分别对每位顾客计算出相应的超市的费用即可得出结果 【详解】解：顾客甲：只买10小瓶，(元)，只买10小瓶， 到A或C超市购买无优惠，到B超市购买有优惠，花费为（元）； 顾客乙：只买5个大瓶，(元)，已满30元，到A超市购买无优惠，到B超市购买九折，到C超市购买八折， 应该到C超市购买更便宜，花费； 顾客丙：买4大瓶6小瓶，(元)， 如果选A超市就是：元)，如果选B超市就是：(元)， 选C超市就是：(元)， 所以选C超市， 顾客丁：买1大瓶和2小瓶，(元)， 如果选A超市：(元)， 如果选B超市就是：(元)， 如果选C超市无优惠， 所以选A超市． 顾客 甲 乙 丙 丁 购买情况 10 小瓶 5 大瓶 4大6小 1大2小 选择商场 B C C A 所花钱数 (元) 40 44 12.5 【变式训练】2．某检修小组乘一辆汽车沿检修路约定向东走为正，某天从A地出发到收工时行走记录（单位：，，，，，，，，，，，求： (1)问收工时检修小组在A，地的哪一边，距A地多远？ (2)若每千米汽车耗油3升，开工时储存180升汽油，回到收工时中途是否需要加油？若加油，最少加多少升？若不需要加油，到收工时还剩多少升汽油？ 【答案】(1)收工时在地的正东方向，距地． (2)故到收工时中途需要加油，加油量为升． 【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）求出这几个数的和，根据结果的符号确定方向，绝对值确定距离； （2）计算行驶的总路程和耗油量，比较得出答案． 【详解】（1）根据题意可得：向东走为“”，向西走为“”； 则收工时距离等于． 故收工时在地的正东方向，距地． （2）从地出发到收工时， 汽车共走了； 从地出发到收工时耗油量为（升． 故到收工时中途需要加油，加油量为升． 【变式训练】3．随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也将自己家果园的苹果梨在某直播平台进行销售，经过一段时间的销售，小李发现每天能销售左右的苹果梨．下表为小李月份第一周销售苹果梨的情况（以为标准，超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容回答下列问题： (1)小李在第一周星期一到星期三这三天共卖出苹果梨_______； (2)这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________苹果梨； (3)若苹果梨的售价为元，不考虑其他因素，求小李这周直播销售苹果梨的总收入． 【答案】(1)； (2)； (3)小李这周直播销售苹果梨的总收入为元． 【分析】（）根据前三天销售量相加计算即可； （）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （）将总数量乘以价格解答即可； 本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： （元）， 答：小李这周直播销售苹果梨的总收入为元． 【变式训练】4．某蛋糕店在某一时段的销售情况如下，请分别完成下列问题： (1)该蛋糕店在一周的销售中，盈亏情况如表盈利为正，亏损为负，单位：元． 星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日 合计 350 1900 4600 表中星期四的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期四的盈亏数，并说明星期四是盈还是亏，盈亏是多少． (2)该蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，月平均每月亏损2万元，月平均每月亏损1万元，月平均每月盈利5万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何． 【答案】(1)盈利元 (2)盈利万元 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用以及正负数的实际意义： （1）根据合计可计算出星期四的数值，以此可判断出是盈还是亏； （2）根据题意可得到正负数，进行运算即可； 正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意可得： 星期四的数值为：， ∴星期四是盈利元； （2）解：蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，即三个月盈利（万元）， 月平均每月亏损2万元，即三个月亏损（万元）， 月平均每月亏损1万元，即两个月亏损（万元）， 月平均每月盈利5万元，即四个月盈利（万元）， 则（万元）， 即该蛋糕店去年情况为盈利万元． 题型5 直接利用除法法则计算 例题5．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4(2)(3)0(4) 【分析】（1）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数除法运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． 【变式训练】1.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】2．计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 【答案】(1)5(2)(3)(4) 【分析】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （2）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （3）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （4）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式训练】3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序． （1）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可； （2）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式训练】4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型6 有理数的乘除混合计算 例题6．计算： (1) (2)； 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键． （1）按照从左至右的顺序计算即可； （2）按照从左至右的顺序计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式训练】1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查的是有理数的运算能力，属于基本题型，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题关键． （1）根据有理数乘除混合运算从左到右依次计算可以解答本题； （2）先将带分数化为假分数后再根据有理数乘除混合运算从左到右依次计算可以解答本题． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式训练】2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0(2)(3)1(4) 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据0除以任何一个不等于0的数，都得0可得答案； （2）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （3）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （4）先化成乘法，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】3．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1(2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式训练】4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型7 有理数除法的实际应用 例题7．一辆国产新能源汽车的标价是22万元．今年“618”商家搞促销活动：购车立减2万元，在此基础上一次性付款再打九八折． (1)湛湛家一次性付款购得这辆汽车，实际支付购车款多少万元？ (2)《中华人民共和国车辆购置税法》规定：在中华人民共和国境内购置汽车应当缴纳车辆购置税（购置税购车款）．为支持新能源车的发展，国家对购置日期在2024年1月1日至2025年12月31日期间的新能源汽车免征车辆购置税．请你算一算，湛湛家又可以节省多少万元？（得数保留两位小数） 【答案】(1)万元(2)万元 【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用： （1）根据所给优惠方案列式计算即可； （2）根据购置税计算公式列式计算即可． 【详解】（1）解：万元， 答：湛湛家一次性付款购得这辆汽车，实际支付购车款万元； （2）解：万元， 答：湛湛家又可以节省万元． 【变式训练】1．我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20平方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 4 16 33.60 5 28 70.80 (1)请你算一算该市水费的“调节价”每立方米多少钱？ (2)若该户居民6月份用水量为32立方米，请你第一算，6月份的水费是多少元？ 【答案】(1)3.6元； (2)元． 【分析】（1）先求出基本价，然后再求出调节价即可； （2）根据基本价和调节价列式计算即可． 本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出相应的算式，准确计算． 【详解】（1）解： “基本价”： （元； “调节价”： （元 答：该市水费的“调节价”每立方米3.6元； （2）解：依题意 （元； 答：6月份的水费是元． 【变式训练】2．有筐白菜，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？每筐白菜的平均质量是多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？（结果精确到十分位） 【答案】(1)千克； (2)千克，千克； (3)元． 【分析】（）用差值最大的数减去最小的数即可求解； （）用差值乘以框数，求出它们的和，进行判断即可，进而可求出每筐白菜的平均质量； （）用总质量乘以每千克的售价，进行求解即可． 本题考查了正负数的意义，有理数混合运算的实际应用，读懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可得，最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：， ∴与标准重量比较，筐白菜总计超过千克， ∴每筐白菜的平均质量千克； （3）解：元， 答：出售这筐白菜可卖元． 【变式训练】3．某班抽查了10名同学的期中数学成绩，以85分为基准，超出的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录的结果如下：，0，． (1)这10名同学期中数学成绩的最高分是多少分？最低分是多少分？ (2)这10名同学期中数学成绩的平均成绩是多少分？ 【答案】(1)最高分为97分，最低分为75分 (2)85分 【分析】本题考查正数和负数，求平均数，解题的关键是明确正数和负数在题目中表示的含义． （1）根据题目中给出的数据可以计算出最高分与最低分分别是多少； （2）将题目中的10个数据相加的和除以10再与85相加，即可解答本题． 【详解】（1）这10名同学期中数学成绩的最高分是：（分）； 最低分是：（分）． （2）（分）， 所以这10名同学期中数学成绩的平均成绩是：（分）． 【变式训练】4．“十一”黄金周，蒙商家电部大力促销，收银情况一直看好．下表为当天与前一天的营业额的涨跌情况（单位：万元）．已知9月30日的营业额为万元： 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 4 3 2 0 (1)黄金周内收入最低的是哪一天？为什么？ (2)黄金周内平均每天的营业额是多少？ 【答案】(1)收入最高的是10月3日和10月4日，收入最低的是10月7日 (2)万元 【分析】此题考查了正数和负数，解题的关键是根据表格算出每天的营业额，再进行比较即可． （1）利用已知条件正数表示比前一天营业额多，负数表示比前一天营业额少，结合9月30日的营业额为万元，可得出10月1日到10月7日每天的营业额，即可求出答案； （2）结合上面（1），把7天的营业额都加起来，再除以7天，即可求出答案． 【详解】（1）解：因为9月30日的营业额为万元， 所以10月1日日的营业额为万元， 2日的营业额为万元， 3日的营业额为万元， 4日的营业额为万元， 5日的营业额为万元， 6日的营业额为万元， 7日的营业额为万元， 所以收入最高的是10月3日和10月4日，收入最低的是10月7日； （2）根据题意得： （万元）， 故黄金周内平均每天的营业额是万元． 题型8 加减乘除混合运算 例题8．计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除混合计算法则求解即可； （3）根据有理数乘法分配律求解即可； （4）根据有理数四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】1．（1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（）；（）；（）；（）． 【分析】（）根据有理数加法交换律和结合律进行计算即可； （）根据有理数乘除法则计算即可； （）根据乘法分配律计算即可； （）根据乘法分配律计算即可； 本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（）解：原式 ； （）解：原式 ； （）解：原式 ； （）解：原式 ． 【变式训练】2．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)8(2)5(3)0(4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算∶ （1）根据有理数的乘法、除法法则处理； （2）运用乘法分配律处理； （3）反用乘法分配律处理； （4）带分数拆项，化为减法，运用乘法分配律运算处理． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，在解答时要注意运算顺序以及确定结果的符号： （1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式根据乘法分配律将括号展开后再计算乘法，最后进行加减运算即可得到结果； （3）原式先将除法转换为乘法后再根据乘法分配律将括号展开后再计算乘法，最后进行加减运算即可得到结果； （4）原式将除法转换为乘法后进行约分计算即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式训练】4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)36 【分析】本题考查有理数的运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）利用加减法则，进行计算即可； （2）先去绝对值，再利用加减法则，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型9 乘除法的规律探究问题 例题9．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 【变式训练】1．阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现： ①；②；③；……． (1)通过观察，计算的值为________； (2)探究上述的运算规律，试计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所举例子进行裂项计算即可； （2）所给算式分母中两个乘数的差为，故前面需要乘以，则可以用裂项法进行计算． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解： ． 【变式训练】2．探究规律，完成相关题目 沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；；； ：； 智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了，” 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，___________得正，___________得负，再将它们的___________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果为这个数的___________． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道乘法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请分别作出判断并举例验证．（若成立则举一例即可，若不成立则举一个不成立的例子即可）· 【答案】(1)同号，异号，绝对值相加，绝对值 (2) (3)交换律适合，结合律不适合，举例见解析 【分析】（1）根据已知的式子进行归纳即可； （2）根据※（加乘）运算的运算法则解答即可； （3）根据交换律和结合律的特点和※（加乘）运算的运算法则解答即可． 【详解】（1）归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，再将它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果为这个数的绝对值； 故答案为：同号，异号，绝对值相加，绝对值； （2）； （3）交换律适合有理数的※（加乘）运算，如； 事实上，当同号时，，所以， 当异号时，，所以， 当0和数a进行※（加乘）运算时，，所以 结合律不适合有理数的※（加乘）运算， 如， 所以． 【变式训练】3．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3） 【变式训练】4．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式： ； (2)用含有的式子表示第个等式： （为正整数）； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据上述等式，找出规律，根据规律，即可求出第五个等式； （2）根据（1）得到的规律，即可； （3）根据（1）得到的等式规律，得到，，，，然后根据有理数的加法运算法则，计算，即可． 【详解】（1）∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ∴第个等式： ∴第五个等式为： ∴． （2）由（1）得，第个等式： ∴． （3）∵ …… ∴ ． 题型10 乘除法的新定义问题 例题10．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据新运算展开，然后根据有理数的乘法和加法运算即可； （）根据新运算展开，然后根据有理数的乘法和加法运算即可； 本题考查了新定义运算，有理数的有理数的乘法和加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ， 则 ， ∴． 【变式训练】1．定义新运算“※”为，则当时，计算． 【答案】7 【分析】本题考查新定义的有理数运算，根据新定义列式计算即可． 【详解】解：当时，， 由题意， 【变式训练】2．对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 【变式训练】3．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1)2 (2)24 (3)不具有，见解析 【分析】本题主要考查的是新定义运算、有理数的混合运算等知识点，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接根据新定义的进行计算即可； （2）直接根据新定义的含义列式，再进行计算即可； （3）根据新定义可得和，然后比较结果即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解:不具有，探究如下： 由，， ∵不一定是相同的有理数， ∴不一定等于， ∴和不一定相等， ∴新运算“⊕”不具有交换律． 【变式训练】4．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 题型检测 一、选择题（本大题共10小题） 1．的倒数是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据“两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数”进行求解． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 2．已知：，，，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，减法，乘法运算，有理数的大小比较．根据有理数的加法，减法，乘法分别计算求得，，的值，然后比较大小即可求解． 【详解】解：∵，，， ， ∴， 故选：B． 3．已知a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和有理数的运算．根据数轴得出，进而可得出，，对比后即可得出选项． 【详解】解：从数轴可知：， ∴，，，， ∴选项A、C、D的结论正确，选项B的结论错误． 故选：B． 4．在中，用到的乘法运算律是（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法结合律，熟记运算律是解题的关键．根据乘法交换律和结合律进行分析即可． 【详解】解：可得是运用了乘法结合律． 故选：B． 5．下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ）             ①           ②            ③ A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【分析】本题考查利用有理数乘法分配律进行简便运算，熟练掌握乘法分配律进行研究正确的计算是解的关键． 将化成，再运算乘法分配律计算，根据计算过程逐项判定即可． 【详解】解：A、解题运用了乘法分配律不是交换律，故说法错误，不符合题意； B、①步计算正确，故说法错误，不符合题意； C、②步应为，所以从②步开始出错，故说法正确，符合题意； D、从②步就开始开始出错，故说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．如果，，，那么的值是（       ） A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的除法，有理数的减法． 先根据绝对值的意义得出或，，再根据有理数的除法法则得出x和y异号，最后进行分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∵， ∴，即x和y异号， ∴当时，当时，， ①当，时，， ②当，时，， ∴的值是或9， 故选：D． 7．下列各式计算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别算出各个选项的数值，再作选择，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，故该选项是错误的； 故选：C 8．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了把有理数乘除混合运算统一为乘法运算，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法法则，即可求解． 【详解】解：                       ． 故选：B． 9．已知，化简（  ） A． B．3或1 C．3或 D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式化简求值，涉及绝对值运算，根据代数式结构特点，分类讨论，化简求值即可，熟记绝对值运算是解决问题的关键． 【详解】解：， 分四种情况：①同正；②两正一负；③一正两负；④三负； ①同正：； ②两正一负，不妨令，则； ③一正两负，不妨令，则； ④同负：； 故选：C． 10．已知a，b，c，d都是负数，且，则的值（　　） A．负数 B．0 C．正数 D．负数或0 【答案】C 【分析】先根据绝对值的非负性可得，从而可得，，，，再根据有理数的乘除法法则即可得． 【详解】解：， ， ，，，， 都是负数， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题） 11． ． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法法则． 根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 12．定义一种新运算“☆”，规定：，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用题干中的新定义进行计算即可． 【详解】由题意得，， 故答案为：9． 13．数轴上点D、E、F和原点如图所示，已知有理数a、b、c分别与其中的一个点对应(对应顺序暂不确定），若a、b、c满足，，，那么有理数b在数轴上对应的点是 ， 【答案】E 【分析】本题考查数轴、有理数的乘法和加法，根据有理数的乘法和加法运算法则，结合数轴可得，，，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴a、c异号， ∴由数轴得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点D对应的有理数为c，点E对应的有理数为b，点F对应的有理数为a， 即有理数b在数轴上对应的点是E， 故答案为：E． 14．计算的结果是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用有理数的乘法分配律求解，然后计算加减；解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 【详解】 ． 故答案为：3． 15．小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据直接用乘法结合律来计算会非常简便来确定即可． 【详解】解：被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个， 并且直接用乘法结合律来计算会非常简便， 观察■，只有数字7可以直接用乘法结合律来计算． 故答案为：7． 16． ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法和除法，根据乘除法的关系列式计算即可． 【详解】解： 故答案为： 17．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除混合运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 18．已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 【答案】 【分析】根据的意义得出，，，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， 故答案为：． 19．对于算式，下面几种算法： ①原式；②原式；③原式；④原式．其中正确的算法有 ．(写序号) 【答案】①②④ 【分析】本题考查了有理数的乘除运算．根据有理数除法法则分别进行计算即可． 法则一：除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数（注意：0没有倒数） ；法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 【详解】解：因为，①；②；③；④， 所以，①②④符合条件． 故答案为①②④． 20．已知为非等有理数，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了化简绝对值，根据题目已知条件得出，，，中有一个负数或两个负数，再分两种情况：当中有一个负数时，不放设，，；当中有两个负数时，不妨设，，，分别进行计算即可，熟练掌握绝对值的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：为非等有理数，且， ，，，中有一个负数或两个负数， ， 当中有一个负数时，不放设，，， 则原式， 当中有两个负数时，不妨设，，， 则原式， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 三．解答题（本大题共8小题） 21．计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0(2)35(3)(4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可． （1）结合几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0，即可作答． （2）先把小数化为分数，再相乘，即可作答． （3）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，然后把带分数化为假分数，再进行计算，即可作答． （4）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，再相乘，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．用简便方法计算： (1) (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）直接逆用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4(2)(3)0(4) 【分析】（1）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数除法运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是： （1）利用有理数的加减运算法则计算即可； （2）先化简绝对值并去括号，然后利用有理数的加减运算法则计算即可； （3）利用有理数的乘法分配律计算即可； （4）利用有理数乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 25．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一； (2)． 【分析】（1）根据题意，第一种解法是错误，除法运算没有这样的运算律，不能自己杜撰乱用致错． （2）选择适当且正确的方法解答即可． 本题考查了除法的运算，乘法分配律，熟练掌握运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得第一种解法是错误的， 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ， 故原式． 26．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)315；29 (2)本周实际销售总量达到了计划量 (3)该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用； （1）根据记录的数据列式计算即可得到结论； （2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论； （3）先计算每天的工资，再相加即可求解． 理解题意并列出式子是解题的关键． 【详解】（1）解：本周前三天销售儿童滑板车：（辆）， 根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，销量之差为： （辆）； 故答案为：315；29． （2）解：， ∵ ∴本周实际销售总量达到了计划量． （3）解： （元）， 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元． 27．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的除法运算，利用分配率进行有理数的运算等知识． （1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配率进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：根据倒数的定义，若若，则． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：因为， 所以． 故答案为： 28．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$