第02讲 空间向量求夹角、距离（八大重难点）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第02讲 空间向量求夹角、距离 一、利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 二、利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 重难点01点到直线的距离 【解题必备】用向量法求点到直线的距离： ①求直线的方向向量；②计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度；③利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 例1．已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（    ）. A． B．1 C． D． 例2．在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，点为棱上靠近的三等分点，点在棱上靠近点的三等分点. (1)求证：点，，，共面； (2)求点到的距离. 【跟踪练习】 练习1．已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ． 练习2．如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为 ． 练习3．在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 练习4．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 重难点02点到平面、异面直线的距离 【解题必备】用向量法求点到平面的距离： ①在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；②设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量；③代入求点到平面的距离公式 例3．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 例4．已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【跟踪练习】 练习1．在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点.    (1)求证：平面； (2)若，，求点到平面的距离. 练习2．已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点，，且平面ABC，设Q是CE的中点，求AE与平面PFQ间的距离． 练习3．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，3，点是线段的中点，点是的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 练习4．如图的外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，，，，为上的点.    (1)证明：； (2)当为的中点时，求点到平面的距离. 重难点03异面直线所成的角（含最值问题） 【解题必备】用空间向量法求异面直线夹角的步骤： ①确定两条异面直线的方向向量；②确定两个向量夹角的余弦值的绝对值；③得出两条异面直线所成的角． 例5．如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例6．如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．正方体中，点M是上靠近点的三等分点，平面平面，则直线l与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 练习2．如图，正三棱柱中，AB＝2，，，D为BC的中点．当时， ，此时，直线AD与直线所成的角的余弦值为 ．    练习3．如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，. (1)求的值； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 练习4．在直三棱柱中，，，平面经过点A，且直线与平面所成的角为30°，过点作平面的垂线，垂足为H，则点到平面的距离为 ，直线与BH所成角的范围为 . 重难点04求直线与平面所成的角（含最值问题） 【解题必备】用空间向量法求线面夹角的步骤： ①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量；④计算：设线面角为，则 例7．如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC． (1)求证：平面； (2)若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值. 例8．如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. (1)若为的中点，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【跟踪练习】 练习1．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 练习2．如图，在四棱锥中，已知底面是边长为的菱形，，且平面，垂足为. (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 练习3．如图，在三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，点D为棱的中点，棱上的点M满足平面，． (1)求线段AM的长； (2)若点E为棱BC的中点，且平面ABC，求直线与平面所成角的正弦值． 练习4．如图，圆锥的底面上有四点，且圆弧，点在线段上，若．    (1)证明：平面； (2)若为等边三角形，点在劣弧上运动，记与平面所成的角为，求的最小值． 重难点05求平面与平面所成的角（含最值问题） 【解题必备】用空间向量法求面面夹角的步骤： ①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；②求出两个半平面的法向量；③设两平面的夹角为，则 注：若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解． 例9．二面角中，，且，若，，则此二面角的大小为 ． 例10．如图，弧是半径为a的半圆，为直径，点E为弧的中点，点B和点C为线段的三等分点，平面外点F满足，： (1)证明：； (2)已知点Q，R为线段上的点，使得，求当最短时，平面和平面所成二面角的正弦值． 【跟踪练习】 练习1．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ． 练习2．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 . 练习3．如图，在四棱锥中，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 练习4．如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 重难点06折叠问题 例11．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 例12．如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，为的中点，将沿折到的位置，.    (1)求证：； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【跟踪练习】 练习1．如图①，在中，，，，、分别是、上的点，且，，将沿折起到的位置，使平面，如图②.若点是线段的靠近点的三等分点，点是线段上的点，直线过点且垂直于平面，则点到直线的距离的最小值为 . 练习2．如图在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将沿BE折起到图中的位置，得到四棱锥． (1)证明：平面； (2)当平面，求平面与平面夹角的余弦值． 练习3．如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；    (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； (3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 练习4．如图（1），在中，，点为的中点.将沿折起到的位置，使，如图（2）. (1)求证：. (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，请说明理由. 重难点07夹角、距离的探索性动点问题 例13．（多选）如图几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 D．不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 例14．如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． (1)求该多面体的体积V； (2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪练习】 练习1．在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点. 点为正方体表面上的动点，满足. 给出下列四个结论： ①线段长度的最大值为； ②存在点，使得； ③存在点，使得； ④是等腰三角形.    其中，所有正确结论的序号是 ． 练习2．如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 练习3．如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且． (1)设线段中点为，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长． 练习4．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得点为的中点，连接，如图乙. (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若不存在，说明理由；若存在，求出的长度. 重难点08立体几何的综合问题 例15．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则下列说法正确的个数有（    ） ①二面角的大小为常数 ②二面角的大小为常数 ③二面角的大小为常数 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例16．如图，为圆柱的下底面的直径，分别为上的点，线段与线段交于点.    (1)证明：为线段的中点； (2)若圆柱的体积和侧面积都为，且与下底面所成的角为，求平面与平面所成锐角的余弦值. 【跟踪练习】 练习1．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ）    A．直线与所成的角不可能是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．当时， D．当时，点到平面的距离为 练习2．（多选）已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（    ） A．若，则平面平面 B．若，则与所成角的取值范围为 C．若，则平面 D．若，则线段长度的最小值为 练习3．（多选）在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．若平面，则动点的轨迹是一条长为的线段 B．不存在点，便得平面 C．三棱锥的最大体积为 D．若且与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为 练习4．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若平面，则点的轨迹的长度为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第02讲 空间向量求夹角、距离 一、利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角(或其补角)． 二、利用空间向量求距离 （1）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则B到平面的距离为. （2）点到直线的距离 设为直线上一点, 为直线的方向向量, 在向量方向上的投影向量的模长为,则点到直线的距离. 重难点01点到直线的距离 【解题必备】用向量法求点到直线的距离： ①求直线的方向向量；②计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度；③利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 例1．已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（    ）. A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由题意取，则， 所以到的距离为 . 故选：C 例2．在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，点为棱上靠近的三等分点，点在棱上靠近点的三等分点. (1)求证：点，，，共面； (2)求点到的距离. 【答案】(1)参见解析 (2) 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 由已知可得：， 所以，所以，即向量共线， 所以点共面. （2）由（1）可得：， 设向量的夹角为，则， 所以，又 所以点到直线的距离. 【点睛】本题考查空间向量在空间几何中的应用，最为关键的是建立合理的空间直角坐标系，找出相关点的坐标，求出相关向量，通过向量运算的结果说明几何元素的位置关系或大小. 【跟踪练习】 练习1．已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【详解】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 取，，则，， 所以点到直线的距离为. 故答案为：.    练习2．如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【详解】以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， 由平面，设， 所以， 设， 所以，即，解得， 所以，则， 设直线的夹角为， 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：． 练习3．在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 【答案】 / 【详解】如图所示，因为且，故四边形为平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面，因为平面， 所以平面平面，因为平面，要使得平面， 则平面，因为平面平面， 故点的轨迹为线段，当取最小值时，，则为的中点， 则. 以为原点，的方向分别为，轴建立空间直角坐标系， 易知， 取， 则， 所以点到直线的距离为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过平面平面确定点的轨迹为线段，即当时取最小值，注重考查学生的数学运算和逻辑推理能力. 练习4．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）    如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱,为中点, 则点到直线的距离为：. （2）由（1）可得， 则， 由可得， 又由可得， 又， 故面. 重难点02点到平面、异面直线的距离 【解题必备】用向量法求点到平面的距离： ①在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；②设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量；③代入求点到平面的距离公式 例3．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 例4．已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，    则、、、，、、 、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 【跟踪练习】 练习1．在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点.    (1)求证：平面； (2)若，，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)点到平面的距离为 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又因为正方形中，所以， 因为，，平面， 所以平面； （2）以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则,0,，,0,，,0,，,2,，,2,，,2, 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，得到，，所以， 则点到平面的距离为. 练习2．已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点，，且平面ABC，设Q是CE的中点，求AE与平面PFQ间的距离． 【答案】 【详解】如图，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边所在直线的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系． ，，又E，F分别是BC，AC的中点， ，，，，，，． ，， ，AE与FQ无交点，． 又平面PFQ，平面PFQ，平面． 点A到平面PFQ的距离就是AE与平面间的距离． 设平面的法向量为， ，， ，解得 令，则，， 平面的一个法向量为． 又， AE与平面PFQ间的距离． 练习3．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，3，点是线段的中点，点是的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取的中点为，连接，如图所示， 因为点分别是和的中点，所以，且． 在圆柱的轴截面四边形中，． 所以，因此四边形是平行四边形． 所以，又平面平面，所以平面． （2）由圆的性质可知，连接延长必与圆交于点，连接， 因为不在平面内，平面，所以平面， 又平面，且且都在面，所以平面平面． 从而点到平面的距离即为点到平面的距离． 以为坐标原点，的中垂线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则 所以， 设为平面的一个法向量， 则由可取 因此点到平面的距离， 故点到平面的距离为． 练习4．如图的外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，，，，为上的点.    (1)证明：； (2)当为的中点时，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面，平面，， 又，、平面， 平面，平面，； （2）由(1)和已知条件可知，两两垂直，故以C为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系：    则， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，即， 由点到平面的距离公式知，点到平面的距离 重难点03异面直线所成的角（含最值问题） 【解题必备】用空间向量法求异面直线夹角的步骤： ①确定两条异面直线的方向向量；②确定两个向量夹角的余弦值的绝对值；③得出两条异面直线所成的角． 例5．如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接交于，连接， 由四棱锥是正四棱锥，则平面，且. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由，不妨设，则， 在中，， 则，则， ， 则， 由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为. 故选：B. 例6．如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取BD中点O，连接AO，CO，， 则，且，于是是二面角的平面角， 显然平面，在平面内过点作，则， 直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，设二面角的大小为，， 因此，，， 于是， 显然，则当时，， 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出动点的坐标，利用向量建立函数关系是解题的关键. 【跟踪练习】 练习1．正方体中，点M是上靠近点的三等分点，平面平面，则直线l与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是正方体，所以平面平面, 平面平面,平面平面, 所以,是靠近的三等分点， 所以, 平面平面即是, 如图建立空间直角坐标系,设正方体边长为3， 则 设直线l与所成角为 . 故选：D. 练习2．如图，正三棱柱中，AB＝2，，，D为BC的中点．当时， ，此时，直线AD与直线所成的角的余弦值为 ．    【答案】 ； . 【详解】    因为为正三棱柱，且为中点， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为AB＝2，， 则， 则，所以， 即， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为，又， 时，，解得， 此时，设直线AD与直线所成的角为， 则， 即直线AD与直线所成的角的余弦值为. 故答案为：； 练习3．如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，. (1)求的值； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）中，，，， 根据余弦定理，. （2）如图，以点为原点，为轴和轴，过点作为轴，建立空间直角坐标系， ，，，， ,， 设异面直线与所成角为， 则 所以异面直线与所成角的余弦值为. 练习4．在直三棱柱中，，，平面经过点A，且直线与平面所成的角为30°，过点作平面的垂线，垂足为H，则点到平面的距离为 ，直线与BH所成角的范围为 . 【答案】 2 【详解】如图，连接，因为，，所以， 所以在以为直径的球面上，又直线与平面所成角为，而即为直线与平面所成的角，因此，因此在以为轴，顶角为的圆锥面上， 过作于点，则，其中的长即为到平面的距离． 所以在圆锥的底面圆上，为圆心，半径为， 以为轴，为轴，过与垂直的直线的为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， ，取的一个方向向量为， ， 又，所以， 所以直线与所成角的范围是，即， 故答案为：；． 重难点04求直线与平面所成的角（含最值问题） 【解题必备】用空间向量法求线面夹角的步骤： ①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量；④计算：设线面角为，则 例7．如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC． (1)求证：平面； (2)若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面PAC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB ，平面PAC， 所以PA面ACB，又因为平面PBC， 所以PA，又因为AB是圆的直径，所以， 因为平面， 所以平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 所以，则， 设平面PBC的法向量为，则， 而，设直线AC与面PBC所成角为， 则， 所以直线AC与面PBC所成角的正弦值为. 例8．如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. (1)若为的中点，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由已知得，取的中点T，连接， 由N为的中点知， ．又，故，且， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面． （2）取的中点，连接，建立如图所示的空间坐标系． ， 不妨设， 则， 设平面的一个法向量为， ， 取，则. 设直线与平面所成角为 . 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【跟踪练习】 练习1．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【详解】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意可知，， 故． 设平面的法向量为，又， 则有即 令，可得平面的一个法向量为． 设与平面的法向量的夹角为， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 练习2．如图，在四棱锥中，已知底面是边长为的菱形，，且平面，垂足为. (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，因为平面，平面， 所以，，， 由勾股定理得，， 因为，所以. 又四边形是菱形，，所以是正三角形， 所以. 由，得是正三角形，. 所以，即. 由平面，平面，可得. 因为，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示. 因为，所以， 则， ， .设是平面的一个法向量，由得 取，可得. 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 练习3．如图，在三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，点D为棱的中点，棱上的点M满足平面，． (1)求线段AM的长； (2)若点E为棱BC的中点，且平面ABC，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取的中点，连接，延长交于点，连接， 在中，是中点，D为棱的中点，所以， ，三棱柱中，，， 在上，则四点共面， 因为平面，平面， 平面平面，所以， 因为，，根据题意， 所以是平行四边形，则，则为的中点， 平面平面，平面平面， 平面平面，则， 因为，为的中点，， 则为的中点，所以， （2）因为平面ABC，是以BC为斜边的等腰直角三角形， 点E为棱BC的中点，所以，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面ABC，平面ABC，所以，， ， 所以， 所以， 所以， ， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 线与平面所成角的余弦值为. 练习4．如图，圆锥的底面上有四点，且圆弧，点在线段上，若．    (1)证明：平面； (2)若为等边三角形，点在劣弧上运动，记与平面所成的角为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）∵，∴为等边三角形， 所以为底面圆的直径，设， 在中，，， 所以则， ， 设到底面的距离分别为， 即， 即，所以即． 设的交点为，所以，即， 连接，则，面面， 所以面．    （2）设底面圆的圆心为，过作， 以为坐标原点，的方向为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以由可得：，    设，则， 设平面的一个法向量为 ∴，所以可取 ∴ 当且仅当，即与重合时取等号． 所以的最小值为． 重难点05求平面与平面所成的角（含最值问题） 【解题必备】用空间向量法求面面夹角的步骤： ①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；②求出两个半平面的法向量；③设两平面的夹角为，则 注：若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解． 例9．二面角中，，且，若，，则此二面角的大小为 ． 【答案】 【详解】   如图所示，根据题意知：，， ，， 易知二面角的平面角即， 所以， 即， 由空间向量夹角的范围知，所以， 即此二面角的大小为. 故答案为： 例10．如图，弧是半径为a的半圆，为直径，点E为弧的中点，点B和点C为线段的三等分点，平面外点F满足，： (1)证明：； (2)已知点Q，R为线段上的点，使得，求当最短时，平面和平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，因为弧是半径为a的半圆， 为直径，点E为弧的中点，所以， 在中，， 在中，，且点C是底边的中点， 所以，， 所以在中，有， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面，而平面，所以. （2）在平面内，过点C作交弧于G， 以点C为原点，分别以，，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 设，因为即， 所以， 则，， ， 所以当时，取得最小值，此时， 设，则， 由得，则， 则，， 设平面的法向量为，则，， 所以，令则， 所以，又由（1）知，平面的一个法向量为， 所以， 设平面与平面所成二面角的大小为，则， 则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 【跟踪练习】 练习1．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ． 【答案】 【详解】 因为平面，底面为正方形，， 所以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 由题知，平面PAD的法向量为， 设平面PBC的法向量为， 则，令，则， 所以， 设平面与平面所成的角为，则， 又，所以， 所以平面与平面所成的角的大小为， 故答案为：. 练习2．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 . 【答案】 / 【详解】 第一空：取的中点，连接， 因为，所以； 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，，，所以，， 所以三棱锥的体积为 因为，所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 故三棱锥的体积的最大值为. 第二空：解法一： 由平面，又平面，所以，过作于， 连接，因为平面，，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角， 在中，， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2， 此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为. 解法二： 由（1）可知平面， 以为坐标原点，向量，分别为轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 设平面的法向量为，则， 取，则，又取平面的法向量为， 设二面角的大小为，，所以， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上，所以， 令，则，整理可得， 所以，解得， 所以当，即，时，取得最大值， 此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为. 故答案为：；. 练习3．如图，在四棱锥中，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）取的中点，连接, , , , , 的中点, , 四边形为平行四边形, , 四边形为正方形, , , , , 平面 ⊥平面 , 平面 平面 , 平面 , 平面 , 平面 , , 平面, 平面 . （2）由（1）可知两两垂直、建立如图所示的空间直角坐标系 则 , , 设平面 的一个法向量为 , 则 , 令 , 则 , , 平面, 所以 平面 , 为平面 的一个法向量, 设平面 与平面 的夹角为， 则, 所以设平面 与平面 的夹角的余弦值为. 练习4．如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为平面，而平面，所以. 因为底面为菱形，所以. 因为平面，所以平面. 因为分别为的中点，所以，所以平面. （2）取的中点，连接，由题得，所以平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 因为底面为菱形，， 所以，则. 所以. 设平面的一个法向量， 则，令，得，则. 设平面的一个法向量， 则，令，得，则. 设二面角的大小为，所以. 所以， 所以二面角的正弦值为. 重难点06折叠问题 例11．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为菱形纸片沿对角线折成直二面角， 所以平面平面， 因为是菱形，是的中点， 所以，， 而平面平面，平面， 所以平面，而平面， 所以， 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 易得平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 故选：A    例12．如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，为的中点，将沿折到的位置，.    (1)求证：； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）依题意是边长为2的正三角形，为的中点，所以， 所以，，，，， 则，所以，又，即，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令， 设直线与平面所成角为，则    ， 所以直线与平面所成角的正弦值为.    【跟踪练习】 练习1．如图①，在中，，，，、分别是、上的点，且，，将沿折起到的位置，使平面，如图②.若点是线段的靠近点的三等分点，点是线段上的点，直线过点且垂直于平面，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【详解】翻折前，在图①中，，，则， 翻折后，在图②中，因为平面，， 且平面，则，则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设点，则，， 因为点是线段的靠近点的三等分点，则， 所以，，解得，即点， 设，则，则， 设，即， 所以，，，， 即， 设点在直线上的射影为，则， 点到直线的距离的平方， 由题意，故当时，点到直线的距离最小，最小值为. 故答案为：. 练习2．如图在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将沿BE折起到图中的位置，得到四棱锥． (1)证明：平面； (2)当平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）∵， ∴为正方形，，， 又平面， ∴平面， 又，且，为平行四边形， ∴，∴平面． （2）易知，，因为平面平面， 所以， 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 不妨取，由题意可知 ，，，， 则，， 设平面的法向量为，平面的法向量为 则，， 取得， 记平面与平面夹角为， 则. 练习3．如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；    (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； (3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为, 所以,即平面, 平面,平面, 所以 （2）因为二面角是直二面角， 所以平面平面,平面平面,平面,平面,    以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为, 设平面法向量为 , 令,得,所以 设二面角为 . , （3）   以为轴，过F做的垂线为z轴， 设, , ,得出, 设平面的法向量为, 设直线PE与平面ABC所成角为， , 因为,所以 所以正弦值的取值范围 【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可. 练习4．如图（1），在中，，点为的中点.将沿折起到的位置，使，如图（2）. (1)求证：. (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【详解】（1）依题意，由点为的中点，，得， 又平面， 则平面，又平面，于是， 又平面， 则平面，又平面，则， 而平面，因此平面，又平面， 所以. （2）依题意，得，由（1）， 则，过点作直线，则有， 显然直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设，即， 则， 若存在点，使得，则，解得，则， 即当为线段中点时，使得，设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 设二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值. 重难点07夹角、距离的探索性动点问题 例13．（多选）如图几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面平面 C．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 D．不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】ACD 【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图所示： 不妨设，以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、，， 设点，其中， 对于A选项，假设存在点，使得平面，， ，， 则，可得， 因为，则，即当点与点重合时，平面，A对； 对于B选项，由A选项可知，平面的一个法向量为， 假设存在点，使得平面平面，则，， 则，可得，又因为，解得， 即当点为的中点时，面平面，B错； 对于C选项，若存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为， 则直线与平面的所成角的正弦值为， 且， 所以， ，整理可得， 因为函数在时的图象是连续的， 且，， 所以，存在，使得， 所以，存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为，C对； 对于D选项，设平面的法向量为， ，， 则， 取，可得， 假设存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 则， 可得，即， 可得或， 因为，则，则， 所以，， 故当时，方程和均无解， 综上所述，不存在点，平面与平面的夹角的余弦值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 例14．如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． (1)求该多面体的体积V； (2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，. 【详解】（1）取中点，连接，则由为正三角形得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又由题意， 所以该多面体的体积. （2）连接，由题意以及（1）可知且， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以由平面可知两两垂直， 所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以，， 设，则， 所以， 设是平面的一个法向量，则， 所以，即，取，则， 所以直线和平面所成的角的正弦值为 ， 整理得，解得（舍去）或， 所以在棱上存在点P，使得直线和平面所成的角大小为，此时. 【跟踪练习】 练习1．在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点. 点为正方体表面上的动点，满足. 给出下列四个结论： ①线段长度的最大值为； ②存在点，使得； ③存在点，使得； ④是等腰三角形.    其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】如图，建立空间直角坐标系，    则， 对①，由正方体性质知当P在时，线段长度的最大值为， 此时，， 所以，即满足，故①正确； 对②，取正方形的中心M，连接，易知， 所以四边形为平行四边形，所以，故运动到处时，， 此时，，，即不满足， 综上不存在点，使得，故②错误； 对③，设，则，，若存在， 由，可得方程组， 化简可得，解得 ， 显然当时满足题意， 即存在点，使得，故③正确； 对④，设，若， 则，化简可得， 由③知时可得，所以不妨取， 此时在正方体表面上，满足题意，故④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键之处在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算建立方程，探求是否存在满足条件的点，运算比较复杂，属于难题. 练习2．如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）正方形中，， 平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，所以，， 又，，则， 又，，则，即， 又，则，，平面， ∴平面； （2）由（1）知，平面，， 以为坐标原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设点，，， ∴， ∴，故， ∴，， 设平面的法向量为， ∴， 令，则，， ∴为平面的一个法向量， 又，设平面的法向量为， ∴， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， ∴，解得或， 则线段（不含端点）上不存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为． 练习3．如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且． (1)设线段中点为，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的长为 【详解】（1）取的中点，的中点，连结、、 则有，， 因为，，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）存在.设，在中，. 因为面，所以. 因为面，面，面 所以,， 则均为直角三角形. 在中， 同理，. 取的中点，因为，所以， 而. 故. 因为点到面的距离等于， 所以. 而，所以，解得. 所以在线段上只存在唯一一点，当且仅当时，点到面的距离等于. 练习4．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得点为的中点，连接，如图乙. (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若不存在，说明理由；若存在，求出的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）取线段的中点，连接，    在中，，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， ， 在中，， ； （2）因为平面，所以平面， 过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为， 则， 设平面的法向量为， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或4（舍去），. 重难点08立体几何的综合问题 例15．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则下列说法正确的个数有（    ） ①二面角的大小为常数 ②二面角的大小为常数 ③二面角的大小为常数 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】 设正方体的棱长为，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 又是侧面上的动点，设，， 则， 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 又平面，则，即， 则，解得， 因此可得，， 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 又 因此可得二面角的大小为常数，故①正确； 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 因为中含参数，故的值不定， 因此二面角的大小不是常数，故②不正确； 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 因为中含参数，故的值不定， 因此二面角的大小不是常数，故③不正确； 故选：B. 【点睛】方法点睛： 1.与平行有关的轨迹问题的解题策略 （1）线面平行转化为面面平行得轨迹； （2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹． 2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略 （1）可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹； （2）利用空间坐标运算求轨迹； （3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹． 例16．如图，为圆柱的下底面的直径，分别为上的点，线段与线段交于点.    (1)证明：为线段的中点； (2)若圆柱的体积和侧面积都为，且与下底面所成的角为，求平面与平面所成锐角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，如图所示，    因为线段与线段交于点，所以，四点共面， 又因为圆柱的上下底面平行，所以， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，即为线段的中点； （2）设圆柱的底面半径和高分别为， 因为圆柱的体积和侧面积都为，所以，所以. 延长交于点，连接，因为在上，为的直径， 所以，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面， 所以为直线与下底面所成的角，所以， 因为，所以，所以. 因为两两垂直，如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立空间直角坐标系.    所以，， 所以， 设平面的法向量为， ，则， 令，则， 设平面的法向量为， 则有，则， 令，则， 设平面与平面所成的锐角为， 所以， 即平面与平面所成锐角的余弦值为. 【跟踪练习】 练习1．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ）    A．直线与所成的角不可能是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．当时， D．当时，点到平面的距离为 【答案】B 【详解】    建立如图所示的空间直角坐标系，则， 对于A，设，故， 故，而， 设直线与所成的角为，则， 若直线与所成的角是，则， 整理得到：，此方程在上无实数解， 故直线与所成的角不可能是，故A正确. 对于B，当时，结合A分析得，此时， 故，而，设此时平面的法向量为， 则即，取，则，，故， 又，，设平面的法向量为， 则即，取，则，，故， 故，故二面角的平面角的正弦值为，故B错误. 对于C，当时，又B的分析可得，故，故，故C正确. 对于D，当时，结合A中分析可得，故，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取，则，，故， 又，故到平面的距离为，故D正确. 故选：B. 练习2．（多选）已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（    ） A．若，则平面平面 B．若，则与所成角的取值范围为 C．若，则平面 D．若，则线段长度的最小值为 【答案】AC 【详解】A项，如图，取线段的中点Q，连接AQ、DE.   ，， 若，则， 则三点共线，即点P在线段AQ（不包含点）上运动； 由分别是线段的中点，则与全等， 则，， 所以. 由平面，， 得平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以平面平面，故A正确；   B项，， 若，则， 则三点共线，即点P在线段AC（不包含点）上运动； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，    由， 则 又， 所以， ， 因为，则，， ，因为与所成角锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故B错误； C项， 如图，过作，交于，则为中点. 延长至，使，连接. 取的中点，连接，交于，则为中点，连接.    由，且， 得四边形为平行四边形，则， 由，则，则四点共面. 由，所以， 平面，平面， 则平面，同理，平面， 又平面，平面，， 故平面平面. 若，由，可得， ，， 则三点共线，即点P在线段MN（不包含点）上运动； 又平面， 故平面，故C正确； D项，如图，连接.    若，由，可得， ，， 与C项同理可得，点P在线段NG上运动. 连接，同选项B建系， 则有， 则， ，所以， 则， 故当时，线段长度的最小值为，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛，应用向量加减法的几何意义（平行四边形法则与三角形法则）确定动点的轨迹是解决此类题型的关键所在. 练习3．（多选）在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．若平面，则动点的轨迹是一条长为的线段 B．不存在点，便得平面 C．三棱锥的最大体积为 D．若且与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为 【答案】BCD 【详解】对于A中，如图所示，分别在取点，使得， 可得，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又由，且平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 且平面平面， 若平面，则动点的轨迹为线段，且，所以A不正确； 对于B中，以为原点，以所在的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，则， 设，可得， 设是平面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 若平面，则，所以存在，使得， 则，所以不存在点，使得平面，所以B正确； 对于C中，由，可得， 则，所以， 所以, 要使得三棱锥的体积最大，只需点到平面的距离最大， 由，可得点到平面的距离， 因为，所以当时，即点与点重合时，可得， 所以三棱锥的最大体积为，所以C正确； 对于D中，在正方体中，可得平面，且平面， 所以，则， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，其圆心角为， 则，所以，即， 又由，设与平面所成的角， 所以， 因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即时，与平面所成的角最大值，即， 可得，则点到平面的距离为， 此时三棱锥的体积为，D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点拨：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略： 1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键. 练习4．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若平面，则点的轨迹的长度为 . 【答案】/ 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，由题知平面， 因为是平面内的相交直线，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令得， 因为，所以， 解得，则，又 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点的轨迹与的交点位置，然后利用向量运算求解即可. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$