小升初典型奥数：盈亏问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

盈亏问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完．如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏．凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题． 解盈亏问题的公式 一盈一亏的解法：（盈数+亏数）÷两次每人分配数的差 双盈的解法：（大盈﹣小盈）÷两次每人分配数的差 双亏的解法：（大亏﹣小亏）÷两次每人分配数的差． 第二部分 典型例题 例题1：把一些袋装的牛奶装入箱子中。装2箱还余下19袋，装4箱还差5袋，你知道每箱装多少袋牛奶吗？（每箱装的袋数同样多） 【答案】12袋。 【分析】根据盈亏问题公式“盈亏总额（总差额）÷每人两次分配数的差＝人数”解答即可。 【解答】解：（19+5）÷（4﹣2） ＝24÷2 ＝12（袋） 答：每箱装12袋牛奶。 【点评】把一定数量的物品平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有剩余（简称“盈”），每人多分，则物品不足（简称“亏”），凡是研究这一类算法的问题一般叫做盈亏问题。盈亏问题的解题关键是确定盈亏总和（也称总差额）与两次分配人数的差。其基本公式是：盈亏总额（总差额）÷每人两次分配数的差＝人数；盈亏问题的几种情形：（1）一盈一亏：盈亏总额＝盈数+亏数 （2）两盈：盈亏总额＝大盈数﹣小盈数（3）两亏：盈亏总额＝大亏数﹣小亏数 （4）一不盈不亏，另一盈或亏：盈亏总额＝盈数或亏数。 例题2：体育队李教练带了一些钱去给运动员们买毛巾．若买30条，则剩120元；若买35条，则剩20元．李教练一共带了多少钱？ 【答案】720元． 【分析】如果买30条，还剩120元；买35条，还剩20元，即大盈120元，小盈20元，两次所购条数的差为35﹣30＝15条，根据盈亏问题公式可知，每条的价格是（120﹣20）÷（35﹣30）＝20元，则老师一共带了30×20+120元，或35×20+20元． 【解答】解：（120﹣20）÷（35﹣30） ＝100÷5 ＝20（元） 20×30+120 ＝600+120 ＝720（元） 答：一共带了720元钱． 【点评】本题为两次有余的盈亏问题．根据（大盈﹣小盈）÷两次分配的差＝分配的对象数求出每套的价格是完成本题的关键． 例题3：一小和二小有同样多的同学参加某项比赛．学校用汽车把学生运往赛场．一小用的汽车每车坐15人，二小用的汽车每车坐13人，结果是二小比一小多派1辆车．后来每校各增加一人参加比赛，这样两校需要的汽车就一样多了．最后学校又决定每校增加一人参加比赛，二小又比一小多派1辆车．问两校共有多少人参加比赛？ 【答案】见试题解答内容 【分析】原来二小比一小多一辆车，各增加一人后，两校所需车一样多．由此可见，一小增一人就要增加一辆车，所以原来汽车恰好全部坐满，即原来一小人数是15的倍数．后来又增加1人，这时二小又要多派一辆车，所以在第二次增加人数之前，二小的车也恰好坐满．即人数是13的倍数．因此，原来每校参加的人数都是15的倍数．而加1之后，是13的倍数．即求15的某个倍数恰等于13的倍数减1．因为15×6＝90，13×7＝91，所以，两校各有92人参加竞赛．从而可知，两校共有184人参加竞赛． 【解答】解：由于：6×15+1＝7×13， 所以每校原来参加人数为：6×15＝90（人）， 两校共有：90×2+4＝184（人）． 答：最后两校共有184人参加竞赛． 【点评】解决此题的关键是：求出原来每校的参加人数． 例题4：汽车从A地到B地，若每小时行驶40千米，就要晚到半小时；若每小时行驶45千米，就可以早到半小时。那么，AB两地的距离是多少千米？ 【答案】360千米。 【分析】设规定到达的时间为x小时，分别表示出A、B两地的距离，列方程得出答案即可。 【解答】解：设规定到达的时间为x小时，由题意得 40（x）＝45（x） x＝8.5 40（x）＝360（千米） 答：A、B两地的距离是360千米。 【点评】此题考查方程的实际运用，理解题意，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键。 第三部分 高频真题 1．少先队员去植树，如果有3人每人各挖4个树抗，其余的每人各挖3个树坑，则还有11树坑没人挖；如果有1人挖3个树坑，其余的每人各挖5个树坑，则正好挖完。问：少先队员一共要挖多少个树坑？ 2．将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多8颗，如果每人3颗，那么少12颗，这个班共有多少名小朋友？ 3．一本书售价5元，小明身上带的钱买4本还差1元，小华身上带的钱买3本还多2元，小丽身上带的钱刚好能买6本，三个小朋友一共带了多少钱？ 4．把一袋糖分给小朋友们，如果每人分4粒，则多了12粒；如果每人分6粒，则多了2粒，有几个小朋友？有多少粒糖？ 5．小华到文具店买同一种价钱的铅笔，他想买6支，发现带去的钱还差1元，于是他买了5支，结果还多了1元。一支铅笔多少元？ 6．为更好落实“足球进校园”行动，钱塘实验小学准备新增一批足球。李老师去体育用品专卖店选中了一款足球，购买时发现：如果购买20个足球，还差了300元；如果购买15个足球，还剩下225元。 （1）购买该款足球，每个需要多少元？ （2）李老师去体育用品专卖店时，一共带了多少钱？ 7．从家里骑摩托车到火车站乘火车，如果每小时行30千米，那么早到15分钟；如果每小时行20千米，则迟到5分钟。那么想要早到5分钟，摩托车的速度应是多少？ 8．有一批苹果，每24个装一箱，最后一箱少5个，每30个装一箱，最后一箱少11个，每25个装一箱，最后还多出19个．这批苹果至少有多少个？ 9．妈妈买回一箱脐橙，按计划天数，若每天吃4个，则多出48个；若每天吃6个，则又少8个．这箱脐橙一共有多少个？计划吃多少天？ 10．妈妈带了一些钱去买肉．如果买4千克牛肉，还剩20元；如果买7千克猪肉，还差10元．已知牛肉比猪肉每千克贵15元，妈妈带了多少钱？ 11．猴子们分桃子，如果每只猴子分3个，就剩余12个桃子，如果每只猴子分5个，又缺4个桃子。问有多少只猴子？多少个桃子？ （各注：“盈不足”问题源于中国古代数学经典《九章算术》） 12．小红从家去学校，如果每分钟走80米，能提前6分钟到校，如果每分钟走50米，就会迟到3分钟，小红家离校多少米？ 13．六年级（1）班学生去野外郊游，无意中发现了一口枯井，外号“神童”的小明想了个办法测出井深，他的方法是：用绳子测量井深，将一根绳子先折成三折来量，量出井外，还余1米，将一根绳子先折成四折来量，量出井外还余米，请你算算看，这口枯井深为多少米？ 14．暑假时一批中学生参加夏令营，途经某旅店住宿．如果每间客房安排住7人，就会有7人没有地方住；如果每间客房安排住9人，就会空出一间房．求旅店的客房数和学生数． 15．一年一班举行联欢会，买了18个气球。如果给男生每人发1个，就多出1个气球。如果给女生每人发1个，还少2个气球。一年一班男生有多少人，女生有多少人？ 16．学校组织部分学生夏令营，如果每个房间住4人，那么有20人没有地方住，如果每个房间住8人，那么有一间只有4人住。共有多少名学生？ 17．快乐幼儿园大班和小班的小朋友共43人。如果大班每人给7块糖，小班每人给5块糖，就多余15块糖，如果大班每人给10块糖，小班每人给7块糖，就有13位小班的小朋友分不到糖。问小班有多少位小朋友？ 18．把一批苹果平均分给6人，每人分到3个，如果把这批苹果平均分给9人，每人分到多少个？ 19．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，请问合伙人数是多少，羊价是多少？ 20．一个学生从家到学校，如果以每分钟50米的速度行走，就要迟到3分钟；如果以每分钟70米的速度行走，就可以提前5分钟到校，他家与学校相距多少米？ 21．在一次古诗词竞赛中一共有5道题，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分。马瑞参加了这次竞赛，他有可能得多少分？ 22．盒子里有一些棋子，若每次取11粒，则还剩下10粒，若每次取9粒，取的次数与第一次相同，则剩下28粒．盒子里原来有多少粒棋子？ 23．小红用自己的零用钱到文具店买练习本，如果买4本就余2.8元，买6本就差1.4元，每本练习本多少钱？ 24．巧克力每盒9块，软糖每盒11块，要把这两种糖分发给一些小朋友，每种糖每人一块，由于又来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，现在又来了一位小朋友，巧克力还要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？ 25．小红替数学小组的同学去买《趣味数学》一书，她到书店一问价格，发现自己带的钱如果买5本，就剩5元，如果买6本，就缺1元。问《趣味数学》每本多少钱？ 26．学校有一批图书分给五年级，如果每个班分15本，正好分完；如果每个班分18本，那么就有一个班没有分到，学校五年级有几个班级？这批图书共有多少本？ 27．体育老师给每个班级分发毽子，如果平均分给每个班级20个，那么还剩40个；如果平均分给每个班级22个，那么正好分完。共有多少个班级？多少个毽子？ 28．孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课．后来算了下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来仅步行早9分钟，求孙亮跑步时的速度是多少？ 29．小明家与学校相距6千米，每天小明都以一定的速度骑自行车去学校，恰好在上课前5分钟赶到．这天，小明比平时晚出发了10分钟，于是他提速骑车，结果在上课前1分钟赶到学校．已知小明提速后的速度是平时的1.5倍．小明平时骑车的速度是每小时多少千米？ 30．四年级同学要去参加为期5天的研学实践活动，学校安排房间时发现如果每间住8人，那么有6人没有房间住；如果每间多住2人，那么有6间空出来，四年级一共有多少人？ 31．学校组织同学们春游，若租用若干辆45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。这个学校参加春游的学生一共有多少人？ 32．甲乙两个牧童相遇后，甲说：“你给我一只羊，那我的羊就是你的羊的2倍。”乙说：“最好是你给我一只羊，那样的话，我的羊和你的羊就一样多了。”他们各有多少只羊？ 33．王阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分5个，多6个；如果每人分7个，那么就差8个。有多少个小朋友？有多少个苹果？ 34．一个小组的同学凑钱买一件纪念品，如果每人出8元，就多6元；如果每人出7元，就少2元，这个小组有多少人？ 35．分配房间：3人1间，还有17人没房间；5人1间，还有13个床位空余。一共有多少人？预订了多少间房？ 36．植树造林，功在当代，利在千秋。2024年3月12日上午，春蕾小学校选派一些青年教师去植树。如果每人栽6棵，还剩13棵树苗；如果每人栽8棵，就缺3棵树苗。春蕾小学选派了多少人？一共有多少棵树苗？ 37．小明到商店买饮料，他带的钱买3瓶多1元，买5瓶又差5元，每瓶饮料多少钱？小明共带了多少钱？ 38．某班学生要栽一批树苗．若每个人分配k棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵．那么k是多少棵树苗？ 39．老师把若干练习本分给几个学生，若每个学生分得3本，则多余8本，若每个学生分得5本，则最后一个学生分得的本子不足5本，问一共有多少个学生？ 40．小明步行上学，如果每分钟步行80米，就会迟到3分钟，如果每分钟步行100米，就会提前3分钟到校．小明家到学校有多少米？ 41．小东从家出发去学校，如果每分走70米，能在上课前5分到校；如果每分走45米，就要迟到5分。那么小东家到学校的路程是多少米？ 42．谭老师将一叠练习本奖给奥数班获得“优秀学员”的同学，如果每人奖3本，还多7本；如果每人奖5本，则少9本．问一共有几名同学获奖？这叠练习本有多少本？ 43．小李现有一笔存款，他把每月支出后剩余的钱都存入银行．已知小李每月的收入相同，如果他每月支出1000元，则一年半后小李有存款8000元（不计利息）；如果他每月支出800元，则两年后他有存款14000元（不讲利息），小李每月的收入是多少元？他现在存款有多少元？ 44．老师给参加数学竞赛获奖的同学发奖品，若每人发6支笔，则就多出22支；若每人发8支则正好分完，问获奖的同学有多人？有多少支笔？ 45．少先队员植树，如果每人种5棵，则剩下13棵；若每人种7棵，则差21棵。参加植树的少先队员有多少人？这批树有多少棵？ 46．学校买来一批新华字典分给各班学习。如果其中两个班每班分到4本，其余班级每班分2本，则多4本；如果有一个班分6本，其余班级每班分4本，则不足12本，这个学校买来的新华字典共有多少本？ 47．把一筐苹果分给小朋友，如果每人分6个则多了10个苹果，如果每人分8个则少了12个苹果。问有多少个小朋友？ 48．用一条绳子去量井深，把绳子对折来量．井外余6米；把绳四折来量，井外余1米．问：绳子有多长？井有多深？ 49．妈妈给小平买玩具，买4个变形金刚还差3元，买4个玩具车还多1元，已知每个玩具车8元，那么妈妈带了多少元？每个变形金刚多少元？ 50．图书馆新到了一批图书，要平均放在几个新书架上，如果每个书架放40本，就剩下15本；如果每个书架放45本，就全部放完，一共有几个新书架？这批新到的图书共有几本？ 51．一筐苹果分给一个小组，每人5个剩16个；每人7个缺12个。这个小组有多少人？共有多少苹果？ 52．小华从家到学校，先以每分钟走90米的速度走了2分钟，她估算了一下，以这个速度到学校将迟到3分钟，于是在接下来的路程中，她每分钟走120米，结果提早了3分钟到校。小华家到学校的距离是多少米？ 53．一篮苹果平均分给小朋友，如果每人分4个，那么正好分完；如果每人分2个，那么还剩下8个。一共有几个小朋友？一共有多少个苹果？ 54．学校分配宿舍，如果每个房间住3人，则多出20人；如果每个房间住5人，则刚好住满。这次分配的房间有多少个？学生有多少人？ 参考答案与试题解析 1．少先队员去植树，如果有3人每人各挖4个树抗，其余的每人各挖3个树坑，则还有11树坑没人挖；如果有1人挖3个树坑，其余的每人各挖5个树坑，则正好挖完。问：少先队员一共要挖多少个树坑？ 【答案】38个。 【分析】根据题意，可以找出数量间的相等关系式为：3人每人各挖4个树抗+每人各挖3个树坑×人数+11＝3个树坑+每人各挖5个树坑×剩下的人数，设共有少先队员x人，列方程解答即可。 【解答】解：3×4+3×（x﹣3）+11＝3+5×（x﹣1） 12+3x﹣9+11＝3+5x﹣5 2x＝16 x＝8 3×4+3×（8﹣3）+11 ＝12+15+11 ＝38（个） 答：少先队员一共要挖38个树坑。 【点评】解决此题的关键是根据题意找出数量间的相等关系，再设未知数为x，进而列方程解答。 2．将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多8颗，如果每人3颗，那么少12颗，这个班共有多少名小朋友？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两种分配的总差额是8+12＝20颗，每份的差额是3﹣2＝1颗，那么小朋友的人数是20÷1＝20人，据此解答即可． 【解答】解：（8+12）÷（3﹣2） ＝20÷1 ＝20（名） 答：这个班共有20名小朋友． 【点评】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额÷每份的差额＝总份数． 3．一本书售价5元，小明身上带的钱买4本还差1元，小华身上带的钱买3本还多2元，小丽身上带的钱刚好能买6本，三个小朋友一共带了多少钱？ 【答案】66元。 【分析】分别算出三个小朋友各带了多少钱，再相加即可。 【解答】解：5×4﹣1 ＝20﹣1 ＝19（元） 5×3+2 ＝15+2 ＝17（元） 5×6＝30（元） 19+17+30＝66（元） 答：三个小朋友一共带了66元。 【点评】分别算出三个小朋友各带了多少钱，是解答此题的关键。 4．把一袋糖分给小朋友们，如果每人分4粒，则多了12粒；如果每人分6粒，则多了2粒，有几个小朋友？有多少粒糖？ 【答案】5，32。 【分析】双盈的解法：人数＝（大盈﹣小盈）÷两次每人分配数的差。代入公式，也就是（12﹣2）÷（6﹣4），计算即可。再根据每人分4粒，则多了12粒，求出糖的数量。 【解答】解：（12﹣2）÷（6﹣4） ＝10÷2 ＝5（人） 5×4+12＝32（粒） 答：有5个小朋友，有32粒糖。 【点评】此题主要考查了盈亏问题的解法，要熟练掌握公式。 5．小华到文具店买同一种价钱的铅笔，他想买6支，发现带去的钱还差1元，于是他买了5支，结果还多了1元。一支铅笔多少元？ 【答案】2元。 【分析】买6支比买5支多买了一支，而多花了2元，所以一支铅笔的价格就是2元。 【解答】解：（1+1）÷（6﹣5） ＝2÷1 ＝2（元） 答：一支铅笔2元。 【点评】本题属于盈亏问题，根据公式：（盈数+亏数）÷两次每人分配数的差进行求解。 6．为更好落实“足球进校园”行动，钱塘实验小学准备新增一批足球。李老师去体育用品专卖店选中了一款足球，购买时发现：如果购买20个足球，还差了300元；如果购买15个足球，还剩下225元。 （1）购买该款足球，每个需要多少元？ （2）李老师去体育用品专卖店时，一共带了多少钱？ 【答案】（1）105元；（2）1800元。 【分析】根据题意可知，（1）（20﹣15）个足球需要（300+225）元，用总价÷数量＝单价。即（300+225）÷（20﹣15）＝105（元），一个足球105元。（2）一共带的钱数＝20个足球的价格﹣300，列式计算，据此解答。 【解答】解：（1）（300+225）÷（20﹣15） ＝525÷5 ＝105（元） 答：购买该款足球，每个需要105元。 （2）105×20﹣300 ＝2100﹣300 ＝1800（元） 答：李老师去体育用品专卖店时，一共带了1800元。 【点评】本题考查了盈亏问题，解决本题的关键是 7．从家里骑摩托车到火车站乘火车，如果每小时行30千米，那么早到15分钟；如果每小时行20千米，则迟到5分钟。那么想要早到5分钟，摩托车的速度应是多少？ 【答案】24千米/小时。 【分析】此题如果先求出全程，再求出原定时间，那么摩托车的速度就好求了；求全程，把全程看作单位“1”，即可表示出总路程为（）÷（），接下来对其进行计算即可求出总路程；根据“每小时行30千米，那么早到15分钟”即可求出标准时间，即20÷30；如果打算提前5分钟到达，那么用全程除以所用时间即可求出摩托车的速度。 【解答】解：15分钟小时，5分钟小时 （）÷（） ＝20（千米） 20÷30 （小时） 20÷（） ＝20 ＝24（千米/小时） 答：摩托车的速度应是24千米/小时。 【点评】此题在求规定的时间时，运用了“路程差÷速度差＝时间”这一关系式。 8．有一批苹果，每24个装一箱，最后一箱少5个，每30个装一箱，最后一箱少11个，每25个装一箱，最后还多出19个．这批苹果至少有多少个？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知：每箱24个、或每箱30个或每箱25个都是剩19个；所以苹果总数减少19个后就是24、30、25的公倍数；又24、30、25的最小公倍数是600，所以这批苹果最少600+19＝619（个）． 【解答】解：每箱24个、或每箱30个或每箱25个都是剩19个； 所以苹果总数减少19个后就是24、30、25的公倍数； 又24、30、25的最小公倍数是600， 所以这批苹果最少 600+19＝619（个） 答：这批苹果至少有619个． 【点评】本题主要运用方程解决问题，也可根据余数相同，灵活应用最小公倍数的求解方法，然后减去余数，即可得解． 9．妈妈买回一箱脐橙，按计划天数，若每天吃4个，则多出48个；若每天吃6个，则又少8个．这箱脐橙一共有多少个？计划吃多少天？ 【答案】160个，28天． 【分析】由题意知，按计划天数，若每天吃4个，则多出48个；若每天吃6个，则又少8个，这样共相差48+8＝56（个），根据每天多吃6﹣4＝2（个），可以求出计划天数，即56÷2＝28（天），再用28乘4加48就是这箱脐橙共有的个数，即28×4+48＝160（个），据此做题． 【解答】解：（48+8）÷（6﹣4） ＝56÷2 ＝28（天） 28×4+48 ＝112+48 ＝160（个） 答：这箱脐橙一共有160个，计划吃56天． 故答案为：160个，28天． 【点评】做这题的关键是先根据盈亏问题中的数量关系：（盈+亏）÷两次吃的个数的差＝计划吃的天数，求出计划吃的天数，然后再求出这箱脐橙的个数． 10．妈妈带了一些钱去买肉．如果买4千克牛肉，还剩20元；如果买7千克猪肉，还差10元．已知牛肉比猪肉每千克贵15元，妈妈带了多少钱？ 【答案】见试题解答内容 【分析】如果把“买牛肉4千克”转化成“买猪肉4千克”，由于“每千克牛肉比猪肉贵15元”，那么由每千克就要贵15元，4千克牛肉变成4千克猪肉就要余出15×4＝60（元），这样，由原来“买牛肉4千克还剩20元”变为买猪肉4千克剩余：60+20＝80（元）；7千克猪肉还差10元，则3千克猪肉的价格为80+10＝90（元），每千克猪肉的价格为30（元），妈妈带了30×7﹣10＝200（元）． 【解答】解：买4千克猪肉要余出：15×4＝60（元）： 剩余：60+20＝80（元）； 每千克猪肉的价格为： （80+10）÷（7﹣4）＝30（元）； 妈妈共带了： 7×30﹣10＝200（元）； 答：妈妈带了200元钱． 【点评】妈妈前后两次所购买肉的品种是不同的，这就造成了本题的难点，解答这类型的题目，关键是利用转化的方法，把前后购买肉的品种由两种量变为一种量．达到了转化的目的，化复杂为简单． 11．猴子们分桃子，如果每只猴子分3个，就剩余12个桃子，如果每只猴子分5个，又缺4个桃子。问有多少只猴子？多少个桃子？ （各注：“盈不足”问题源于中国古代数学经典《九章算术》） 【答案】8只猴子，36个桃子。 【分析】根据盈亏问题公式“（盈+亏）÷两次分配差＝分配的份数”解答。 【解答】解：（12+4）÷（5﹣3） ＝16÷2 ＝8（只） 8×3+12 ＝24+12 ＝36（个） 答：有8只猴子，36个桃子。 【点评】把一定数量的物品平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有剩余（简称“盈”），每人多分，则物品不足（简称“亏”），凡是研究这一类算法的问题一般叫做盈亏问题。盈亏问题的解题关键是确定盈亏总和（也称总差额）与两次分配人数的差。其基本公式是：盈亏总额（总差额）÷每人两次分配数的差＝人数盈亏问题的几种情形：（1）一盈一亏：盈亏总额＝盈数+亏数 （2）两盈：盈亏总额＝大盈数﹣小盈数（3）两亏：盈亏总额＝大亏数﹣小亏数（4）一不盈不亏，另一盈或亏：盈亏总额＝盈数或亏数。 12．小红从家去学校，如果每分钟走80米，能提前6分钟到校，如果每分钟走50米，就会迟到3分钟，小红家离校多少米？ 【答案】1200米。 【分析】根据题意可知：每分钟走80米，能提前6分钟到校，也就是多走了80×6＝480（米）；每分钟走50米，就会迟到3分钟，也就是少走50×3＝150（米），路程相差480+150＝630（米），每分钟相差80﹣50＝30（米），根据盈亏问题公式“相差路程÷相差速度”＝预定时间，据此代入数值，求出预定时间，进而求出小红家到学校的距离，据此解答。 【解答】解：80×6＝480（米） 50×3＝150（米） 480+150＝630（米） 80﹣50＝30（米） 630÷30＝21（分） （21+3）×50 ＝24×50 ＝1200（米） 答：小红家离校1200米。 【点评】本题考查了盈亏问题，在根据“时间×速度”求出盈余与不足的路程的基础上，根据（盈+亏）÷两次分配的差＝参与分配的数量的基础上求出预定的时间是完成本题的关键。 13．六年级（1）班学生去野外郊游，无意中发现了一口枯井，外号“神童”的小明想了个办法测出井深，他的方法是：用绳子测量井深，将一根绳子先折成三折来量，量出井外，还余1米，将一根绳子先折成四折来量，量出井外还余米，请你算算看，这口枯井深为多少米？ 【答案】。 【分析】根据题意，设井深为x米，三折是将绳子平均分成3段，四折是将绳子平均分成4段，根据绳长不变可得出方程，据此解答。 【解答】解：设井深为x米，根据题意可列方程： 3（x+1）＝4（x） 3x+5＝4x x 答：井深为米。 【点评】本题考查了分数应用题的实际运用，解题的关键是读懂题目的要求，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系式，再求解。 14．暑假时一批中学生参加夏令营，途经某旅店住宿．如果每间客房安排住7人，就会有7人没有地方住；如果每间客房安排住9人，就会空出一间房．求旅店的客房数和学生数． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，利用盈亏问题公式：一盈一亏的解法：（盈数+亏数）÷两次每人分配数的差，先求客房数：（7+9）÷（9﹣7）＝8（间），再求总人数：8×7+7＝63（人）．据此解答． 【解答】解：（7+9）÷（9﹣7） ＝16÷2 ＝8（间） 7×8+7 ＝56+7 ＝63（人） 答：旅馆的客房数为8间，学生人数为63人． 【点评】本题主要考查盈亏问题，关键分清盈亏情况，利用公式做题． 15．一年一班举行联欢会，买了18个气球。如果给男生每人发1个，就多出1个气球。如果给女生每人发1个，还少2个气球。一年一班男生有多少人，女生有多少人？ 【答案】17人、20人。 【分析】由已知条件“如果给男生每人发1个，就多出1个气球”，可知男生有18﹣1＝17（个）；由已知条件“如果给女生每人发1个，还少2个气球”可知女生有18+2＝20（人），据此解答。 【解答】解：18﹣1＝17（人） 18+2＝20（人） 答：一年一班男生有17人，女生有20人。 【点评】此题考查学生分析问题的能力和灵活做题的能力。 16．学校组织部分学生夏令营，如果每个房间住4人，那么有20人没有地方住，如果每个房间住8人，那么有一间只有4人住。共有多少名学生？ 【答案】44名。 【分析】总差额是20+（8﹣4）＝24（人），每份的差额是8﹣4＝4（人），将这两个差相除，就可求出总间数，然后再求人数即可。 【解答】解：[20+（8﹣4）]÷（8﹣4） ＝24÷4 ＝6（间） 4×6+20 ＝24+20 ＝44（名） 答：共有44名学生。 【点评】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额÷每份的差额＝总份数。 17．快乐幼儿园大班和小班的小朋友共43人。如果大班每人给7块糖，小班每人给5块糖，就多余15块糖，如果大班每人给10块糖，小班每人给7块糖，就有13位小班的小朋友分不到糖。问小班有多少位小朋友？ 【答案】23位。 【分析】设小班有x位小朋友，则大班有（43﹣x）人，根据总糖的块数一定列方程解答即可。 【解答】解：设小班有x位小朋友，则大班有（43﹣x）人， 7×（43﹣x）+5x+15＝10×（43﹣x）+7（x﹣13） 301﹣7x+5x+15＝430﹣10x+7x﹣91 5x﹣7x+10x﹣7x＝430﹣91﹣301﹣15 x＝23 答：小班有23位小朋友。 【点评】本题主要考查了盈亏问题，关键是根据总糖的块数一定列方程。 18．把一批苹果平均分给6人，每人分到3个，如果把这批苹果平均分给9人，每人分到多少个？ 【答案】2个。 【分析】用每人分到的个数乘分给的人数，得出这批苹果的总个数，再除以9，即可得平均分给9人，每人分到多少个。 【解答】解：3×6÷9 ＝18÷9 ＝2（个） 答：每人分到2个。 【点评】本题关键是得出这批苹果的总个数。 19．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，请问合伙人数是多少，羊价是多少？ 【答案】21人，150钱。 【分析】设合伙人数为x人，由购买羊的总钱数不变，列出方程即可求解。 【解答】解：设合伙人数为x 5x+45＝7x+3 45﹣3＝7x﹣5x 42＝2x 42÷2＝2x÷2 x＝21 把x＝21代入5x+45得： 5×21+45 ＝105+45 ＝150（钱） 答：合伙人数是21人，羊价是150钱。 【点评】本题考查了找准等量关系，正确列出方程求解即可。 20．一个学生从家到学校，如果以每分钟50米的速度行走，就要迟到3分钟；如果以每分钟70米的速度行走，就可以提前5分钟到校，他家与学校相距多少米？ 【答案】1400米。 【分析】把这个学生出发时离上学时间叫做计划时间，以每分钟50米的速度行走计划时间，则还差（50×3 ）米到达学校；那么以每分钟70米的速度行走计划时间，则到达学校后继续行了70×5（米），以这两种不同的速度行走计划时间，行走的距离相差（50×3+70×5）（米）；这个学生出发时离上学时间还有（50×3+70×5）÷（70﹣50）分钟，即我们可求出他家到学校的距离为70×（25﹣5）米，此题即可解答。 【解答】解：根据分析列式计算可得： （5×70+3×50）÷（70﹣50） ＝（350+150）÷20 ＝500÷20 ＝25（分钟） 25×50+3×50 ＝1250+150 ＝1400（米） 答：他家与学校相距1400米。 【点评】本题主要考查了盈亏问题，关键是得出这个学生出发时离上学时间还有多长时间。 21．在一次古诗词竞赛中一共有5道题，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分。马瑞参加了这次竞赛，他有可能得多少分？ 【答案】他有可能得25分，19分，13分，7分，1分，﹣5分。 【分析】共分这样几种情况：1.全对；2.错一个；3.错两个；4.错三个；5.错四个；6.错五个。逐个算了得分。 【解答】解：1.全对，5×5＝25（分） 2.错一个，5×4﹣1＝19（分） 3.错两个，5×3﹣2＝13（分） 4.错三个，5×2﹣3＝7（分） 5.错四个，5×1﹣4＝1（分） 6.错五个，5×0﹣5＝﹣5（分） 答：他有可能得25分，19分，13分，7分，1分，﹣5分。 【点评】本题的关键是题目评分标准的特殊性，不答或答错一题扣1分，与我们平时考试的评分标准不同。 22．盒子里有一些棋子，若每次取11粒，则还剩下10粒，若每次取9粒，取的次数与第一次相同，则剩下28粒．盒子里原来有多少粒棋子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设取的次数为x次，根据等量关系：每次取的粒数×取的次数+剩下的粒数＝盒子里棋子的总粒数，列方程解答即可． 【解答】解：设取的次数为x次， 11x+10＝9x+28 2x＝18 x＝9， 11×9+10 ＝99+10 ＝109（粒）， 答：盒子里原来有109粒棋子． 【点评】本题考查了盈亏问题，关键是抓住盒子里棋子的总粒数不变列方程． 23．小红用自己的零用钱到文具店买练习本，如果买4本就余2.8元，买6本就差1.4元，每本练习本多少钱？ 【答案】见试题解答内容 【分析】小红所带的钱买4本就余2.8元，买6本就差1.4元，就是买6本比买4本要多花（2.8+1.4）元钱，根据总价÷数量＝单价解答即可． 【解答】解：（2.8+1.4）÷（6﹣4） ＝4.2÷2 ＝2.1（元） 答：每本练习本2.1元． 【点评】本题的关键是求出多买2本多花的钱数，进而求出每本练习本的价格． 24．巧克力每盒9块，软糖每盒11块，要把这两种糖分发给一些小朋友，每种糖每人一块，由于又来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，现在又来了一位小朋友，巧克力还要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？ 【答案】46个。 【分析】新来了一位小朋友，就要增加一盒软糖，说明在此之前，软糖应该是刚好分完几整盒，所以原来的小朋友人数是11的倍数．增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再来一盒了，说明原有的小朋友分几整盒巧克力糖之后还剩下一块，也就是说，原有的小朋友人数是9的倍数减1。符合这两个条件的最小的数是44，而且它刚好满足原有的巧克力比软糖多一盒的条件，所以原有44个小朋友，最后有46个小朋友。 【解答】解：新来了一位小朋友，就要增加一盒软糖，说明在此之前，软糖应该是刚好分完几整盒，所以原来的小朋友人数是11的倍数．增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再来一盒了，说明原有的小朋友分几整盒巧克力糖之后还剩下一块，也就是说，原有的小朋友人数是9的倍数减1。符合这两个条件的最小的数是44，而且它刚好满足原有的巧克力比软糖多一盒的条件，所以原有44个小朋友，最后有46个小朋友。 答：最后共有46个小朋友。 【点评】本题考查了盈亏问题的应用。 25．小红替数学小组的同学去买《趣味数学》一书，她到书店一问价格，发现自己带的钱如果买5本，就剩5元，如果买6本，就缺1元。问《趣味数学》每本多少钱？ 【答案】6元。 【分析】总差额是5+1＝6（元），每份的差额是6﹣5＝1（本），将这两个差相除，就可求出每本的钱数。 【解答】解：（5+1）÷（6﹣5） ＝6÷1 ＝6（元） 答：《趣味数学》每本6元。 【点评】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额÷每份的差额＝总份数。 26．学校有一批图书分给五年级，如果每个班分15本，正好分完；如果每个班分18本，那么就有一个班没有分到，学校五年级有几个班级？这批图书共有多少本？ 【答案】6个班；90本。 【分析】设五年级有x个班，根据这批图书的总本数不变，列出方程即可。 【解答】解：设五年级有x个班，则这批图书共有15x本。 15x＝18（x﹣1） 18x﹣18＝15x 18x﹣15x＝18 3x＝18 x＝6 15×6＝90（本） 答：有6个班，共有90本。 【点评】找出题目中的等量关系，是解答此题的关键。 27．体育老师给每个班级分发毽子，如果平均分给每个班级20个，那么还剩40个；如果平均分给每个班级22个，那么正好分完。共有多少个班级？多少个毽子？ 【答案】20个班级；440个毽子。 【分析】平均分给每个班级20个，那么还剩40个；如果平均分给每个班级22个，那么正好分完，说明每个班级多分2个，可以分完40个毽子，故40里面有多少个2，即是班级数量，求出班级数量，再用每个班级分22个乘班级数量，即可求出毽子数量，据此解答。 【解答】解：40÷（22﹣20） ＝40÷2 ＝20（个） 20×22＝440（个） 答：共有20个班级，440个毽子。 【点评】本题主要考查了盈亏问题的应用。 28．孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课．后来算了下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来仅步行早9分钟，求孙亮跑步时的速度是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到10﹣5＝5分钟； 发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，说明后段路程跑比走少用了10﹣5＝5分钟； 如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用9﹣（10﹣5）＝4分钟； 所以步行1千米所用时间为 1÷4＝0.25（小时）＝15（分钟） 跑步1千米所用时间为：15﹣4＝11（分钟），进而解决问题． 【解答】解：1÷[9﹣（10﹣5）]＝0.25（小时） 0.25小时＝15（分钟） 15﹣[9﹣（10﹣5）]＝11（分钟） 15（千米） 答：孙亮跑步时的速度是5千米/小时． 【点评】解答本题的关键是：先依据题目所给的条件求出跑步1千米所用的时间． 29．小明家与学校相距6千米，每天小明都以一定的速度骑自行车去学校，恰好在上课前5分钟赶到．这天，小明比平时晚出发了10分钟，于是他提速骑车，结果在上课前1分钟赶到学校．已知小明提速后的速度是平时的1.5倍．小明平时骑车的速度是每小时多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据恰好在上课前5分钟赶到．这天，小明比平时晚出发了10分钟，于是他提速骑车，结果在上课前1分钟赶到学校即比平时晚到5﹣1＝4（分钟），所以比平时少用10﹣4＝6分钟，即0.1小时，根据上述等量关系列方程求解即可． 【解答】10﹣（5﹣1） ＝10﹣4 ＝6（分钟） 6分钟＝0.1小时 设小明平时骑车速度为x，可得方程： 0.1． 0.1 1.5x＝0.1×1.5x 3＝0.15x 3÷0.15＝0.15x÷0.15 x＝20 答：平时小明平时骑车的速度是每小时20千米． 【点评】找到这次与平时花费时间之间的关系并据此列方程是解决本题的关键． 30．四年级同学要去参加为期5天的研学实践活动，学校安排房间时发现如果每间住8人，那么有6人没有房间住；如果每间多住2人，那么有6间空出来，四年级一共有多少人？ 【答案】270人。 【分析】设一共有x间房间，每间住8人是8x，再加上6人等于总人数，每间多住2人，现在住8加2等于10人，求出现在的房间数，x减去6，再用乘法计算求出总人数，据此分析。 【解答】解：设一共有x间房间； 8x+6＝（8+2）×（x﹣6） 8x+6＝10x﹣60 10x﹣8x＝66 2x＝66 x＝33 8×33+6 ＝264+6 ＝270（人） 答：五年级一共有270人。 【点评】本题考查的主要内容是盈亏的应用问题。 31．学校组织同学们春游，若租用若干辆45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。这个学校参加春游的学生一共有多少人？ 【答案】240。 【分析】根据题意可知，设租用45座客车x辆，则租用60座客车（x﹣1）辆，根据两种租车方法的总人数一定，列方程解答。 【解答】解：设租用45座客车x辆。 45x+15＝（x﹣1）×60 45x+15＝60x﹣60 15x＝75 x＝5 （5﹣1）×60 ＝4×60 ＝240（人） 答：这个学校参加春游的学生一共有240人。 【点评】关键是弄清题意，根据学生数找到最简单的等量关系，列方程解答。 32．甲乙两个牧童相遇后，甲说：“你给我一只羊，那我的羊就是你的羊的2倍。”乙说：“最好是你给我一只羊，那样的话，我的羊和你的羊就一样多了。”他们各有多少只羊？ 【答案】甲有7只羊，乙有5只羊。 【分析】由乙的话可知：甲﹣1＝乙+1，甲的只数比乙多2只；设甲有x只羊，乙就有（x﹣2）只羊；再由甲的话可知：（乙的只数﹣1）×2＝甲的只数+1，由此列出方程求解。 【解答】解：设甲有x只羊，乙就有（x﹣2）只羊 （x﹣2﹣1）×2＝x+1 （x﹣3）×2＝x+1 2x﹣6＝x+1 2x﹣6+6＝x+1+6 2x＝x+7 2x﹣x＝x+7﹣x x＝7 7﹣2＝5（只） 答：甲有7只羊，乙有5只羊。 【点评】本题是一个古代问题，解题的关键是理解两个牧童的话，从中找出两个等量关系，用其中一个的数量表示出另一个的数量，然后列出方程求解。 33．王阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分5个，多6个；如果每人分7个，那么就差8个。有多少个小朋友？有多少个苹果？ 【答案】7个，41个。 【分析】先比较两种分法中各个量之间的关系：每人分5个，余6个苹果．每人分7个，还差8个苹果；这两次分苹果，每人相差的个数为：7﹣5＝2（个）；第1次余6个，第2次少8个，那么第2次与第1次总共相差苹果的个数为：8+6＝14（个），每人相差2个，结果总数就相差14个；进而用除以计算出小朋友的人数；继而计算出苹果的个数。 【解答】解：有小朋友的人数为：（6+8）÷（7﹣5） ＝14÷2 ＝7（人） 有苹果的个数为：5×7+6 ＝35+6 ＝41（个） 答：有7个小朋友，有41个苹果。 【点评】此题解答的关键是通过两种分法中各个量之间的关系，进行分析，然后列式计算得出小朋友的人数，继而得出苹果的总个数。 34．一个小组的同学凑钱买一件纪念品，如果每人出8元，就多6元；如果每人出7元，就少2元，这个小组有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两种情况的总差额是6+2＝8元，每人的差额是8﹣7＝1人，然后根据“总差额÷每人的差额＝总人数”即可求出这个小组有多少人． 【解答】解：（6+2）÷（8﹣7） ＝8÷1 ＝8（人） 答：这个小组有8人． 【点评】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额÷每份的差额＝总份数． 35．分配房间：3人1间，还有17人没房间；5人1间，还有13个床位空余。一共有多少人？预订了多少间房？ 【答案】62人，15间房。 【分析】一盈一亏的解法：（盈数+亏数）÷两次每人分配数的差，那么共有（17+13）÷（5﹣3）＝15间房，共有（15×3+17）人，据此计算即可。 【解答】解：（17+13）÷（5﹣3） ＝30÷2 ＝15（间） 15×3+17 ＝45+17 ＝62（人） 答：一共有62人，预订了15间房。 【点评】此题考查了解决盈亏问题的方法，要熟练掌握公式。 36．植树造林，功在当代，利在千秋。2024年3月12日上午，春蕾小学校选派一些青年教师去植树。如果每人栽6棵，还剩13棵树苗；如果每人栽8棵，就缺3棵树苗。春蕾小学选派了多少人？一共有多少棵树苗？ 【答案】8人，61棵。 【分析】根据盈亏问题：一盈一亏的解法：（盈数+亏数）÷两次每人分配数的差，代入数据即可求出人数，进而求出棵数。 【解答】解：（13+3）÷（8﹣2） ＝16÷2 ＝8（人） 6×8+13 ＝48+13 ＝61（棵） 答：春蕾小学选派了8人，一共有61棵树苗。 【点评】本题考查了盈亏问题的应用。 37．小明到商店买饮料，他带的钱买3瓶多1元，买5瓶又差5元，每瓶饮料多少钱？小明共带了多少钱？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两次购物的总差额是1+5＝6元，两次购物的数量差是5﹣3＝2瓶，所以每瓶的单价是6÷2＝3元，总钱数是3×3+1＝10元，据此解答即可． 【解答】解：（5+1）÷（5﹣3） ＝6÷2 ＝3（元） 3×3+1＝10（元） 答：每瓶饮料3元，小明共带了10元钱． 【点评】解盈亏问题的公式，盈亏的解法：（盈+亏）÷两次每份分配数的差＝物品数． 38．某班学生要栽一批树苗．若每个人分配k棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵．那么k是多少棵树苗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】第一次每个人分配k棵树苗，第二次每个学生分配9棵树苗，两次分配每个人相差（9﹣k）棵树苗，第一次分配过后剩下38棵，第二次分配过后差3棵，两次差41棵，用相差总数除以每个人分配的棵数即可表示出分配人数，即41÷（9﹣k），因为41的因数为1和41，所以9﹣k＝41或者9﹣k＝1，通过判断是否符合题干要求即可求出k． 【解答】解：41÷（9﹣k）表示分配人数 因为分配人数是整数 所以9﹣k＝41或者9﹣k＝1 k＝﹣32（舍）或k＝8 答：k是8棵树苗． 【点评】本题考查盈亏问题，根据（盈+亏）÷分配差＝分配人数即可求解．本题也可这样解：设这个班的人数是a人。依据两次分的树苗棵树 数相等，得ka+38＝9a﹣3，ka+41＝9a （等式两边同时加3）41＝9a﹣ka （等式两边同时减ka）41＝a（9﹣k）由题意知a、9﹣k都是整数，且9﹣k＜9，又41的因数只有1和41，9﹣k是41的因数，所以9﹣k＝1，k＝8. 39．老师把若干练习本分给几个学生，若每个学生分得3本，则多余8本，若每个学生分得5本，则最后一个学生分得的本子不足5本，问一共有多少个学生？ 【答案】见试题解答内容 【分析】若每个学生分得5本，则最后一个学生分得的本子不足5本，设为x本，即少（5﹣x）本，那么总差额是（8+5﹣x）本，每份的差额是5﹣3＝2本，那么人数是（8+5﹣x）÷2，然后讨论x的取值即可． 【解答】解：若每个学生分得5本，则最后一个学生分得的本子不足5本，设为x本，即少（5﹣x）本， （8+5﹣x）÷（5﹣3）＝（13﹣x）÷2 所以，x的值只能是奇数，且x＜5， 当x＝1时，人数是（13﹣1）÷2＝6（个） 当x＝3时，人数是（13﹣3）÷2＝5（个） 答：一共有6个或5个学生． 【点评】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额÷每份的差额＝总份数． 40．小明步行上学，如果每分钟步行80米，就会迟到3分钟，如果每分钟步行100米，就会提前3分钟到校．小明家到学校有多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】每分钟走80米，迟到3分钟，每分钟走100米，提前3分钟，前后两次所走距离差为：80×3+100×3＝540（米），前后速度差为：100﹣80＝20（米），可知每分钟多走20米，则多走540米，据此可求出小明准时到达的时间，求出准时到达的时间，就很容易求出小明家到学校的路程． 【解答】解：小明准时到达用的时间： （80×3+100×3）÷（100﹣80） ＝540÷20 ＝27（分钟） 小明家到校的路程 80×（27+3） ＝80×30 ＝2400（米） 答：小明家离学校有2400米． 【点评】本题属于较典型的盈亏问题，关键是求出每分钟走80米时亏的路程，及每分钟走105米时盈的路程，再根据（盈+亏）÷两次的速度差＝标准时间进行解答． 41．小东从家出发去学校，如果每分走70米，能在上课前5分到校；如果每分走45米，就要迟到5分。那么小东家到学校的路程是多少米？ 【答案】1260米。 【分析】由题意可知，如果每分钟走70米，能在上课前5分钟到校，也就是按原预定时间能多走70×5＝350（米），每分钟走45米，迟到5分钟，也就是按预定时间能少走了45×5＝225（米），路程相差：350+225＝575（米），每分钟相差：70﹣45＝25（米），由根据盈亏问题公式可知预定时间为：575÷25＝23（分钟），再求家到学校的距离即可。 【解答】解：（70×5+45×5）÷（70﹣45） ＝（350+225）÷25 ＝575÷25 ＝23（分钟） （23+5）×45 ＝28×45 ＝1260（米） 答：小东家到学校的路程是1260米。 【点评】在根据时间×速度求出盈余与不足的路程的基础上，根据（盈+亏）÷两次分配的差＝参于分配的数量的基础上求出预定时间是完成本题的关键。 42．谭老师将一叠练习本奖给奥数班获得“优秀学员”的同学，如果每人奖3本，还多7本；如果每人奖5本，则少9本．问一共有几名同学获奖？这叠练习本有多少本？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设评出优秀学员x名，由“如果每人奖3本，还多7本”，则练习本的总本数表示为（3x+7）本；再由“如果每人奖5本，则少9本”，则练习本的总本数表示为（5x﹣9）本；由此列方程为3x+7＝5x﹣9，解此方程求出优秀学员的总人数，进而得出练习本的数量． 【解答】解：设评出优秀学员x名，则 3x+7＝5x﹣9 5x﹣3x＝7+9 x＝8 3×8+7 ＝24+7 ＝31（本） 答：一共有8名同学获奖，这叠练习本有31本． 【点评】此题属于盈亏问题，设出优秀学员的人数，然后根据练习本的总数不变，列出方程，求出优秀学员的人数，是解答此题的关键． 43．小李现有一笔存款，他把每月支出后剩余的钱都存入银行．已知小李每月的收入相同，如果他每月支出1000元，则一年半后小李有存款8000元（不计利息）；如果他每月支出800元，则两年后他有存款14000元（不讲利息），小李每月的收入是多少元？他现在存款有多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】假设他每月不支出，用每月的支出的钱数乘月数，再加上存款数求出一年半（18个月）和二年（24个月）后的存款是多少钱，两部分的钱数相减可得他6个月的收入是多少钱，再除以6，即可求出小李每月的收入，进而求出现在的存款． 【解答】解：一年半是18个月，两年是24个月 假设他每月不支出，则： 1000×18+8000 ＝18000+8000 ＝26000（元）； 800×24+14000 ＝19200+14000 ＝33200（元）； （33200﹣26000）÷（24﹣18） ＝7200÷6 ＝1200（元） 8000﹣18×（1200﹣1000） ＝8000﹣18×200 ＝8000﹣3600 ＝4400（元） 答：小李每月的收入是1200元，他现有存款4400元． 【点评】解决本题关键是先假设不支出，通过一年半和两年的存款钱数差得出半年的收入，从而得解． 44．老师给参加数学竞赛获奖的同学发奖品，若每人发6支笔，则就多出22支；若每人发8支则正好分完，问获奖的同学有多人？有多少支笔？ 【答案】见试题解答内容 【分析】笔的总数是一定的，无论怎么分笔的数量不变，设获奖的同学有x人，则6×人数+22＝8×人数，算出总人数，8×总人数就是一共有多少支笔。 【解答】解：设获奖的同学有x人 6x+22＝8x x＝11 11×8＝88（支） 答：获奖有11人，笔有88支。 【点评】找准等量关系是关键。 45．少先队员植树，如果每人种5棵，则剩下13棵；若每人种7棵，则差21棵。参加植树的少先队员有多少人？这批树有多少棵？ 【答案】17人、98棵。 【分析】根据题意“如果每人种5棵，则剩下13棵”，可知多了13棵树；由“每人种7棵，则差21棵”可知少了21棵，由此可知：如果每人多种7﹣5＝2（棵），就会多出13+21＝34（棵），因此，人数为：34÷2＝17（人），树有17×5+13＝98（棵），据此列式解答。 【解答】解：7﹣5＝2（棵） 13+21＝34（棵） 人数：34÷2＝17（人） 树：17×5+13 ＝85+13 ＝98（棵） 答：参加植树的少先队员有17人，这批树有98棵。 【点评】此题解答的关键是根据关系式：（盈数+亏数）÷两次分物数量的差＝分物的份数，求出参加植树的人数，进而求出树的棵数。 46．学校买来一批新华字典分给各班学习。如果其中两个班每班分到4本，其余班级每班分2本，则多4本；如果有一个班分6本，其余班级每班分4本，则不足12本，这个学校买来的新华字典共有多少本？ 【答案】26本。 【分析】根据题意，把“如果其中两个班每班分到4本，其余班级每班分2本，则多4本”，转化为：每班分2本，多4+2×2＝8（本）；把“如果有一个班分6本，其余班级每班分4本，则不足12本”，转化为：每班分4本，则少12﹣6+4＝10（本）。然后利用盈亏问题公式：（盈+亏）÷（分配差）＝班数，进而求出新华字典的本数即可。 【解答】解：4﹣2＝2（本） 6﹣4＝2（本） （4+2×2+12﹣2）÷（4﹣2） ＝18÷2 ＝9（个） 2×4+（9﹣2）×2+4 ＝8+14+4 ＝26（本） 答：这个学校买来的新华字典共有26本。 【点评】本题主要考查盈亏问题，关键是利用转化思想，使每班分的一样多。 47．把一筐苹果分给小朋友，如果每人分6个则多了10个苹果，如果每人分8个则少了12个苹果。问有多少个小朋友？ 【答案】11。 【分析】根据盈亏问题公式：两次分配差÷两次个数差＝小朋友人数，把数代入计算即可。 【解答】解：（10+12）÷（8﹣6） ＝22÷2 ＝11（个） 答：有11个小朋友。 【点评】由于两次分配的数量不统一，因此据已知条件将每次分配的数量统一后，算出盈与亏是完成本题的关键。 48．用一条绳子去量井深，把绳子对折来量．井外余6米；把绳四折来量，井外余1米．问：绳子有多长？井有多深？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两次测量的总差额是：6×2﹣1×4＝8（米），两次的测量的折数的差额是：4﹣2＝2（折），那么井深是：8÷2＝4（米）；绳子长为：4×4+1×4＝20（米）；据此解答． 【解答】解：井深：（6×2﹣1×4）÷（4﹣2） ＝8÷2 ＝4（米）； 绳子长：4×4+1×4＝20（米）； 答：绳子长20米，井深4米． 【点评】盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，再根据盈亏问题的基本数量关系：一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每份分配数的差）＝总份数解答． 49．妈妈给小平买玩具，买4个变形金刚还差3元，买4个玩具车还多1元，已知每个玩具车8元，那么妈妈带了多少元？每个变形金刚多少元？ 【答案】33元；9元。 【分析】用每个玩具车的价钱乘4，再加上1元，即可求出妈妈带的钱数，用妈妈带的钱数加商3元，再除以买变形金刚的个数，即可求出每个变形金刚多少元。 【解答】解：4×8+1 ＝32+1 ＝33（元） （33+3）÷4 ＝36÷4 ＝9（元） 答：妈妈带了33元；每个变形金刚9元。 【点评】本题考查表内除加、乘加的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 50．图书馆新到了一批图书，要平均放在几个新书架上，如果每个书架放40本，就剩下15本；如果每个书架放45本，就全部放完，一共有几个新书架？这批新到的图书共有几本？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设一共有x个新书架，则这批图书有（40x+15）本或45x本，根据这批图书的本数不变，列方程解答即可得一共有多少个新书架，再求这批新到的图书共有多少本即可． 【解答】解：设一共有x个新书架， 40x+15＝45x 5x＝15 x＝3， 45×3＝135（本） 答：一共有3个新书架，这批新到的图书共有135本． 【点评】本题考查了盈亏问题，关键是根据这批图书的本数不变，列方程． 51．一筐苹果分给一个小组，每人5个剩16个；每人7个缺12个。这个小组有多少人？共有多少苹果？ 【答案】14，86。 【分析】根据题意知：每人多分（7﹣5）个，就比原来的少（12+16）个。据此可求出这个小组的人数，再根据小组的人数，可求出苹果的总数。据此解答。 【解答】解：（12+16）÷（7﹣5） ＝28÷2 ＝14（人） 14×5+16 ＝70+16 ＝86（个） 答：这个小组有14人，一共有86个苹果。 【点评】本题是典型的盈亏问题，关键是根据两次分的苹果的差以及少的苹果数，求出小组的人数。 52．小华从家到学校，先以每分钟走90米的速度走了2分钟，她估算了一下，以这个速度到学校将迟到3分钟，于是在接下来的路程中，她每分钟走120米，结果提早了3分钟到校。小华家到学校的距离是多少米？ 【答案】2340米。 【分析】列方程解答，设正常用时x分钟，用小华每分钟走90米的速度乘时间（x+3）分钟，就是小华家到学校的距离，小华以每分钟走90米的速度走了2分钟走的路程是（90×2）米，再加上120乘（x﹣2﹣3）分钟，也是小华家到学校的距离，据此列方程，解方程即可解答。 【解答】解：设正常用时x分钟，由题意得： 90×（x+3）＝90×2+120×（x﹣2﹣3） 90x+270＝180+120x﹣600 30x＝690 x＝23 所以小华家到学校的距离是： 90×（23+3） ＝90×26 ＝2340（米） 答：小华家到学校的距离是2340米。 【点评】明确小华家到学校的距离不变，据此列方程，解方程解答此题即可。 53．一篮苹果平均分给小朋友，如果每人分4个，那么正好分完；如果每人分2个，那么还剩下8个。一共有几个小朋友？一共有多少个苹果？ 【答案】4个，16个。 【分析】设一共有x个小朋友，则得方程4x＝2x+8，先解这个方程求出小朋友人数，再用小朋友人数乘4，求出苹果个数。 【解答】解：设一共有x个小朋友。 4x＝2x+8 4x﹣2x＝2x﹣2x+8 2x＝8 2x÷2＝8÷2 x＝4 4×4＝16（个） 答：一共有4个小朋友，一共有16个苹果。 【点评】解答本题还可以先用8÷（4﹣2），求出小朋友人数，再用小朋友人数乘4，求出苹果个数。 54．学校分配宿舍，如果每个房间住3人，则多出20人；如果每个房间住5人，则刚好住满。这次分配的房间有多少个？学生有多少人？ 【答案】10个，50人。 【分析】根据题意知：每个房间多住5﹣3＝2（人），则可把原来安排不进去20人的住下，就是每个房间多住2人，可以多住20人，据此可求出现在多少间宿舍，进而可求出学生人数。 【解答】解：20÷（5﹣3） ＝20÷2 ＝10（个） 10×3+20 ＝30+20 ＝50（人） 答：这次分配的房间有10个，学生有50人。 【点评】本题考查了盈亏问题，结合题意分析解答即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$