精品解析：江苏省镇江市句容市2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

八年级数学阶段性学习评价样卷 （考试时间：100分钟，全卷满分：120分） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 2．如用铅笔作图，必须把线条加黑加粗，描写清楚． 一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共计24分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应的位置上） 1. 一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，摸出黑球的可能性 __________摸出白球的可能性(填“大于”、“小于”或“等于”)． 2. 当时，二次根式的值为______. 3. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_____． 4. 《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定，某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是______________． 5. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值可以是__．（任意写一个满足条件的k值） 6. 如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且．若，则的长为 __________________． 7. 当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图像如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是________． 8. 若关于x的方程有增根，则m的值为_____． 9. 如图是一个平行四边形，已知，F是中点，的面积是，那么四边形的面积为__ 10. 若将面积分别为和的两个正方形按如图所示的方式拼接在一起，则该图形的最大宽度（虚线部分）为_____． 11. 已知﹣=2，则+的值为_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中_____． 二、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共计21分．每题只有一个正确选项．请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上．） 13. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图是某地的气温曲线和降水量柱状图，根据图中信息推断，下列说法正确的是（ ） A. 1月平均气温在以下，降水量多 B. 从4月到10月，气温逐渐升高 C. 7月份以后，降水量逐渐减少 D. 冬冷夏热，7、8月份的降水较多 15. 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. B. C. D. 3 16. 在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数（，m为常数）的图像上，则（ ） A. B. C. D. 17. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ） A. B. C. D. 18. 如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时， 如图②，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 19. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ） A. B. C. D. 20. 如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图像经过点和的中点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 21. 计算或求值： （1）； （2） （3）a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值． 22. （1）解分式方程： ； （2）先化简，再求值：，其中． 23. 国内生产总值等于第一产业增加值、第二产业增加值、第三产业增加值之和，根据国家统计局数据，2011、2015、2019、2023年全国三项产业增加值占国内生产总值比重情况如图1所示．其中，2023年全国三项产业增加值的构成情况如图2所示． （1）2图中2023年第三产业增加值占国内生产总值的比重是____________，请补全图1． （2）已知2023年第三产业增加值大约为68.8万亿元，求2023年国内生产总值是多少万亿元．（精确到个位） （3）根据图1分析，描述我国国内生产总值结构变化趋势． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 25. 如图，在中，点E是的中点，连接，、的延长线相交于点F，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 26. 我国快递市场规模巨大，快递业务量连续多年排名世界首位．某快递站点为提高配送效率，引进了无人配送车，在快递配送高峰期，快递员小李原来平均每天能配送100件快递，在无人配送车配合下，小李每小时的配送量达到了原来的倍，每天的工作时间比原来减少了2个小时，每天的快递配送量比原来提高了．求小李现在每天需要工作几小时． 27. 如如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． （1）若，求的值： （2）连接，若，求的长． 28. 如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若A（m，n）满足．点M是线段上一点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P． （1）当点P与点O重合时，在图2中用直尺和圆规作出点M（不写作法，保留作图痕迹）），并求点M的坐标； （2）当时，如图3，求点P的坐标； （3）如图4，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．直接写出线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学阶段性学习评价样卷 （考试时间：100分钟，全卷满分：120分） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 2．如用铅笔作图，必须把线条加黑加粗，描写清楚． 一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共计24分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应的位置上） 1. 一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，摸出黑球的可能性 __________摸出白球的可能性(填“大于”、“小于”或“等于”)． 【答案】大于 【解析】 【分析】本题主要考查可能性的大小，从中任意摸出1个球，摸出黑球的可能性大小为，摸出白球的可能性大小为，据此可得答案． 【详解】解：从中任意摸出1个球，摸出黑球的可能性大小为，摸出白球的可能性大小为， 所以摸出黑球的可能性大于摸出白球的可能性， 故答案为：大于． 2. 当时，二次根式的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】直接将代入，再化简即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故答案为：3． 【点睛】本题考查二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 3. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握分母不为零且被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据分母不为零且被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知，， 解得， 故答素为：． 4. 《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定，某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频数的计算，解题的关键是掌握频数的计算公式：频数等于频率乘以数据总数．据此解答即可． 【详解】解：该班学会炒菜的学生频数为：． 故答案为：． 5. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值可以是__．（任意写一个满足条件的k值） 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与系数的关系．先根据反比例函数的图象位于第二、四象限得出k的取值范围，进而可而得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴k的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 6. 如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且．若，则的长为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 由D，E分别为的中点，可得，由，D为的中点，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵D，E分别为的中点， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 7. 当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图像如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点，将点代入反函数解析式即可求得的值，从而得出函数解析式，再根据的范围即可得出答案． 【详解】解：设球内气体的气压与气体体积成反比例函数关系为， ∵图象过点， ∴， 解得， ∴该函数关系式为， ∵当气球内的气压时，气球将爆炸， ∴为了安全起见，应该满足， 解得． 8. 若关于x的方程有增根，则m的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根：熟练掌握分式方程的求解方法，分式方程增根与分式方程根之间的联系是解题的关键． 若原分式方程有增根，则，解得x的值，再代入去分母后的整式方程中，即可解得m值． 【详解】解： 去分母得， 若原分式方程有增根，则，所以 当 时，，得， 所以若原分式方程有增根，则， 故答案为 ：2． 9. 如图是一个平行四边形，已知，F是中点，的面积是，那么四边形的面积为__ 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中线的性质．连接，根据平行四边形的性质得到，根据，的面积是，得到的面积为，则，根据是的中点即可得到的面积，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，的面积是， ∴的面积为， ∴， ∵是的中点， ∴， 即四边形的面积为， 故答案为：7． 10. 若将面积分别为和的两个正方形按如图所示的方式拼接在一起，则该图形的最大宽度（虚线部分）为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了开平方运算，以及勾股定理，根据题意分别得到大、小正方形边长，再利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：由题知，小正方形边长为，大正方形边长为， 该图形的最大宽度（虚线部分）为， 故答案为：． 11. 已知﹣=2，则+的值为_______． 【答案】5 【解析】 【详解】∵﹣=2， ∴=+2， 两边平方得，25﹣x2=4+15﹣x2+4， ∴2=3， 两边平方得4（15﹣x2）=9，化简，得x2=， ∴+=+=5． 故答案为5． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，先求出值和的长，平移求出点的坐标，进而得到点的纵坐标，根据点在直线上，求出点坐标，进而求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∵将该菱形向上平移，点B的对应点D落在反比例函数的图像上， ∴轴，的横坐标为，当时，， ∴，点的纵坐标为， ∵点在直线上，设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 二、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共计21分．每题只有一个正确选项．请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上．） 13. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除法运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法相加减，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的乘除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 14. 如图是某地的气温曲线和降水量柱状图，根据图中信息推断，下列说法正确的是（ ） A. 1月平均气温在以下，降水量多 B. 从4月到10月，气温逐渐升高 C. 7月份以后，降水量逐渐减少 D. 冬冷夏热，7、8月份的降水较多 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，频数分布直方图，根据统计图所给的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由统计图可得，1月平均气温在以下，降水量少，原说法错误，不符合题意； B、由统计图可得，从4月到10月，气温先升高，后降低，原说法错误，不符合题意； C、由统计图可得，7月份以后，降水量先增加，再逐渐减少，原说法错误，不符合题意； D、由统计图可得，冬冷夏热，7、8月份的降水较多，原说法正确，符合题意； 故选：D． 15. 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到： 因为分式的值不变 所以是同时含有和的一次二项式 故选：A 【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数（，m为常数）的图像上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选C． 17. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 18. 如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时， 如图②，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． 根据含30度的直角三角形性质得到，利用菱形的性质，矩形的性质，以及等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：图②中四边形是菱形， ， ， ， 图①四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 三角板的较长的直角边长为， ， 即， 解得， 故选：A． 【点睛】 19. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 20. 如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图像经过点和的中点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，由四边形是正方形，得，轴，设，则，，，再根据中点坐标可得，最后代入解析式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，轴， 设，则，，， ∵是中点， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， 解得：，， 故选：． 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 21. 计算或求值： （1）； （2） （3）a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值以及无理数的估算，同时考查了二次根式的乘法和加减运算． （1）根据二次根式的性质化简，再合并即可求解； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算，再合并即可求解； （3）首先判断出的在1和2之间，再估算的范围，求得的整数部分和小数部分，然后把a和b的值代入代数式求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 22. （1）解分式方程： ； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法，最后将的值代入计算即可； 本题考查了解分式方程和分式的化简求值，熟练掌握解分式方程和分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1） 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． （2）原式 ， 当时， 原式． 23. 国内生产总值等于第一产业增加值、第二产业增加值、第三产业增加值之和，根据国家统计局数据，2011、2015、2019、2023年全国三项产业增加值占国内生产总值比重情况如图1所示．其中，2023年全国三项产业增加值的构成情况如图2所示． （1）2图中2023年第三产业增加值占国内生产总值的比重是____________，请补全图1． （2）已知2023年第三产业增加值大约为68.8万亿元，求2023年国内生产总值是多少万亿元．（精确到个位） （3）根据图1分析，描述我国国内生产总值结构变化趋势． 【答案】（1），图见解析 （2）万亿元 （3）我国国内生产总值中第一产业增加值趋于稳定，第二产业增加值逐渐下降，第三产业增加值逐渐增加．（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图的应用． （1）用“1”分别减去第一产业和第二产业所占百分比可得答案，根据第三产业增加值的百分比补全图1即可； （2）用2023年第三产业增加值除以（1）的结论可得答案； （3）根据图1数据解答即可． 【小问1详解】 解：图中2023年第三产业增加值占国内生产总值的比重是：， 补全图1如下：（，） 故答案为：54.6； 【小问2详解】 （万亿元）， 答：2023年国内生产总值大约是126万亿元； 【小问3详解】 由图1可知，我国国内生产总值中第一产业增加值趋于稳定，第二产业增加值逐渐下降，第三产业增加值逐渐增加．（答案不唯一）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合； （1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可； （2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解； （3）根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：在一次函数的图象上， ， 解得， 点的坐标为， ， 反比例函数的对应的函数关系为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，根据对称性， 点的坐标为， ； 【小问3详解】 解：由图象可得， 当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上面 ∴当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或． 25. 如图，在中，点E是的中点，连接，、的延长线相交于点F，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明可得，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形； （2）利用三角形外角的性质和角的倍数关系求得，然后求得，从而可得平行四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：在中，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形； ∴， 又由（1）可得，四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴，即四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 26. 我国快递市场规模巨大，快递业务量连续多年排名世界首位．某快递站点为提高配送效率，引进了无人配送车，在快递配送高峰期，快递员小李原来平均每天能配送100件快递，在无人配送车配合下，小李每小时的配送量达到了原来的倍，每天的工作时间比原来减少了2个小时，每天的快递配送量比原来提高了．求小李现在每天需要工作几小时． 【答案】小李现在每天需要工作8小时 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设小李现在每天需要工作x小时，原来每天工作小时，根据在无人配送车配合下，小李每小时的配送量达到了原来的倍，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设小李现在每天需要工作x小时，原来每天工作小时， 根据题意得： 解得． 经检验，是原方程的解． 答：小李现在每天需要工作8小时． 27. 如如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． （1）若，求的值： （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 解：作，垂足为， ，， ． 在中，，， ， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 【小问2详解】 解：如图， 设点的坐标为， ，， ， 由（1）知，， ，两点的坐标分别为：，． 点，都在反比例函数的图象上， ， ， 点的坐标为：， ． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象的性质，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键． 28. 如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若A（m，n）满足．点M是线段上一点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P． （1）当点P与点O重合时，在图2中用直尺和圆规作出点M（不写作法，保留作图痕迹）），并求点M的坐标； （2）当时，如图3，求点P的坐标； （3）如图4，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1）图见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于点M，由非负数的性质求出，由勾股定理得，设，在中利用勾股定理求出x即可； （2）由折叠得，，可证，由余角的性质证明得， 然后证明四边形是平行四边形即可求解； （3）取的中点，连接，．当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解． 【小问1详解】 如图，点M即为所求， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，． 由折叠得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，连接． 由折叠得，， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， ； 【小问3详解】 取的中点，连接，． ，点是的中点，． ， ， ， 由中点坐标公式可知：点的坐标为， ， ， 当点、、三点共线时，的长度最大， 则的最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性，矩形的性质，等角对等边，直角三角形斜边的中线，勾股定理，平行四边形的判定与性质、轴对称的性质，坐标与图形等知识，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $