专题02 求锐角的三角比的值重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题02 求锐角的三角比的值重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 特殊角的三角函数值 题型二 特殊角三角函数值的混合运算 题型三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型四 由计算器求锐角三角函数值 题型五 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型六 已知角度比较三角函数值的大小 题型七 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型八 利用同角三角函数关系求值 题型九 求证同角三角函数关系式 题型十 互余两角三角函数的关系 题型十一 三角函数综合 知识点1：特殊锐角三角比的值 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【经典例题一 特殊角的三角函数值】 【例1】（2023九年级下·全国·专题练习）因为，，所以；由此猜想、推理知：当为锐角时有，由此可知：=（  ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）因为 ， ，所以，我们发现：一般地，当α为锐角时，有，由此可知的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）在等腰中，，高，则 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）计算：． 【经典例题二 特殊角三角函数值的混合运算】 【例2】（23-24九年级上·山东东营·开学考试）下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算： ． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【经典例题三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例3】（2023·上海徐汇·二模）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，那么△ABC的形状是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 1．（23-24九年级上·广西·阶段练习）中，、都是锐角，且，，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 3．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，．把绕点B逆时针旋转得到，连接．当旋转角为多少度时，． 【经典例题四 由计算器求锐角三角函数值】 【例4】（23-24九年级下·浙江·课后作业）用计算器求cos15°，正确的按键顺序是 (　 　) A． B． C． D． 1．（2023·山东威海·中考真题）如图，一个人从山脚下的点出发，沿山坡小路走到山顶点．已知坡角为，山高千米．用科学计算器计算小路的长度，下列按键顺序正确的是(   ) A． B． C． D． 2．（2023·陕西西安·一模）如果3sinα＝+1，则∠α＝ ．（精确到0.1度） 3．（23-24九年级下·山东·单元测试）（1）验证下列两组数值的关系： 2sin30°•cos30°与sin60°； 2sin22.5°•cos22.5°与sin45°． （2）用一句话概括上面的关系． （3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立． （4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式． 【经典例题五 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例5】（2023·上海金山·一模）若是锐角，，那么锐角等于（      ） A． B． C． D． 1．（2023·上海崇明·二模）如果一个正多边形的外角为锐角，且它的余弦值是，那么它是（ ） A．等边三角形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知：如图，点G为上一点，且交于点E，，，垂足分别为点D、F，如果，，那么 度． 3．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知，，问：的大小确定吗？ 若确定，求其度数；若不确定，请说明理由    【经典例题六 已知角度比较三角函数值的大小】 【例6】（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海杨浦·阶段练习） （选填“”或“”或“”） 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示. （1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小. 【经典例题七 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例7】（2024九年级·全国·竞赛）若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海·单元测试）已知，则锐角的取值范围是 ． 3．（2023·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【经典例题八 利用同角三角函数关系求值】 【例8】（23-24九年级上·上海普陀·期末）已知在中，，，那么下列说法中正确的是（      ） A． B． C． D． 1．（2023·湖南娄底·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）化简的结果是 ． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，D是边上一点，，，设． (1)求、、的值； (2)若，求的长． 【经典例题九 求证同角三角函数关系式】 【例9】（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【经典例题十 互余两角三角函数的关系】 【例10】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（     ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级·全国·单元测试）在中，，下列式子中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）在中，，若，则 ． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【经典例题十一 三角函数综合】 【例11】（22-23九年级上·上海·期中）在中，，若，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·上海崇明·期中）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    3．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的余切值． 1．（22-23九年级下·上海·阶段练习）下列实数是有理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南长沙·二模）若菱形的周长为，高为2，则菱形两邻角的度数比为（   ） A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）在中，、均为锐角，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，．有下列结论：①；②射线是的角平分线；③；④．其中正确结论的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④ 6．（2023·广东河源·二模） ． 7．（2023·贵州黔东南·二模）在中，，则为 三角形． 8．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）若，则 ． 9．（23-24九年级下·全国·单元测试）一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长米，梯子位于地面上的一端距离墙壁米，则梯子与地面所成锐角的度数为 ．（用科学计算器计算，结果精确到分） 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知部分锐角三角函数值：，，，，计算 ．（提示：） 11．（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算：． 12．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）如果sinA＝，求的值． 13．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点分别在边上，平分，，，． (1)求的长； (2)求的值． 14．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图1，在中，，，AB=4,点是边上动点（点不与点、重合），过点作，交边于点. （1）求的大小； （2）若把沿着直线翻折得到，设 ① 如图2，当点落在斜边上时，求的值； ② 如图3，当点落在外部时，与相交于点，如果，写出与的函数关系式以及定义域. 15．（2024·上海松江·二模）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 求锐角的三角比的值重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 特殊角的三角函数值 题型二 特殊角三角函数值的混合运算 题型三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型四 由计算器求锐角三角函数值 题型五 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型六 已知角度比较三角函数值的大小 题型七 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型八 利用同角三角函数关系求值 题型九 求证同角三角函数关系式 题型十 互余两角三角函数的关系 题型十一 三角函数综合 知识点1：特殊锐角三角比的值 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【经典例题一 特殊角的三角函数值】 【例1】（2023九年级下·全国·专题练习）因为，，所以；由此猜想、推理知：当为锐角时有，由此可知：=（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当α为锐角时有．把代入计算即可． 【详解】解：， ． 故本题选：C． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照“一般地当α为锐角时有”去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键． 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）因为 ， ，所以，我们发现：一般地，当α为锐角时，有，由此可知的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用，将原式变形进而得出答案． 【详解】解：∵ ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 2．（2024九年级·全国·竞赛）在等腰中，，高，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，分情况讨论是解题关键．分锐角三角形和钝角三角形两种情况，结合三角函数值分析计算． 【详解】解：当为锐角时，如图 ∵，高， 在中， ∴ 当为钝角时， ∵，高， 在中， ∴，则， 综上，或， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】； 【分析】本题考查特殊三角函数值，绝对值，幂的运算，立方根，根据，，及直接逐步求解即可得到答案； 【详解】解：原式 ． 【经典例题二 特殊角三角函数值的混合运算】 【例2】（23-24九年级上·山东东营·开学考试）下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案． 【详解】解：A．，，原式成立，故此选项不合题意； B．，，原式成立，故此选项不合题意； C．，故原式成立，故此选项不合题意； D．，，原式不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握、、角的三角函数值是解题的关键，按照题中所给式子进行运算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 故选：B． 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】0 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：0． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算，将特殊角三角函数值代入求解即可． 【详解】解： 【经典例题三 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例3】（2023·上海徐汇·二模）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，那么△ABC的形状是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，可得出∠A和∠B的度数，继而可得出三角形ABC的形状． 【详解】在△ABC中， ∵∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=， ∴∠A=30°，∠B=60°， 则∠A=180°-30°-60°=90°． 故△ABC为直角三角形． 故选B． 1．（23-24九年级上·广西·阶段练习）中，、都是锐角，且，，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据特殊角度三角函数的性质，结合题意，分别得，；再根据三角形内角和性质计算得，即可得到答案． 【详解】∵、都是锐角，且， ∴， ∴ ∴的形状是锐角三角形 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握特殊角度三角函数、三角形内角和的性质，从而完成求解． 2．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 3．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，．把绕点B逆时针旋转得到，连接．当旋转角为多少度时，． 【答案】30度或150度 【分析】分两种情况：第一种情况，如图1，过点E作于点Q，过点A作于点P，证明，可得；第二种情况，如图2，当时，同法可证，从而可知旋转角α的度数． 【详解】解：如图1中，过点E作于点Q，过点A作于点P， ，， ， ， ，，， ， ， ， 在中，， ， 旋转角α的度数； 如图2中，当时，过点E作交BC延长线于点Q，过点A作于点P， 同理可证，， ， 旋转角α的度数， 综上可知，当旋转角为30或150度时，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，角的正弦值知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 【经典例题四 由计算器求锐角三角函数值】 【例4】（23-24九年级下·浙江·课后作业）用计算器求cos15°，正确的按键顺序是 (　 　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据用计算器算三角函数的方法：先按键“cos”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果． 【详解】解：先按键“cos”，再输入角的度数15，按键“=”即可得到结果． 故选A． 【点睛】本题考查用计算器算三角函数的方法，牢记用计算器求锐角三角函数值的方法是解题关键． 1．（2023·山东威海·中考真题）如图，一个人从山脚下的点出发，沿山坡小路走到山顶点．已知坡角为，山高千米．用科学计算器计算小路的长度，下列按键顺序正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在△ABC中，通过解直角三角形可得出sinA=，则AB=，即可得出结论． 【详解】在中，， ∴， ∴按键顺序为：. 故选A． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及计算器，熟练应用计算器是解题关键． 2．（2023·陕西西安·一模）如果3sinα＝+1，则∠α＝ ．（精确到0.1度） 【答案】65.5°． 【分析】根据计算器可以计算出∠α的度数，从而可以解答本题． 【详解】解：∵3sinα ∴sinα 解得，∠α≈65.5°， 故答案为65.5°． 【点睛】本题考查计算器﹣三角函数，解答本题的关键是会用计算器求三角函数的值． 3．（23-24九年级下·山东·单元测试）（1）验证下列两组数值的关系： 2sin30°•cos30°与sin60°； 2sin22.5°•cos22.5°与sin45°． （2）用一句话概括上面的关系． （3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立． （4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式． 【答案】（1）；；0.7；0.7；（2）一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α． 【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论； （2）根据（1）中的关系可得出结论； （3）任选一个角验证（3）的结论即可； （4）用α表示一个锐角，写出这个关系式即可． 【详解】（1）∵2sin30°•cos30°=2，sin60°． 2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°0.7，∴2sin30°•cos30°=sin60°，2sin22.5°•cos22.5=sin45°； （2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值； （3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97，sin30°； 故结论成立； （4）2sinα•cosα=sin2α． 【点睛】本题考查了三角函数，根据题意找出规律是解答此题的关键． 【经典例题五 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例5】（2023·上海金山·一模）若是锐角，，那么锐角等于（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由sin45°=可得=45°即可确定． 【详解】解：∵sin45°=，，是锐角 ∴=45°，即=30°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定=45°成为解答本题的关键． 1．（2023·上海崇明·二模）如果一个正多边形的外角为锐角，且它的余弦值是，那么它是（ ） A．等边三角形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 【答案】D 【分析】先根据一个外角的余弦值是，求出一个外角的度数，再利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 【详解】∵一个外角为锐角，且其余弦值为， ∴这个一个外角=30°， ∴360÷30=12． 故它是正十二边形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了多边形的外角和及特殊角的三角函数值，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知：如图，点G为上一点，且交于点E，，，垂足分别为点D、F，如果，，那么 度． 【答案】75 【分析】本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上，特殊角的三角函数值，平行线的性质，根据锐角三角函数求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出平分，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴平分， ∴， ∴． 故答案为：75． 3．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知，，问：的大小确定吗？ 若确定，求其度数；若不确定，请说明理由    【答案】 【分析】利用两直角三角形的顶点四点共圆的特性可证，同样利用这两个三角形的相似可得出其面积比等于相似比的平方，从而求得与之比，最后求解直角即可求得的度数，也就求得邻补角的度数． 【详解】的大小确定．理由如下： 如图，取边的中点O，连接，    ∵分别是直角与直角的中线， ∴ ∴四点共圆． ∴(同弧对的圆周角相等)， ∴， ∴(相似三角形面积之比等于相似比的平方)， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四点共圆、相似三角形的判定和性质、三角函数的计算、邻补角等知识点，解题的关键是善于运用四点共圆与相似三角形的性质． 【经典例题六 已知角度比较三角函数值的大小】 【例6】（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 当，， ， ， ， 综上所述，与的差不能确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案． 【详解】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小， 随的增大而增大， A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意； B．∵,∴,选项B正确，不合题意； C．，，，，选项C不正确，符合题意； D．，，，，选项D正确，不符合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键． 2．（23-24九年级上·上海杨浦·阶段练习） （选填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数大小比较，数字规律探索，根据特殊角的三角函数的正弦与余弦值可得到互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，从而得出，再进行比较即可． 【详解】解：，，，，，， ，，，， 由此可得，互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示. （1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小. 【答案】（1）锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大；（2）见解析 【分析】（1）根据概念结合图中几个锐角角，就能发现随着一个锐角的增大，它的对边在减小，邻边在增大，即可找到正余弦变化规律 （2）根据（1）中规律即可 【详解】解：（1）由题图可知，. ∵， ， ， 又∵，且， ∴， ∴ ∵，， ， 又∵， ∴， ∴． ∵， ， 又∵，， ∴. ∴. 规律：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大. （2）； ； . 【点睛】本题考查锐角三角函数的求法以及比较大小，熟练掌握锐角函数的定义是解题关键 【经典例题七 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例7】（2024九年级·全国·竞赛）若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的性质，根据正弦值随着角度的增大而增大即可求解，掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴正弦值随着角度（该角度是为锐角）的增大而增大，，， ∴， 故选：． 1．（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案 【详解】解：，， 由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键． 2．（23-24九年级上·上海·单元测试）已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】0＜α≤30° 【分析】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论. 【详解】由题意知，故≤，即sin≤sin 30°，由正弦函数是增函数． 知0＜α≤30° 【点睛】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键. 3．（2023·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 【经典例题八 利用同角三角函数关系求值】 【例8】（23-24九年级上·上海普陀·期末）已知在中，，，那么下列说法中正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的关系解答． 【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，，则cosA= A、cosB=sinA=，故本选项符合题意． B、cotA= ．故本选项不符合题意． C、tanA= ．故本选项不符合题意． D、cotB=tanA= ．故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查同角三角函数关系，解题关键在于掌握（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比. 1．（2023·湖南娄底·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可． 【详解】解：∵，， ∴ 即， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系以及二倍角正弦公式将式子化简为，然后由，化简即可得到答案． 【详解】解： ， 在是增函数， ， 在是减函数， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，解题的关键是判断出． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，D是边上一点，，，设． (1)求、、的值； (2)若，求的长． 【答案】(1)，， (2)3 【分析】（1）根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解； （2）由和（1）求得的，根据直角三角形锐角三角函数求出，从而求出的长． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴， ，，； （2）在中， ， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查综合应用解直角三角形和勾股定理，正确理解正切、正弦和余弦的定义是解题的关键． 【经典例题九 求证同角三角函数关系式】 【例9】（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【详解】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 1．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键． 【经典例题十 互余两角三角函数的关系】 【例10】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦和余弦的平方和等于1求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选B ． 【点睛】本题考查锐角三角函数的性质，熟练掌握正弦函数与余弦函数的平方和等于1的性质是解题关键． 1．（23-24九年级·全国·单元测试）在中，，下列式子中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互为余角的三角函数关系式求解． 【详解】解：利用互为余角的三角函数关系式求解，只有A不一定成立． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，∠A、∠B互为余角，则有cosB＝sin（90°−B）＝sinA成立． 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的性质一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值可求． 【详解】解：，， ∴， , 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的性质，解题关键是正确理解三角函数的意义，得出一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【经典例题十一 三角函数综合】 【例11】（22-23九年级上·上海·期中）在中，，若，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义，分别计算的三角函数值即可． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴，选项A正确，符合题意； ，选项B错误，不符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 1．（22-23九年级上·上海崇明·期中）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直线上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为点，则可求得的正余弦、正余切值，从而可得答案． 【详解】解：如下图，在直线上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为点， 则 ，， 由勾股定理，可得 ， 在直角中， ，， ，， 故选项C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图像与性质、锐角三角函数等知识，关键是画出图形，并在直线任取一点，作 轴的垂线构造直角三角形． 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的知识，正弦函数，折叠的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先证明、、、四点共圆，推出，过点作于点，利用平行线分线段成比例定理得到，由勾股定理得到，再由正弦函数即可求解． 【详解】解：，， ， 由折叠性质得， ， 、、、四点共圆， ， 过点作于点，   ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ， 故答案为： 3．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求：    (1)线段的长； (2)的余切值． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）根据可得，根据勾股定理可得，计算可得，即可得到答案； （2）由直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而得到，求出的长，再根据余切的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：是边上的高， ， 在，，， ， ， ，， ， 解得：， ； （2）解：是边上的高， ， 是边的中点， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的知识，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 1．（22-23九年级下·上海·阶段练习）下列实数是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对有理数、无理数的定义、平方根和立方根、锐角三角函数．正确理解无理数的定义是解题的关键，注意无理数包括三种形式：（1）开方开不尽的数，如：；（2）无限不循环小数，如：（相邻两个2之间依次多1个0）；（3）含有的某些数，如：． 根据有理数以及无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【详解】解：A、是无理数，不符合题意； B、是无理数，不符合题意； C、是有理数，符合题意； D、是无理数，不符合题意； 故选：C． 2．（2023·湖南长沙·二模）若菱形的周长为，高为2，则菱形两邻角的度数比为（   ） A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1 【答案】D 【分析】如图，为菱形的高，，利用菱形的性质得到，利用正弦的定义得到，则，从而得到的比值． 【详解】解：如图，为菱形的高，， 菱形的周长为， ， 在中，， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键． 4．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）在中，、均为锐角，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可． 【详解】解：， ，， ，， ，，， 在中，，且， 是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，．有下列结论：①；②射线是的角平分线；③；④．其中正确结论的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④ 【答案】D 【分析】①根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到是否等于； ②根据题目中的条件，可以求得和的正切值，从而可以得到射线是否为的角平分线； ③根据前面的推论，可以得到和的关系，从而可以判断是否成立； ④根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到是否成立． 【详解】解：在正方形中，是的中点， ，， ， ， ，故①错误； ，， ，， ， ， ， ， 设，则，， ，，， ， ，即射线是的角平分线，故②正确； ，， ，故③错误； 作于点，如图所示： 平分，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ，故④正确， 综上所述，②④正确，正确的个数为2， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 6．（2023·广东河源·二模） ． 【答案】/ 【分析】运用特殊角度的三角函数值计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的运算法则．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 7．（2023·贵州黔东南·二模）在中，，则为 三角形． 【答案】直角 【分析】根据两个非负数的和为0，则它们都为0，可得，，因而可求得∠A、∠B的度数，由此可判断△ABC的形状． 【详解】∵，，且 ∴， ∴， ∴∠A=60゜，∠B=30゜ ∵∠A+∠B=90゜ ∴△ABC是直角三角形 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了几个非负数的和为0则它们都为0的性质，已知三角函数值求角，直角三角形的判定等知识，关键是根据非负数和为0的性质求得∠A、∠B的三角函数值． 8．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小，然后化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小是解题的关键． 9．（23-24九年级下·全国·单元测试）一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长米，梯子位于地面上的一端距离墙壁米，则梯子与地面所成锐角的度数为 ．（用科学计算器计算，结果精确到分） 【答案】 【分析】根据题意可以得到梯子与地面所成锐角的余弦值，从而可以求得梯子与地面所成锐角的度数． 【详解】设一个梯子斜靠在墙上，梯子与地面所成锐角为， ∵梯子长10米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米， ∴， 解得：. 故答案为. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解此题的关键在于熟练掌握用科学计算器计算角度. 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知部分锐角三角函数值：，，，，计算 ．（提示：） 【答案】 【分析】根据互余两角三角函数的关系：即可求解． 【详解】解：∵   ， ∴   ． 故答案为:． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，深刻理解三角函数的定义是解题关键． 11．（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．将特殊角的三角函数值代入求解，即可解题． 【详解】解： ． 12．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）如果sinA＝，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）先求证，得到，再根据，即可求证； （2）根据三角函数的定义以及关系，求得的值，即可求解． 【详解】解：（1）∵BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高 ∴ 又∵ ∴ ∴，即 又∵ ∴ （2）在，， 由锐角三角函数关系可得：，即 由（1）得， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键． 13．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点分别在边上，平分，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 14．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图1，在中，，，AB=4,点是边上动点（点不与点、重合），过点作，交边于点. （1）求的大小； （2）若把沿着直线翻折得到，设 ① 如图2，当点落在斜边上时，求的值； ② 如图3，当点落在外部时，与相交于点，如果，写出与的函数关系式以及定义域. 【答案】(1) ；(2) ①x=1，② ，定义域 【分析】（1）根据正弦的定义求出∠B=30°，根据平行线的性质解答； （2）根据翻转变换的性质，等边三角形的判定定理得到△AQP为等边三角形，根据等边三角形的性质得到AQ=QP，证明AQ=QC，计算即可； （3）作QG⊥AB于G，RH⊥AB于H，根据正弦的定义用x表示出QG，证明RE=RB，根据等腰三角形的性质得到EH= y，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：(1) 在Rt△ABC中， ∵ ，AB=4, ∴ ∵ ∴ (2) ① 如图2，当点落在斜边上时； 由翻折得 ∴ ∵   ∴ ∴ ∵ ∴ 是等边三角形 即x=1. ② 如图3，当点落在外部时， 作QG⊥AB于G，RH⊥AB于H， ∵QR∥AB， ∴QG=RH， 在Rt△AQG中，QG=AQ×sinA 由翻折的性质可知，∠PRP=∠CRQ=30°， ∵QR∥AB， ∴∠REB=∠PRQ， ∴∠REB=∠B， ∴RE=RB， ∵RH⊥AB， 在Rt△ERH中， ∴ 整理得，y=3x， 则y与x的函数关系式为y=3x（0＜x＜1）． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，翻转变换的性质，等边三角形的判定和性质，函数解析式的确定，掌握等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．（2024·上海松江·二模）如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，PF的长度不变， (3)能相似， 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的比值关系等知识点，灵活运用角的等量关系建立边的比值关系是解题的关键． （1）利用斜边的中线是斜边的一半的性质和矩形的性质，通过角的等量代换得到即可； （2）通过角的等量代换和相似三角形的判定方法证出，即可根据比值关系求解； （3）连接，过点作，垂足为，通过角的等量代换和边的比值关系判定出四边形是矩形，然后再利用角的等量代换证出，当时（均为钝角）时，可得到，从而得到，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，过点作，垂足为，如图所示： ∴，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴当时（均为钝角），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$