第01讲 空间向量及其应用（九大重难点）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第01讲 空间向量及其应用 一、空间直角坐标系及有关概念 1．空间直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示. 2．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式 ①设点，为空间两点， 则两点间的距离. ②设点，则点与坐标原点O之间的距离为. （2）中点公式 设点为，的中点，则. 3．空间向量的有关概念 空间向量：在空间中，具有大小和方向的量 单位向量：长度(或模)为1的向量 零向量：长度(或模)为0的向量 相等向量：方向相同且模相等的向量 二、空间向量的有关定理及运算 1.共线向量定理 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数λ，使得 推论：对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使（其中）. 2.共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. 推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使； 或对空间任意一点O，有. 3.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得.其中，{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量. 注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底； （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；（3）不能作为基向量. 4.空间向量的运算 设， 则，，， ，， ，. 三、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个. （2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，任意两个都是共线向量. 四、利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. 位置关系 平行 垂直 线线（与） 线面（与） 面面（与） 重难点01空间向量的线性运算 【解题必备】 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决这类问题,要注意两个方面: （1）熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律.（2）要注意数形结合思想的运用 例1．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（多选）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 练习2．在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 练习3．如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 练习4．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 重难点02共线、共面向量定理 【解题必备】利用向量方法证明四点共面的基本途径 ： 对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面： （1）. （2）对空间任意一点. （3）对空间任意一点. 例3．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 例4．如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 【跟踪练习】 练习1．已知是不共面向量，，，，若，、三个向量共面，则实数 ． 练习2．有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 练习3．（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 练习4．已知空间中三点，， (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 重难点03空间向量基本定理 【解题必备】用基底表示向量的三个步骤： （1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. （3）下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有,不能含有其他形式的向量. 例5．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 例6．如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 . 【跟踪练习】 练习1．若和都为基底，则不可以为（    ） A． B． C． D． 练习2．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 练习3．如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用，，表示，则 ． 练习4．在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（    ） A． B． C． D． 重难点04空间向量的数量积 【解题必备】 在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形,将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角. 例7．（多选）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 例8．向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪练习】 练习1．已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ） A． B． C． D． 练习2．有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 练习3．设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习4．已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 重难点05利用数量积求长度 【解题必备】 运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 例9．已知点为坐标原点，且，则（    ） A．36 B． C．6 D． 例10．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（    ）    A． B．34 C．52 D． 【跟踪练习】 练习1．已知二面角的大小为，，，，，且，，则线段AD的长度为 ． 练习2．如图，平面与平面夹角为，四边形，都是边长为1的正方形，则，两点间的距离是 ． 练习3．如图，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点，点在平面内，且，，则的长为 .    练习4．如图所示棱长为1的正四面体，、分别为、中点，为靠近的三等分点．记，．若，，求的最小值； 重难点06利用数量积求夹角 【解题必备】 设向量所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角，注意异面直线所成的角范围是 例11．在空间四边形中，，，则的夹角为（ ） A． B． C． D． 例12．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 练习2．（多选）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ） A． B． C． D． 练习3．如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．    练习4．如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 重难点07向量的投影及投影向量 例13．已知点，则向量在向量上的投影向量的模为 . 例14．如图，圆台的轴截面为等腰梯形在上底面的圆周上，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 . 练习2．在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 练习3．在标准正交基下，已知向量，，求向量在和上的投影． 练习4．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 重难点08利用空间向量证明平行与垂直 例15．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 例16．如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，．求证：    (1)平面； (2)平面． 【跟踪练习】 练习1．（多选）在长方体中，，，，，分别是，，上的动点，下列结论正确的是（    ） A．对于任意给定的点，存在点使得 B．对于任意给定的点，存在点使得 C．当时， D．当时，与平面的法向量垂直 练习2．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 练习3．在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角.求证：.    练习4．由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面.求证：平面 重难点09已知平行或垂直，求其它 例17．如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 例18．如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 【跟踪练习】 练习1．在棱长为1的正方体中，点F是棱的中点，P是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值为 ． 练习2．如图，在正三棱柱中，分别是的中点．在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由． 练习3．如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 练习4．如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第01讲 空间向量及其应用 一、空间直角坐标系及有关概念 1．空间直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示. 2．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式 ①设点，为空间两点， 则两点间的距离. ②设点，则点与坐标原点O之间的距离为. （2）中点公式 设点为，的中点，则. 3．空间向量的有关概念 空间向量：在空间中，具有大小和方向的量 单位向量：长度(或模)为1的向量 零向量：长度(或模)为0的向量 相等向量：方向相同且模相等的向量 二、空间向量的有关定理及运算 1.共线向量定理 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数λ，使得 推论：对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使（其中）. 2.共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. 推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使； 或对空间任意一点O，有. 3.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得.其中，{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量. 注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底； （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；（3）不能作为基向量. 4.空间向量的运算 设， 则，，， ，， ，. 三、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个. （2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，任意两个都是共线向量. 四、利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. 位置关系 平行 垂直 线线（与） 线面（与） 面面（与） 重难点01空间向量的线性运算 【解题必备】 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决这类问题,要注意两个方面: （1）熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律.（2）要注意数形结合思想的运用 例1．在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，故A、B错误； ，故C错误、D正确. 故选：D. 例2．（多选）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：AC 【跟踪练习】 练习1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知 ． 故选：C． 练习2．在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D 练习3．如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】 如图，延长交于点，连接交于， 连接，则四边形所求截面． 取的中点，连接. ∵， ∴是△APC的中位线， ∴为的中点． 又分别为的中点， ∴，则，即， ∴为上靠近的三等分点，故． 故选：B. 练习4．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【详解】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    重难点02共线、共面向量定理 【解题必备】利用向量方法证明四点共面的基本途径 ： 对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面： （1）. （2）对空间任意一点. （3）对空间任意一点. 例3．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【答案】ABD 【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 例4．如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则 ； ． 【答案】 2 【详解】， 设， 由共面，有，解得，故． 又，有， 则． 故答案为：；2． 【跟踪练习】 练习1．已知是不共面向量，，，，若，、三个向量共面，则实数 ． 【答案】 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数，满足， 即， 所以，解得， 故答案为：． 练习2．有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 【答案】②③④ 【详解】对于①，当时，不一定在一条直线上，故①错误. 对于②，当时，因共起点，故三点共线，故②正确. 对于③，因为，故，故，故③正确. 对于④，若至少有一个不为零，不妨设， 则，故为共面向量，与题设矛盾， 故全为零，故④正确. 故答案为：②③④. 练习3．（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【详解】 当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 练习4．已知空间中三点，， (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 【答案】(1)，或. (2) 【详解】（1）由已知得，， 因为，设，则， 所以，或. （2）由已知得，， 点在平面ABC上，则存在唯一一组实数对， 使得成立，即， 解得，所以 重难点03空间向量基本定理 【解题必备】用基底表示向量的三个步骤： （1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. （3）下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有,不能含有其他形式的向量. 例5．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，设，则，所以共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，则，无解，则不共面，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故D错误； 故选：B 例6．如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 . 【答案】1 【详解】D为AB中点，连接OD，CD，有， 是的重心，则G在CD上，且， 即，则有， 所以， 可得，则有. 故答案为：1 【跟踪练习】 练习1．若和都为基底，则不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若不是一组基底，则可设， 对于A，若，则，方程组无解，为基底，A错误； 对于B，若，则，方程组无解，为基底，B错误； 对于C，若，则，解得：， 不是一组基底，C正确； 对于D，若，则，方程组无解，为基底，D错误. 故选：C. 练习2．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 练习3．如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用，，表示，则 ． 【答案】 【详解】因为E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， 所以 . 故答案为： 练习4．在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，因为，分别是的中点， 所以 ， 故． 故选：A 重难点04空间向量的数量积 【解题必备】 在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形,将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角. 例7．（多选）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 例8．向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由向量，， 可得， 结合，，即， 得，结合，解得，则. 故选：A 【跟踪练习】 练习1．已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，且空间向量满足， ∴可设， 又，∴，得． ∴，故A正确. 故选：A. 练习2．有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，，， 所以， 所以， 故选：C． 练习3．设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，点Q在直线OP上运动， ∴可设. 又向量，， ∴，， 则. 易得当时，取得最小值. 故选：B. 练习4．已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点,, 则， 所以． 所以在以为球心，为半径的球面上，如图 可知在上的投影数量最小值为， 所以的最小值为， 所以的最小值为． 故选：B． 重难点05利用数量积求长度 【解题必备】 运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 例9．已知点为坐标原点，且，则（    ） A．36 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】因为， 所以． 又，解得， 所以， 则， 所以． 故选：. 例10．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（    ）    A． B．34 C．52 D． 【答案】D 【详解】, 故, 故， 故， 故选：D 【跟踪练习】 练习1．已知二面角的大小为，，，，，且，，则线段AD的长度为 ． 【答案】 【详解】如图所示， ，． ， ． 故答案为：    练习2．如图，平面与平面夹角为，四边形，都是边长为1的正方形，则，两点间的距离是 ． 【答案】 【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，， 又平面与平面夹角为，即，则， 因为，由图易知，， 所以 ， 即，两点间的距离是. 故答案为：. 练习3．如图，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点，点在平面内，且，，则的长为 .    【答案】 【详解】过点作,垂足于点，如图所示：    因为，，所以. 又，. 因为，， 所以， 则的长为. 故答案为：. 练习4．如图所示棱长为1的正四面体，、分别为、中点，为靠近的三等分点．记，．若，，求的最小值； 【答案】 【详解】已知（）， 所以， 故的最小值为. 重难点06利用数量积求夹角 【解题必备】 设向量所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角，注意异面直线所成的角范围是 例11．在空间四边形中，，，则的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴. 故选：D. 例12．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，， ∴， ∴，解得， ∴E的坐标为． 故选：B. 【跟踪练习】 练习1．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【详解】由题设，则， 所以，又，可得，即. 故选：C 练习2．（多选）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，， ， 又，， 又为单位向量，， 联立，得或， ，， . 故选：AC. 练习3．如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．    【答案】 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，    则； ，， 因为，所以，， 设，则， 即，解得，所以， 则，， ， 与是异面直线，显然不是平角， 则为钝角，有，解得． 所以的取值范围为． 故答案为：. 练习4．如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 则. 重难点07向量的投影及投影向量 例13．已知点，则向量在向量上的投影向量的模为 . 【答案】/ 【详解】点， 故，所以， 所以向量在向量上的投影向量的模. 故答案为： 例14．如图，圆台的轴截面为等腰梯形在上底面的圆周上，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接，则底面圆， 以点为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 不妨设圆台的高为，，则， 故， 则， 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 【跟踪练习】 练习1．已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 . 【答案】 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 练习2．在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，， 由题意可知，， 所以，. 故选：C. 练习3．在标准正交基下，已知向量，，求向量在和上的投影． 【答案】向量在上的投影为3，在上的投影为4 【详解】因为， ， 所以 ， 故向量在上的投影为3，在上的投影为4． 练习4．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【详解】因为平面平面，平面平面，平面，， 可得平面， 且平面，则， 又因为平面，平面，则， 故在方向上的投影向量为． 故答案为：. 重难点08利用空间向量证明平行与垂直 例15．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 【答案】D 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    设正方体棱长为2，取的中点为，则平面即为平面, 故与平面相交，故A错误， , 则,, 由于， 故是平面的一个法向量，故平面，故D正确， 由正方体的性质可得与不平行，因此不垂直于平面，C错误， 由于，， 故与法向量不垂直，故与平面不平行，故B错误， 故选：D 例16．如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设与交于点，连接，如图所示．    因为，且，， 即， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为正方形和四边形所在的平面互相垂直，两平面的交线为，且，所以平面． 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．    则，，，，． 所以，，． 所以，， 所以，， 即，． 又，且平面，平面， 所以平面． 【跟踪练习】 练习1．（多选）在长方体中，，，，，分别是，，上的动点，下列结论正确的是（    ） A．对于任意给定的点，存在点使得 B．对于任意给定的点，存在点使得 C．当时， D．当时，与平面的法向量垂直 【答案】ABD 【详解】如图所示，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 设，，，， 设，， 得，． ，，， 当时，，A正确； ，， 当时，，B正确； 若，则，， 此时，C错误； 若，则，， 又，， 设平面的法向量为， 则即 取，则，， 所以平面的一个法向量为， 故，D正确． 故选：ABD. 练习2．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 练习3．在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角.求证：.    【答案】证明见解析 【详解】因为，为的中点，所以， 由二面角为直二面角，故平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面， 因为，，，所以， 取的中点，连接，则， 以点O为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，，， ，， 因为，所以． 练习4．由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面.求证：平面 【答案】证明见解析 【详解】四边形是菱形，则⊥， 又平面，平面，故，， 故两两垂直，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 其中，则， 设， 由，得， 由，得， 则， 设平面的法向量为， 则，取，得， ， 又平面， 平面. 重难点09已知平行或垂直，求其它 例17．如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，设点，其中、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，因为平面，则， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，的长度取最小值. 故答案为：. 例18．如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点Q为点B 【详解】（1）分别是的中点， ，∴四边形为平行四边形， ．平面平面,∴平面, 平面平面，平面． 又平面， ∴平面平面． （2）假设在线段上存在一点Q，使平面． 取的中点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ． 平面， ，解得， ∴在线段上存在一点Q，使平面，此时点Q为点B． 【跟踪练习】 练习1．在棱长为1的正方体中，点F是棱的中点，P是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 取的中点，的中点，连接， 则， 则， ，故平行， 故， ， 故⊥，⊥， 又，平面， 故⊥平面， 故点在平面上， 故当点重合时，线段长度取得最大值， ， 故的最大值为. 故答案为： 练习2．如图，在正三棱柱中，分别是的中点．在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由． 【答案】存在，点Q为点B． 【详解】假设在线段上存在一点，使平面． 取的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ． 显然， 平面，面，则， ，解得，满足要求， 在线段上存在一点，使平面，此时点为点． 练习3．如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 练习4．如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，为棱的中点. 【详解】（1）由E，F分别为和的中点，得， 而平面，平面， 所以平面. （2）棱柱中，侧棱底面， 取AB中点O，中点M，连接， 则，平面，而平面，则有， 又，则，即直线两两垂直， 以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， 假设在平面上存在点P，使，设， ， ，即，显然， 由，得，因此，即，此时， 所以当时，存在唯一的点，即棱的中点，使. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$