第02讲 充分必要与逻辑用语（八大重难点）-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第02讲 充分必要与逻辑用语 一、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 2．必记结论 集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 二、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 符号表示 常见量词 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 2．含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示： 命题 命题的否定 重难点01判断命题的真假 【解题必备】判断方法： 由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论,则该命题为真命题; 由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论,则该命题为假命题。 例1．下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 例2．对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【跟踪练习】 练习1．下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 练习2．下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习3．下列命题中真命题有 . ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． 练习4．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 重难点02判断充分、必要条件 【解题必备】充分、必要条件的判断方法： （1）命题判断法 ①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． （2）集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 例3．已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4．下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【跟踪练习】 练习1．在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 练习2．已知，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 练习3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习4．已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 重难点03探究充分、必要条件 【解题必备】 在解答问题时务必看清设问方式,明确哪个是条件,哪个是结论,然后根据充分、必要、充要条件的概念作出准确的判断。 例5．设是实数，使得不等式成立的一个充分而不必要的条件是（    ） A． B． C． D． 例6．“集合至多含有一个元素”的一个充分非必要条件是 ． 【跟踪练习】 练习1．（多选）设，则成立的必要而不充分条件是（    ）. A． B． C． D． 练习2．“”的一个必要非充分条件是 . 练习3．（1）的一个充分非必要条件可以是 ； （2）且的一个必要非充分条件可以是 ． 练习4．方程有实根的充要条件是 ，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是 . 重难点04根据充分（不必要）条件求参数 【解题必备】充分不必要条件求参数： （1）利用定义，， （2）转化条件，一般可以通俗的视为“小推大” （3）根据定理、有关性、图像等等将问题转化为最值、恒成立等，得到关于参数的方程或不等式组可解的 例7．已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例8．设全集，集合，集合. (1)当时，求及； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【跟踪练习】 练习1．若是不等式成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 练习2．不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 练习3．已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 练习4．设集合．． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 重难点05根据必要（不充分）条件求参数 【解题必备】必要不充分条件求参数： 与充分不必要不同的是：， 例9．（多选）若是的必要不充分条件，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．3 例10．（多选）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【跟踪练习】 练习1．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 练习3．已知命题：方程没有实数根，若是真命题，实数的取值集合为． (1)求实数的取值集合； (2)集合，若是的必要条件，求的取值范围． 练习4．已知. (1)若，则是的什么条件？ (2)若的必要不充分条件是，求实数的取值范围. 重难点06证明充要条件 【解题必备】 （1）证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”． （2）若对应的集合为，对应的集合为，且是的充要条件，则 例11．证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 例12．求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【跟踪练习】 练习1．求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 练习2．证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 练习3．设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 练习4．求方程至少有一个负根的充要条件. 重难点07判断全称、存在量词命题的真假及其否定 【解题必备】 （1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可． （2）判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题 例13．已知命题：“”，则为（    ） A． B． C．不存在 D． 例14．下列命题中，假命题的个数是（    ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪练习】 练习1．命题“，”的否定是 ． 练习2．（多选）若集合，集合，则正确的结论是（    ） A．； B．； C． D． 练习3．已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 练习4．（多选）下列命题中，为真命题的是（    ） A． B．，使同时被3和4整除 C． D． 重难点08根据含量词命题的真假求参数 【解题必备】含量词命题求参数范围的2类题型： （1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决． （2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 例15．若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 例16．若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【跟踪练习】 练习1．已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 练习3．设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 练习4．已知命题p：，，命题q：，使得 (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第02讲 充分必要与逻辑用语 一、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 2．必记结论 集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 二、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词和存在量词 量词名称 符号表示 常见量词 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 2．含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示： 命题 命题的否定 重难点01判断命题的真假 【解题必备】判断方法： 由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论,则该命题为真命题; 由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论,则该命题为假命题。 例1．下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【答案】B 【详解】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B 例2．对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 【跟踪练习】 练习1．下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①：可得,①正确； 对于②：可得,②正确； 对于③：则或,③错误； 对于④：可得,④正确. 故选：C. 练习2．下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确; 对于②，菱形不一定有外接圆，故错误， 对于③，方程的判别式为，故正确， 对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误， 对于⑤，,故正确; 故选：C． 练习3．下列命题中真命题有 . ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． 【答案】②③ 【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误； ②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确； ③中，互相包含的两个集合相等，③正确； ④中，空集不是本身的真子集，④错误． 练习4．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析； (2)假命题，理由见解析； (3)真命题，理由见解析. 【详解】（1）根据数的性质知如果a、b都是奇数，那么是偶数， 可设，其中，则，，则其为偶数，则其为真命题； （2）一组对边平行且两对角线等长的四边形还可能是等腰梯形，故其为假命题； （3）如果，则，则，故其为真命题. 重难点02判断充分、必要条件 【解题必备】充分、必要条件的判断方法： （1）命题判断法 ①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件． （2）集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件． 例3．已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】，而 同样，而，所以充分性、必要性都不成立. 故选：D 例4．下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【答案】(1)p是q的充分而不必要条件 (2)p是q的充要条件 (3)p是q的必要而不充分条件 (4)p是q的既不充分又不必要条件． 【详解】（1）当时，成立； 当时，或． 所以p是q的充分而不必要条件． （2）由，即为且，所以p是q的充要条件． （3）由，得，且， 则，不一定有， 故p是q的必要而不充分条件． （4）0是自然数，但0不是正数，故不可推出； 又是正数，但不是自然数，故不可推出， 故p是q的既不充分又不必要条件． 【跟踪练习】 练习1．在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 【答案】C 【详解】对于A：因为不是的充分条件，则不是的必要条件，故A错误； 对于B：若一个三角形三边分别为5，6，9，另一三角形三边分别为6，6，8， 两个三角形周长相等，却不全等，则不是的必要条件，故B错误； 对于C：由可以推出，所以是的充分条件， 则是的必要条件，故C正确； 对于D：若，则，不是无理数，不是的充分条件，则不是的必要条件，故D错误； 故选：C 练习2．已知，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】因为，，则“，，所以， 所以“，”是“”的充分条件； 当，可满足， 所以“，”是“”的不必要条件. 故选：A. 练习3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】解：由，可得或； 由可得且， 所以由不能推出，但由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 练习4．已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【详解】若，，，则，则， ∴“”是“”的不充分条件； 若，∵，∴，即， ∴“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：D． 重难点03探究充分、必要条件 【解题必备】 在解答问题时务必看清设问方式,明确哪个是条件,哪个是结论,然后根据充分、必要、充要条件的概念作出准确的判断。 例5．设是实数，使得不等式成立的一个充分而不必要的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，， 由题意可知正确选项中的不等式所对应的集合应该是的一个真子集， 显然A，B，D中对应的集合不满足，而对应的集合是的真子集， 故选：C 例6．“集合至多含有一个元素”的一个充分非必要条件是 ． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】由方程， 当时，即为，解得，此时满足题意； 当时，要使得集合中至多含有一个元素， 则满足，解得， 综上可得，方程至多一个解时，实数的取值范围为， 所以集合中至多含有一个元素的一个充分不必要条件为. 故答案为：（答案不唯一）. 【跟踪练习】 练习1．（多选）设，则成立的必要而不充分条件是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，一方面：取，则，但；另一方面：若，则； 所以是成立的必要而不充分条件，故A选项符合题意； 对于B，一方面：若，则；另一方面：若，则； 所以是成立的既不必要也不充分条件，故B选项不符合题意； 对于C，一方面：取，则，但；另一方面：若，则； 所以是成立的必要而不充分条件，故C选项符合题意； 对于D，一方面：若，但；另一方面：若，则； 所以是成立的既不必要也不充分条件，故D选项不符合题意. 故选：AC. 练习2．“”的一个必要非充分条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】若可推得，而推不出， 而一定有，但不一定. 故答案为：（答案不唯一） 练习3．（1）的一个充分非必要条件可以是 ； （2）且的一个必要非充分条件可以是 ． 【答案】 ，（答案不唯一） （答案不唯一） 【详解】（1）因为，所以或， 所以的一个充分非必要条件可以是，； （2）若且，则； 若，则且，或者且， 所以是且的一个必要非充分条件； 故答案为：，；（答案不唯一）. 练习4．方程有实根的充要条件是 ，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是 . 【答案】 (答案不唯一) 【详解】解：因为方程有实根， 所以，即，解得， 反之，当时，，则方程有实根， 所以是方程有实根的充要条件， 当时，方程有实根， 而当方程有实根时不一定是， 所以是方程有实根的一个充分不要条件. 故答案为：；(答案不唯一). 重难点04根据充分（不必要）条件求参数 【解题必备】充分不必要条件求参数： （1）利用定义，， （2）转化条件，一般可以通俗的视为“小推大” （3）根据定理、有关性、图像等等将问题转化为最值、恒成立等，得到关于参数的方程或不等式组可解的 例7．已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”， 所以，可得. 故选：C. 例8．设全集，集合，集合. (1)当时，求及； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【详解】（1）当时，，又， 所以，或，. （2）若“”是“”的充分条件，则当且仅当，即， 解得，即实数的取值范围为. 【跟踪练习】 练习1．若是不等式成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】易知， 因为是不等式成立的充分不必要条件， 所以且等号不能同时取得，解之得， 经检验：等号不能同时取得，显然符合题意. 故答案为： 练习2．不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题知是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 练习3．已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 若是的充分条件，则当且仅当， 对比选项可知实数可以是3. 故选：A. 练习4．设集合．． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）， 当时，，解得 当时，由得：，解得； 综上，； （2）由题得，A是B的真子集，所以，且等号不同时成立， 解得， 所以实数的取值范围为． 重难点05根据必要（不充分）条件求参数 【解题必备】必要不充分条件求参数： 与充分不必要不同的是：， 例9．（多选）若是的必要不充分条件，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】BC 【详解】由，得或. 解方程，得， 依题意，，，则或，解得或， 所以实数的值为或. 故选：BC 例10．（多选）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【详解】由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：A，B，C. 故选：ABC 【跟踪练习】 练习1．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 练习2．已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 练习3．已知命题：方程没有实数根，若是真命题，实数的取值集合为． (1)求实数的取值集合； (2)集合，若是的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若是真命题，则，解得， 所以； （2）若是的必要条件，则， 又，所以， 所以，解得. 练习4．已知. (1)若，则是的什么条件？ (2)若的必要不充分条件是，求实数的取值范围. 【答案】(1)p是q的必要不充分条件 (2) 【详解】（1）因为， 当时，， 显然， 所以p是q的必要不充分条件． （2）由（1）知， 若的必要不充分条件是，则是的必要不充分条件， 则p是的充分不必要条件， 所以， 所以，且两处不能同时取等号，解得， 即． 重难点06证明充要条件 【解题必备】 （1）证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”． （2）若对应的集合为，对应的集合为，且是的充要条件，则 例11．证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 【答案】证明见解析 【详解】①先证明充分性： 已知：四边形ABCD是平行四边形， 求证：四边形ABCD的对角线互相平分； 证明：设AC与BD交于点，如图示： 四边形ABCD是平行四边形， ，且，， ，， 四边形ABCD的对角线互相平分，即充分性得证； ②再证必要性： 已知：四边形ABCD的对角线互相平分， 求证：四边形ABCD是平行四边形； 证明：由已知可得，且，， ，，且，， 四边形ABCD是平行四边形，即必要性得证； 综上所述，"四边形ABCD是平行四边形"是"四边形ABCD的对角线互相平分"的充要条件. 例12．求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，， 则，，， 故方程有两个同号且不相等的实根； 再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 令， 当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点， 则，解得； 当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的负根， 则函数，有两个负零点， 则，无解； 故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是； 方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【跟踪练习】 练习1．求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 练习2．证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】证明见解析. 【详解】证明：①充分性，当时，， 代入方程，得，解得，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 练习3．设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】证明：必要性：设方程与有公共实数根， 则 两式相减并整理，可得 因为，所以，将此式代入中， 整理得，故. 充分性：因为，可得，所以， 将代入方程中，可得， 即， 将代入方程中，可得， 即 故两方程有公共实数根. 所以关于的方程与有公共实数根的充要条件. 练习4．求方程至少有一个负根的充要条件. 【答案】且 【详解】必要性：设，为方程的两根. ∵，∴， ∴方程至少有一个负根应满足： 当正负根各有一个时，则，即，解得. 当有两个负根时，则 解得， 充分性：当且， 当时，，此时两根均为负； 当时，，此时方程正负根各有一个, 综上所述，方程至少有一个负根的充要条件是且. 重难点07判断全称、存在量词命题的真假及其否定 【解题必备】 （1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可． （2）判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题 例13．已知命题：“”，则为（    ） A． B． C．不存在 D． 【答案】B 【详解】命题：“”， 则为 故选:B 例14．下列命题中，假命题的个数是（    ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于（1），取，，（1）错误； 对于（2），取，，（2）正确； 对于（3），当时，方程有无穷多个解，（3）错误； 对于（4），都是无理数，而是有理数，（4）错误， 所以假命题的个数是3. 故选：C 【跟踪练习】 练习1．命题“，”的否定是 ． 【答案】， 【详解】命题“，”的否定是，，， 故答案为：，． 练习2．（多选）若集合，集合，则正确的结论是（    ） A．； B．； C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，但是，A错误， 对于B，，， B正确， 对于CD，， ，C正确，D错误． 故选：BC． 练习3．已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】当时，，所以命题为假命题，则命题为真命题； 当时，，所以命题为真命题，则命题为假命题； 所以和都是真命题. 故选：C 练习4．（多选）下列命题中，为真命题的是（    ） A． B．，使同时被3和4整除 C． D． 【答案】BD 【详解】对A：当时，，故A错误； 对B：当时，可同时被3和4整除，B正确； 对C：当时，，故C错误； 对D：当时，，故D正确． 故选：BD． 重难点08根据含量词命题的真假求参数 【解题必备】含量词命题求参数范围的2类题型： （1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决． （2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设． 例15．若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 例16．若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【详解】因为，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 若，，即， 所以实数a可取的最小整数值是. 故选：A. 【跟踪练习】 练习1．已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得， 若“”是真命题， 即当时，恒成立， 则，其中， 由，可得，所以 所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 故选：D. 练习2．已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当命题为真命题时，， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是． 故答案为： 练习3．设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. （2）命题“，则”是真命题，所以. 当时，，解得； 当时，，解得，所以. 综上所述，实数a的取值范围是. 练习4．已知命题p：，，命题q：，使得 (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由命题为真命题， 即不等式在上恒成立，即在上恒成立， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （2）解：当时，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为， 因为命题，使得为真命题，所以， 由（1）知，命题为真命题时，得， 当命题为真命题，为假命题时，可得； 当命题为真命题，为假命题时，可得， 所以实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$