精品解析：陕西省西安交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

高二年级升学检测数学试题 注意：本试题共4页，四道大题． 一、单选题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线和平行，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线：与直线：的距离是（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分． 9. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11. 已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A. 当时，有3个零点 B. 当时，有2个零点 C. 当时，有4个零点 D. 当时，有1个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 13. 设圆心在轴的圆过点，且与直线相切，则圆的标准方程为___________. 14. 在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点M在圆上运动．若∠AMB恒为锐角，则实数a的取值范围是___________ 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，解关于x的不等式． （2）若且，，解关于x的不等式． 16. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足 （1）求动点P的轨迹C的方程 （2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程. 17. 已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）求顶点的坐标与的面积. 18. 已知函数的图象关于原点对称，其中为常数. （1）求的值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程在上有解，求的取值范围. 19. 已知圆O：与圆E：内切． （1）直线l：与圆O交于M，N两点，若，求k的值； （2）过点E作倾斜角互补的两条直线分别与圆O相交，所得的弦为AB和CD，若，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级升学检测数学试题 注意：本试题共4页，四道大题． 一、单选题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程得直线的斜率，得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， 则，且，所以. 故选：C. 2. 已知直线和平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意两直线斜率都存在，利用两直线平行斜率相等列式计算得解. 【详解】由题知两直线斜率都存在，直线，其斜率， 直线，其斜率，则，即， 将代入检验满足题意，所以. 故选：D． 3. 直线：与直线：的距离是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将直线的方程化为，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可. 【详解】直线：化为， 又直线：，所以， 所以直线与直线的距离是. 故选：A. 4. 已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 5. 过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要切线长最小，就要直线上的点到圆心的距离最小，则此最小值为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出切线长的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离， 所以切线长最小值为. 故选：B 6. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 7. 直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意确定直线过定点，曲线是以为圆心，半径为1的半圆，借助数形结合确定直线与曲线有两个交点的临界状态，列出表达式求解即可. 【详解】由题意得，直线过定点， 曲线是以为圆心，半径为1的半圆（如图所示），曲线的下端点为. 要使直线与曲线有两个交点，则直线应位于直线和切线之间（可以与重合），此时直线的斜率存在， 且，即且圆心到直线的距离小于半径. 由得，由得，所以. 故选：B. 8. 直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数. 【详解】由题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 而最长弦长为圆的直径为，故所有弦的弦长范围为， 所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为， 根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条， 综上，共9条. 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分． 9. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项：两圆方程作差即可求出公共弦方程；对于B选项：线段的垂直平分线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；对于C选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，利用弦长公式计算即可；对于D选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值． 【详解】对于A选项：圆和圆， 将两圆的方程作差得，即， 所以直线的方程为，故A正确； 对于B选项：圆即，圆心，半径， 圆即，圆心， 直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即，故B正确； 对于C选项：到直线的距离， 可得弦的长为，故C错误； 对于D选项：P到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A. 当时，有3个零点 B. 当时，有2个零点 C. 当时，有4个零点 D. 当时，有1个零点 【答案】CD 【解析】 【分析】令y＝0得，利用换元法将函数分解为f（x）＝t和f（t）＝﹣1，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】令，得，设f（x）＝t，则方程等价为f（t）＝﹣1， ①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1， ∴此时方程f（t）＝﹣1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）＝t2＜0，此时x有两解， 由f（x）＝t1∈（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解， 即函数y＝f[f（x）]+1有4个零点． ②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，∴此时方程f（t）＝﹣1有一个根t1，其中0＜t1＜1， 由f（x）＝t1∈（0，1），此时x只有1个解，即函数y＝f[f（x）]+1有1个零点． 故选：CD． 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题． 三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 【答案】或 【解析】 【分析】注意直线过原点的情况，直线不过原点时用截距式结合题意列方程即可求解 【详解】当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则有，解得， 故直线方程为，即， 综上所述，所求直线方程为或． 故答案为：或． 13. 设圆心在轴的圆过点，且与直线相切，则圆的标准方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆的圆心为，根据已知条件得出半径为，再将代入即可解出，从而得到答案. 【详解】设圆的圆心为，则由于该点到直线的距离，结合圆与直线相切，知圆的半径为. 所以圆的方程是. 而圆过点，所以，解得. 所以圆的标准方程是. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点M在圆上运动．若∠AMB恒为锐角，则实数a的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】令M点恒在以AB为直径的圆的外部可得两圆外离，从而列出不等式得出a的范围． 【详解】， 以AB为直径的圆的方程为， ∵∠AMB恒为锐角，∴M在圆的外部， 又两圆半径相等，故两圆外离， ∴ ，又a＞0， 解得：a＞5． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，解关于x的不等式． （2）若且，，解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由已知得，代入所求不等式得从而求得解集； （2）由已知转化为，又，再解含参的一元二次不等式可得答案. 【小问1详解】 的解集为， ， ， ， 则，即， 所求不等式的解集为. 【小问2详解】 由，， 得， 则，即， 又，则不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足 （1）求动点P的轨迹C的方程 （2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答. （2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答. 【小问1详解】 设，由，得， 化简得， 所以P点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆， 当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切； 当直线l的斜率存在时，设，即， 于是，解得，因此直线的方程为，即， 所以直线l的方程为或. 17. 已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）求顶点的坐标与的面积. 【答案】（1） （2），20 【解析】 【分析】（1）由AC边上的高BH所在直线方程为可得直线BH的斜率为1，根据垂直时斜率乘积为-1可得直线AC的斜率为-1，且过即可得到AC边所在直线方程； （2）联立直线AC和直线CM，即可求出顶点C的坐标．求出AC的长和 B到AC的距离，结合面积公式即得. 【小问1详解】 ∵，，∴，∴方程为：，即. 【小问2详解】 联立解得，. 设，则，∴，∴. ∴，到直线距离为，而. ∴的面积为. 18. 已知函数的图象关于原点对称，其中为常数. （1）求的值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可求的值. （2）先计算出，再求出它在上的最大值后可求的取值范围. （3）根据可得，令，求出该函数在的值域后可求的取值范围. 【详解】（1）∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，∴， 即， 整理得到：恒成立，解得或（舍）. （2） 当时，， ∴. （3）由（1）知，，即，即即在上有解， 在上单调递减，的值域为， ∴. 【点睛】本题考查奇函数的定义，还考查了与对数函数有关的函数的最值或值域的求法，注意不等式的恒成立问题可以转化为函数的最值问题，方程有解问题可以转化为新函数的值域问题，本题属于中档题. 19. 已知圆O：与圆E：内切． （1）直线l：与圆O交于M，N两点，若，求k的值； （2）过点E作倾斜角互补的两条直线分别与圆O相交，所得的弦为AB和CD，若，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两圆内切得到，联立与，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出的值； （2）先考虑直线斜率不存在时，，当直线或直线的斜率为0时，不满足倾斜角互补，直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程，利用垂径定理得到求出，表达出，利用基本不等式求出的最大值. 【小问1详解】 由题意得， ，故，圆E的半径为， 由于，故在圆E上， 故，所以，其中，解得， 与联立得， 恒成立， 设，则， 故， ，解得； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在， 此时，， 当直线或直线的斜率为0时，不满足倾斜角互补， 当直线的斜率存在且不为0时，设直线：， 圆心到直线的距离， 故， 由于直线的方程为， 故， 则 ， 当时，， 当且仅当，时，等号成立， 当时，， 当且仅当，时，等号成立， 综上，. 【点睛】方法点睛：圆中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $