第12章 第17讲 全等三角形三-2024-2025学年人教版八年级数学上册点拨训练

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12章 第17讲 全等三角形三 学习目标 1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题 2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、�归纳获得数学结论的过程． 3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。 【学习重点】已知两角一边的三角形全等探究． 【学习难点】灵活运用三角形全等条件证明 老师告诉你 证明一条相等等于两条线段的和的方法-----截长法、补短法 1. 截长法的基本思路就是在长线段上截取一段，使之等于其中一段，再证明剩下的线段等于另一短线段。 2. 补短法的基本思路是延长短线段，使延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 判定三角形全等的方法---角边角 （ASA） (1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ AB=A′B′ ∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 【新知导学】 例1-1．麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量，为池塘的长度），点A，D在l的异侧，且AB∥DE，∠A=∠D，测得AB=DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE=100m,BF=30m,求池塘FC的长． 【对应导练】 1．小明利用一根长2m的竹竿来测量垂直于地面的路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使BP=2m,并测得∠APB=77°，然后把竖直的竹竿CD（CD=2m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD=13°，此时测得BD=8.5m.请根据这些数据，计算出路灯AB的高度． 2．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠B=∠EFD，∠ACB=∠DEF，且BF=EC．求证：△ABC≌△DFE． 3．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F． （1）若∠C=40°，求∠B的度数； （2）若AD平分∠BDE，求证：△ABC≌△ADE． 知识点2 判定三角形全等的方法---角角边 （AAS） （1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 【新知导学】 例2-1．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠3，∠E=∠C，AE=AC，问△ABC≌△ADE吗？请说明理由． 【对应导练】 1．如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B=∠C，BD=CE，求证：△ABD≌△ACE． 2．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠E，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF． 3．已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS=PS．求证：△MNS≌△SQP． 知识点3判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 注意： 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【新知导学】 例3-1．如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是____________（不添加任何辅助线）． 【对应导练】 1．如图，点B，E，C，F在一条直线上，BC=EF，∠B=∠DEF．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是 _____（写出一个即可）． 2．如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，∠A=∠F，请添加一个条件：_____，使△ABC≌△FED． 3．已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件： ①AB=DE；②AC=DF；③BE=CF；④∠ABC=∠DEF． （1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）． （2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF． 2、 题型训练 1.利用角边角进行证明与计算 1.如图，点A、、、在同一条直线上，若，，求证：． 2 .如图，，，分别平分和，经过点E．求证：． 2.利用角角边进行证明或计算 3 .如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC． 4 .(1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，求证：； (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； (3)如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 3. 截长补短法证明一条相等等于两条线段的和 5．已知中，，、是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H. （1）求的度数； （2）求证：； （3）连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由. 6．综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，，是的平分线. 求证：. (1)解决问题：小敏的证明思路：在上截取，连接.(如图2) 小洁的证明思路：延长至点E，使，连接.(如图3) 请你任意选择一种思路完成证明. (2)问题升华：如图4，在中，若，，是外角的平分线，交的延长线于点D，则线段，，之间的数量关系又如何？请证明. 3、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．如图，在与中，点F在BC上，AB交EF于点D.，，，，则( ) A. B. C. D. 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是( ) A. B. C. D. 3．如图，已知，添加一个条件，使得，下列条件添加错误的是( ) A. B. C. D. 4．如图，点E在AB上，点F在上，，，与BF相交点D，连接AD，则图中全等三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 5．如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带( )去. A. B. C. D.和 6．的6个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是( ) A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙 7．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，，则的长度为( ) A.10 B.6 C.5 D.4.5 8．如图，点O在AD上，，，，，，则OC的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定的是_____（只填序号）. 10．如图，在中，点D在AB边上，E是AC边的中点，，CF与DE的延长线交于点F，若，，则BD的长为_______. 11．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，______°. 12．如图，已知，要用“”说明，则需添加的一个条件是_____. 13．如图，已知，E为DF的中点，若，，则________cm. 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）如图，在中，，，于点E，且.求证：. . 15．（8分）如图，与交于点O，，.求证：. 16．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F. （1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由； （2）若，判断BE与AF的位置关系，并说明理由. 17（8分）．如图，已知，，，求证：. 18．（8分）如图，四边中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，. （1）求证：； （2）若，，求的长. 19．（8分）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N，，连接MN. 探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系. 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系. 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N，，连接MN. （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明. （2）绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系. 请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12章 第17讲 全等三角形三（解析版） 学习目标 1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题 2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、�归纳获得数学结论的过程． 3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。 【学习重点】已知两角一边的三角形全等探究． 【学习难点】灵活运用三角形全等条件证明 老师告诉你 证明一条相等等于两条线段的和的方法-----截长法、补短法 1. 截长法的基本思路就是在长线段上截取一段，使之等于其中一段，再证明剩下的线段等于另一短线段。 2. 补短法的基本思路是延长短线段，使延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 判定三角形全等的方法---角边角 （ASA） (1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ AB=A′B′ ∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 【新知导学】 例1-1．麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量，为池塘的长度），点A，D在l的异侧，且AB∥DE，∠A=∠D，测得AB=DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE=100m,BF=30m,求池塘FC的长． 【解析】（1）先由平行线的性质得到∠ABC=∠DEF，再利用ASA证明△ABC≌△DEF即可； （2）利用全等三角形的性质证明BF=EC，再结合已知条件即可得到答案． （1）证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF， 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌DEF（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF ∴BF+FC=EC+FC， ∴BF=EC， ∵BE=100m,BF=30m, ∴FC=100-30-30=40m. 答：FC的长是40m. 【对应导练】 1．小明利用一根长2m的竹竿来测量垂直于地面的路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使BP=2m,并测得∠APB=77°，然后把竖直的竹竿CD（CD=2m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD=13°，此时测得BD=8.5m.请根据这些数据，计算出路灯AB的高度． 【解析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB-PB求出即可． 解：∵∠CPD=13°，∠APB=77°，∠CDP=∠ABP=90°， ∴∠DCP=∠APB=77°． 在△CPD和△PAB中， ， ∴△CPD≌△PAB（ASA）． ∴DP=AB． ∵BD=8.5m,BP=2m, ∴DP=BD-BP=6.5m,即AB=6.5m. 答：路灯AB的高度是6.5m. 2．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠B=∠EFD，∠ACB=∠DEF，且BF=EC．求证：△ABC≌△DFE． 【解析】首先求出BC=EF，进而利用全等三角形的判定定理ASA证明两个三角形全等． 解：∵BF=EC， ∴BF+CF=EC+CF， ∴BC=EF， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≅△DFE（ASA）． 3．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F． （1）若∠C=40°，求∠B的度数； （2）若AD平分∠BDE，求证：△ABC≌△ADE． 【解析】（1）由AD=AB，得∠B=∠ADB．由AE∥BC，得∠EAC=∠C，那么∠C+∠DAC=∠EAC+∠DAC，即∠ADB=∠DAE．由∠BAD=∠CAE，得∠BAC=∠DAE，那么∠B=∠BAC．已知∠C=40°，根据三角形内角和定理求得∠B=70°． （2）欲证AE=AC，可证△ABC≌△ADE．由AD平分∠BDE，得∠BDA=∠ADE，那么∠B=∠ADE．由∠BAD=∠CAE，得∠BAC=∠DAE，从而推断出△ABC≌△ADE． （1）解：∵AD=AB， ∴∠B=∠ADB． ∵AE∥BC， ∴∠EAC=∠C． 又∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD=∠C． ∵∠BDA=∠C+∠DAC， ∴∠BDA=∠BAD+∠DAC=∠BAC． 又∵∠B=∠BDA， ∴∠B=∠BAC． ∵∠C=40°， ∴∠B+∠BAC=180°-∠C=140°． ∴2∠B=140°． ∴∠B=70°． （2）证明：由（1）得：∠B=∠ADB． ∵AD平分∠BDE， ∴∠BDA=∠ADE． ∴∠B=∠ADE． ∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC． ∴∠BAC=∠DAE． 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）． 知识点2 判定三角形全等的方法---角角边 （AAS） （1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）书写格式:如图所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 【新知导学】 例2-1．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠3，∠E=∠C，AE=AC，问△ABC≌△ADE吗？请说明理由． 【解析】根据三角形的外角性质得出∠ADC=∠B+∠1，求出∠ADC=∠3+∠ADE，求出∠B=∠ADE，再根据全等三角形的判定定理AAS推出全等即可． 解：△ABC和△ADE全等， 理由是：∵∠ADC=∠B+∠1=∠3+∠ADE， 又∵∠1=∠3， ∴∠B=∠ADE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）， 即△ABC和△ADE全等． 【对应导练】 1．如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B=∠C，BD=CE，求证：△ABD≌△ACE． 【解析】根据等角对等边可得AB=AC，然后利用SAS证明△ABD≌△ACE，即可解答． 证明：∵∠B=∠C， ∴AB=AC， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． 2．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠E，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF． 【解析】首先利用等式的性质求出BC=EF，进而利用全等三角形的判定定理AAS证明两个三角形全等． 证明：∵BF=CE， ∴BF+FC=CE+FC即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 3．已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS=PS．求证：△MNS≌△SQP． 【解析】首先求出∠M=∠PSQ，进而利用AAS证明△MNS≌△SQP． 解：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN， ∴∠M+∠MSN=∠MSN+∠PSQ， ∴∠M=∠PSQ； 在△MNS与△SQP中， ， ∴△MNS≌△SQP（AAS）． 知识点3判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 注意： 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【新知导学】 例3-1．如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是____________（不添加任何辅助线）． 【答案】∠A=∠D（答案不唯一）． 【解析】先说明∠ACB=∠DCE，再添加∠A=∠D，再结合BC=EC运用AAS即可证明△ABC≌△DEC． 解：添加条件：∠A=∠D； ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA即∠ACB=∠DCE 在△ABC和△DEC中 ∠A=∠D ，∠ACB=∠DCE，BC=EC ∴△ABC≌△DEC（AAS）． 故答案为：∠A=∠D（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理；掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 【对应导练】 1．如图，点B，E，C，F在一条直线上，BC=EF，∠B=∠DEF．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是 _____（写出一个即可）． 【答案】AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE 【解析】根据“SAS”或“AAS”或“ASA”添加条件． 解：∵BC=EF，∠B=∠DEF． ∴当添加AB=DE时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF； 当添加∠A=∠D时，根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF； 当添加∠ACB=∠DFE时，根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF； 故答案为：AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE． 2．如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，∠A=∠F，请添加一个条件：_____，使△ABC≌△FED． 【答案】AB=FE或∠B=∠E或∠ACB=∠FDE或DE∥BC 【解析】根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可． 解：∵AD=FC， ∴AC=FD， ∵∠A=∠F， ∴添加AB=FE，利用SAS得出△ABC≌△FED， 添加∠B=∠E，利用AAS得出△ABC≌△FED， 添加∠ACB=∠FDE，利用ASA得出△ABC≌△FED， 添加DE∥BC，得出∠EDF=∠BCA，利用ASA得出△ABC≌△FED， 故答案为：AB=FE或∠B=∠E或∠ACB=∠FDE或DE∥BC． 3．已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件： ①AB=DE；②AC=DF；③BE=CF；④∠ABC=∠DEF． （1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）． （2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF． 【解析】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可． （2）根据（1）中所选条件，进行证明即可． 解：（1）由题知， 选择的三个条件是：①②③； 或者选择的三个条件是：①③④． 证明：（2）当选择①②③时， ∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC， 即BC=EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 当选择①③④时， ∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC， 即BC=EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 2、 题型训练 1.利用角边角进行证明与计算 1.如图，点A、、、在同一条直线上，若，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由知，结合，，依据“”可判定≌，依据两三角形全等对应边相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2 .如图，，，分别平分和，经过点E．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】在上截取，连接，通过证明和，然后根据全等三角形的性质分析求证． 【详解】证明：在上截取，连接． ∵，分别平分和， ∴． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 2.利用角角边进行证明或计算 3 .如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC． 【分析】证△ABE≌△ACD，推出∠B=∠C，AD=AE，求出BD=CE，证△BDO≌△CEO，根据全等三角形的性质推出即可． 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°， 在△ABE和△ACD中 ∴△ABE≌△ACD （AAS）， ∴∠B＝∠C，AD＝AE， ∵AB＝AC， ∴BD＝CE， 在△BDO和△CEO中 ∴△BDO≌△CEO （AAS）， ∴OB＝OC． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 4 .(1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，求证：； (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； (3)如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意知，由，，可得，进而结论得证； （2）同理（1）证明，则，，根据计算求解的值即可； （3）如图3，过点作平行于轴的直线，过作于，过作于，由（1）可得，则，，进而可求点坐标． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的长为； （3）解：如图3，过点作平行于轴的直线，过作于，过作于， 由（1）可得， ∴，， ∴． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于证明三角形全等． 3. 截长补短法证明一条相等等于两条线段的和 5．已知中，，、是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H. （1）求的度数； （2）求证：； （3）连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由. 答案：（1） （2）证明见解析 （3）存在， 解析：（1）证明：， ， 又、分别平分、， ， . （2），， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， . （3）存在.. 理由：连接，， ，， ，，， ， ， ， ， ， . 6．综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，，是的平分线. 求证：. (1)解决问题：小敏的证明思路：在上截取，连接.(如图2) 小洁的证明思路：延长至点E，使，连接.(如图3) 请你任意选择一种思路完成证明. (2)问题升华：如图4，在中，若，，是外角的平分线，交的延长线于点D，则线段，，之间的数量关系又如何？请证明. 答案：(1)见解析 (2) 解析：(1)小敏的证明思路：如图2，在上截取，连接. 是的平分线， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， . 小洁的证明思路：如图3，延长至点E，使，连接，则， ， . ， ， ， 是的平分线， . ，，， ， ， . (2)如图在的延长线上取一点E，使，连接， 平分， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， . 3、 牛刀小试 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．如图，在与中，点F在BC上，AB交EF于点D.，，，，则( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：，.在与中，，，.，，，. 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：在和中 ，， 当时，满足，可证明，故选项A符合题意； 当时，满足，可证明，故选项B符合题意； 当时，满足，不能证明，故选项C不符合题意； 当时，满足，可证明，故选项D符合题意； 故选：C. 3．如图，已知，添加一个条件，使得，下列条件添加错误的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：A、在和中 ， ，故本选项不符合题意； B、，，不能推，故本选项符合题意； C、在和中 ， ，故本选项不符合题意； D、在和中 ， ，故本选项不符合题意； 故选：B. 4．如图，点E在AB上，点F在上，，，与BF相交点D，连接AD，则图中全等三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 答案：D 解析：，，，，，，.又，，，.，，，.又，，，由上可得，图中全等三角形共有4对. 5．如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带( )去. A. B. C. D.和 答案：C 解析：A、第块,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不符合任何判定方法； B、第块,仅保留了原三角形的一部分边,所以该块不行； C、第三块,不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边,所以符合判定,符合题意； D、由上分析,和不符合题意； 故选：C. 6．的6个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是( ) A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙 答案：D 解析：甲的边a，c的夹角和的边a，c的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 甲的边a，c的夹角和的边a，c的夹角对应为，故可利用“边角边”证明乙三角形与全等； 丙的角，和边a与的角和边a对应，故可利用“角角边”证明丙三角形与全等， 甲、乙、丙三个三角形中和全等的是乙和丙， 故选：D. 7．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，，则的长度为( ) A.10 B.6 C.5 D.4.5 答案：C 解析： ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； 故选：C. 8．如图，点O在AD上，，，，，，则OC的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案：C 解析：， ， ，， ， ，， ，， . 故选：C. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定的是_____（只填序号）. 答案：② 解析：已知，且, 若添加①，则可由判定； 若添加②，则属于边边角的顺序，不能判定； 若添加③，则属于边角边的顺序，可以判定. 故答案为②.. 10．如图，在中，点D在AB边上，E是AC边的中点，，CF与DE的延长线交于点F，若，，则BD的长为_______. 答案：1 解析：， ，， 是AC的中点， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：1. 11．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，______°. 答案：180 解析：，，， ， ， . 故答案是：180. 12．如图，已知，要用“”说明，则需添加的一个条件是_____. 答案： 解析：添加条件. 在和中，， ， 故答案为：. 13．如图，已知，E为DF的中点，若，，则________cm. 答案：6 解析：， ，， 在和中 ， ， ， . 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）如图，在中，，，于点E，且.求证：. 答案：见解析 解析：证明：，， ， ， ， 在和中， ， . 15．（8分）如图，与交于点O，，.求证：. 答案：见解析 解析：在和中， ， ， 16．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F. （1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由； （2）若，判断BE与AF的位置关系，并说明理由. 答案：（1），理由见解析 （2），理由见解析 解析：（1）结论：. 理由：， ， E是CD的中点， ， 在与中， ， ， ； （2）结论：. 理由：由（1）知， ，， ， ， 即， ， ， . 17（8分）．如图，已知，，，求证：. 答案：见解析 解析：， . 即， 在和中， ， . . 18．（8分）如图，四边中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，. （1）求证：； （2）若，，求的长. 答案：（1）见解析 （2）3 解析：（1）， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）， ， ，， . 19．（8分）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N，，连接MN. 探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系. 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系. 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N，，连接MN. （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明. （2）绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系. 请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答. 答案：（1），证明见解析 （2），证明见解析 解析：（1）， 证明：延长CB到E，使，连接DE， ，，， ， ， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， （2）， 证明：在CB截取，连接DE， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $$