专题01 锐角的三角函数重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

专题01 锐角的三角函数重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 正弦、余弦与正切的概念辨析 题型二 求角的正弦值 题型三 已知正弦值求边长 题型四 求角的余弦值 题型五 已知余弦值求边长 题型六 求角的正切值 题型七 已知正切值求边长 知识点1：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 知识点2：正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 【经典例题一 正弦、余弦与正切的概念辨析】 【例1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（2023·浙江杭州·一模）在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　） A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）当时，．在中，是斜边上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是 ． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【经典例题二 求角的正弦值】 【例2】（23-24九年级下·全国·单元测试）在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的正弦值（　　）    A．扩大2倍 B．缩小 C．扩大4倍 D．不变 1．（22-23九年级下·江苏泰州·期中）如图，点在正方形网格的格点上，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·一模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若的顶点都在格点上，则的值为 ．    3．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，为边上一点，且，若与的面积比为∶．    (1)求证：； (2)当时，求． 【经典例题三 已知正弦值求边长】 【例3】（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，点C在射线上．若，则点C到的距离等于（　　） A．3 B． C． D．6 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图是一段索道的示意图．若米，，则缆车从A点到B点上升的高度BC的长为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 2．（23-24九年级上·上海金山·期末）如果是直角三角形的一个锐角，，那么 ． 3．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点D、E分别在△ABC中的边BA、CA的延长线上，且DEBC． (1)如果AD＝3，BD＝9，DE＝4，求BC的长； (2)如果，AD＝4，sinB，过点D作BF⊥BC，垂足为点F，求DF的长． 【经典例题四 求角的余弦值】 【例4】（2024·广东汕头·模拟预测）中，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则 ． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【经典例题五 已知余弦值求边长】 【例5】（2023·上海长宁·一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosB=，BC=a，那么AC的长是( ) A． B．3a C． D． 1．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）已知在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为 ． 3．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 【经典例题六 求角的正切值】 【例6】（23-24九年级上·上海静安·期末）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（2023·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知点，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值是（    ） A． B． C． D．3 2．（2024·上海奉贤·二模）如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么 ． 3．（22-23九年级·上海·假期作业）在中，，，求、、和． 【经典例题七 已知正切值求边长】 【例7】（2023·上海徐汇·一模）在中，，如果，，那么等于（    ） A． B． C． D． 1．（2023·吉林长春·二模）如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（    ） A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 2．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图已知在中，，正方形的顶点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长为 ．    3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知分别是 与 轴，轴的交点． (1)在线段 上， ，求的坐标； (2)在第一问的条件下，求 的值； (3)若 在直线 上，，求的坐标． 1．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）在△ABC中，，若，则（      ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(   ) A．1 B．2 C．6 D．8 3．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 5．（2023·安徽蚌埠·二模）如图①，在中，，点，分别从点，A出发，以每秒个单位长度的速度向A，移动，当点到达点A时，点也停止移动，的面积随时间的变化情况如图②所示，则的长为（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24九年级·全国·单元测试）若坡面与水平面的夹角为，则坡度与坡角之间的关系是 . 7．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知等腰三角形两边长分别为和，则底角的余弦值为 8．（2024九年级·全国·竞赛）已知为直角三角形，且，则 ． 9．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，点D是延长线上的一点，且，连接，则的值为 ． 10．（2023·山东·中考真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．    11．（22-23九年级上·全国·单元测试）在中，，，，求和的值． 12．（2024九年级下·江苏·专题练习）在中，，求和． 13．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，于，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 14．（22-23九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，于点D，若，，．    求： (1)的长； (2)的值． 15．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长． (2)若点D在边上，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 锐角的三角函数重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 正弦、余弦与正切的概念辨析 题型二 求角的正弦值 题型三 已知正弦值求边长 题型四 求角的余弦值 题型五 已知余弦值求边长 题型六 求角的正切值 题型七 已知正切值求边长 知识点1：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 知识点2：正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 【经典例题一 正弦、余弦与正切的概念辨析】 【例1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是根据锐角的三角函数的定义分别表示出、、，从而逐一判断即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确、④错误； ∵， ∴，故③正确， ∴正确的有个． 故选：B．    1．（2023·浙江杭州·一模）在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　） A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 【答案】D 【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可． 【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a， 则cosA＝＝，故A错误； sinB＝＝，故B错误； tanA＝，故C错误； tanB＝＝，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键． 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）当时，．在中，是斜边上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是 ． 【答案】，，， 【分析】根据题意作出相应图形，然后利用正弦和余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，，． 【点睛】题目主要考查正弦函数和余弦函数的定义，理解三角函数的基本定义是解题关键． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【详解】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【经典例题二 求角的正弦值】 【例2】（23-24九年级下·全国·单元测试）在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的正弦值（　　）    A．扩大2倍 B．缩小 C．扩大4倍 D．不变 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵中，，将各边长度都扩大为原来的2倍，其比值不变， ∴的正弦值不变． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角函数的表示以及求值，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 1．（22-23九年级下·江苏泰州·期中）如图，点在正方形网格的格点上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，取格点，连接交于，则，设，则，利用勾股定理求出，可得结论. 【详解】解：如图，取格点，连接交于，则A、C、D三点共线，且， 设，则， 在中，， ． 故选D． 【点睛】本题考查求角的正弦值、勾股定理与网格问题，根据网格构造直角三角形是解题的关键． 2．（2024·浙江杭州·一模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若的顶点都在格点上，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接格点、，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得到，，再根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：连接格点、． 由题图知： ， ，， ． ，， ． 是直角三角形． ． ． 在中，． 故答案为：．    3．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，为边上一点，且，若与的面积比为∶．    (1)求证：； (2)当时，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知得出，，进而可得，根据两组对应边成比例，夹角相等，证明； （2）根据相似三角形的性质得出，过点作于点，进而勾股定理求得，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，且与的面积比为． ∴， ∴， ∴在与中，，． ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵，，． ∴． ∴， 如图所示，过点作于点，    ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，熟练掌握相似三角形的性质与判定，求正弦是解题的关键． 【经典例题三 已知正弦值求边长】 【例3】（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，点C在射线上．若，则点C到的距离等于（　　） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义，即可得答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为， 在中，， ∴, ∴， 即点C到的距离为3， 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是能根据锐角三角函数求得线段的长度． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图是一段索道的示意图．若米，，则缆车从A点到B点上升的高度BC的长为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】在中，，斜边AB是已知边，是已知角，而要求的是的对边BC的长，所以选择的正弦，即可求出结果． 【详解】解：如图，在中，，， ∴， ∴， ∵米， ∴米． 故选：A． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角三角函数模型． 2．（23-24九年级上·上海金山·期末）如果是直角三角形的一个锐角，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正弦和正切的知识，熟练掌握正弦和正切的定义是解题关键．由题意可知，，可设，则，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如下图， 由题意可知，， 设，则， ∴． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点D、E分别在△ABC中的边BA、CA的延长线上，且DEBC． (1)如果AD＝3，BD＝9，DE＝4，求BC的长； (2)如果，AD＝4，sinB，过点D作BF⊥BC，垂足为点F，求DF的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据DEBC可得，进而可得，代入数值进行计算即可求解； （2）由（1）可得，求得，在中，根据sinB，即可求得的长． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ （2）∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，垂足为点， ∴， 在中，， 即， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，已知正弦求边长，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【经典例题四 求角的余弦值】 【例4】（2024·广东汕头·模拟预测）中，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握余弦定义和勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理计算出，然后利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：，，， ， ． 故选：D． 1．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个角的余弦值，正确作出辅助线是解题的关键，过点C作于点D，根据勾股定理列式计算，得，解得再根据代入数值计算化简，即可作答． 【详解】解：过点C作于点D， 设 则， 由， 得， 解得 舍去， 所以． 故选：D 2．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 【详解】解：当在之间时，作下图， 根据，不妨设， 由翻折的性质知：， 沿直线翻折至所在直线， ， 。 ， 过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图， 根据，不妨设， 同理知：， 过作的垂线交于， ， ， 故答案为：或． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查正弦函数及余弦函数，熟练掌握二者的定义是解题关键． （1）根据勾股定理得出，再由正弦函数求解即可； （2）根据同角的余角得出，再求余弦值即可； （3）根据正弦函数求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴， ∴； （2）解：∵于，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 【经典例题五 已知余弦值求边长】 【例5】（2023·上海长宁·一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosB=，BC=a，那么AC的长是( ) A． B．3a C． D． 【答案】A 【分析】依据cosB＝，BC＝a，即可得到AB＝3a，再根据勾股定理，即可得到AC的长． 【详解】如图， ∵cosB＝，BC＝a， ∴AB＝3a， ∵∠C＝90°， ∴Rt△ABC中，AC＝， 故选A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理．在直角三角形中，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 1．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）已知在中，，，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，结合图形根据余弦函数的定义求解可得，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键． 【详解】如图， ∵，即， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，由折叠得，过点A作于点H，过点作于点G，得由菱形的性质得，可得，设则由勾股定理得由折叠得而，在中由勾股定理得，解方程求出的值即可解决问题 【详解】解：过点A作于点H，过点作于点G，点D与点F重合，如图， 由折叠得， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∴ 设则， 由折叠得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得，， ∴ 故答案为： 3．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意设，则，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可； （2）作于，求得，利用余弦函数求得，再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，则， ∵，即， 解得， ∴； （2）解：作于，    由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【经典例题六 求角的正切值】 【例6】（23-24九年级上·上海静安·期末）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．将图像画出，设点是直线上的点，设点，过点作轴于点，则，即可求解． 【详解】解：设点是直线上的点，设点，过点作轴于点，则， ； ； ； ． 故选C． 1．（2023·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知点，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】如图，过P作PA⊥x轴于A，根据，得到OA=1，PA=3，由∠POA=，利用角的正切值等于对边比邻边求出答案． 【详解】如图，过P作PA⊥x轴于A， ∵， ∴OA=1，PA=3， 在Rt△OPA中，∠POA=, ∴tan=tan∠POA==3， 故选：D． ． 【点睛】此题考查直角坐标系中点到坐标轴的距离，锐角三角函数值的计算，正确掌握正切值计算公式是解题的关键． 2．（2024·上海奉贤·二模）如图，正方形的边长为，点在延长线上，连接，如果与相似，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，设，利用相似三角形的性质可得，即，求出，得到，再根据正切的定义计算即可求解，利用相似三角形的性质求得是解题的关键． 【详解】解：设，则 ∵，与相似， ∴， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（22-23九年级·上海·假期作业）在中，，，求、、和． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义直接计算即可． 【详解】∵，， ∴． 【点睛】考查锐角的三角函数的定义即，熟练掌握定义是解题的关键． 【经典例题七 已知正切值求边长】 【例7】（2023·上海徐汇·一模）在中，，如果，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图： 在中，，，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 1．（2023·吉林长春·二模）如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（    ） A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 【答案】D 【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数求出BC，然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从而求出地毯的面积． 【详解】解：在Rt△ABC中，AC=6，∠BAC=θ， ∴tanθ=， ∴BC=ACtanθ=6tanθ（米）， ∴在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=（6+6tanθ）米， ∴地毯的面积=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． 2．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图已知在中，，正方形的顶点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长为 ．    【答案】 【分析】由正方形，设，由，可得，则，即，，解得，，，根据，代值计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得，，， ∵， ∴，解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，余切，一元一次方程的应用．解题的关键在于正确表示余切，确定线段之间的数量关系． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知分别是 与 轴，轴的交点． (1)在线段 上， ，求的坐标； (2)在第一问的条件下，求 的值； (3)若 在直线 上，，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合；熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线分线段成比例定理，正切函数的定义是关键． （1）过点C作轴于H，根据平行线分线段成比例定理可得出的长，即可得C的坐标； （2）连接，过点O作，在中，根据正切函数的定义即可求解； （3）设，进而求出，求出x的值即可得D的坐标． 【详解】（1）解：过点C作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵B，A分别是与x轴，y轴的交点． 当时，；当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点O作 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中，； （3）解：如图，过点D作轴于E， 设， ∴， 解得或6． ∴或， 综上所述：D的坐标为或． 1．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）在△ABC中，，若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义，知，设BC=x，AC=2x，根据勾股定理可求得AB，再根据三角函数的定义就可以求出的值． 【详解】解：在△ABC中，， ∵， ∴设BC=x，AC=2x， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，一个锐角的正弦值为对边比斜边，余弦值为邻边比斜边，正切值为对边比邻边． 2．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(   ) A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】C 【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可． 【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E    ∴，， ∴，， ∵是锐角三角形， ∴，即， ∴满足条件的长可以是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围． 3．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过B作于点D，根据勾股定理得出的值，再利用面积公式求出的值，由可得角的正弦值． 【详解】解：如图，过B作于点D 根据勾股定理得： ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理与网格,三角形的面积等知识点，解题的关键在于构造直角三角形． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案． 本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键． 【详解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A符合题意； B、的值越小，梯子越陡，故B不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，故C不符合题意； D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意． 故选：A． 5．（2023·安徽蚌埠·二模）如图①，在中，，点，分别从点，A出发，以每秒个单位长度的速度向A，移动，当点到达点A时，点也停止移动，的面积随时间的变化情况如图②所示，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点N作于点F，得出，，根据三角函数得出，求出，把代入得，得出，即可求出的长． 【详解】解：过点N作于点F，如图所示：    则， ∵点，分别从点，A出发，以每秒个单位长度的速度向A，移动， ∴，， ∵， ∴， ∴， 把代入得， 解得：或（舍去）， ∴点M从C运动到A所用的时间为2秒， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形面积的计算，已知函数值求自变量，解题的关键是数形结合，根据函数图象求出点M从C运动到A所用的时间为2秒． 6．（23-24九年级·全国·单元测试）若坡面与水平面的夹角为，则坡度与坡角之间的关系是 . 【答案】 【分析】坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα． 【详解】解：如图所示：i＝tanα． 故答案是： 【点睛】本题考查了坡度与坡角的关系,属于简单题,熟悉正切三角函数的定义是解题关键. 7．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知等腰三角形两边长分别为和，则底角的余弦值为 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形边的讨论是解题的关键 分两种情况：当时，当，时，根据等腰三角形的性质及余弦函数的定义求解即可 【详解】解：如图，在中，，过A作于D， 当时， 则， 在中，； 当，时，则， 在中，； 故答案为：或 8．（2024九年级·全国·竞赛）已知为直角三角形，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．熟练掌握勾股定理，正弦定义解直角三角形，是解决问题的关键． 根据勾股定理求出的长，再根据正弦定义计算，即得． 【详解】∵为直角三角形，且， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，点D是延长线上的一点，且，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】在当中，先根据勾股定理得，由得，在当中，根据三角函数的定义求解即可． 本题主要考查了三角函数的计算，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】在中，，，， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（2023·山东·中考真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．    【答案】 【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果． 【详解】解：过点A作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键． 11．（22-23九年级上·全国·单元测试）在中，，，，求和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了勾股定理、锐角三角函数的概念等知识点，熟练掌握余弦函数的定义是解题关键． 先由勾股定理求出， 再利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴，． 12．（2024九年级下·江苏·专题练习）在中，，求和． 【答案】． 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数的概念等知识点，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边，先由勾股定理求出，再利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴，． 13．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，于，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角函数的概念可知，，根据即可得结论； （2）由的余弦值和（1）的结论即可求得，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ， ； （2）解：，， ， ， ，， ， ， 的面积=． 【点睛】本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算，熟练掌握三角函数的概念是解题关键． 14．（22-23九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，于点D，若，，．    求： (1)的长； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正切的定义得到，由此即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而求出，再根据正弦的定义求出即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴； （2）解：由（2）得， ∴， ∴， 在中，，即． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知正弦和正切的定义是解题的关键． 15．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长． (2)若点D在边上，且，求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了正弦，正切，勾股定理．熟练掌握，是解题的关键． （1）如图1，过A作于E．在中，由，解得，由勾股定理得，．在中，由，解得，根据，计算求解即可． （2）如图2，过D作于H．由题意知，，，在中，由，设，则，由勾股定理得，，由，解得，则，，由（1）知，，则，在中，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过A作于E．    在中， ∵，，解得， 由勾股定理得，． 在中， ∵，解得， ∴． （2）解：如图2，过D作于H．    ∵，， ∴，， 在中，， 设，则， 由勾股定理得，， 又∵， 解得， ∴，， 由（1）知，， ∴， 在中，， ∴的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$